Как найти координаты точки пересечения: Как найти координаты точки пересечения графиков функций с осями координат без построения

Координаты точки пересечения двух прямых

Для того, чтобы решить геометрическую задачу методом координат, необходима точка пересечения, координаты которой используются при решении. Возникает ситуация, когда требуется искать координаты пересечения двух прямых на плоскости или определить координаты тех же прямых в пространстве. Данная статья рассматривает случаи нахождения координат точек, где пересекаются заданные прямые.

Точка пересечения двух прямых – определение

Необходимо дать определение точкам пересечения двух прямых.

Раздел взаимного расположения прямых на плоскости показывает, что они могут совпадать , быть параллельными, пересекаться в одной общей точке или скрещивающимися. Две прямые, находящиеся  в пространстве, называют пересекающимися, если они имеют одну общую точку.

Определение точки пересечения прямых звучит так:

Определение 1

Точка, в которой пересекаются две прямые, называют их точкой пересечения. Иначе говоря, что точка пересекающихся прямых и есть точка пересечения.

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Нахождение координат точки пересечения двух прямых на плоскости

Перед нахождением координат точки пересечения двух прямых, необходимо рассмотреть предлагаемый ниже пример.

Если на плоскости имеется система координат Оху, то задаются две прямые a и b. Прямой a соответствует общее уравнение вида A1x+B1y+C1=0, для прямой b — A2x+B2y+C2=0. Тогда M0(x0, y0) является некоторой точкой плоскости необходимо выявить , будет ли точка М0 являться точкой пересечения этих прямых.

Чтобы решить поставленную задачу, необходимо придерживаться определения. Тогда прямые должны пересекаться  в точке, координаты которой  являются решением заданных уравнений A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Значит, координаты точки пересечения подставляются во все заданные уравнения. Если они при подстановке дают верное тождество, тогда M0(x0, y0) считается их точкой пересечения.

Пример 1

Даны две пересекающиеся прямые 5x-2y-16=0 и 2x-5y-19=0. Будет ли точка М0 с координатами (2,-3) являться точкой пересечения.

Решение

Чтобы пересечение прямых было действительным, необходимо, чтобы координаты точки М0 удовлетворяли уравнениям прямых. Это проверяется при помощи их подстановки. Получаем, что 

5·2-2·(-3)-16=0⇔0=02·2-5·(-3)-19=0⇔0=0

Оба равенства верные, значит М0 (2, -3) является точкой пересечения заданных прямых.

Изобразим данное решение на координатной прямой рисунка, приведенного ниже.

Ответ:  заданная точка с координатами (2,-3) будет являться точкой пересечения заданных прямых.

Пример 2

Пересекутся ли прямые 5x+3y-1=0 и 7x-2y+11=0 в точке M0 (2, -3)?

Решение

Для решения задачи необходимо подставить координаты точки во все уравнения. Получим, что

5·2+3·(-3)-1=0⇔0=07·2-2·(-3)+11=0⇔31=0

Второе равенство не является верным, значит, что заданная точка не принадлежит прямой 7x-2y+11=0. Отсюда имеем, что точка М0 не точка пересечения прямых.

Чертеж наглядно показывает, что М0_{— это не точка пересечения прямых. Они имеют общую точку с координатами (-1,2).}

Ответ: точка с координатами (2,-3) не является точкой пересечения заданных прямых.

Переходим к нахождению координат точек пересечения двух прямых при помощи заданных уравнений на  плоскости.

Задаются две пересекающиеся прямые a и b уравнениями вида A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0, расположенных в Оху. При обозначении точки пересечения М0 получим, что следует  продолжить поиск координат по уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

Из определения очевидно, что М0 является общей точкой пересечения прямых. В этом случае ее координаты должны удовлетворять уравнениям A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0. Иными словами это и есть решение полученной системы A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0.

Значит, для нахождения координат точки пересечения , необходимо все уравнения добавить в систему и решить ее.

Пример 3

Заданы две прямые x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0 на плоскости. необходимо найти их пересечение.

Решение

Данные по условию уравнения необходимо собрать в систему, после чего получим x-9y+14=05x-2y-16=0.

Чтобы решить его, разрешается первое уравнение относительно x, подставляется выражение во второе:

 

x-9y+14=05x-2y-16=0⇔x=9y-145x-2y-16=0⇔⇔x=9y-145·9y-14-2y-16=0⇔x=9y-1443y-86=0⇔⇔x=9y-14y=2⇔x=9·2-14y=2⇔x=4y=2

Получившиеся числа являются координатами, которые необходимо было найти.

Ответ: M0 (4, 2) является точкой  пересечения прямых x-9y+14=0 и 5x-2y-16=0.

Поиск координат сводится к решению системы линейных уравнений. Если по условию дан другой вид уравнения, тогда следует привести его к нормальному виду.

Пример 4

Определить координаты точек пересечения прямых x-5=y-4-3 и x=4+9·λy=2+λ, λ∈R.

Решение

Для начала необходимо привести уравнения к общему виду.  Тогда получаем, что x=4+9·λy=2+λ, λ∈R преобразуется таким образом:

x=4+9·λy=2+λ⇔λ=x-49λ=y-21⇔x-49=y-21⇔⇔1·(x-4)=9·(y-2)⇔x-9y+14=0

После чего беремся за уравнение канонического вида x-5=y-4-3 и преобразуем. Получаем, что 

x-5=y-4-3⇔-3·x=-5·y-4⇔3x-5y+20=0

Отсюда имеем, что координаты – это точка пересечения

x-9y+14=03x-5y+20=0⇔x-9y=-143x-5y=-20

Применим метод Крамера для нахождения координат:

∆=1-93-5=1·(-5)-(-9)·3=22∆x=-14-9-20-5=-14·(-5)-(-9)·(-20)=-110⇒x=∆x∆=-11022=-5∆y=1-143-20=1·(-20)-(-14)·3=22⇒y=∆y∆=2222=1

Ответ: M0 (-5, 1).

Имеется еще способ для нахождения координат точки пересечения прямых, находящихся на плоскости. Он применим, когда одна из прямых задается параметрическими уравнениями, имеющими вид x=x1+ax·λy=y1+ay·λ, λ∈R. Тогда вместо значения x подставляется x=x1+ax·λ и y=y1+ay·λ, где получим λ=λ0, соответствующее точке пересечения, имеющей координаты x1+ax·λ0, y1+ay·λ0.

Пример 5

Определить координаты точки пересечения прямой x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3.

Решение

Необходимо выполнить подстановку в x-5=y-4-3 выражением x=4+9·λ, y=2+λ, тогда получим:

4+9·λ-5=2+λ-4-3

При решении получаем, что λ=-1. Отсюда следует, что имеется точка пересечения между прямыми x=4+9·λy=2+λ, λ∈R и x-5=y-4-3. Для вычисления координат необходимо подставить выражение λ=-1 в параметрическое уравнение. Тогда получаем, что x=4+9·(-1)y=2+(-1)⇔x=-5y=1.

Ответ: M0 (-5, 1).

Для полного понимания темы, необходимо знать некоторые нюансы.

Предварительно необходимо понять расположение прямых. При их пересечении мы найдем координаты, в других случаях решения существовать не будет. Чтобы не делать эту проверку, можно составлять систему вида A1x+B1y+ C1=0A2x+B2+C2=0 При наличии решения делаем вывод о том, что прямые пересекаются. Если решение отсутствует, то они параллельны. Когда система имеет бесконечное множество решений, тогда говорят, что они совпадают.

Пример 6

Даны прямые x3+y-4=1 и y=43x-4. Определить, имеют ли они общую точку.

Решение

Упрощая заданные уравнения, получаем 13x-14y-1=0 и 43x-y-4=0.  

Следует собрать уравнения в систему для последующего решения:

13x-14y-1=013x-y-4=0⇔13x-14y=143x-y=4

Отсюда видно, что уравнения выражаются друг через друга, тогда получим бесконечное множество решений. Тогда уравнения x3+y-4=1 и y=43x-4 определяют одну и ту же прямую. Поэтому нет точек пересечения.

Ответ: заданные уравнения определяют одну и ту же прямую.

Пример 7

Найти координаты точки пересекающихся прямых 2x+(2-3)y+7=0 и 23+2x-7y-1=0.

Решение

По условию возможно такое, прямые не будут пересекаться. Необходимо составить систему уравнений и решать. Для решения необходимо использовать метод Гаусса, так как с его помощью есть возможность проверить уравнение на совместимость. Получаем систему вида:

2x+(2-3)y+7=02(3+2)x-7y-1=0⇔2x+(2-3)y=-72(3+2)x-7y=1⇔⇔2x+2-3y=-72(3+2)x-7y+(2x+(2-3)y)·(-(3+2))=1+-7·(-(3+2))⇔⇔2x+(2-3)y=-70=22-72

Получили неверное равенство, значит система не имеет решений. Делаем вывод, что прямые являются параллельными. Точек пересечения нет.

Второй способ решения.

Для начала нужно определить наличие пересечения прямых.

n1→=(2, 2-3) является нормальным вектором прямой 2x+(2-3)y+7=0, тогда вектор n2→=(2(3+2), -7 — нормальный вектор для прямой 23+2x-7y-1=0.

Необходимо выполнить проверку коллинеарности векторов n1→=(2, 2-3) и n2→=(2(3+2), -7). Получим равенство вида 22(3+2)=2-3-7. Оно верное, потому как 223+2-2-3-7=7+2-3(3+2)7(3+2)=7-77(3+2)=0. Отсюда следует, что векторы коллинеарны. Значит, прямые являются параллельными и не имеют точек пересечения.

Ответ: точек пересечения нет, прямые параллельны.

Пример 8

Найти координаты пересечения заданных прямых 2x-1=0 и y=54x-2.

Решение

Для решения составляем систему уравнений. Получаем

2x-1=054x-y-2=0⇔2x=154x-y=2

Найдем определитель основной матрицы. Для этого 2054-1=2·(-1)-0·54=-2. Так как он не равен нулю, система имеет 1 решение. Отсюда следует, что прямые пересекаются. Решим систему для нахождения координат точек пересечения:

2x=154x-y=2⇔x=1245x-y=2⇔x=1254·12-y=2⇔x=12y=-118

Получили, что точка пересечения заданных прямых имеет координаты M0(12, -118).

Ответ: M0(12, -118).

Нахождения координат точки пересечения двух прямых в пространстве

Таким же образом находятся точки пересечения прямых пространства.

Когда заданы прямые a и b в координатной плоскости Охуz уравнениями пересекающихся плоскостей, то имеется прямая a , которая  может быть определена при помощи заданной системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D1=0 а прямая b — A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0.

Когда точка М0 является точкой пересечения прямых, тогда ее координаты должны быть решениями обоих уравнений. Получим линейные уравнения в системе:

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0

Рассмотрим подобные задания на примерах.

Пример 9

Найти координаты точки пересечения заданных прямых x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0

Решение

Составляем систему x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0 и решим ее. Чтобы найти координаты, необходимо решать через матрицу. Тогда получим основную матрицу вида   A=10001232040-2 и расширенную T=1001012-340-24. Определяем ранг матрицы по Гауссу.

Получаем, что

1=1≠0, 1001=1≠0, 100012320=-4≠0, 1001012-3320-340-24=0

Отсюда следует, что ранг расширенной матрицы имеет значение 3. Тогда система уравнений  x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-27-4=0 в результате дает только одно решение.

Базисный минор имеет определитель 100012320=-4≠0, тогда последнее уравнение не подходит. Получим, что x-1=0y+2z+3=03x+2y+3=04x-2z-4=0⇔x=1y+2z=-33x+2y-3 .

Решение системы x=1y+2z=-33x+2y=-3⇔x=1y+2z=-33·1+2y=-3⇔x=1y+2z=-3y=-3⇔⇔x=1-3+2z=-3y=-3⇔x=1z=0y=-3.

Значит, имеем, что точка пересечения x-1=0y+2z+3=0 и 3x+2y+3=04x-2z-4=0   имеет координаты (1, -3, 0).

Ответ: (1, -3, 0).

Система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 имеет только одно решение. Значит, прямые a и b пересекаются.

В остальных случаях уравнение не имеет решения, то есть и общих точек тоже. То есть невозможно найти точку с координатами, так как ее нет.

Поэтому система вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0 решается методом Гаусса. При ее несовместимости прямые не являются пересекающимися. Если решений бесконечное множество, то они совпадают.

Можно произвести решение при помощи вычисления основного и расширенного ранга матрицы, после чего применить теорему Кронекера-Капелли. Получим одно, множество или полное отсутствие решений.

Пример 10

Заданы уравнения прямых x+2y-3z-4=02x-y+5=0 и x-3z=03x-2y+2z-1=0. Найти точку пересечения.

Решение

Для начала составим систему уравнений. Получим, что x+2y-3z-4=02x-y+5=0x-3z=03x-2y+2z-1=0 . решаем ее методом Гаусса:

12-342-10-510-303-221~12-340-56-130-20-40-811-11~~12-340-56-1300-125650075-1595~12-340-56-1300-1256500031110

Очевидно, что система не имеет решений, значит прямые не пересекаются. Точки пересечения нет.

Ответ: нет точки пересечения.

Если прямые заданы при помощи кононических или параметрических уравнений, нужно привести к виду уравнений пересекающихся плоскостей, после чего найти координаты.

Пример 11

Заданы две прямые x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ, λ∈R и x2=y-30=z5 в Охуz. Найти точку пересечения.

Решение

Задаем прямые уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Получаем, что

x=-3-λy=-3·λz=-2+3·λ⇔λ=x+3-1λ=y-3λ=z+23⇔x+3-1=y-3=z+23⇔⇔x+3-1=y-3x+3-1=z+23⇔3x-y+9=03x+z+11=0x2=y-30=z5⇔y-3=0x2=z5⇔y-3=05x-2z=0

Находим координаты 3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0, для этого посчитаем ранги матрицы. Ранг матрицы равен 3, а базисный минор 3-10301010=-3≠0, значит, что из системы необходимо исключить последнее уравнение. Получаем, что

3x-y+9=03x+z+11=0y-3=05x-2z=0⇔3x-y+9=03x+z+11=0y-3=0

Решим систему методом Крамер. Получаем, что x=-2y=3z=-5. Отсюда получаем, что пересечение заданных прямых дает точку с координатами (-2, 3, -5).

Ответ: (-2, 3, -5).

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

математика — Как найти координату точки, лежащей на перпендикуляре к линии?

Вопрос задан 4 месяца назад

Изменён 4 месяца назад

Просмотрен 147 раз

Предположим, что есть некая прямая линия на координатной плоскости. К этой линии проведен перпендикуляр в известном направлении длиной 10 единиц (константа). Известны координаты начальной и конечной точек линии, а также координаты точки на линии, из которой проведен перпендикуляр (переменные).

С помощью каких геометрических формул можно найти координату второй точки перпендикуляра?

Пример:

Предпочтителен пример решения на Python или псевдокоде.

• математика
• геометрия
• координаты

6

Итоговый алгоритм получился такой (воспользовался подсказкой из этого комментария):

1. Нашел вектор CB: (9 — 6, 2 — 5) = (3, -3)
2. Нашел перпендикулярный ему вектор той же длины, повернув вектор CB на 90 градусов по часовой стрелке** (поменял местами x и y и заменил знак у нового значения y): (-3, -3)
3. Нормализовал вектор-перпендикуляр, разделив каждую из координат на длину линии: (-3 / 4. 242, -3 / 4.242) = (-0.707, -0.707)
4. Умножил координаты нормализованного вектора на нужную длину перпендикуляра (2.828): (-0.707 * 2.828, -0.707 * 2.828) = (-1.999, -1.999)
5. Прибавил полученные координаты к координатам точки C и получил координаты нужной точки D: (6 + -1.999, 5 + -1.999) = (~4, ~3)

** Если нужно повернуть перпендикулярный вектор против часовой стрелки, то тогда необходимо поменять местами x и y и заменил знак у нового значения x

Полученные координаты (~4, ~3) совпадают с визуальным расположением точки на координатной плоскости.

Благодарю комментаторов за помощь!

2

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Видео с вопросом: Нахождение координат точки пересечения двух перпендикулярных прямых

Стенограмма видео

Линии 𝑥 плюс 𝑦 плюс четыре равно равно нулю, а 𝐫 равно отрицательной единице вектора, четыре плюс 𝑘 умноженное на вектор два, два пересекаются ортогонально. Найдите координаты точки пересечения.

В этом вопросе нам дается уравнение двух прямых: одно задано в общем виде, а другое задано в векторной форме. Нам дают две части информация об этих двух линиях. Нам говорят, что они пересекаются, и нам также говорят, что это пересечение ортогонально. Нам нужно использовать эту информацию, чтобы определить координаты точки пересечения.

Для этого мы можем начать с вспоминая, когда мы говорим, что две прямые пересекаются ортогонально, это означает, что они пересекаются под прямым углом. Другими словами, угол между две линии составляют 90 градусов. И у нас может возникнуть соблазн начать используя эту информацию, чтобы ответить на этот вопрос. Например, мы знаем, если два прямые линии не были ни вертикальными, ни перпендикулярными, то произведение их наклоны будут отрицательными. Однако это не обязательно для ответить на этот вопрос, и на самом деле это не поможет нам ответить на этот вопрос. Нам нужно только использовать тот факт, что эти две линии пересекаются.

Вместо этого мы можем вспомнить, что найти точка пересечения двух прямых, мы хотим решить их как одновременные уравнения. Конечно, мы пока не можем этого сделать потому что наша вторая строка задана в векторной форме. Итак, мы собираемся начать с преобразование этого в другую форму. Мы можем сделать это, сначала вспомнив как мы находим наклон прямой линии, заданной в векторной форме. Если эта линия имеет вектор направления 𝐝, который представляет собой вектор 𝑎, 𝑏, а значение 𝑎 отлично от нуля, то наклон эта линия задается как 𝑏, деленное на 𝑎, изменение 𝑦, деленное на изменение 𝑥. В нашем случае мы можем видеть вектор направления нашей линии равен два, два. Другими словами, на каждые две единицы двигаемся вправо по этой линии, двигаемся на две единицы вверх. Наклон 𝑚 задается двумя разделить на два, что равно единице.

А теперь давайте быстро подумаем об уравнении другой прямой. Мы могли бы преобразовать это уравнение в быть в форме наклона-перехвата. Это 𝑦 равно отрицательному 𝑥 минус четыре, что говорит нам о том, что наклон этой другой линии отрицательный, потому что это коэффициент 𝑥 в этом уравнении. Напомним, что умножение наклонов двух перпендикулярных прямых даст нам отрицательный результат. И действительно, мы можем отметить, что отрицательная единица, умноженная на единицу, равна отрицательной единице. Так что это подтверждается информация, которую нам дали в вопросе. Эти две линии ортогональны.

Мы также можем вспомнить, что мы можем найти координаты точки, лежащей на векторной форме уравнения прямой путем подстановки параметра равным нулю. Таким образом, мы подставляем 𝑘 равно нуля в векторную форму уравнения прямой. И мы видим, что точка с вектор положения отрицательный один, четыре лежит на этой линии, что, конечно же, говорит нам о прямая проходит через точку с координатами минус один, четыре.

Теперь у нас есть наклон этой линии и координаты точки, через которую он проходит. Таким образом, мы можем определить уравнение прямую линию, используя форму точка-наклон. Мы помним, что это говорит нам о уравнение линии наклона 𝑚, проходящей через точку с координатами 𝑥 sub один, 𝑦 подгруппа равна 𝑦 минус 𝑦 подгруппа равна 𝑚 умножить на 𝑥 минус 𝑥 подгруппа. И для этой строки наше значение 𝑚 𝑥 второстепенная единица — отрицательная единица, а 𝑦 второстепенная единица — четыре. Мы можем подставить эти значения в уравнение. Получаем 𝑦 минус четыре равно один раз 𝑥 минус минус один.

Теперь мы можем упростить это уравнение. Во-первых, умножение на единицу не измените значение, и вычитание отрицательного равносильно добавлению единицы. Итак, у нас есть 𝑦 минус четыре равно до 𝑥 плюс один. Теперь мы добавляем четыре к обеим сторонам уравнение, чтобы получить, что 𝑦 равно 𝑥 плюс пять. Итак, мы нашли уравнение наша вторая линия, и мы уже знаем уравнение первой линии.

Теперь нам нужно решить их как одновременные уравнения для определения точки пересечения. Нам нужно решить одновременную уравнения 𝑥 плюс 𝑦 плюс четыре равно нулю, а 𝑦 равно 𝑥 плюс пять. И есть много разных способов решения одновременных уравнений. Итак, мы рассмотрим только один из эти. Поскольку у нас уже есть выражение для 𝑦 мы собираемся подставить это выражение в первое уравнение. Это позволит нам устранить 𝑦-переменная. Делая это, мы получаем 𝑥 плюс 𝑥 плюс пять плюс четыре должно быть равно нулю. Упрощение левой части это уравнение, мы получаем два 𝑥 плюс девять равно нулю.

Теперь мы можем решить это уравнение для 𝑥. Мы вычитаем девять с обеих сторон уравнение для получения двух 𝑥 равно отрицательным девяти. А потом делим на два. 𝑥 равно минус девять разделить на два. Это 𝑥-координата точка пересечения двух кривых. Мы можем подставить это значение в любое из наших исходных двух уравнений для определения значения 𝑦. Мы заменим это в второе уравнение. Получаем, что 𝑦 равно отрицательному девять больше двух плюс пять. И мы можем это оценить. Пять равно 10 разделить на два. Таким образом, мы получаем минус девять на два плюс 10 на два, что составляет половину. И это дает нам наш финал отвечать.

Таким образом, мы смогли показать координаты точек пересечения прямых 𝑥 плюс 𝑦 плюс четыре равно равно нулю, а 𝐫 равно отрицательной единице вектора, четыре плюс 𝑘 умноженное на вектор два, два меньше девяти, чем два, половина.

геометрия — Расчет координат точки пересечения высоты и основания треугольника

$\begingroup$

Для любого треугольника $\Delta ABC$ каковы координаты точки $D$ вдоль прямой $\overline{BC}$, такой, что $\overline{AD}$ перпендикулярна $\overline{BC} $?

Например, дан треугольник $\Delta ABC$, где $(A_x = -1,\ A_y = 4)$, $(B_x = -1,\ B_y = 2)$ и $(C_x = 5, \ C_y = 1)$, решение $(D_x = 1,4,\ D_y = -0,8)$. Я знаю решение этого конкретного примера из этого видео, объясняющего, как вычислять высоты. Это был один из примеров, использованных в видео, но он был рассчитан с использованием многоэтапного процесса.

Я знаю, что наклон отрезка $\overline{BC}$ является отрицательной обратной величиной $m_\overline{BC}$.

$$m_\overline{BC} = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}$$ $$m_\overline{BC} = \frac{1 — (-2)}{5 — (-1)}$$ $$m_\overline{BC} = \frac{1}{2}$$ $$m_\overline{AD} = \frac{-1}{\frac{1}{2}}$$ $$m_\overline{AD} = -2$$

Несмотря на то, что я могу рассчитать наклон линии, я не уверен, в какой точке она пересечет $\overline{BC}$.

Я ищу общую формулу для вычисления декартовых координат $x$ и $y$ точки $D$. Предоставьте явное решение для координат $x$ и $y$ точки $D$, обозначенных как $D_x$ и $D_y$ соответственно.

• геометрия
• тригонометрия
• треугольники

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Вот пошаговый подход.

$1.$ Поскольку у нас есть координаты $B$ и $C$, мы можем вычислить вектор нормали единиц к отрезку $BC$. Вот как вы можете это сделать

$$\begin{align} {\bf{L}}&= {\bf{x}}_B-{\bf{x}}_C\\ &=(x_B-x_C){\bf{i}}+(y_B-y_C){\bf{j}} \\ \\ {\bf{N}}&= {\bf{k}} \times {\bf{L}}\\ &=-(y_B-y_C){\bf{i}}+(x_B-x_C){\bf{j}} \\ \\ {\bf{N}} \cdot {\bf{L}} &= 0 \\ \\ {\bf{n}} &= \frac{\bf{N}}{\|\bf{N}\|} \\ &= \frac{{\bf{k}} \times {\bf{L}}}{\|\bf{L}\|} \\ &= \frac{{\bf{k}} \times ({\bf{x}}_B-{\bf{x}}_C)}{\|{\bf{x}}_B-{\bf{ х}}_С\|}\\ & = \ frac {- (y_B-y_C) {\ bf {i}} + (x_B-x_C) {\ bf {j}}} {\ sqrt {(x_B-x_C) ^ 2+ (y_B-y_C) ^ 2}} \end{выравнивание}$$

$2. $ Из рисунка ниже видно, что

$$d = ({\bf{x}}_B-{\bf{x}}_A)\cdot{\bf{n}}$$

, поэтому мы нашли длину $AD$.

$3.$ Координаты $D$ будут

$$\begin{align} {\bf{x}}_D &= {\bf{x}}_A + d{\bf{n}} \\ &= {\bf{x}}_A + [({\bf{x}}_B-{\bf{x}}_A)\cdot{\bf{n}}]{\bf{n}} \\ \\ &= {\bf{x}}_A + \left[({\bf{x}}_B-{\bf{x}}_A)\cdot\frac{{\bf{k}} \times ({\ bf{x}}_B-{\bf{x}}_C)}{\|{\bf{x}}_B-{\bf{x}}_C\|}\right]\frac{{\bf{ k}} \times ({\bf{x}}_B-{\bf{x}}_C)}{\|{\bf{x}}_B-{\bf{x}}_C\|} \\ \end{выравнивание}$$ 92} (х_В-х_С) \end{выравнивание} }$$

Кроме того, вот файл MAPLE, который может помочь читателю этого сообщения для вычисления окончательных формул, упомянутых здесь, и проверки примера, упомянутого в вопросе.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Пусть $A:(x_1,y_1)$, $B:(x_2,y_2)$, $C:(x_3,y_3)$. Таким образом, уравнение прямой через $BC$ будет таким: $$y-y_2=(\frac{y_2-y_3}{x_2-x_3})(x-x_2)$$ Таким образом, наклон высоты будет отрицательным обратным, $$-\влево(\frac{x_2-x_3}{y_2-y_3}\вправо)$$ Итак, уравнение прямой: $$y=c-\left(\frac{x_2-x_3}{y_2-y_3}\right)x$$ Ввод значений и решение для $ c $ дает уравнение, $$y=y_1+\left(\frac{x_2-x_3}{y_2-y_3}\right)x_1-\left(\frac{x_2-x_3}{y_2-y_3}\right)x$$ Теперь просто решите два уравнения одновременно.