Изменить порядок интегрирования с примерами решения
Содержание:
- Рассмотрим двойной интеграл
- Как вычислить двойной интеграл?
Изменить порядок интегрирования в интеграле:
Решение: В данном интеграле область интегрирования D — правильная область первого типа (рис. 10). По теореме 1 интеграл / записывается в виде двойного интеграла . Равенство означает, что точка D лежит на окружности Если то точка лежит на окружности Две эти окружности пересекаются в точках, для которых или при Подставляя это значение у в уравнение получаем
Для обоих интегралов переменная х принимает только отрицательные значения. Значит для точек лежащих на первой окружности, справедливо равенство а для точек второй окружности
Теперь, если рассмотреть область интегрирования D как правильную область второго типа, то согласно теореме 2 интеграл / записывается в виде
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
| Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением |
Пример 2.
Изменить порядок интегрирования в повторном» интеграле.
Решение:
Область интегрирования D ограничена линиями Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее наобласти В результате получаем
Пример 3.
Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
написать уравнения кривых, ограничивающих область ингегрирования, построить эту область.
Решение:
Образец выполнения задания в Mathcad:
Зададим подынтегральную функцию и определим границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:
Найдем точки пересечения графиков функций: это точки с координатами
Изменим порядок интегрирования. Для этого надо выразить уравнения границ в виде: Область интегрирования разбиваегся на две части, левая и правая границы которых однозначно определены. Исходный интеграл записывается в виде суммы двух интегралов.
Указание.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Система линейных уравнений |
Численные методы решения слау |
Непрерывность функции |
Длина дуги кривой |
Рассмотрим двойной интеграл
в прямоугольных координатах Предположим, что переменные х и у являются функциями двух переменных и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по в некоторой замкнутой области G плоскости . Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.
Тогда имеет место равенство называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически |J(u, v)\dudv выражает элемент площади в области G, а — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.
Координаты называются криволинейными координатами точки , поскольку уравнения представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.
Интеграл
называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты Они связаны с прямоугольными координатами формулами Якобиан преобразования в этом случае равен
a — элемент площади в полярных координатах.
При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.
Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.
Как вычислить двойной интеграл?
по области D, ограниченной прямыми
Решение:
Область D — параллелограмм АВСК (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде перейдем к новым координатам, для чего обозначим Имеем
В новой системе координат область G ограничена прямыми т.е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна
Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой.
Именно поэтому Переходим к вычислениям:
Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.
Введем новые переменные при помощи равенств Выразим отсюда переменные через
Находим якобиан полученного преобразования
откуда, с учетом того, что на области D, а значит, имеем
Таким образом, исходный интеграл в плоскости имеет вид
Граница области G описывается линиями (так как одна из формул преобразования имеет вид то линии в плоскости соответствует линия в плоскости ), (рис. 20 6).
Поэтому область G имеет вид (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: Вычислить интеграл
Строим круг радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной а область интегрирования симметрична относительно оси .
Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: Переходим к полярным координатам Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств подынтегральная функция примет вид
Таким образом,
17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
для студентов 1 курса ДО
филиала ФГБОУ ВПО УГАТУ в г. Стерлитамаке,
специальностей: 150700.62 — «Машиностроение», 151900.62 – «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств»,
221000.62 — «Мехатроника и робототехника»
2семестр
Темы: «Интегральное исчисление», «Кратные интегралы»
Составитель: к
ф.
-м. н. Г.Ф. Ефимова
Основные правила и требования
к выполнению расчетно-графической работы
Расчетно-графическая работа предназначена для более глубокого изучения разделов математики, а также текущего контроля изучаемых разделов.
При подготовке к выполнению РГР студенты самостоятельно изучают литературу, теоретический материал лекций и решение задач на практических занятиях.
Решения задач, а также ответ студента при защите РГР позволяют определить и оценить уровень усвоения теоретического и практического материала курса.
Расчетно-графическая работа выполняется студентами в указанные преподавателем сроки.
Расчетно-графическая работа выполняется студентами самостоятельно!
Расчетно-графическая работа выполняется студентами в отдельной тетради, решение каждого задания оформляется с новой страницы.
При этом необходимо оставлять
место (поля) для замечаний преподавателя.Каждый студент выполняет один вариант РГР. Выбор варианта осуществляется по номеру списка в журнале группы или по указанию преподавателя.
Каждый студент после проверки РГР преподавателем должен защитить выполненную работу.
При этом необходимо оставлять
место (поля) для замечаний преподавателя.Вариант – 1
Найти интегралы: 1. 2. 3. 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. |
Вычислить длину дуги, заданной уравнением:
15. | 16. |
17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
18. Вычислить площадь части поверхности , лежащей в I октанте.
19. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: .
20. Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного параболоидом и плоскостью .
Вариант – 2
Найти интегралы: 1. 2. 3. 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. (внутри астроиды). |
Вычислить длину дуги, заданной уравнением:
15. | 16. (длину первого витка спирали). |
от
начала координат до А(4,8).18. Вычислить площадь части поверхности , отсеченной плоскостями .
19. Тело ограничено параболоидом и сферой . Вычислить его объем, внутренний по отношению к параболоиду.
20. Найти момент инерции однородного шара (плотность равна 1) радиуса 2 относительно его центра.
Вариант – 3
Найти интегралы: 1. 2. 3. 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. |
Вычислить длину дуги, заданной уравнениями:
15. | 16. |
17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
18. Вычислить площадь части поверхности полусферы , вырезанной цилиндром .
19. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: .
20. Найти массу куба , если плотность его в каждой точке равна .
Вариант – 4
Найти интегралы: 1. 2. 3. . 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. |
Вычислить длину дуги, заданной уравнением:
15. | 16. |
17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
18. Найти площадь части плоскости , заключенной между координатными плоскостями.
19. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: .
20. Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью и плоскостями , если в каждой его точке плотность численно равна ординате этой точки.
Вариант – 5
Найти интегралы: 1. 2. 3. 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
.Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. |
Вычислить длину дуги, заданной уравнением:
15. | 16. |
17. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:
18. Найти площадь поверхности цилиндра , содержащуюся между плоскостями .
19. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями: .
20. Найти массу цилиндра , если плотность в любой его точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси цилиндра.
Вариант – 6
Найти интегралы: 1. 2. 3. . 4. 5. | 6. 7. 8. 9. 10. |
Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
11. | 12. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
13. | 14. |
Вычислить длину дуги, заданной уравнением:
15. | 16. |
Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле : Чулан (М)
Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
| Sverest |
| ||
17/12/10 |
| ||
| |||
04.2011, 15:46 | mihailm |
| ||
19/05/10 |
| ||
| |||
04.2011, 15:49 | Sverest |
| |
17/12/10 | ||
| ||
04.2011, 16:50 | mihailm |
| ||
19/05/10 |
| ||
| |||
| Sverest |
| ||
17/12/10 |
| ||
| |||
04.2011, 13:49 | Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию |
| Страница 1 из 1 | [ Сообщений: 5 ] |
Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
| Найти: |
2.
2+y)dxdy\)? 92π dθ\)
\( V = \frac{1}{2}×\frac{√3}{2} ×2π\)
\( V = \frac{√3}{2} π \)
5. Какое из следующих уравнений представляет момент инерции плоской области относительно оси x?
a) ∬x 2 f(x,y)dxdy
б) ∬xf(x,y)dxdy
c) ∬y 2 f(x,y)dxdy
d) ∬yf(x,y) )dxdy
View Answer
Ответ: c
Объяснение: Момент инерции плоской области,
Относительно оси абсцисс,
I xx =∬y 2 f(x,y)dxdy
Относительно оси ординат:
I yy =∬x 2 f(x,y)dxdy
6. Какова масса области R, как показано на рисунке?
a) 8
b) 9
c) \(\frac{9}{2} \)
d) \(\frac{9}{4} \)
Посмотреть ответ
Ответ: b
Объяснение: Из На рисунке выше мы видим, что ось X изменяется от 0 до 3, а ось Y — от 0 до 2. \,дх\,ди\) 92 = 9 \)
7. Метод полуинтервала в численном анализе также известен как __________
а) метод Ньютона-Рафсона
б) метод Регулы Фальси
в) метод Тейлора
г) метод деления пополам
Посмотреть ответ
Ответ: d
Объяснение: Метод деления пополам, также известный как бинарное отсечение или метод половинного интервала, является начальным методом, который используется, где это применимо, в течение нескольких итераций для получения хорошего начального значения.
реклама
92}=0,000127\)Ошибка в радиусе = 0,0127%
реклама
10. Координата x центра тяжести плоской области определяется выражением \(x_c=\frac{1}{M} ∬xf(x,y)dxdy.\)
a) Верно
b) Неверно
Просмотреть ответ
Ответ: a
Объяснение: Координаты (x c ,y c ) центра масс плоской области с массой M определяется как
\(x_c=\frac{1}{M} ∬xf(x,y)dxdy\)
\(y_c=\frac{1}{M} ∬yf(x,y) dxdy\)
Sanfoundry Global Education & Learning Series – Дифференциальное и интегральное исчисление.
Чтобы попрактиковаться во всех областях дифференциального и интегрального исчисления, , вот полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .
Изменение порядка интегрирования в тройных интегралах
Свернуть Оглавление Изменение порядка интегрирования в тройных интегралах Пример 1 | 93$.
Затем нам нужно будет вычислить тройной интеграл $\iiint_E f(x, y, z) \: dV$ через тройные повторные интегралы. Будет шесть различных порядков вычисления тройных повторных интегралов. Мы можем:
92} f(x, y, z) \: dy \: dz \: dx \end{align}
9{x(y,z)}f(x,y,z)\dx\dy\dz???
🙂 92-9???