Как найти косинус между векторами если известны их координаты: Как найти угол между векторами? Ответ на webmath.ru

=a→, b→a→·b→

угол между двумя векторами — формула, как найти?

Угол между двумя векторами — это угол между их хвостами. Его можно найти либо с помощью скалярного произведения (скалярного произведения), либо с помощью перекрестного произведения (векторного произведения). Обратите внимание, что угол между двумя векторами всегда лежит в пределах от 0° до 180°.

Угол между двумя векторами — важное понятие в математике и физике. Это помогает нам понять взаимосвязь между двумя векторами с точки зрения их направления и величины. Давайте узнаем больше об угле между двумя векторами как в 2D, так и в 3D, а также с формулой, выводом и примерами.

1.	Что такое угол между двумя векторами?
2.	Угол между двумя векторами Формулы
3.	Нахождение угла между двумя векторами
4.	Часто задаваемые вопросы об угле между двумя векторами

Что такое угол между двумя векторами?

угол между двумя векторами — это угол, образованный при пересечении их хвостов. Если векторы НЕ соединены хвост-хвост, тогда мы должны соединить их от хвоста к хвосту, сдвинув один из векторов, используя параллельный сдвиг. Угол может быть острым, прямым или тупым, в зависимости от направления векторов. Вот несколько примеров, чтобы увидеть, как найти угол между векторами.

Здесь мы видим, что когда начало вектора соединяется с хвостом другого вектора, образующийся угол НЕ является углом между векторами. Вместо этого один из них должен быть сдвинут либо в том же направлении, либо параллельно самому себе так, чтобы хвосты векторов соединились друг с другом для измерения угла.

Формулы угла между двумя векторами

Есть две формулы для нахождения угла между двумя векторами: одна в терминах скалярного произведения, а другая в терминах перекрестного произведения. Но наиболее часто используемая формула для нахождения угла между векторами включает скалярное произведение (давайте посмотрим, в чем проблема с векторным произведением, в следующем разделе).

Пусть a и b — два вектора, а θ — угол между ними. Тогда вот формулы, чтобы найти угол между ними, используя как скалярное произведение, так и перекрестное произведение:

• Угол между двумя векторами с использованием скалярного произведения равен, θ = cos ^-1 [ ( a · b ) / (| a | | b |) ]
• Угол между двумя векторами с использованием векторного произведения равен, θ = sin ^-1 [ | а × б | / (| а | | б |) ]

, где a · b — скалярное произведение, а

a × b — перекрестное произведение a и б . Обратите внимание, что формула перекрестного произведения также включает в себя величину в числителе, а формула скалярного произведения — нет.

Угол между двумя векторами с использованием скалярного произведения

По определению скалярного произведения a · b = | и | | б | cos θ . Решим это для cos θ. Разделив обе части на | и | | б |.

cos θ = ( a · b ) / (| a | | b |)

θ = cos ^-1 [ ( a · b ) / (| a | | б |) ]

Это формула угла между двумя векторами в терминах скалярного произведения (скалярного произведения). Здесь cos ^-1 читается как «инверсия косинуса» и называется «функция арккосинуса».

Угол между двумя векторами с использованием векторного произведения

По определению векторного произведения a × б = | и | | б | sin θ \(\шляпа{n}\). Чтобы решить это для θ, давайте возьмем величину с обеих сторон. Тогда получаем

| а × б | = | и | | б | sin θ |\(\шляпа{n}\)|.

Мы знаем, что \(\hat{n}\) является единичным вектором и, следовательно, его величина равна 1. Итак,

| а × б | = | и | | б | sin θ

Разделив обе части на | и | | б |.

грех θ = | а × б | / (| a | | b |)

θ = sin ^-1 [ | а × б | / (| a | | b |) ]

Это формула для векторного угла через векторное произведение (векторное произведение). Эта формула вызывает некоторую двусмысленность (которую мы обсудим в следующем разделе) и не является популярной формулой для нахождения угла между векторами. Здесь грех ^-1 читается как «обратный синус» и называется «функцией обратного синуса».

Нахождение угла между двумя векторами

Давайте рассмотрим несколько примеров нахождения угла между двумя векторами с использованием скалярного произведения как в 2D, так и в 3D. Давайте также посмотрим на неоднозначность, вызванную формулой перекрестного произведения для нахождения угла между двумя векторами.

Угол между двумя векторами в 2D

Рассмотрим два вектора в 2D, скажем, a = <1, -2> и б = <-2, 1>. Пусть θ — угол между ними. Давайте найдем угол между векторами, используя как скалярное произведение, так и перекрестное произведение, и посмотрим, какую неоднозначность может вызвать перекрестное произведение.

Угол между векторами в 2D с использованием скалярного произведения

Давайте вычислим скалярное произведение и величины обоих векторов.

• а · б = <1, -2> · <-2, 1> = 1(-2) + (-2)(1) = -2 — 2 = -4.
• | и | = √(1)² + (-2)² = √1 + 4 = √5
• | б | = √(-2)² + (1)² = √4 + 1 = √5

Используя формулу угла между двумя векторами с использованием скалярного произведения, θ = cos ^-1 [ ( a · b ) / (| a | | b |) ].

Тогда θ = cos ^-1 (-4 / √5 · √5) = cos ^-1 (-4/5)

Мы можем либо использовать калькулятор, чтобы оценить это напрямую, либо мы можем использовать формулу cos ^-1 (-x) = 180° — cos ^-1 x, а затем используйте калькулятор (всякий раз, когда скалярное произведение отрицательное, используйте формулу cos ^-1 (-x) = 180° — cos ^-1 x равно очень полезно, так как мы знаем, что угол между двумя векторами всегда лежит между 0° и 180°). Тогда мы получим:

cos ^-1

(-4/5) ≈ 143,13°

Угол между векторами в 2D с использованием векторного произведения

Давайте вычислим векторное произведение на и 90 039 б .

a × b = \(\left|\begin{array}{ccc}
я&й&к\
1&-2&0\
-2 и 1 и 0
\end{array}\right|\) = <0, 0, -3>

Теперь найдем его величину.

| а × б | = √(0)² + (0)² + (-3)² = 3

Используя формулу угла между двумя векторами с использованием перекрестного произведения, θ = sin ^-1 [ | а × б | / (| а | | б |)].

Тогда θ = sin ^-1 (3 / √5 · √5) = sin ^-1 (3/5)

Если мы используем калькулятор для расчета, θ ≈ 36,87 (или) 180 — 36,87 (поскольку синус положителен и во втором квадранте). Итак,

θ ≈ 36,87 (или) 143,13°.

Таким образом, мы получили два угла и нет оснований выбирать один из них как угол между векторами a и b . Таким образом, формула векторного произведения может не всегда быть полезной для нахождения угла между двумя векторами.

Угол между двумя векторами в 3D

Рассмотрим пример, чтобы найти угол между двумя векторами в 3D. Пусть a = i + 2 j + 3 k и b = 3 i — 2 j + k . Сначала мы вычислим скалярное произведение и величины:

• a · b = <1, 2, 3> · <3, -2, 1> = 1(3) + (-2)(- 2) + 3(1) = 3 — 4 + 3 = 2.
• | и | = √(1)² + (2)² + 3² = √1 + 4 +9= √14
• | б | = √(3)² + (-2)² + 1² = √9 + 4 + 1 = √14

Имеем θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |)].

Тогда θ = cos ^-1 (2 / √14 · √14) = cos ^-1 (2 / 14) = cos ^-1 (1/7) ≈ 81,79°.

Важные моменты по углу между двумя векторами:

• Угол (θ) между двумя векторами a и b находится по формуле θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |)].
• Угол между двумя равными векторами равен 0 градусов, поскольку | a | ² /| a | ² ) = cos ^-1 1 = 0°.
• Угол между двумя параллельными векторами равен 0 градусов, так как θ = cos
  -1 [ ( a · k a ) / (| a | | k a |) ] = cos ^-1 (k | a | ² /к| a | ² ) = cos ^-1 1 = 0°.
• Угол (θ) между двумя векторами a и b с использованием векторного произведения равен θ = sin ^-1 [ | а × б | / (| а | | б |)].
• Для любых двух векторов a и b , если a · b положительно, то угол лежит между 0° и 90°;
• если a · b отрицательно, то угол лежит между 90° и 180°. ​​​
• Угол между каждым из двух векторов среди единичных векторов i , j и k равен 90°.

☛Связанные темы:

• Вектор положения
• Вычитание двух векторов
• Обработка векторов, указанных в форме i-j
• Неравенство треугольников в векторе

Часто задаваемые вопросы об угле между двумя векторами

Что означает угол между двумя векторами?

Угол между двумя векторами — это угол пересечения их хвостов, когда они присоединены хвост к хвосту. Если векторы не присоединены хвост к хвосту, то мы должны сделать параллельный сдвиг одного или обоих векторов, чтобы найти угол между ними.

Что такое формула угла между двумя векторами?

Угол между двумя векторами a и b вычисляется по формуле 039 б |) ] , где

• a · b — скалярное произведение векторов.
• | и | и | б | являются величинами векторов.

Как найти угол между двумя векторами?

Чтобы найти угол между двумя векторами a и b , мы можем использовать формулу скалярного произведения: a · b = | и | | б | cos θ . Если мы решим это для θ, мы получим θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |)].

Чему равен угол между двумя равными векторами?

Формула угла между векторами для двух векторов a и b равно θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |)]. Если два вектора равны, то подставляем в эту формулу b = a , тогда получаем |) ] = cos ^-1 (| a | ² /| a | ² ) = cos ^-1 1 = 0°. Таким образом, угол между двумя равными векторами равен 0.

Если угол между двумя векторами равен 90 тогда какой у них скалярный продукт?

Скалярное произведение a и b равно a · b = | и | | б | cos θ. Если угол θ равен 90 градусов, то cos 90° = 0. Тогда a · b = | и | | б | (0) = 0. Таким образом, скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0.

Где я могу найти калькулятор угла между двумя векторами?

Чтобы найти угол между двумя векторами с помощью калькулятора, нажмите здесь. Этот калькулятор позволяет нам ввести два вектора в 2D или 3D, а затем показывает угол между ними.

Как найти угол между двумя векторами в 3D?

Чтобы найти угол между двумя векторами a и b , которые находятся в 3D:

• Вычислите их скалярное произведение a · b .
• Вычислите их величины | и | и | б |.
• Используйте формулу θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |)].

Чему равен угол между двумя векторами, если скалярное произведение равно 0?

Угол между двумя векторами равен θ = cos ^-1 [( a · b ) / (| a | | b |) ]. Когда скалярное произведение равно 0, из приведенной выше формулы θ = cos ^-1 0 = 90°. Итак, когда скалярное произведение двух векторов равно 0, они перпендикулярны.

12.3 Скалярный продукт

Вот вопрос, ответ на который оказывается очень полезным: Даны два вектора, чему равен угол между ними?

Может быть не сразу понятно, что вопрос имеет смысл, но это не трудно превратить в вопрос, который делает. Так как векторы имеют нет позиции, мы, как обычно, вольны размещать векторы где угодно нравиться. Если два вектора расположены «хвост к хвосту», теперь разумное толкование вопроса: мы ищем меру наименьший угол между двумя векторами в плоскости, в которой они лежат. Рисунок 12.3.1 иллюстрирует ситуацию. 92)\кр &=2a_1b_1+2a_2b_2+2a_3b_3\cr |{\bf A}||{\bf B}|\cos\theta&=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\cr \cos\theta&=(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)/(|{\bf A}||{\bf B}|)\cr }$$ Итак, немного простой арифметики с координатами $\bf A$ и $\bf B$ позволяет вычислить косинус угла между ними. Если необходимо, мы можем использовать арккосинус, чтобы получить $\theta$, но во многих задач $\cos\theta$ оказывается всем, что нам действительно нужно.

В числителе дроби, которая дает нам $\cos\theta$, получается много, поэтому мы даем ему имя и более компактную запись: мы называем это скалярное произведение и запишите его как $${\bf A}\cdot{\bf B} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ Это тот же самый символ, который мы используем для обычного умножения, но здесь никогда не должно быть никакой путаницы; вы можете сказать из контекста, были ли мы являются «перемножением» векторов или чисел. (Мы также можем использовать точку для скалярное умножение: $a\cdot{\bf V}=a{\bf V}$; опять же ясно что имеется в виду из контекста.)

Пример 12.3.1. Найдите угол между векторами ${\bf A}=\langle 1,2,1\rangle$ и ${\bf B}=\langle 3,1,-5\rangle$. Мы знаем это $\cos\theta={\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)= (1\cdot3 + 2\cdot1 + 1\cdot(-5))/(|{\bf A}||{\bf B}|)=0$, поэтому $\theta=\pi/2$, то есть векторы перпендикулярны. $\квадрат$

Пример 12.3.2. Найдите угол между векторами ${\bf A}=\langle 3,3,0\rangle$ и ${\bf B}=\langle 1,0,0\rangle$. Мы вычисляем $$\выравнивание{ \cos\theta &= (3\cdot1 + 3\cdot0 + 0\cdot0)/(\sqrt{9+9+0}\sqrt{1+0+0})\cr &= 3/\sqrt{18} = 1/\sqrt2\cr}$$ поэтому $\тета=\пи/4$. $\квадрат$

Пример 12.3.3. Некоторые частные случаи заслуживают рассмотрения: нахождение углов между ${\bf A}$ и ${\bf A}$; ${\bf A}$ и ${\bf -A}$; $ {\ бф А} $ и ${\bf 0}=\langle 0,0,0\rangle$.

$\ds ​​\cos\theta= {\bf A}\cdot{\bf A}/(|{\bf A}||{\bf A}|)=(a_1^2+a_2^2+a_3^2 )/ (\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2})=1$, поэтому угол между ${\bf A}$ и собой равен нулю, что, конечно, правильно. 92})$, который не определен. С другой стороны, обратите внимание, что, поскольку ${\bf A}\cdot{\bf 0}=0$, выглядит сначала как будто $\cos\theta$ будет равно нулю, что, как мы видели, означает что векторы перпендикулярны; только тогда, когда мы замечаем, что знаменатель также равен нулю, если мы столкнемся с проблемами. Один из способов «исправить» это означает принятие соглашения о том, что нулевой вектор ${\bf 0}$ равен перпендикулярно всем векторам; то в общем случае можно сказать, что если ${\bf A}\cdot{\bf B}=0$, $\bf A$ и $\bf B$ перпендикулярны. $\квадрат$

Обобщая примеры, отметим следующие полезные факты:

1. Если $\bf A$ параллелен или антипараллелен $\bf B$, то ${\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)=\pm1$, и наоборот, если ${\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)=1$, $\bf A$ и $\bf B$ параллельны, а если ${\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)=-1$, $\bf A$ и $\bf B$ антипараллельны. (Векторы параллельно если они указывают в одном направлении, антипараллельный если они направлены в противоположные стороны. )

2. Если $\bf A$ перпендикулярно $\bf B$, то ${\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)=0$, и наоборот, если ${\bf A}\cdot{\bf B}/(|{\bf A}||{\bf B}|)=0$, тогда $\bf A$ и $\bf B$ перпендикулярны.

Имея два вектора, часто бывает полезно найти выступ одного вектора на другой, потому что это оказывается важным смысл во многих обстоятельствах. Точнее, учитывая ${\bf A}$ и ${\bf B}$ ищем вектор, параллельный $\bf B$, но с длиной определяется $\bf A$ естественным образом, как показано на рисунок 12.3.2. $\bf V$ выбран так, чтобы треугольник, образованный $\bf A$, $\bf V$ и ${\bf A}-{\bf V}$ является прямоугольным треугольником.

Рисунок 12.3.2. $\bf V$ — проекция $\bf A$ на $\bf B$.

Используя небольшую тригонометрию, мы видим, что $$ |{\bf V}|=|{\bf A}|\cos\theta= |{\bf A}|{{\bf A}\cdot{\bf B}\over|{\bf A}||{\bf B}|}= {{\bf A}\cdot{\bf B}\over|{\bf B}|}; $$ это иногда называют скалярная проекция $\bf A$ на $\bf B$ . Чтобы получить $\bfV$ умножаем эту длину на вектор длины один, параллельный $\bf В$: $$ {\bf V} = {{\bf A}\cdot{\bf B}\over|{\bf B}|}{{\bf B}\over|{\bf B}|}= {{\bf A}\cdot{\bf B}\over|{\bf B}|^2}{\bf B}. $$ Убедитесь, что вы понимаете, почему ${\bf B}/|{\bf B}|$ является вектором длина один (также называется 92}{\bf В}$$ антипараллелен $\bf B$, а его длина равна $$\left|{{\bf A}\cdot{\bf B}\over|{\bf B}|}\right|.$$ Таким образом, скалярная проекция $\bf A$ на $\bf B$ может быть положительным или отрицательным. Если он отрицательный, это означает, что вектор проекции антипараллелен к $\bf B$ и что длина вектора проекции равна абсолютное значение скалярной проекции. Конечно, вы также можете вычислить длину вектора проекции, как обычно, применяя формула расстояния до вектора.

Рисунок 12.3.3. $\bf V$ — проекция $\bf A$ на $\bf B$.

Обратите внимание, что фраза «проекция на $\bf B$» немного вводит в заблуждение. если понимать буквально; все, что дает $\bf B$, — это направление; в длина $\bf B$ не влияет на конечный вектор. В рис. 12.3.4, например, $\bf B$ короче, чем вектор проекции, но это вполне приемлемо.

Рисунок 12.3.4. $\bf V$ — проекция $\bf A$ на $\bf B$. 2$

2. ${\bf u}\cdot{\bf v} = {\bf v}\cdot{\bf u}$

3. ${\bf u}\cdot({\bf v}+{\bf w}) = {\bf u}\cdot{\bf v}+{\bf u}\cdot{\bf w}$

4. $(a{\bf u})\cdot{\bf v}=a({\bf u}\cdot{\bf v}) = {\ bf и} \ cdot (а {\ bf v}) $

$\qed$

Вы можете использовать Sage для вычисления скалярных произведений и связанных величин, таких как скалярная и векторная проекции.

Пример 12.3.1 Найдите $\langle 1,1,1\rangle\cdot\langle 2,-3,4\rangle$. (отвечать)

Пример 12.3.2 Найдите $\langle 1,2,0\rangle\cdot\langle 0,0,57\rangle$. (отвечать)

Пример 12.3.3 Найдите $\langle 3,2,1\rangle\cdot\langle 0,1,0\rangle$. (отвечать)

Пример 12.3.4 Найдите $\langle -1,-2,5\rangle\cdot\langle 1,0,-1 \rangle$. (отвечать)

Пример 12.3.5 Найдите $\langle 3,4,6\rangle\cdot\langle 2,3,4\rangle$. (отвечать)

Пример 12.3.6 Найдите косинус угла между $\langle 1,2,3\rangle$ и $\langle 1,1,1\rangle$; используйте калькулятор, если необходимо, чтобы найти угол. (отвечать)

Пример 12.3.7 Найдите косинус угла между $\langle -1, -2, -3\rangle$ и $\langle 5,0,2\rangle$; используйте калькулятор, если необходимо, чтобы найти угол. (отвечать)

Пример 12.3.8 Найдите косинус угла между $\langle 47,100,0\rangle$ и $\langle 0,0,5\rangle$; используйте калькулятор, если необходимо, чтобы найти угол. (отвечать)

Пример 12.3.9 Найдите косинус угла между $\langle 1,0,1\rangle$ и $\langle 0,1,1\rangle$; используйте калькулятор, если необходимо, чтобы найти угол. (отвечать)

Пример 12.3.10 Найдите косинус угла между $\langle 2,0,0\rangle$ и $\langle -1,1,-1\rangle$; используйте калькулятор, если необходимо, чтобы найти угол. (отвечать)

Пример 12.3.11 Найдите угол между диагональю куба и одной из сторон края, прилегающие к диагонали. (отвечать)

Пример 12.3.12 Найдите скалярную и векторную проекции $\langle 1,2,3\rangle$ на $\langle 1,2,0\rangle$. (отвечать)

Пример 12.