Числа рациональные и иррациональные
Числа рациональные и иррациональные
ОглавлениеОт редактораВведение ГЛАВА I.  § 1. Простые числа § 2. Единственность разложения на простые множители § 3. Целые числа § 4. Четные и нечетные целые числа § 5. Свойства замкнутости § 6. Замечания о природе доказательства ГЛАВА II. Рациональные числа § 1. Определение рациональных чисел § 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби § 3. Различные сгюсобы формулировки и доказательства предложений § 4. Периодические десятичные дроби § 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби § 6. Краткие выводы ГЛАВА III. Действительные числа § 1. Геометрическая точка зрения § 2. Десятичные представления § 3. Иррациональность числа V2 § 4. Иррациональность числа V3 § 5. Иррациональность чисел V6 и V2+V3 § 6. Слова, которыми мы пользуемся § 7. Приложение к геометрии § 8. Краткие выводы ГЛАВА IV. Иррациональные числа § 1. Свойства замкнутости § 2. Алгебраические уравнения § 3.  Рациональные корни алгебраических уравнений§ 4. Дальнейшие примеры § 5. Краткие выводы ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций § 1. Иррациональные значения тригонометрических функций § 2. Одно общее правило § 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов § 4. Трансцендентные числа § 5. Три знаменитые задачи на построение § 6. Дальнейший анализ числа V2 § 7. Краткие выводы ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными § 1. Неравенства § 2. Приближение целыми числами § 3. Приближение рациональными числами § 4. Лучшие приближения § 5. Приближения с точностью до 1/n2 § 6. Ограничения точности приближений § 7. Краткие выводы ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел § 1. Предварительные сведения из алгебры § 3. План доказательства § 4. Свойства многочленов § 5. Трансцендентность числа а § 6. Краткие выводы ПРИЛОЖЕНИЕ А.  Доказательство бесконечности числа простых чиселПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы арифметики ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел ПРИЛОЖЕНИЕ Г. Доказательство иррациональности значений тригонометрических фуннций И. М. Яглом Ответы и указания к упражнениям ПРИЛОЖЕНИЕ В Литература |
Рациональные числа
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Рациональные числа — это положительные и отрицательные числа (целые и дробные) и нуль.
Рациональной дробью называется выражение вида , где целое число называется числителем дроби, а натуральное число — знаменателем дроби.
Есть версия, что название рациональных чисел связано с латинским словом «ratio» — разум.
Примеры рациональных чисел:
Множество рациональных чисел обозначается заглавной английской буквой Q (кью).
Множество Q включает в себя
множество целых чисел (Z) и натуральных
чисел (N).
Любое рациональное
число можно представить в
виде дроби, у которой числитель
принадлежит целым числам, а знаменатель
— натуральным.
a/b, где a ∈ Z ( a принадлежит
целым числам ),b∈N ( b принадлежит
натуральным числам ).
Две рациональные дроби и называются эквивалентными, если .
Пример
Дроби и эквивалентные, так как
Рациональным числом называется множество всех эквивалентных между собой дробей.
Сравниваются рациональные числа следующим образом:
- Всякое положительное рациональное число больше нуля.
- Всякое отрицательное рациональное число меньше нуля.
- Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше.
Пример
, так как
Арифметические операции с рациональными числами
Сложение рациональных чисел. Чтобы
сложить рациональные числа с одинаковыми
знаками, складывают их абсолютные величины
и перед суммой ставят их общий знак.
Чтобы
сложить два рациональных числа
с разными знаками, необходимо из
числа с большей абсолютной величиной
вычесть число с меньшей
Пример
Вычислить
Вычитание рациональных чисел. Чтобы вычесть одно рациональное число из другого, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Пример
Вычислить
Умножение рациональных чисел. Чтобы перемножить два рациональных числа, надо перемножить их абсолютные величины и перед результатом поставить знак плюс, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки, или минус, если сомножители разных знаков.
Пример
Вычислить
Деление рациональных чисел. Частное от деления двух рациональных чисел с одинаковыми знаками равно частному их абсолютных величин, взятому со знаком плюс.
Частное
от деления двух рациональных чисел
с разными знаками равно 
Пример
Вычислить
Возведение в степень. Степень рационального числа представляет собой произведение нескольких равных сомножителей.
Пример
Вычислить ;
Четная степень отрицательного числа положительная, нечетная степень — отрицательная.
Остальные свойства рациональных чисел
не входят в основные, они не опираются
на свойства целых чисел, а могут быть
доказаны с использованием основных свойств
или по определению некоторого математического
объекта. Таких свойств очень много, вот
некоторые из них:
Например, для этого можно использовать
ряд Фаре.Что такое рациональное число приведи пример
Математика Сомнения
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде отношения (форма p/q). Это означает, что его можно записать в виде дроби, в которой и числитель (p), и знаменатель (q) являются целыми числами, а q не равно нулю.
Например:-
- Число 8 является рациональным числом, потому что его можно записать как дробь 8/1.
- Число 0 является рациональным числом, если его можно представить в виде p/q, где q не равно нулю
- Точно так же 3/4 — это рациональное число , потому что его можно записать в виде дроби.
- Даже такая большая и громоздкая дробь, как 7 324 908/56 003 492, рациональна просто потому, что ее можно записать в виде дроби.
Что такое рациональный номер
В математике рациональное число — это тип действительных чисел, который имеет вид p/q, где q не равно нулю.
Любая дробь с ненулевым знаменателем является рациональным числом. Некоторые из примеров рационального числа: 1/2, 1/5, 3/4 и так далее. Число «0» также является рациональным числом, поскольку мы можем представить его во многих формах, таких как 0/1, 0/2, 0/3 и т. д. Но 1/0, 2/0, 3/0 и т. д. , не рациональны, так как они дают нам бесконечные ценности.
Что такое иррациональное число
Иррациональные числа — это те действительные числа, которые не могут быть представлены в виде отношения. Другими словами, те действительные числа, которые не являются рациональными числами, называются иррациональными числами.
В этой статье мы узнаем о том, что такое рациональное число, свойствах рациональных чисел, их типах, разнице между рациональными и иррациональными числами и решенных примерах. Это помогает лучше понять концепции. Кроме того, изучите различные примеры рациональных чисел и узнайте, как лучше находить рациональные числа. Чтобы представить рациональные числа на числовой прямой, нам нужно сначала упростить и записать в десятичной форме.
Содержание для Rational Number
- Определение рационального числа
- Как определить рациональный номер
- Пример рационального числа
- Типы рационального числа
- Стандартная форма рационального номера
- Положительное и отрицательное рациональное число
- Некоторые примеры положительного и отрицательного числа
- Арифметические операции над рациональными числами
- Мультипликативное обращение рациональных чисел 90 010
- Свойства рациональных чисел
- Как найти рациональные числа между двумя рациональными числами
- Решенный пример
Что такое рациональное число?
Рациональное число в математике часто определяется как любое число, которое может быть представлено в виде p/q, где q ≠ 0. Кроме того, мы скажем, что любая дробь подходит под категорию рациональных чисел, где знаменатель и числитель являются целыми числами, и поэтому знаменатель не соответствует нулю.
Когда действительное число (то есть дробь) делится, результат будет в десятичной форме, которая может быть либо конечной десятичной, либо циркулирующей десятичной. способ определения рациональных чисел?
Как определить рациональные числа?
Чтобы определить, является ли разнообразие рациональным или нет, проверьте следующие условия.
- Он представлен в виде p/q, где q≠0.
- Отношение p/q часто дополнительно упрощают и представляют в десятичной форме.
Набор рациональных числительных:
- Включите положительные, отрицательные числа и ноль
- Может быть выражен в виде дроби
Примеры рациональных чисел:
Р = 20
Q = 10
PQ = 2
Это рациональный номер
Типы рациональных чисел
Число рационально, если его можно записать в виде дроби, где и знаменатель, и числитель — целые числа, а знаменатель — ненулевое число
Он бывает двух видов:
- Стандартная форма
- Положительный и отрицательный
Стандартная форма рациональных чисел
Стандартную форму рационального числа можно определить, если у него нет общих множителей, кроме одного между делимым и делителем, и, следовательно, делитель положительный.
Например, 12/36 — рациональное число. Но его можно упростить до 1/3; общий множитель между делителем и делимым только один. Таким образом, мы можем сказать, что рациональное число ⅓ находится в стандартной форме.
Положительное и отрицательное рациональное число
Как мы знаем, рациональное число имеет вид p/q, где p и q — целые числа. Кроме того, q должно быть ненулевым целым числом. Рациональное число может быть как положительным, так и отрицательным. Если рациональное число положительное, то p и q — положительные целые числа. Если рациональное число представлено в виде (p/q), то либо p, либо q имеет отрицательное значение. Это означает, что
-(p/q) = (-p)/q = p/(-q).
Некоторые примеры положительного и отрицательного числа
Положительный номер:
- В положительном рациональном числе и числитель, и знаменатель имеют один и тот же знак.
- Больше 0
- Примеры положительных рациональных чисел: 11/16, 9/5 и 3/9
Отрицательное рациональное число
- В отрицательном рациональном числе и числитель, и знаменатель имеют противоположный знак.
- Меньше 0
- Примеры отрицательных рациональных чисел: -2/5, 9/-12 и -1/4.
Арифметические операции над рациональными числами
В математике арифметические операции — это основные операции, которые мы выполняем над целыми числами. Давайте обсудим здесь, как мы можем выполнять эти операции над рациональными числами, скажем, a/b и p/q.
Дополнение : Когда мы складываем p/q и a/b, нам нужно сделать знаменатель одинаковым. Следовательно, мы получаем (pb+qa)/qb.
Пример: 1/4+5/4 = (1+5)/4 = 6/4 = 3/2
Вычитание : Точно так же, если мы вычтем a/b и p/q, то также нам нужно сначала сделать знаменатель одинаковым, а затем выполнить вычитание.
Пример: 5/4- 1/4 = (5-1)/4 = 4/4 = 1
Умножение : В случае умножения при умножении двух рациональных чисел числитель и знаменатель рациональных чисел умножаются соответственно. Если a/b умножить на p/q, то мы получим (p×a)/(q×b).
Пример: 5/4 х 1/4 = 5/16
Деление: Если a/b разделить на p/q, то результат будет следующим: (a/b)÷(p/q) = aq/bp
Пример: 5/4÷ 1/4 = (5×4)/(4×1) = 20/4 = 5
Мультипликативное обращение рациональных чисел
Поскольку рациональное число представлено в форме a/b, которая является дробью, то мультипликативная обратная величина рационального числа является обратной величиной данной дроби.
Например, 3/4 — рациональное число, тогда мультипликативное обратное рациональному числу 3/4 равно 4/3, так что (3/4)x(4/3) = 1
Свойства рациональных чисел
Поскольку действительное число может быть подмножеством важного числа, действительное число будет подчиняться всем свойствам важной системы счисления. ряд важных свойств действительных чисел таков:
- Результатом будет рациональное число, если мы умножим, сложим или вычтем любые два рациональных числа.
- Рациональное число остается эквивалентным, если мы делим или умножаем и числитель, и знаменатель на эквивалентный множитель.
- Если мы добавим ноль к действительному числу, то получим само эквивалентное число.
- Рациональные числа закрыты относительно сложения, вычитания и умножения.
Как найти рациональные числа между двумя рациональными числами?
Между двумя рациональными числами находится «n» рациональных чисел. Рациональные числа между двумя рациональными числами можно легко найти двумя разными способами. Теперь давайте посмотрим на два разных метода.
Метод 1:
Найдите эквивалентную дробь для данных рациональных чисел и найдите рациональные числа между ними. Эти числа должны быть требуемыми рациональными числами.
Метод 2:
Найдите среднее значение двух заданных рациональных чисел. Среднее значение должно быть требуемым рациональным числом. Чтобы найти больше рациональных чисел, повторите тот же процесс со старыми и вновь полученными рациональными числами.
Пример решения:
Q1.
Определите, является ли смешанная дробь 1 3 / 2 рациональным числом.
Ответ: Простейшая форма 1 3 / 2 5/2
Числитель = 5, что является целым числом
Знаменатель = 2, является целым числом и не равен нулю.
Итак, да, 5/2 — рациональное число.
Подробнее Сомнения в математике перейти на главную страницу Physics Wallah.
О рациональных числах и их примерах Pdf
20 примеров рациональных чисел
рациональных чисел — это все числа, которые могут быть выражены в виде дроби , то есть как частное двух целых чисел . Слово « рациональное » происходит от слова « причина », что означает пропорцию или частное. Например: 1, 50, 4,99, 142 .
В математических операциях , которые ежедневно выполняются для решения повседневных вопросов, почти все числа, которые обрабатываются, являются рациональными, так как в категорию входят все целые числа и большая часть тех, которые имеют десятичные дроби.
И рациональные дробные числа, и иррациональные (его аналог) являются бесконечными категориями. Однако они ведут себя по-разному: рациональные числа понятны и, поскольку они могут быть представлены дробями, их значение может быть аппроксимировано с помощью простого математического критерия, с иррациональными числами дело обстоит иначе.
Примеры рациональных чисел
Рациональные числа приведены здесь в качестве примера. В случаях того, что они в очереди в дробных номеров , его выражение также указывается как коэффициент:
- 142
- 3133
- 10
- 31
- 69,96 (1749/25)
- 625
- 7,2 (1749/25)
- 625
- 7,2 (1749/25)
- 625
- 7,2 (1749/25) 36/5)
- 3,333333 (10/3)
- 591
- 86,5 (173/2)
- одиннадцать
- 000 000
- 41 0009 55,7272727 (613/11)
- 8,5 (17/2)
- 818
- 4,52 (113/25)
- 000
- 11. 1 (111/10)
- 9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999. которые осуществляются между рациональными числами, обязательно приводят к другому рациональному числу: это происходит, как мы видели, не во всех случаях, как в случае операции удаления, так и в случае потенцирования.
Другими типичными свойствами рациональных чисел являются отношения эквивалентности и порядка (возможность составления равенств и неравенств), а также существование обратных и нейтральных чисел.
Тремя наиболее важными свойствами являются:
- Ассоциативность
- Распределительность
- Коммутативность
Они просто доказываются из присущего всем рациональным числам условия быть выраженными в виде частных целых чисел.
Повторяющиеся номера
Особой категорией рациональных чисел, которая часто вводит в заблуждение, является категория периодических чисел : они состоят из бесконечных чисел, но могут быть выражены дробью.
1 (111/10) 