Как найти длину вектора в прямоугольнике: Найдите длину вектора а (-10,24)

как доказать, какие нужны условия, примеры задач для 9 класса

Что такое равенство двух векторов в геометрии 

Основными характеристиками вектора в пространстве и на плоскости являются его длина и направление, и именно на этом основано определение равенства векторов.

Для начала введем понятие коллинеарности.

Определение 1

Коллинеарность — характеристика взаиморасположения ненулевых векторов. Векторы коллинеарны, если расположены на одной прямой или параллельных прямых. Коллинеарные векторы допустимо называть параллельными.

Из определения нулевого вектора (вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают, и длина равна нулю) ясно, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Если направления коллинеарных векторов совпадают, то их называют сонаправленными и обозначают b→↑↑d→, если нет — противоположно направленными и обозначают b→↑↓d→.

Определение 2

Равными считают те векторы, длины которых равны, а направления совпадают.

Понятие, признаки, какие нужны условия

Понятие равенства векторов применяется не только в геометрии, но и в алгебре, и особенно часто в физике, где действующие на тела сила представляют в векторном виде.

Необходимые признаки следуют из определения равных векторов. Итак, векторы равны, если:

• их модули или координаты равны;
• они сонаправлены.

Остановимся подробнее на первом признаке. Модуль — длина вектора обозначается как \left|\overrightarrow b\right|. Формула для вычисления длины вектора на плоскости имеет вид:

Формула 

b→=x2+y2

Под корнем находится сумма координат вектора, то есть векторы равны, если доказано либо равенство их модулей, либо координат.

Необходимым условием равенства векторов является сочетание двух признаков: векторы должны быть сонаправлены, а их длины равными.

Отметим, что наличие только одного из признаков не делает векторы равными. Так, противоположно направленные векторы с одинаковыми длинами не равны. Сонаправленные векторы с отличными по величине модулями также нельзя назвать равными.

Доказательство теоремы, формулы

Теорема 

Равные векторы обладают следующими свойствами:

1. Вектор равен самому себе.
2. Для равных векторов справедливо тождество: b→=d→⇔d→=b→.
3. Если векторы равны третьему, то они равны друг другу.

 Доказательство. Первые два свойства прямо следуют из определения равенства векторов. Докажем третье свойство. Для этого воспользуемся правилом параллельного переноса. Пусть имеются три вектора, при этом b→=d→ и f→=d→. Начальную и конечную граничные точки f→ совместим с соответствующими граничными точками d→. Так как f→=d→, векторы совпадут. По условию b→=d→, а если f→ и d→ совпали, то b→=f→. Теорема доказана.

Кратко остановимся на используемых для решения задач формулы математических операций с векторами:

1. Умножение b→ на число k: d→=k·b→.
2. Сложение и вычитание векторов производят по методу треугольника.
   

Примеры задач для 9 класса

Задача 1

Дано: d→=b→. Известны координаты вектора b→ (2; 21) и одна координата вектора d→ (3; y). Найти координату y d→.

Решение

По условию задачи векторы равны, а значит, равных их модули. Составим уравнение с неизвестной переменной — y.

22+(21)2=32+y2

Откуда: 25=9+y2⇒y=4.

Ответ: d→ (3; 4).

Задача 2

Дано: два вектора MN→ и KL→ такие, что MN=KL. По точкам M и L построен отрезок ML, по точкам N и K — NK. Доказать, что середины ML и NK совпадают.

Решение.

Сделаем рисунок по условию задачи.

Видно, что MNLK — параллелограмм. Тогда ML и NK являются диагоналями MNLK. По свойству параллелограмма, точка пересечения диагоналей делит их пополам. То есть середина ML совпадет с серединой NK, что и требовалось доказать.

Задача 3

Дано: прямоугольник KLMN. Известны длины сторон: KL=6; LM=8. На отрезке KL обозначена точка O, при этом KO=OL. Найти длину NO→.

Решение

Прямоугольник — частный случай параллелограмма, то есть его противоположные стороны равны. Длину NO→ найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника NKO.

NO→=KO2+NK2=KL22+LM2=9+64=73

Ответ: NO→=73.

Задача 4

Определить форму фигуры, заданной точками H, D, F, G, если имеется свободно расположенная на плоскости точка O такая, что OF→-OD→=OG→-OH→.

Решение.

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить чертеж по известным условиям. Обозначим точку О, теперь проведем из точки OF→ и OD→. По методу треугольника построим вектор DF→, равный разности OF→ и OD→. Затем из точки О также проведем векторы OH→, OG→ и результирующий HG→. Получили четырехугольник. HDFG. По условию противоположные стороны DF и HG равны, значит, HDFG — параллелограмм.

Ответ: параллелограмм.

Векторы – онлайн-тренажер для подготовки к ЕНТ, итоговой аттестации и ВОУД

Запомнить

Восстановить пароль

Регистрация

Вопросы

1. Найдите вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный вектору \(\vec{b} (5; 3)\), если их длины равны.

2. Найдите вектор \(\vec{a}\), перпендикулярный вектору \(\vec{b} (5; 3)\), если их длины равны.

3. Определите координаты единичного вектора, сонаправленного с вектором \(\vec{p}(-\sqrt3;1)\).

4. Найдите сумму ветров \(\vec{a}\) {1; – 2} и \(\vec{в}\) {2; – 2}. Найдите длину вектора суммы \(\vec{c}\)

5. В равнобедренной трапеции АВСD укажите пары коллинеарных векторов.

6. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{c}\)  и \(\vec{d}\), если известно, что \(\mid\vec{c}\mid\) = 5, \(\mid\vec{d}\mid\) = 8, а угол между ними равен 60°

7. Даны векторы \(\vec{a}\) {3; 4} и \(\vec{в}\) {– 3; 3}. Найдите угол между ними, если скалярное произведение равно 7,5\(\sqrt6\).

8. Вычислите скалярное произведение векторов, если \(\vec{a}\) {– 4; – 3}, \(\vec{в}\) {1; 0}, а угол между ними равен 30°.

9. Даны векторы \(\vec{a}\) {1; 6} и \(\vec{в}\) {– 5; 7}. Найдите координаты вектора \(\vec{с}=2\vec{а}+\vec{в}\).

10. Даны точки А(2;–1), С(3;4). Найдите абсолютную величину вектора АС.

11. \(\mid\vec{a}\mid\)= 1, \(\mid\vec{в}\mid\)= 6, a cos\(\alpha\) = \(\frac 13\). Найдите скалярное произведение данных векторов.

12. Найдите значение m, при котором векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{в}\) перпендикулярны, если \(\vec{a}\) {m; – 8} и \(\vec{в}\) {4; 3}

13. Даны точки А (3;8), В (–7;5), С (k; 11). Найдите значение k, при котором \(\vec{BA}\) \(\bot\)\(\vec{CB}\).

14. Найдите координаты вектора \(\vec{c}=\vec{a}-3\vec{b}\), если \(\vec{a}\) {3; 2}, \(\vec{b}\) {– 3; 1}

15. Вычислите скалярное произведение векторов, если \(\mid\vec{a}\mid\) = 2, \(\mid\vec{b}\mid\) = 3 и угол между ними равен 135°

16. Дан треугольник ABC. Выразите через векторы \(\vec{a}\) = \(\vec{AB}\)  и \(\vec{b}\) = \(\vec{AC}\) вектор \(\vec{CB}\)

17. Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) (2; 0) и \(\vec{b}\) (– 2 ; 2)

18. Даны векторы \(\vec{a}\) (2; 3), \(\vec{b}\) (–1; 0). Найдите сумму векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

19. Материальная точка переместилась на 3 метра под воздействием постоянной силы в 5 ньютонов, направленной под углом 45 градусов по отношению к оси перемещения. Найдите работу этой силы.

20. Найдите скалярное произведение векторов  \(\vec{a}(-1;3), \vec{b}(-7;5).\)

21. Сколько разных векторов определяют стороны параллелограмма?

22. \(\vec{|a|}=7, \vec{|b|}=6,\) а угол между векторами   \(\vec a\) и \(\vec b\)  равен 120°. Найдите скалярное произведение \(\vec a\cdot (\vec a+\vec b).\)
     

23. Даны векторы \(\vec a(3;4),\ \vec b(k;2). \) При каком значении \(k\) эти векторы взаимно перпендикулярны?
     

24.  

    В прямоугольном треугольнике ABC C = 90°,сторона AC равна 6 см, сторона BC равна 8 см. Найдите AC+BC.

25. При каких значениях числа х векторы \( \vec a(x; 3) \ и \ \vec b(2; 7)\) коллинеарны?

26. Даны векторы  \(\vec a\{1;6 \}\), \(\vec b\{5;7 \}\). Найдите скалярное произведение векторов

27. Диагонали ромба \(ABCD \) равны 10 и 14. Найдите длину вектора  \(\vec{AB}-\vec {AD}\) .

28. Даны векторы \(\vec{а}\) {2; 1,5} и \(\vec{в}\) {3; – 1}, \(\vec{с}\) {4,4; 3,3}.

    Найдите пары коллинеарных векторов.

29. Даны \(\vec{a}\)( – 1; 2), \(\vec{b}\)(0; 5). Найдите \(\vec{c} = 2\vec{a} – \vec{b}\).

30. Даны \(\vec{а}\)( – 4; 3), \(\vec{в}\)(0; 1). Найдите скалярное произведение данных векторов.

31. Найдите значение k, при котором векторы \(\vecа\) (– 2; 1) и \(\vecв\) (9; k) перпендикулярны.

32. Даны \(\vecа\)(1; 4) и \(\vecв\)(– 3; 2). Найдите значение k, при котором вектор \(\vecа+\vec{kв}\) перпендикулярен \(\vecа\).

33. Даны векторы \(\vec{а}\) {3; 2}, \(\vec{в}\){2; – 1}, \(\vec{c}\) {7; 3}, \(\vec{d}\) {4; – 2}. \circ\).

34. Даны точки А(3; 8), В( – 7; 5), С(n; 11). Найдите значение n, при котором векторы АВ и АС перпендикулярны.

35. Даны \(\vec{a}\)(– 3; 2) и \(\vec{c}\)(1; 4). Найдите значение k, при котором вектор \(\vec{a} + \vec{kc}\)  перпендикулярен \(\vec{c}\).

36. Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) (– 7; 3)и \(\vec b\)(– 1; 5).

37. Сколько пар равных векторов определяют вершины квадрата?

38. \(\mid \vec{a}\mid=7; \ \mid\vec{b}\mid=6\), угол между векторами равен 60°. Найдите скалярное произведение \(\vec{a}\cdot(\vec{a}+\vec{b})\).

39. Даны векторы \(\vec a\)(1; 0), \(\vec b\)(1; 1). При каком значении\(\lambda \) вектор \(\vec{a}+λ\vec{b}\) перпендикулярен вектору \(\vec{b}\)?

40. В треугольнике FGH точки M и N – середины сторон FG и GH соответственно. Выразите вектор \(\vec{MH}\) через векторы \(\vec{m}=\vec{GM}, \vec{n}=\vec{GN}\).

41. При каких значениях числа х векторы \(\vec a\)(7; 3), \(\vec b\)(x; 2) являются коллинеарными?

42. Вычислите скалярное произведение векторов, если \(\mid\vec{a}\mid=4,5,\ \mid\vec{b}\mid=6\), а угол между ними равен 60°.

43. Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину суммы векторов \(\vec{AO}\) и \(\vec{DO}\).

44. Угол между векторами \(\vec a\) (2; 4) и \(\vec b\) (3; 1) равен

45. Найдите сумму векторов \(\vec{AB}-\vec{FH}+\vec{EH}-\vec{CB}+\vec{CE}\).

46. Найдите угол между векторами \(\vec a\) ( – 1; 2) и  \(\vec b\) (3; – 1).

47. При каких значениях x векторы \(\vec a\) (x; 3) и  \(\vec b\) (2; 7) ортогональны (перпендикулярны)?

48. Даны векторы \(\vec{a}\) {2; – 1}, \(\vec{b}\) {– 3; 7}.  Найдите их скалярное произведение.

49. Угол между векторами \(\vec a\) (1,2; 1,8), \(\vec{b}\) (0,2; 0,3)

50. Сторона равностороннего треугольника KLM равна a. Найдите \(|\vec{KL}+\vec{KM}|\).

51. Укажите правильное разложение вектора \(\vec d\) (– 4; 2) по координатным векторам \(\vec i\) и  \(\vec j\).

52. Дан треугольник с вершинами в точках A (1; 1), B (– 4; 3), C (2; 2).Найдите длину медианы АК.

53. Найдите координаты вектора \(\vec{PQ}\), если P (1; – 3) и Q (3; – 1).

54. При каких значениях числа х векторы \(\vec a\) (7; 3), \(\vec b\)(x; 2) ортогональны (перпендикулярны)?

55. Вычислите скалярное произведение векторов, если \(\mid\vec{a}\mid=2,5,\mid\vec{b}\mid=7\), a угол между ними равен 30°.

56. Найдите длину разности векторов \(\vec{AO}\) и \(\vec{DO}\), если в прямоугольнике ABCD стороны AB и AD равны 3 и 4 см соответственно, а диагонали пересекаются в точке О

Сообщить об ошибке

Видео-вопрос: Использование векторов для определения площади прямоугольника по его вершинам

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴(−6, −7), 𝐵(0, 2), 𝐶(6, −2) и 𝐷(0, − 11). Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Стенограмма видео

Прямоугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 имеет вершины 𝐴 минус шесть, минус семь; 𝐵 ноль, два; 𝐶 шесть, минус два; и 𝐷 ноль, отрицательный 11. Используйте векторы, чтобы определить его площадь.

Начнем с рисования прямоугольника на координатной сетке. Точка 𝐴 имеет координаты минус шесть, минус семь. Точка 𝐵 имеет координаты ноль, два. Точка 𝐶 равна шести, минус два. И, наконец, точка 𝐷 имеет координаты ноль, минус 11. Нас просят вычислить площадь прямоугольника с помощью векторов. Мы знаем, что площадь любого параллелограмма равна величине векторного произведения векторов 𝐚 и 𝐛, где вектор 𝐚 и вектор 𝐛 — стороны параллелограмма. Величина векторного произведения любых двух векторов равна величине вектора 𝐚, умноженной на величину вектора 𝐛, умноженной на величину греха 𝜃, где 𝜃 — угол между двумя векторами.

Мы знаем, что прямоугольник — это особый вид параллелограмма, в котором четыре угла равны 90 градусам. Таким образом, площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 равна величине векторного произведения вектора 𝚨𝚩 и вектора 𝚨𝐃. Это, в свою очередь, равно величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃, умноженной на величину греха 𝜃. 𝜃 равно 90 градусам, а мы знаем, что грех 90 градусов равен единице. Таким образом, площадь прямоугольника равна величине вектора 𝚨𝚩, умноженной на величину вектора 𝚨𝐃. Теперь мы освободим место, чтобы мы могли вычислить эти два значения.

Компоненты вектора 𝚨𝚩 будут равны нулю минус минус шесть и два минус минус семь. Ноль минус минус шесть равно шести, а два минус минус семь равно девяти. Следовательно, вектор 𝚨𝚩 равен шести, девяти. Мы можем найти величину любого вектора, найдя сумму квадратов каждого из компонентов, а затем извлекая из ответа квадратный корень. Шесть в квадрате равно 36, а девять в квадрате равно 81. Следовательно, величина вектора 𝚨𝚩 равна квадратному корню из 117. Это упрощает до корня из трех 13.

Теперь мы можем повторить этот процесс для вектора 𝚨𝐃. Это будет иметь 𝑥-компоненту, равную нулю минус минус шесть, и 𝑦-компоненту, равную минус 11 минус минус семь. Это равно шести, минус четыре. Таким образом, величина вектора 𝚨𝐃 равна квадратному корню из шести в квадрате плюс минус четыре в квадрате. Поскольку шесть в квадрате равно 36, а минус четыре в квадрате равен 16, у нас остается квадратный корень из 52. Это упрощается до двух корней из 13. Подстановка этих значений в наше уравнение дает нам три корня из 13, умноженные на два корня из 13. Три, умноженное на два, равно шести, а корень 13, умноженный на корень 13, равен 13. Это дает нам шесть, умноженное на 13, что равно 78. Площадь прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 составляет 78 единиц площади.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Измерение влечет за собой процессы измерения и всех расчетов, относящихся к различным геометрическим формам, происходящие в математической теории, а также в нашей повседневной жизни. Изучение всех геометрических фигур подпадает под сферу измерения. Геометрические формы, такие как треугольники, прямоугольники, четырехугольники, круг и т. д. Здесь прямоугольник обсуждается ниже,

Прямоугольник

Прямоугольник определяется как тип четырехугольника, противоположные стороны которого всегда параллельны и равны по длине. Соседние стороны пересекаются друг с другом под прямым углом. Как и у всех других четырехугольников, сумма всех четырех углов прямоугольника также равна 360°. Прямоугольник — это двумерная фигура, которая имеет только две пропорции длины и ширины, представленные каждой парой четырех сторон.

На приведенном выше рисунке изображен прямоугольник ABDC, где сторона AB параллельна стороне CD, а сторона AC параллельна стороне BD. Здесь AB и CD обозначают длину прямоугольника, а AC и BD — ширину. Сумма всех четырех прямых углов равна 360°.

Периметр прямоугольника

Периметр двумерной геометрической фигуры представляет собой сумму длин всех его сторон. Итак, периметр прямоугольника ABDC будет равен:

AB + AC + CD + BD

= l + b + l + b

= 2l + 2b

= 2(l + b).

Следовательно, периметр прямоугольника в два раза больше суммы его длины и ширины.

Как найти длину прямоугольника, периметр и ширина которого заданы?

Решение:

Пусть данный периметр равен P единицам, а ширина равна x единицам. Пусть длина обозначается l.

Поскольку Периметр прямоугольника = 2(l + b)

⇒ P = 2l + 2b

⇒ 2l = P – 2b

⇒ l =

Приведенную выше формулу можно использовать для нахождения длины прямоугольника, периметр и ширина которого заданы.

Аналогичные задачи

Вопрос 1: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 50 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 50 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 30/2

⇒ l = 15 см

Вопрос 2: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 5 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 60 см и B = 5 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 50/2

⇒ l = 25 см

Вопрос 3: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 20 см.

Решение:

P = 2(l + b)

Дано: P = 60 см и b = 20 см

Вопрос 4: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 80 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 80 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 60/2

⇒ l = 30 см

Вопрос 5: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 100 см, а ширина 10 см.

Решение:

P = 2 (L + B)

Дано: P = 100 см и B = 10 см

⇒ L =

⇒ L =

⇒ L = 80/2

⇒ l = 40 см

Вопрос 6: Найдите длину прямоугольника, периметр которого равен 60 см, а ширина 10 см.