Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде
dx/dt = Ax
где x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t.
Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.
x(t) = ℮Atx(0)
Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы диффере-нциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей коэффициентов
A =
0 -6 -1
6 2 -16
-5 20 -10
x0 = [ 1 1 1]’.
Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравне-ния в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде
X = [ ];
for t = 0 : 0.01 : 1
X = [X expm(t*A)*x0];
end
Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи спе-циальной функции
Plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), ‘-o’)
Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Та-кое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициен-тов А.
2 = 1$$ Показанные здесь «вертикальные плоскости» (показаны только 3, для $n=-1,0,1$) идентифицируются по их координатам $z$ и размещаются только в $n$ (целых) значениях .
Это было отправной точкой: расширение целых значений $n$ до всех действительных значений $z$ будет означать рассмотрение непрерывного набора «вертикальных плоскостей»: это будет включать степени матриц, так как $n$ будет отображаться как экспонента матрицы, в следующем.
Я предполагаю, что каждая вертикальная плоскость $z=n$ «принимает» систему координат $(x_n, y_n)$, точно так же, как эти системы координат «жили» на этих плоскостях. 9n (x_0, y_0)$$
, что также включает «прыжки» из плоскости $z=0$ в плоскость $z=n$.
Кстати: приведенное выше уравнение Пеллса является
Примечательно, что та же матрица использовалась древними греками «для получения следующего целочисленного решения» (уравнения Пеллса), поскольку $(x, y)_{(0)}=(1,0)$, как известно, быть «тривиальным решением»:
$$(x, y)_{(n+1)} = \begin{pmatrix} 3 и 4 \\ 2 и 3 \\ \end{pmatrix} (x, y)_{(n)}$$ 9{(-1)}$$
означает «применить обратное преобразование один раз».
Но, рассматривая эту матрицу как преобразование координат, мы видим точку $(1,0)$ на плоскости $n=0$, «прыгающую ВПЕРЕД» в плоскость $n=1$ и «вращающуюся по часовой стрелке» в точку $(3 ,2)$, при применении » прямое преобразование», в то время как мы видим ту же самую точку $(1,0)$ «прыгающую BWD» в плоскость $n=-1$ и «вращающуюся против часовой стрелки» в точку $(3 ,-2)$, при применении « обратного преобразования».
Из-за рекурсивности «генератора следующего решения»:
$$(x, y)_{(n+1)} = \begin{pmatrix} 3 и 4 \\ 2 и 3 \\ \end{pmatrix} (x, y)_{(n)}$$
такого рода «прыгать и вращаться» применяется ко всем «целочисленным решениям» уравнения Пеллса: действительно, как преобразование координат, все точки в плоскость «поворачивается» к другим точкам.
Это также предполагает, что «все точки параболоидов «вращаются» в 3D»:
$(1,0,0)$ преобразуется в $(3,2,1)$
$(1,0,0)$ получает обратное преобразование в $(3,-2,-1)$
Помещение «вертикальных плоскостей» между «помогает визуализировать движение»: это дискретное движение ($n$ шагов на $1$, а не на $dz$): можно ли его «удлинить» так это непрерывный ?
В геометрической интерпретации, приведенной выше, «расширение» этого «движения» до «непрерывного» означает 
Вы согласны?
Ура,
.к.
Что такое дробная степень матрицы? – Ник Хайэм
Корень матрицы — это матрица такая, что , и ее можно записать . Для рационального числа (где и — целые числа) определить сложнее: это или ? Эти две возможности могут быть разными даже для . В более общем смысле, как мы можем определить для произвольного действительного числа ?
Напомним, во-первых, что для ненулевого комплексного скаляра мы определяем , где главный логарифм: принимающий значения в полосе . Мы можем обобщить это определение на матрицы. Для невырожденной матрицы определим
Здесь логарифмом является главный матричный логарифм, матрица-функция построена на главном скалярном логарифме, поэтому собственные значения лежат в полосе . При собственные значения , которые являются где собственное значение , лежат в сегменте комплексной плоскости.
Наиболее важным частным случаем является положительное целое число, и в этом случае
Мы можем проверить, что
, так что определение действительно дает корень th.
Матрица называется главным корнем.
Возвращаясь к случаю рационального , заметим, что
но может быть другой матрицей. В общем случае неверно, что для действительных и , хотя для симметричных положительно определенных матриц это тождество выполняется, поскольку собственные значения вещественны и положительны.
Интегральное выражение для справедливо для
Другое представление для с дается биномиальным разложением
Для вещественных матриц вида
с явной формулой для . Легко видеть, что имеет собственные значения , где . Пусть и . Можно показать, что
Вычисление
Эту формулу можно использовать для вычислений, но она является несколько косвенной, поскольку необходимо аппроксимировать как экспоненту, так и логарифм. Хайэм и Лин (2013) разработали более прямой алгоритм, основанный на разложении Шура и приближении Паде степенной функции. Код MATLAB доступен на файловом обмене MathWorks.
Если диагонализируется, так что для некоторого неособого с , то . Эта формула безопасна для использования в вычислениях только в том случае, если она хорошо обусловлена. Для дефектных (недиагонализуемых) мы можем выразить через каноническую форму Жордана, но это выражение бесполезно в вычислительном отношении, потому что каноническая форма Жордана не может быть надежно вычислена.
Обратная функция
Если тогда , по определению квадратного корня. Если из этого следует? Ясно, что ответ «нет» вообще потому, что, например, не подразумевает .
С помощью функции раскручивания матрицы можно показать, что для . Следовательно, функция является обратной функцией для .
Обратная ошибка
Как проверить качество приближения к ? Ибо мы можем проверить остаток , но на самом деле естественного остатка нет. Вместо этого мы можем посмотреть на обратную ошибку.
Для аппроксимации обратная ошибка — это матрица такая, что . Предположим, что и неособы и что .
Тогда, как показано в предыдущем разделе, следует . Следовательно, нормальная относительная обратная ошибка равна
Приложения со стохастическими матрицами
Важным применением дробных матричных степеней являются цепи Маркова с дискретным временем, которые возникают в таких областях, как финансы и медицина. Матрица перехода для марковского процесса — это матрица, элементом которой является вероятность перехода из состояния в состояние за временной шаг. Она имеет неотрицательные элементы и сумма строк равна , так что это стохастическая матрица. На практике матрица перехода может быть рассчитана для определенного периода времени, скажем, одного года, но может потребоваться матрица перехода для более короткого периода, скажем, одного месяца. Если — матрица перехода для периода времени, то стохастический корень — это матрица перехода для периода времени в меньший раз. Поэтому (годы в месяцы) и (недели в дни) входят в число интересующих нас значений. К сожалению, это не обязательно стохастическая матрица.
Более того, может иметь стохастический корень th, который не равен . Например, стохастическая матрица
имеет главный квадратный корень
, но не является стохастическим из-за отрицательных элементов. Однако квадратный корень
является стохастическим. (Интересно, что это тоже квадратный корень из !)
Возможны самые разнообразные конфигурации в отношении существования, природы (первичные или непервичные) и количества стохастических корней. Higham и Lin (2011) описывают различные возможности, которые могут возникнуть. Они отмечают, что стохастическая нижняя треугольная матрица
имеет стохастический корень th, а именно для всех . Например, до трех значащих цифр
Существование стохастических корней стохастических матриц связано с проблемой вложимости, которая спрашивает, когда невырожденная стохастическая матрица может быть записана для некоторых с для и , . Кингман показал в 1962 году, что это условие выполняется тогда и только тогда, когда для каждого положительного целого числа существует стохастик такой, что .
Приложения в дробных дифференциальных уравнениях
Дробные матричные степени возникают при численном решении дифференциальных уравнений дробного порядка, особенно уравнений в частных производных с участием дробных операторов Лапласа. Здесь проблема может заключаться в вычислении , и в этом случае для больших задач предпочтительнее напрямую аппроксимировать , например, методами Крылова или квадратурными методами, чем явно вычислять .
Ссылки
Это минимальный набор ссылок, который содержит дополнительные полезные ссылки внутри.
- Брайан Дэвис, Встраиваемые марковские матрицы, Electronic J. Вероятность 15, 1474–1486, 2010.
- Роберто Гарраппа и Марина Пополицио, Об использовании матричных функций для дробных дифференциальных уравнений в частных производных, Math. вычисл. Моделирование C-25(81), 1045–1056, 2011.
- Николас Дж. Хайэм, Функции матриц: теория и вычисления, Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия, Пенсильвания, США, 2008.
