Как из синуса получить косинус: Синус, косинус угла треугольника

Ряд для синуса через кратные углы : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

gris	Ряд для синуса через кратные углы 07. 01.2016, 23:08
Заслуженный участник 13/08/08 14067	Навеяно задачей о пределе. Есть точная формула и аналогичные формулы для углов нечётной кратности, а также первый замечательный предел и следствие из него для предела косинуса. Нельзя ли как-нибудь получить из этого асимптотику для синуса около нуля до более высоких степеней? Первая степень получается точно, а потом уже не то

provincialka	Re: Ряд для синуса через кратные углы 07. 01.2016, 23:26
Заслуженный участник 18/01/13 12034 Казань	Если предположить, что такая формула существует, то найти коэффициенты можно. Например, пусть . Кроме того, . Подставим эти соотношения в равенство , получим . Раскрывая скобки и сравнивая коэффициенты получаем уравнение , откуда . Но для этого нужно сначала доказать существование такого .

gris	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08. 01.2016, 00:39
Заслуженный участник 13/08/08 14067	Вот у меня то самое же получилось, правда из формулы синуса тройного угла. Там . То есть хотя бы в духе Пойа’s Правдоподобных рассуждений можно для синуса получить ряд ещё до изучения производных. А подойдя комплексно, получить кубический член для экспоненты, что позволяет найти злополучный предел. Хотя бы найти, если не доказать. Аккордеон А я, понимая, что изобретаю велосипед, подумал, что в той теме можно выйти в комплексную плоскость и попробовать подобраться к нулю не сбоку, а сверху. На Рождество так хочется чуда

ewert	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08.01.2016, 00:45
Заслуженный участник 11/05/08 32128	provincialka в сообщении #1088832 писал(а): Если предположить, что такая формула существует, то найти коэффициенты можно. Именно что если. Скажем, общеизвестно, что и т.д. А вот доказать — естественно, отнюдь. (Оффтоп) Я в этом (в смысле ушедшем) семестре подкинул своим скубентам эту задачку в качестве развлечения. Естественно, подсказав, что там надо поиграться с кратными углами — тройными или хоть двойными (но не объясняя, как именно играться). И что вы думаете: в одной из групп сразу два человека угадали! (ну или нагуглили) В другой, правда — ни одного.

Brukvalub	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08. 01.2016, 00:49
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	gris в сообщении #1088850 писал(а): То есть хотя бы в духе Пойа’s Правдоподобных рассуждений можно для синуса получить ряд ещё до изучения производных. Более того, можно определить синус как сумму известного степенного ряда, тогда никакие Пойи совсем не понадобятся.

deep blue	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08. 01.2016, 11:33
23/11/09 173	В книге Маркушевича «Ряды» дается элементарное доказательство равенства синуса и его степенного ряда. Используется только замечательный предел, формулы кратных углов и признак сходимости Даламбера. Вкратце, схема доказательства такая: 1. Записываются формулы кратных углов верные для любого m: 2. Элементарно доказывается (используя признак Даламбера), что степенные ряды синуса и косинуса сходятся при всех x 3. На основе первого замечательного предела доказывается, что каждый член частичной суммы степенного ряда сколь угодно мало отличается от соответствующего члена в формуле кратных углов при достаточно большом m. 4. Рассматривается разность частичной суммы (длины n) степенного ряда и выражения косинуса через кратные углы (длины m>n формулы 1). это обрубок суммы в выражении косинуса через сумму кратных углов от n до m. Несложно показать, что при любых m>n он меньше чем обрубок степенного ряда косинуса. 5. Для заданного выбирается и фиксируется n так, чтобы частичная сумма степенного ряда отличалась от своего предела не более чем на . Поскольку n теперь зафиксировано, можно выбрать m>n так, чтобы каждый член разности (4) сколь угодно мало отличался от нуля и вся сумма этих членов (их n плюс еще один — ) сколь угодно мало отличалась от нуля, например не более чем на . Остается оценить . Мы уже знаем что при любых m, меньше чем обрубок степенного ряда косинуса, который меньше (по условленному в самом начале при выборе n). Итак, разность частичной суммы степенного ряда и косинуса стремится к нулю с ростом n при любых x. Следовательно сам косинус сколь угодно мало отличается от значения степенного ряда в бесконечности.

provincialka	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08.01.2016, 13:09
Заслуженный участник 18/01/13 12034 Казань	Ну. .. решение с рядами — хорошее, только «из пушки по воробьям». Имеет скорее «эстетическую» ценность. А вообще-то рассуждения с кратными углами я использую, но не для доказательства формулы, а как «наведение» на неё. Показываю, что подобные формулы существуют и надо бы найти общий способ, как их легко выводить. После этого можно переходить к производной. Хотя… изложенная «программа» — это скорее утопия. Времени-то на досужие рассуждения не хватает!

Евгений Машеров	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08.01.2016, 20:09
Заслуженный участник 11/03/08 8498 Москва	gris в сообщении #1088827 писал(а): Пользуясь этим выражением, получаем синус для для произвольно большого k. Затем заменяем синус малого x на x и видим искомый ряд. Вот с оценкой погрешности грустно, и непонятно, какие члены ряда правильные, а какие шум. Но первые выпишутся правильно.

Brukvalub	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08.01.2016, 20:30
Заслуженный участник 01/03/06 13626 Москва	Евгений Машеров , ваши телодвижения даже на «пляски с бубном» не тянут! Чему вы учите нашу молодежь?

Евгений Машеров	Re: Ряд для синуса через кратные углы 08. 01.2016, 21:58
Заслуженный участник 11/03/08 8498 Москва	Зато можно догадаться, как получали ряды для синуса древние индусы, скажем.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 10 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Видео-вопрос: Знание косинуса, синуса или тангенса двух углов и нахождение косинуса, синуса или тангенса их суммы или разности

Учитывая, что cos 𝜃 = −√(5)/3, где 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, и cos 𝜑 = √(2)/3, где 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋, найдите точное значение cos (𝜑 + 𝜃) .

Стенограмма видео

Учитывая, что cos 𝜃 равно отрицательному корню из пяти из трех, где 𝜃 находится между нулем и 𝜋, а cos 𝜑 равно корню два из трех, где 𝜑 находится между нулем и 𝜋, найти точное значение cos 𝜑 плюс 𝜃.

Наша цель — найти значение cos 𝜑 плюс 𝜃. У вас может возникнуть соблазн использовать функцию арккосинуса или арккосинуса для найдите значения 𝜃 и 𝜑, а затем добавьте эти два значения и найдите косинус сумма. Но мы ищем точное значение, которое ваш калькулятор может не дать вам, если вы используйте этот метод.

Лучше использовать формулу кратных углов, которая дает косинус суммы двух углов через косинус и синус этих двух углов. Мы хотим найти cos 𝜑 плюс 𝜃, поэтому мы можем установить 𝐴 равным 𝜑 и 𝐵 равным 𝜃. И это выглядит обнадеживающе, потому что нам даны значения cos 𝜑 и cos 𝜃 в вопрос. Однако нам явно не сообщают значения ни sin 𝜑, ни sin 𝜃. Нам придется их проработать.

Начнем с поиска греха 𝜑. Опять же, у нас может возникнуть соблазн использовать наши калькуляторы, чтобы найти значение 𝜑. Это будет арккосинус корня два на три. А затем, имея 𝜑, мы могли бы снова использовать наши калькуляторы, чтобы найти грех 𝜑.

Однако мы ищем точное значение в конце, и нет никакой гарантии, что наш калькулятор даст нам точное значение. Вместо этого мы будем использовать тот факт, что косис 𝜑 в квадрате плюс грех 𝜑 в квадрате равен один. Это верно для любого угла, и, конечно же, верно для 𝜑.

Мы знаем, что cos 𝜑 — это корень два на три, поэтому cos 𝜑 в квадрате — это корень на два больше три в квадрате. А корень два из трех в квадрате равен двум из девяти. Переставляя, мы находим, что грех 𝜑 в квадрате равен семи больше девяти, и поэтому грех 𝜑 равен равно плюс-минус корень семь из девяти.

У нас есть два возможных значения sin 𝜑, и нам нужно выбрать между их. В противном случае мы получим несколько возможных значений cos 𝜑 плюс 𝜃. Мы делаем это, используя наш дополнительный бит информации о том, что 𝜑 находится между нулем и 𝜋. И либо думая об единичном круге, либо о графике 𝑦 равно sin 𝑥, мы можем видим, что функция синуса положительна на этом интервале от нуля до 𝜋 радиан.

Грех 𝜑, следовательно, положителен, поэтому он должен быть корнем семь больше девяти, а не отрицательным корень семь над девятью. И мы знаем, что можем переписать это как корень семь над тремя.

Итак, теперь, когда мы нашли значение греха 𝜑, мы можем перейти к нахождению значения греха 𝜃. И мы находим это значение точно так же, как мы находили значение sin 𝜑. Запишем связь между sin 𝜃 и cos 𝜃, подставим в значение cos 𝜃, которое мы получили из вопроса, и проведем некоторые алгебраические вычисления, чтобы найти, что sin 𝜃 равен либо два на три, либо минус два на три. И, как и раньше, поскольку 𝜃 находится между нулем и 𝜋, sin 𝜃 будет положительным или равным наименее неотрицательный. Итак, грех 𝜃 должен быть два больше трех, а не отрицательный два больше трех.

Найдя значение sin 𝜃, теперь мы имеем значения cos 𝜑 и cos 𝜃 из вопрос и грех 𝜑 и грех 𝜃 которые мы разработали. Итак, мы готовы подставить в нашу формулу. Потому что 𝜑 — корень два больше трех, потому что 𝜃 — отрицательный корень пять больше трех, sin 𝜑 — это корень семь на три, а грех 𝜃 два на три. Остальное просто арифметика.

Мы находим два произведения, используя тот факт, что корень, умноженный на два, корень пять равен корню 10, чтобы получить отрицательный корень 10 из девяти минус два корня из семи из девяти. И поменять порядок этих двух терминов, а затем объединить их в одну дробь воспользовавшись тем, что они имеют общий знаменатель, получим минус два корня из семи плюс корень 10 на девять.