Как находить производную сложной функции примеры: Производная сложной функции, примеры решений

Производная сложной функции. Примеры решений

На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию –

внутренней (или вложенной) функцией.

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю

неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет

выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением, в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Готово

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3

Найти производную функции Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение

выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание:

, значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции

следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Готово.

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень,

его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых

– это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования

частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем

обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции

сначала нужно взять производную от степени:

Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:

Готово.

Пример 11

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример 12

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.

А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:

Готово.

! Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил: правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь.

Пример 13

Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Пожалуй, хватит на сегодня. Хочется еще привести пример с дробью и сложной функцией, но такой пример принципиально ничем не отличается от двух последних заданий, единственное отличие –

вместо правила применяем правило .

Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные. Логарифмическая производная. Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! После изучения третьего урока вы будете очень уверенно себя чувствовать в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Желаю успехов!

Ответы:

Пример 2:

Пример 4: Указание: перед дифференцированием необходимо перенести степень наверх, сменив у показателя знак .

Пример 7:

Пример 9:

Пример 11:

Пример 13:

Сложные производные. Логарифмическая производная. Производная степеннопоказательной функции

Продолжаем повышать свою технику дифференцирования. На данном уроке мы закрепим пройденный материал, рассмотрим более сложные производные, а также познакомимся с новыми приемами и хитростями нахождения производной, в частности, с логарифмической производной.

Тем читателям, у кого низкий уровень подготовки, следует обратиться к статье Как найти производную? Примеры решений, которая позволит поднять свои навыки практически с нуля. Далее необходимо внимательно изучить страницу Производная сложной функции, понять и прорешать все приведенные мной примеры. Данный урок логически третий по счету, и после его освоения Вы будете уверенно дифференцировать достаточно сложные функции. Нежелательно придерживаться позиции «Куда еще? Да и так хватит!», поскольку все примеры и приёмы решения взяты из реальных контрольных работ и часто встречаются на практике.

Начнем с повторения. На уроке Производная сложной функции мы рассмотрели ряд примеров с подробными комментариями. В ходе изучения дифференциального исчисления и других разделов математического анализа – дифференцировать придется очень часто, и не всегда бывает удобно (да и не всегда нужно) расписывать примеры очень подробно. Поэтому мы потренируемся в устном нахождении производных. Самым подходящими «кандидатами» для этого являются производные простейших из сложных функций, например:

По правилу дифференцирования сложной функции :

При изучении других тем матана в будущем такая подробная запись чаще всего не требуется, предполагается, что студент умеет находить подобные производные на автопилоте автомате. Представим, что в 3 часа ночи раздался телефонный звонок, и приятный голос спросил:

«Чему равна производная тангенса двух икс?». На это должен последовать почти мгновенный и вежливый ответ: .

Первый пример будет сразу предназначен для самостоятельного решения.

Пример 1

Найти следующие производные устно, в одно действие, например: . Для выполнения задания нужно использовать только

таблицу производных элементарных функций (если она еще не запомнилась). Если возникнут затруднения, рекомендую перечитать урок Производная сложной функции.

, , ,

, , ,

, , ,

Производная сложной функции — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1.

Тема урока: «Производная сложной функции».Тема урока: «Производная
сложной функции».
Цель обучения:
находить производную сложной функции
Найдите пару (функция и ее производная)
1)
5)
1
2
x
cos x
2)
x
4
3)
1
6)
x
7)
1
x
1
2
x
4)
x
8)
x
5
12)
sin x
1
9)
2 x
10)
tgx
11)
5x
4

3. Ответ

x
1
2 x
1
1
2
x
x
cos x
sin x
x
5
5x 4

4. Производные каких функций знаем? 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8)

Производные каких функций знаем?
1)
y
2)
y (1 7 x)
3)
y cos x
4)
x
1
y
5x 3
5)
10
6)
7)
8)
y cos( 2 3x)
1
y
x
y 3x 2
y x
10
Простые
(элементарные) функции
y
x
y x
10
Сложные функции
y 3x 2
y (1 7 x)
10
y cos x
y cos( 2 3x)
1
y
x
1
y
5x 3
Жозе́ф Луи́ Лагра́нж-(1736-1813)-французский
математик , астроном и механик . Сначала Лагранж
заинтересовался филологией. Но в руки Лагранжа
случайно попал трактат по математической оптике,
и он почувствовал своё настоящее призвание.
В 1755 году Лагранж был назначен преподавателем
математики в Королевской артиллерийской школе в
Турине. В 1766 Лагранж переехал в Берлин . Здесь
он вначале руководил физико-математическим
отделением Академии наук, а позже стал
президентом Академии. агранж внёс существенный
вклад во многие области математики,
включая вариационное исчисление, теорию
дифференциальных уравнений, решение задач на
нахождение максимумов и минимумов, теорию
чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию
вероятностей. Формула конечных приращений и
несколько других теорем названы его именем.
Слайд №
6

7. Производная сложной функции

Сложная функция: y g f x .
y f 5;
Примеры: 1) y 3 x 2 x .
2
2
5
f 3 x 2 x.
y f;
y cos f ;
3) y cos 2 x .
f sin x.
3
f 2x .
3
Правило нахождения производной сложной функции
/
/
/
g f x g f f x
2) y sin x .
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Слайд №
7

8. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
(производная сложной функции равна
/
/
/
g f x g f f x производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
x
Производная
простой
функции
n
1
x
x
nx
n 1
1
2
x
Сложная функция
f
n
x
1
f x
1
2 x
f x
Слайд №
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
8

9. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
g / f x g / f f / x
Простая
функция
1
x
Производная
простой
функции
1
2
x
(производная сложной функции равна
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Сложная
функция
1
f x
Слайд №
Производная сложной функции
/
f
x
1
/
2
f x 2
f x
f x
9

10.

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИСложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
y
/
Производная сложной функции
f x
1
x
Пример:
Сложная
функция
2 x
1
2 f x
f / x
f / x
2 f x
1) y 2 x x . y f ;
f 2 x 3 x.
2x
3
3
x
4
/
1
2 2x x
3
2 x 1
3
Слайд №
/
6×2
2x 2x 1
2
3x
.
2 x 2 110

11. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Сложная функция: y g f x .
Правило нахождения производной сложной функции
сложной функции равна
g / f x g / f f / x (производная
производной основной функции
на производную внутренней функции)
Простая
функция
Производная
простой
функции
sin x
cos x
Пример:
Сложная
функция
1) y sin 2 x .
3
sin f x
Производная сложной
функции
cos f x f / x
y sin f ;
f 2x .
3 /
y sin 2 x cos 2 x 2 x 2 cos 2 x .
3
3
3
3
/
/
Слайд №
11

12. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Простая
функция
x
n
Производная
простой
функции
nx n 1
Сложная
функция
f n x
1
x
1
2
x
1
f x
x
2 x
f x
1
Слайд №
Производная сложной
функции
n f n 1 x f / x
f / x
2
f x
f / x
2 f x
12

13. Закрепление изученного материала.

Вычислите производные:
4
1) у ( x 3)
2)
3)
2
у ( х х 11)
3
3
у х2 1
Слайд №
13

14. Домашнее задание.

• Выучить алгоритм.
• Найти производную.
у ( 2 3 х)8
у 5х 2 3
у (2 х 3) 4
Слайд №
14

English     Русский Правила

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ ПРИМЕРЫ С ОТВЕТАМИ: Найти производную: алгоритм и примеры решений

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы.

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры. Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком.

Примеры решения задач с производными

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных. Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий.

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Производные высших порядков

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Что мы вычислим в первую очередь? Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем. Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения.

Геометрический смысл производной

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций. Разбираемся во вложениях этой функции. То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования. Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил:правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь. Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные.

Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная.

Но сначала будем учиться находить производные простых функций

Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция и её производная – это две разные функции! Вернемся к нашей таблице производных. Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение). Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника. В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция. Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Следующий этап — нахождение производной.

исчисление — Дифференцирование комплексной функции действительного переменного

$\begingroup$

Пусть $f:[a,b] \to \mathbb{C}$ — комплекснозначная функция вещественной переменной. Скажем, $f(t) = u(t) + i v(t)$. Затем мы определяем производную $f$ в $t \in [a,b]$ как

$$ f'(t) := u'(t) + i v'(t), $$

с односторонними производными, понимаемыми для $t \in \{a, b\}$.

{it}$.

• исчисление
• комплексный анализ

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Есть и другой подход к этому. Сначала мы можем определить пределы для комплексной функции действительной переменной:

Пусть $c$ — действительное число, а $f$ — комплексная функция вещественной переменной, заданная в некоторой вычеркнутой окрестности $c$. Другими словами, существует открытый интервал $I$ такой, что $c\in I$ и $f:I\setminus{c} \to\mathbb{C} $ — функция. Комплексное число $L$ называется пределом $f$ в $c$ (обозначается $\lim_{x\to c} f(x) =L$ или $f(x)\to L$ как $x\to c$), если для любого действительного числа $\epsilon >0$ существует соответствующее действительное число $\delta>

0$ такое, что $|f(x) — L|<\epsilon $ всякий раз, когда $0<|x-c |<\дельта$.

Далее следует производная:

Пусть $I$ — открытый интервал, $c\in I$ и $f:I\to\mathbb{C}$ — функция. Производная $f$ в точке $c$, обозначаемая $f'(c) $, определяется уравнением $$f'(c) =\lim_{h\to 0}\frac{f(c+h)- f(c)}{h}$$ и $f$ называются дифференцируемыми в $c$, если указанный выше предел существует (в приведенном выше уравнении $h$ — действительное число).

Эти определения точно такие же, как и для вещественных функций вещественной переменной. Можно легко доказать (почти очевидным образом), что приведенное выше определение производной комплексной функции действительной переменной эквивалентно определению производной, данному в вашем вопросе. В зависимости от способа определения $f$ одно из определений может быть предпочтительным/удобным для использования. Таким образом, если действительная и мнимая части $f$ легко вычисляются, то имеет смысл использовать это определение в вашем вопросе. Если действительная и мнимая части $f$ недоступны, можно использовать определение в этом ответе. Обратите внимание, что в этом сценарии действуют все обычные правила дифференцирования, и их можно с одинаковой легкостью установить, используя оба определения.

{ix} =f(x ) =\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{\cos x-i\sin x} =\cos x+i\sin x\tag{6}$$ для всех действительных значений $x $. Приравнивая действительную и мнимую части, мы получаем знакомые ряды для круговых функций, и это представляет собой доказательство этих рядов без использования теоремы Тейлора (доказательство использует свойство умножения экспоненциальных рядов, заданное в $(2)$, чтобы получить производную от $f$ и производные круговых функций, чтобы получить производную от $g$).

---

Примечание : Теорема о среднем значении неприменима к функциям с комплексными значениями действительной переменной, но результат, согласно которому «исчезновение производной означает, что функция постоянна», применим и здесь (это доказывается применением результата к действительным функциям). и мнимые части отдельно) и использовалось в приведенном выше доказательстве.

$\endgroup$

$\begingroup$

То, что мы можем рассматривать $\imath$ как реальную константу, является следствием цепного правила:

Пусть $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ голоморфна. Определите

$$g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, t \mapsto \imath \, t.$$

Тогда $g'(t) = \imath$. Следовательно, применяя цепное правило, получаем

$$\frac{d}{dt} f(\imath \, t)= \frac{d}{dt} (f \circ g)(t) = f (g(t)) \cdot g'(t) = \imath f(g(t)) = \imath f(\imath \, t)$$

На самом деле нужно показать, что цепное правило применяется в эту настройку, но доказательство аналогично доказательству цепного правила с действительными значениями.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Комплексная аналитическая функция — Викиверситет

Математика

Аналитическая функция

Тематическая классификация : это ресурс по математике.

Уровень образования : это ресурс среднего образования.

Уровень образования : это ресурс третичного (университетского) уровня.

Сложная функция — это функция, которая принимает сложный аргумент и дает сложный результат. Простейшими примерами таких функций являются обычные действительные функции, которые могут быть определены степенным рядом. Просто используйте один и тот же степенной ряд, но пусть аргумент функции будет сложным.

Если комплексная функция дифференцируема как комплексная функция (на открытом подмножестве C {\ displaystyle \ mathbb {C}}), то говорят, что она является комплексной аналитической функцией или голоморфной функцией (на этом открытом подмножестве C {\ displaystyle \ mathbb {C}}).

Дифференцируемость как комплексная функция определяется (обычным способом) как предел в точке :

е ‘(х) = limx → Xf (х) -f (Х) х-Х {\ displaystyle f ‘(x) = \ lim _ {x \ to X} {\ frac {f (x) — f(X)}{x-X}}\,}

, но определение предела эпсилон-дельта следует интерпретировать очень осторожно. Когда мы говорим, что f′(x)=D{\displaystyle f'(x)=D\,}, то есть

D = limx → Xf (x) -f (X) x-X {\ displaystyle D = \ lim _ {x \ to X} {\ frac {f (x) -f (X)} {xX} } \,}

мы имеем в виду, что для каждого реального ε> 0 {\ displaystyle \ varepsilon > 0} существует реальное δ > 0 {\ displaystyle \ delta > 0} (да, ε {\ displaystyle \ varepsilon } и δ {\ displaystyle \ delta} действительны) такие, что

всякий раз, когда x{\displaystyle x} является любым комплексным числом с 0<|x−X|<δ,{\displaystyle 0<|xX|<\delta ,\,}

|f(x)−f(X)x−X−D|<ε{\displaystyle \left|{\frac {f(x)-f(X)}{xX}}-D\right|<\ varepsilon \,}

Это выглядит точно так же, как и обычное «действительное» определение, за исключением того, что абсолютные значения берутся для комплексных чисел. (Абсолютное значение комплексного числа — это просто его модуль, то есть расстояние от начала координат. Это действительное число.)

Теперь 0<|x−X|<δ,{\displaystyle 0<|x-X|<\delta ,\,} означает, что x{\displaystyle x} может быть любым комплексным числом в пределах круга радиуса δ{\displaystyle \delta} с центром в X{\displaystyle X}. Это означает, что при взятии пределов комплексных чисел

limx→X{\displaystyle \lim _{x\to X}\,}

x{\displaystyle x} может приближаться к X{\displaystyle X} с любого направления в комплексной плоскости , а не только слева или справа, как с реальными пределами.

Это дополнительное требование к пределу, определяющему комплексную производную, накладывает серьезные ограничения на дифференцируемость. Именно это делает эти функции такими мощными. Дифференцируемая комплексная функция также называется комплексной аналитической функцией .0103 или голоморфная функция . Среди замечательных свойств таких функций:

• Если оно дифференцируемо, то его производная также дифференцируема, поэтому оно дифференцируемо любое число раз.
• В любой точке открытой области, в которой функция дифференцируема, ее степенной ряд (ряд Тейлора) относительно этой точки сходится к функции.

На самом деле это более общее «официальное» определение «аналитического» — степенной ряд сходится к функции. Этим свойством сходимости могут обладать и функции от действительных чисел — их называют «вещественными аналитическими функциями». Но есть действительные функции, которые дифференцируемы, но не являются вещественно-аналитическими, например 9{2}}\,}

Сложные функции не имеют этой проблемы. Если оно комплексно дифференцируемо, то оно комплексно-аналитическое.

• Действительные и мнимые части комплексной аналитической функции подчиняются уравнениям Коши-Римана . Если мы представим сложную функцию f (z) {\ displaystyle f (z) \,} функциями с действительными значениями u {\ displaystyle u} и v {\ displaystyle v}: f (z) = u + iv {\ displaystyle f (z) = u + iv \,}, и, кроме того, представлять их как функции двух действительных аргументов, которые являются действительной и мнимой частями z {\ displaystyle z}: f (z) = u (x, y) + iv (х, у) {\ Displaystyle е (г) = и (х, у) + iv (х, у) \,}, мы имеем:

и    ∂u∂y=-∂v∂x{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}

• Если комплексная аналитическая функция нигде в комплексной плоскости не стремится к бесконечности, даже на бесконечности, эта функция постоянна. Этот замечательный результат — теорема Лиувилля.

9{2}+1}}\,}

не является константой и не стремится к бесконечности ни при каких реальных аргументах. Но он уходит в бесконечность (у него есть полюса) в точке ± я {\ displaystyle \ pm i}.

• Комплексная аналитическая функция полностью определяется своими значениями на любом отрезке прямой в любом месте комплексной плоскости. Так, например, если мы знаем, что функция соответствует экспоненциальной функции только на реальной прямой, мы знаем ее значение везде. Эта функция является «комплексной экспонентой». Аналогичные расширения можно сделать и для других вещественно-аналитических функций. То есть существуют естественные определения комплексного синуса, арктангенса, логарифма и т. д.
• Степенной ряд для сложной аналитической функции сходится (конечно, к самой функции) внутри круга вокруг точки, в которой он вычисляется. Этот круг представляет собой круг схождения с радиусом схождения . Вне этого круга ряд расходится. Это не означает, что функция не определена за пределами этого круга, просто эта конкретная серия не работает. Обычно можно расширить степенной ряд вокруг какой-либо другой точки, чтобы получить значение функции в другом месте. это называется 9{i\pi }=-1\,}

  §1.9 Вычисление комплексной переменной ‣ Площади ‣ Глава 1 Алгебраические и аналитические методы

  Содержимое

  1. §1.9(i) Комплексные числа
  2. §1.9(ii) Непрерывность, наборы точек и дифференцирование
  3. §1.9(iii) Интеграция
  4. §1.9(iv) Конформное отображение
  5. §1.9(v) Бесконечные последовательности и серии
  6. §1.9(vi) Серия Power
  7. §1.9(vii) Инверсия пределов

  §1.9(i) Комплексные числа

  1.9.1		z=x+i⁢y,
  х,уеℝ,

  такие, что i2=−1.

  Действительные и мнимые части

  1.9.2		ℜ⁡z	= х,
  		ℑ⁡z	=г.

  Полярное представительство

  1.9.3		х	=r⁢cos⁡θ,
  		и	=r⁢sin⁡θ,

  где

  1.9.4		г=(х2+у2)1/2,

  и когда z≠0,

  1.9.5		θ=ω,π−ω,−π+ω или −ω,

  в зависимости от того, как z лежит в 1-м, 2-м, 3-м или 4-м квадрантах. Здесь

  1.9.6		ω=arctan⁡(|y/x|)∈[0,12⁢π].

  Модуль и фаза

  1.9.7		|з|	= г,
  		ф.⁡z	=θ+2⁢n⁢π,
  	n∈ℤ.

  Основная стоимость ph⁡z соответствует n=0, то есть −π≤ph⁡z≤π. Это однозначно на ℂ∖{0}, за исключением интервала (−∞,0), где оно разрывно и двузначно. Если не указано иное в противном случае , эти основные значения предполагаются повсюду. ДЛМФ. (Однако, если мы требуют, чтобы главное значение было однозначным, тогда мы можем ограничить −π

  1.9.8		|ℜ⁡z|	≤|z|,
  		|ℑ⁡z|	≤|z|,

  1. 9.9		z=r⁢ei⁢θ,

  где

  1.9.10		ei⁢θ=cos⁡θ+i⁢sin⁡θ;

  см. §4.14.

  Комплексное сопряжение

  1,9.11		з¯	=x−i⁢y,
  1.9.12		|з¯|	=|г|,
  1.9.13		фаз⁡z¯	=-ph⁡z.

  Арифметические операции

  Если z1=x1+i⁢y1, z2=x2+i⁢y2, то

  1.9.14		z1±z2=x1±x2+i⁢(y1±y2),

  1. 9.15		z1⁢z2=x1⁢x2−y1⁢y2+i⁢(x1⁢y2+x2⁢y1),

  1.9.16		z1z2=z1⁢z¯2|z2|2=x1⁢x2+y1⁢y2+i⁢(x2⁢y1−x1⁢y2)x22+y22,

  при условии, что z2≠0. Также

  1.9.17		|z1⁢z2|=|z1|⁢|z2|,

  1.9.18		ф⁡(z1⁢z2)=ф⁡z1+ph⁡z2,

  1.9.19		|z1z2|=|z1||z2|,

  1.9.20		ф⁡z1z2=ф⁡z1−ф⁡z2.

  Уравнения (1. 9.18) и (1.9.20) справедливы для общего значения фаз, но не обязательно для главных значений.

  Пауэрс

  1.9.21		zn=(xn−(n2)⁢xn−2⁢y2+(n4)⁢xn−4⁢y4−⋯)+i⁢((n1)⁢xn−1⁢y−(n3)⁢xn−3⁢y3+ ⋯),
  n=1,2,….

  Теорема Де Муавра

  1.9.22		cos⁡n⁢θ+i⁢sin⁡n⁢θ=(cos⁡θ+i⁢sin⁡θ)n,
  n∈ℤ.

  Неравенство треугольника

  1.9.23		||z1|−|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

  §1.9(ii) Непрерывность, наборы точек и дифференциация 90 343

  Непрерывность

  Функция f⁡(z) является непрерывной в точке z0, если limz→z0⁡f⁡(z)=f⁡(z0). То есть при любом положительном числе ϵ, каким бы малым оно ни было, мы можем найти положительное число δ такое, что |f⁡(z)−f⁡(z0)|<ϵ для всех z в открытом круге |z−z0|<δ.

  Функция двух комплексных переменных f⁡(z,w) является непрерывной в (z0,w0), если lim(z,w)→(z0,w0)⁡f⁡(z,w)=f⁡(z0,w0); сравнивать (1.5.1) и (1.5.2).

  Наборы наконечников в ℂ

  окрестность точки z0 есть круг |z−z0|<δ. Ан открытое множество в ℂ — это множество, в котором каждая точка имеет окрестность что содержится в наборе.

  Точка z0 является предельной точкой ( предельной точкой или точка накопления ) набора точек S в ℂ (или ℂ∪∞), если в каждой окрестности z0 есть точка S отличное от z0. (z0 может принадлежать или не принадлежать S.) Как следствие, каждая окрестность предельной точки S содержит бесконечное число точки С. Кроме того, объединение S и его предельных точек есть закрытие С.

  Домен D, скажем, представляет собой открытое множество в ℂ, состоящее из 90 509, соединенных с 90 510, то есть любые две точки можно соединить ломаной (конечной цепочкой прямолинейные отрезки), лежащие в множестве. Любая точка, окрестности которой всегда содержать членов и не членов D является граничной точкой области D. Когда ее граничные точки добавляются, область называется закрытый , но если не указано иное, предполагается, что домен открыт.

  Регион является открытым доменом вместе с отсутствием, некоторыми или всеми его граничные точки. Точки области, не являющиеся граничными точками, называются внутренних точек .

  Функция f⁡(z) непрерывна в области R, если для каждой точки z0 в R и для любого заданного числа ϵ (> 0) мы можем найти окрестность z0 такое, что |f⁡(z)−f⁡(z0)|<ϵ для всех точек z в пересечение микрорайона с р.

  Дифференциация

  Функция f⁡(z) равна дифференцируемый в точке z, если выполняется следующее ограничение существует:

  1.9.24		f′⁡(z)=dfdz=limh→0⁡f⁡(z+h)−f⁡(z)h.

  Дифференцируемость автоматически подразумевает непрерывность.

  Уравнения Коши–Римана

  Если f′⁡(z) существует в точке z=x+i⁢y и f⁡(z)=u⁡(x,y)+i⁢v⁡(x,y), то

  1.9.25		∂⁡у∂⁡х	=∂⁡v∂⁡у,
  		∂⁡у∂⁡у	=-∂⁡v∂⁡x

  в (х, у).

  И наоборот, если в данной точке (x,y) частные производные ∂⁡u/∂⁡x, ∂⁡u/∂⁡y, ∂⁡v/∂⁡x и ∂⁡v/∂⁡y существуют, непрерывны и удовлетворяют (1.9.25), то f⁡(z) дифференцируемый при z=x+i⁢y.

  Аналитичность

  Говорят, что функция f⁡(z) является аналитической ( голоморфной ) в z=z0, если оно дифференцируемо в окрестности z0.

  Функция f⁡(z) является аналитической в ​​области D, если она аналитическая в каждой точке D. Функция, аналитическая в каждой точке ℂ считается целых .

  Если функция f⁡(z) аналитична в открытой области D, то каждая ее производная f′⁡(z), f′′⁡(z), … существует и является аналитическим в D.

  Гармонические функции

  Если f⁡(z)=u⁡(x,y)+i⁢v⁡(x,y) аналитична в открытой области D, то u и v являются гармоника в D, то есть

  1.9.26		∂2⁡u∂⁡x2+∂2⁡u∂⁡y2=∂2⁡v∂⁡x2+∂2⁡v∂⁡y2=0,

  или в полярной форме ((1.9.3)) u и v удовлетворяют

  1.9.27		∂2⁡u∂⁡r2+1r⁢∂⁡u∂⁡r+1r2⁢∂2⁡u∂⁡θ2=0

  во всех точках д.

  §1.9(iii) Интеграция

  Дуга C задается формулой z⁡(t)=x⁡(t)+i⁢y⁡(t), a≤t≤b, где x и y непрерывно дифференцируемы. Если x⁡(t) и y⁡(t) непрерывны, а x′⁡(t) и y′⁡(t) кусочно-непрерывны, то z⁡(t) определяет контур .

  Контур является простым , если он не содержит кратных точек, то есть для каждая пара различных значений t1,t2 t, z⁡(t1)≠z⁡(t2). А простой замкнутый контур является простым контуром, за исключением того, что z⁡(a)=z⁡(b).

  Далее,

  1.9.28		∫Cf⁡(z)⁢dz=∫abf⁡(z⁡(t))⁢(x′⁡(t)+i⁢y′⁡(t))⁢dt,

  для контура C и непрерывности f⁡(z⁡(t)) a≤t≤b. Если f⁡(z⁡(t0))=∞, a≤t0≤b, то интеграл определяется аналогично бесконечные интегралы в §1.4(v). Аналогично, когда a=−∞ или б=+∞.

  Теорема Жордана о кривой

  Любой простой замкнутый контур C делит ℂ на две открытые области, которые имеют C в качестве общей границы. Одна из этих областей ограничена и называется внутренний домен C; другой неограничен и называется внешний домен C.

  Теорема Коши

  Если f⁡(z) непрерывна внутри и на простом замкнутом контуре C и аналитическая внутри C, то

  1.9.29		∫Cf⁡(z)⁢dz=0.

  Интегральная формула Коши

  Если f⁡(z) непрерывна внутри и на простом замкнутом контуре C и аналитическая внутри C, а если z0 — точка внутри C, то

  1,9,30		f⁡(z0)=12⁢π⁢i⁢∫Cf⁡(z)z−z0⁢dz,

  и

  1. 9.31		f(n)⁡(z0)=n!2⁢π⁢i⁢∫Cf⁡(z)(z−z0)n+1⁢dz,
  n=1,2,3,…,

  при условии, что в обоих случаях C описан в положительном вращательном (против часовой стрелки) смысл.

  Теорема Лиувилля

  Любая ограниченная целая функция является константой.

  Номер обмотки

  Если C замкнутый контур и z0∉C, то

  1.9.32		12⁢π⁢i⁢∫C1z−z0⁢dz=𝒩⁡(C,z0),

  где 𝒩⁡(C,z0) — целое число, называемое числом витков C по отношению к z0 . Если C прост и ориентирован в положительную сторону в смысле вращения, то 𝒩⁡(C,z0) равно 1 или 0 в зависимости от того, z0 находится внутри или снаружи C.

  Свойство среднего значения

  Для гармоники u⁡(z),

  1.9.33		u⁡(z)=12⁢π⁢∫02⁢πu⁡(z+r⁢ei⁢ϕ)⁢dϕ.

  Интеграл Пуассона

  Если h⁡(w) непрерывно на |w|=R, то при z=r⁢ei⁢θ

  1.9.34		u⁡(r⁢ei⁢θ)=12⁢π⁢∫02⁢π(R2−r2)⁢h⁡(R⁢ei⁢ϕ)⁢dϕR2−2⁢R⁢r⁢cos⁡(ϕ−θ) +r2

  является гармоникой |z|

  §1.9(iv) Конформное отображение

  Удлиненный сложный самолет , ℂ∪{∞}, состоит из точек комплексной плоскости ℂ вместе с идеальной точкой ∞, называемой точка на бесконечность . Система из 90 509 открытых дисков вокруг бесконечности 90 510 задается формулой

  1.9.35		Sr={z∣|z|>1/r}∪{∞},
  0

  Каждый Sr является районом ∞. Также,

  1.9.36		∞±z=z±∞=∞,

  1.9.37		∞⋅z=z⋅∞=∞,
  г≠0,

  1.9.38		г/∞=0,

  1.9.39		г/0=∞,
  г≠0.

  Функция f⁡(z) является аналитической на ∞, если g⁡(z)=f⁡(1/z) является аналитической при z=0, и мы полагаем f′⁡(∞)=g′⁡(0).

  Конформное преобразование

  Предположим, что f⁡(z) аналитична в области D и C1,C2 — две дуги в D проходящей через z0. Пусть C1′,C2′ — образы C1 и C2 при отображение w=f⁡(z). Угол между C1 и C2 при z0 — угол между касательными к двум дугам в точке z0, т. е. разность углов со знаком, которые касательные составляют с положительной направление реальной оси. Если f′⁡(z0)≠0, то угол между C1 а C2 равен углу между C1′ и C2′ как по модулю, так и по смысл. Тогда мы говорим, что отображение w=f⁡(z) есть конформный (с сохранением угла) в точке z0.

  Линейное преобразование f⁡(z)=a⁢z+b, a≠0, имеет f′⁡(z)=a и w=f⁡(z) отображает ℂ конформно на ℂ.

  Билинейное преобразование

  1.9.40		ш=f⁡(z)=a⁢z+bc⁢z+d,
  а⁢d−b⁢c≠0, c≠0.

  1.9.41		f⁡(-d/c)	=∞,
  		ф⁡(∞)	=а/с.

  1. 9.42		f′⁡(z)=a⁢d−b⁢c(c⁢z+d)2,
  z≠−d/c.

  1.9.43		f′⁡(∞)=b⁢c−a⁢dc2.

  1.9.44		z=d⁢w−b−c⁢w+a.

  Преобразование (1.9.40) является взаимно однозначным конформным отображением ℂ∪{∞} на себя.

  Кросс-коэффициент z1,z2,z3,z4∈ℂ∪{∞} определяется как

  1.9.45		(z1−z2)⁢(z3−z4)(z1−z4)⁢(z3−z2),

  или его предельная форма и инвариантна относительно билинейных преобразований.

  Другие имена для билинейного преобразования: дробно-линейный преобразование , гомографическое преобразование и Мёбиуса трансформация .

  §1.9(v) Бесконечные последовательности и серии

  Последовательность {zn} сходится к z, если limn→∞⁡zn=z. Для zn=xn+i⁢yn последовательность {zn} сходится тогда и только тогда, когда последовательности {xn} и {yn} отдельно сходятся. Ряд ∑n=0∞zn сходится если последовательность sn=∑k=0nzk сходится. Серия расходится если sn не сходится. Ряд сходится абсолютно , если ∑n=0∞|zn| сходится. Серия ∑n=0∞zn сходится (расходится) абсолютно, когда limn→∞⁡|zn|1/n<1 (>1), или когда limn→∞⁡|zn+1/zn|<1 (>1). Абсолютно сходящиеся ряды также сходятся.

  Пусть {fn⁡(z)} — последовательность функций, определенных на множестве S. Это последовательность сходится поточечно функции f⁡(z), если

  1.9.46		f⁡(z)=limn→∞⁡fn⁡(z)

  для каждого z∈S. Последовательность сходится равномерно на S, если для каждого ϵ>0 существует целое число N, не зависящее от z такое, что

  1,9,47		|fn⁡(z)−f⁡(z)|<ϵ

  для всех z∈S и n≥N.

  Серия А ∑n=0∞fn⁡(z) сходится равномерно на S, если последовательность sn⁡(z)=∑k=0nfk⁡(z) сходится равномерно на S.

  М-тест Вейерштрасса

  Предположим, {Mn} — последовательность действительных чисел, такая что ∑n=0∞Mn сходится и |fn⁡(z)|≤Mn для всех z∈S и все n≥0. Тогда ряд ∑n=0∞fn⁡(z) сходится равномерно на с.

  Дважды бесконечный ряд ∑n=−∞∞fn⁡(z) сходится (равномерно) на S тогда и только тогда, когда каждый из ряд ∑n=0∞fn⁡(z) и ∑n=1∞f−n⁡(z) сходится (равномерно) на С.

  §1.9(vi) Power Series

  Для ряда ∑n=0∞an⁢(z−z0)n существует число R, 0≤R≤∞, такое, что ряд сходится для всех z из |z−z0|R. Окружность |z−z0|=R называется круг схождения ряда, а R — радиус сходимости . Внутри круга сумма ряда является аналитической функцией f⁡(z). Для г в |z−z0|≤ρ (

  1.9.48		ан=f(n)⁡(z0)n!,

  и

  1. 9.49		R=lim infn→∞⁡|an|−1/n.

  Обратное этому результату см. в §1.10(i).

  Операции

  Когда ∑an⁢zn и ∑bn⁢zn сходятся

  1.9.50		∑n=0∞(an±bn)⁢zn=∑n=0∞an⁢zn±∑n=0∞bn⁢zn,

  и

  1.9.51		(∑n=0∞an⁢zn)⁢(∑n=0∞bn⁢zn)=∑n=0∞cn⁢zn,

  где

  1.9.52		сп=∑k=0nak⁢bn−k.

  Далее пусть

  1.9.53		f⁡(z)=a0+a1⁢z+a2⁢z2+⋯,
  а0≠0.

  Тогда разложения (1. 9.54), (1.9.57) и (1.9.60) справедливы для всех достаточно малых |z|.

  1.9.54		1f⁡(z)=b0+b1⁢z+b2⁢z2+⋯,

  где

  1.9.55		б0	=1/а0,
  		б1	=-a1/a02,
  		б2	= (a12−a0⁢a2)/a03,

  1.9.56		bn=-(a1⁢bn−1+a2⁢bn−2+⋯+an⁢b0)/a0,
  n≥1.

  При а0=1,

  1,9,57		ln⁡f⁡(z)=q1⁢z+q2⁢z2+q3⁢z3+⋯,

  (основная стоимость), где

  1. 9.58		Q1	=а1,
  		кв2	=(2⁢a2−a12)/2,
  		кв3	= (3⁢a3−3⁢a1⁢a2+a13)/3,

  и

  1.9.59		qn=(n⁢an−(n−1)⁢a1⁢qn−1−(n−2)⁢a2⁢qn−2−⋯−an−1⁢q1)/n,
  n≥2.

  Также

  1.9.60		(f⁡(z))ν=p0+p1⁢z+p2⁢z2+⋯,

  (главное значение), где ν∈ℂ,

  1.9.61		р0	=1,
  		стр.1	=ν⁢a1,
  		стр.2	=ν⁢((ν−1)⁢a12+2⁢a2)/2,

  и

  1. 9.62		pn=((ν−n+1)⁢a1⁢pn−1+(2⁢ν−n+2)⁢a2⁢pn−2+⋯+((n−1)⁢ν−1)⁢an− 1⁢p1+n⁢ν⁢an)/n,
  n≥1.

  Для определения главных значений ln⁡f⁡(z) и (f⁡(z))ν см. §§4.2(i) и 4.2(iv).

  Наконец, степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз в пределах его круг схождения:

  1.9.63		f(m)⁡(z)=∑n=0∞(n+1)m⁢an+m⁢(z−z0)n,
  |z−z0|

  §1.9(vii) Инверсия пределов

  Двойные последовательности и серии

  Набор комплексных чисел {zm,n}, где m и n принимают все положительные целочисленные значения называются двойной последовательностью . сходится к z если для каждого ϵ>0 существует целое число N такое, что

  1,9,64		|zm,n−z|<ϵ

  для всех m,n≥N. Предположим, что {zm,n} сходится к z и повторяющееся пределы

  1.9.65		лимм→∞⁡(лимн→∞⁡zm,n),
  		limn→∞⁡(limm→∞⁡zm,n)

  есть. Тогда оба повторяющихся предела равны z.

  A двойная серия является пределом двойной последовательности

  1.9.66		zp,q=∑m=0p∑n=0qζm,n.

  Если предел существует, то двойной ряд равен сходящийся ; иначе это расходится с . Двойной ряд абсолютно сходится , если он сходится при замене ζm,n на |ζm,n|.

  Если двойной ряд абсолютно сходится, то он также сходится и его сумма дается любой из повторяющихся сумм

  1.9.67		∑m=0∞(∑n=0∞ζm,n),
  		∑n=0∞(∑m=0∞ζm,n). No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт