Как находить определитель матрицы 🚩 как найти определитель 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Определителем матрицы является многочлен из всевозможных произведений ее элементов. Одним из способов вычисления определителя является разложение матрицы по столбцу на дополнительные миноры (подматрицы).
Статьи по теме:
Вам понадобится
- — ручка
- — бумага
Инструкция
Известно, что определитель матрицы второго порядка вычисляется так: из произведения элементов главной диагонали вычитается произведение элементов побочной диагонали. Поэтому удобно разложить матрицу на миноры второго порядка и потом уже вычислить определители этих миноров, а также определитель исходной матрицы.На рисунке представлена формула для вычисления определителя любой матрицы. Пользуясь ею, разложим матрицу сначала на миноры третьего порядка, а потом каждый полученный минор на миноры второго порядка, что позволит легко вычислить детерминант матриц.
Разложим по формуле исходную матрицу на дополнительные матрицы размера 3 на 3. Дополнительные матрицы, или миноры, образуются вычеркиванием из исходной матрицы одной строки и одного столбца. В ряд многочленов такие миноры входят умноженными на тот элемент матрицы, к которому они являются дополнительным, знак многочлена определяется степенью -1, которая представляет собой сумму индексов элемента.
Теперь каждую из матриц третьего порядка раскладываем таким же образом на матрицы второго порядка. Находим определитель каждой такой матрицы и получим ряд многочленов из элементов исходной матрицы, дальше идут чисто арифметические вычисления.
Видео по теме
Обратите внимание
Определитель можно вычислить только для квадратных матриц.Разложение по столбцу/строке — это лишь один из способов вычисления детерминанта матрицы.
Полезный совет
Легко проверить количество конечных многочленов, вычислив факториал от числа столбцов\строк матрицы. Так для нашей матрицы порядка 4 конечных многочленов должно быть 4! = 24 штуки.Если в матрице есть нулевые элементы, то целесообразно раскладывать ее по столбцу или строке, содержащей как можно больше нулей. Очевидно, что при этом некоторые дополнительные миноры будут умножены на ноль и могут не вычисляться.
Источники:
- Нахождения определителя матрицы методом разложения по строке/столбцу в 2018
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Определитель матрицы
Для решения заданий в высшей математике периодически нужно находить определитель матрицы. Встречается он не только в алгебре, но и в геометрии, математический анализ также может его содержать. Следовательно, нужно уметь находить определитель матрицы, так как это необходимо.
Что такое матрица — это таблица прямоугольной формы содержащая в себе различные выражения. Матрица может иметь n столбцов и m строк, ее называют как (m,n) — матрице.
Только квадратная матрица имеет определитель. Который больше всего встречается второго, третьего и четвертого порядка.
Следует запомнить что выражения (числа) стоят сами по себе, значит и вычитать ни чего не нужно, перестановку делать так же нельзя. Иногда можно поменять местами столбцы и строки парами. В результате это даст нам смену знака, но часто этого не требуется. Из чего следует, что в любом данном определителе, не нужно ни чего трогать или менять.
Разберемся в названиях обозначений
— Определитель матрицы обозначается как {A}, реже встречается как D либо ?
— Вычисление определителя — то нахождение числа, которое обозначается знаком вопроса, подразумевая обычное число.
Для того чтобы найти данное неизвестное число определителя нужно знать правила, алгоритмы и формулы. Такие как:
1) Для вычисления определителя второго порядка, нужна формула
Разберем на примере:
2) Для вычисления определителя третьего порядка, существует 8 способов, разберем 2 самых простых.
Разберем на примере:
В использовании данной формулы, нужно быть внимательным что бы не допустить ошибку, так как формула довольно длинная. В избежание допущения ошибок существует еще один вариант решения. Названный как способ Саррюса. Он похож на предыдущий способ, но фишка заключается в том что через матрицу выражений проводятся параллельные линии, вынося за определитель в правую сторону два первых столбца.
Таким образом числа зачеркнутые красным цветом вписываются с положительным знаком, а числа зачеркнутые синим цветом с отрицательным.
Разберем на примере:
Если сравнить оба варианта вычисления, видно что они практически одинаковы, но во втором варианте допущение ошибки сводится к нулю, так как представлены множители.
Затронем еще один способ нормального вычисления, так как он используется в большинстве случаев. Найти определитель можно путем раскрытия его в любом столбце либо строке. Вычисляется путем сложения произведений выражений данного столбца или строки на алгебраические дополнения.
Для наглядности разберем определитель по первой строке.
3) Для вычисления определителя четвертого порядка, нужно действовать так же как и при вычислении третьего порядка, просто таблица буде больше. Приведу пример и разложу на определитель третьего порядка, а потренироваться в решении вы сможете сами. В ответе должно получиться 18.
Это очень познавательно и интересно, главное быть внимательнее!
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
reshit.ru
Как посчитать определитель матрицы 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Математическая матрица представляет собой прямоугольный массив элементов (например, комплексных или действительных чисел). Каждая матрица имеет размерность, которая обозначается m*n, где m – число строк, n – число столбцов. На пересечении строк и столбцов располагаются элементы заданного множества. Матрицы обозначаются заглавными буквами A, B, C, D и т.д., либо A = (aij), где aij – элемент на пересечении i – й строки и j – го столбца матрицы. Матрица называется квадратной, если у неё число строк равно числу столбцов. Теперь введём понятие определителя квадратной матрицы n – го порядка.
Статьи по теме:
Инструкция
Рассмотрим квадратную матрицу A = (aij) любого n – го порядка.Минором элемента aij матрица A называется определитель порядка n -1, соответствующий матрице полученной из матрицы A вычеркиванием из неё i – й строки и j – го столбца, т.е. строки и столбца на которых расположен элемент aij. Минор обозначается буквой M с коэффициентами: i – номер строки, j – номер столбца.
Определителем порядка n, соответствующим матрице A называется число обозначаемое символом ?. Определитель вычисляется по формуле, представленной на рисунке, где M — минор к элементу a1j.
Таким образом, если матрица A имеет второй порядок, т.е. n = 2, то соответствующий этой матрице определитель будет равен ? = detA = a11a22 – a12a21
Если матрица A имеет третий порядок, т.е. n = 3, то соответствующим этой матрице определитель будет равен ? = detA = a11a22a33 ? a11a23a32 ? a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 ? a13a22a31
Вычисление определителей порядка n > 3 можно произвести метод понижения порядка определителя, который основан на обнулении всех, кроме одного, элементов определителя с помощью свойств определителей.
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru