Как научиться определять вид дифференциального уравнения: Как определить вид дифференциального уравнения

Методическая разработка практического занятия для студента «Дифференциальные уравнения» | Учебно-методический материал на тему:

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 4

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Дифференциальные уравнения

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

Составлена в соответствии с требованиями ФГОС Рассмотрена на заседании цикловой методической комиссии «______________________» протокол №____ от  «____»______________201___г. Председатель ЦМК _____________/ _________________

УТВЕРЖДАЮ:       Зам. директора по учебной работе         __________/________________        «__»_________________201___г.            СОГЛАСОВАНО:       Методист       ___________ /____________      «___» ________________ 201__ г.

---

Тема:  Дифференциальные уравнения.

Уважаемые студенты!

Исследование многих физических и технических задач сводится к решению таких уравнений. С помощью дифференциальных уравнений описывают волновые процессы и колебания, поэтому практическое применение дифференциальных уравнений очень разнообразно.

В медицинских приложениях дифференциальные уравнения используются, например:

• для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (эхокардиография), определения вязкости крови и других параметров гемодинамики;
• для описания медико-биологических приложений ультразвука: эхоэнцефалограмма, УЗИ, ультразвуковая физиотерапия, ультразвуковая локация и кардиография;
• для описания процессов физиологической акустики, которая изучает устройство и работу звуковоспринимающих и звуковоспроизводящих органов человека и животных
• для определения функции изменения численности популяции микроорганизмов в зависимости от времени.

Цели занятия

Студент должен уметь:

• находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;
• находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;
• составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Студент  должен знать:

• понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и ча-стного решения;
• понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения
• понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;
• практическое применение ДУ в медицине.

Оснащение: таблица неопределенных интегралов, дидактический материал.

Материал для повторения: лекция 6,7,8

---

Этапы самостоятельной работы:

№ п/п	Содержание этапа	Задания
1	Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, методы их решения. Общее решение дифференциального уравнения	задание 1
2	Частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, его интегральная кривая	задание 2
3	Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка, методы их решения	задание 3
4	Определение вида дифференциальных уравнений, их частное и общее решения	задание 4

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

---

ИНФОРМАЦИЯ:

А сейчас немного теории: (записать) (5 мин)

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную  х, искомую функцию у(х) и ее производную , т.е. уравнение вида

(1)         или  ,

где f – функция двух переменных, а F – функционал от трех переменных.

Общим решением дифференциального уравнения называется такая функция, , которая обращает уравнение (1) в тождество, т. е.

 или

Чтобы решить дифференциальное уравнение его необходимо проинтегрировать, но прежде его необходимо идентифицировать  (определить его вид) и преобразовать.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка, определенные выше, удобно записывать в следующей форме:

                                         (2)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Пусть , а , тогда  уравнение (2) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными и примет вид:

Путем деления  на произведение  оно приводится к следующему виду:

.

Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

1. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

Цель: Научиться находить общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение: приведем уравнение к виду (1) (учитывая, что ) :

В данном уравнении

Разделяя переменные, получим:

.

Интегрируя, найдем общий интеграл:

2. *
3. *
4. *

2. Найти  частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, и его интегральную кривую.

Цель: Научиться находить частное решение  дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления и строить интегральную кривую этого решения.

.

1. ;

Решение: Приведем уравнение к виду (1) и разделим переменные:

Интегрируя, найдем общий интеграл:

Т.к. , то  подставляя это начальное условие в общее решение диф. уравнения, найдем значение С:

Значит частное решение данного  диф. уравнения  имеет вид:

.

Чтобы найти интегральную кривую данного диф. уравнения нужно построить график его частного решения, в нашем случае это  (график – парабола).

Найдем координаты вершины параболы:

   

График  имеет следующий вид:

2. *
3. *

Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение

                                                          , где p(x), f(x) – известные функции.

Линейное дифференциальное уравнение называется однородным, если , в противном случае оно неоднородное.

3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка:

Цель: Научиться находить общее решение линейных дифференциальных уравнений, используя в своей работе методы дифференциального и интегрального исчисления.

Решение:   Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянной.

• Рассмотрим однородное уравнение

, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными:

• Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде   (*)   , где С(х) – неизвестная функция от х. Производная  Подставляя  и в  найдем С(х):

Т.к.  , то подставляя его в (*) общее решение неоднородного уравнения будет   , где С – постоянная интегрирования.

2. *
4. *

4. Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение.

Цель: Научиться определять вид дифференциального  уравнения, находить его общее и частное решение.

1. *
2. *
3. *
7. *, построить интегральную кривую;
8. *
10. *
11. *
12. *

Дифференциальные уравнения  в медицине и биологии.

1. Дифференциальные уравнения, выражают соотношения между изменениями основных переменных. Примером описания течения процессов в сердечно – сосудистой системе может служить  независимая модель эластичного резервуара – линейное  дифференциальное уравнение типа:

                    ,

где переменная Р – мгновенное значение АД, коэффициент R – общее сопротивление кровеносного русла току крови,  коэффициент k – коэффициент упругости аорты, W(t) – объемная мгновенная скорость выброса крови из сердца.

2) Дифференциальным уравнением описывается разложение бактерий, радиоактивный распад.

---

Домашнее  задание:

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

2. *
3. *
4. *
5. *, построить интегральную кривую.
7. *
9. *

---

Проверочная работа

Тема:  Дифференциальные уравнения.

1 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

5. , построить интегральную кривую.

2 вариант.

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение, а где указано частное решение:

5. , построить интегральную кривую.

Дополнительное задание

Определить вид дифференциального уравнения, найти его общее решение:

---

Задания для самостоятельного решения.

Найти  общее решение дифференциальных уравнений, а где указано частное решение:

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением первого порядка?
2. Что нужно сделать, чтобы решить дифференциальное уравнение.
3. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
4. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением 1-го порядка?
5. Что такое общее и частное решение дифференциального уравнения.

 

Определить вид частного решения дифференциального уравнения. Решение простейших дифференциальных уравнений первого порядка

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция,
— производные искомой функции.

При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как
, то уравнение (3) можно записать в виде
или
, где можно считать
и
. Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде
. Тогда
,
,
, где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция
, которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или
.

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием , а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде
, то оно называетсяинтегралом

данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида
, зависящее от произвольной постояннойС , каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С , включая
.

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение
, в котором функция
принимает заданное числовое значение, если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т. е.

,
, (5)

где D – область определения функции
.

Значение называетсяначальным значением функции , а – начальным значением независимой переменной . Условие (5) называется начальным условием или условием Коши .

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом:

из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку
.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

. (6)

Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
или

. (7)

Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

Пример 1 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Запишем уравнение в виде
или
. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

,
. Окончательно запишем
.

Пример 2 . Найти решение уравнения
при условии
.

Решение . Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
. По условию
,
. Подставим в общее решение:
или
. Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:
. Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

Уравнение

(8)

Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной . Запишем его в виде
или
. Проинтегрируем обе части последнего уравнения:
или
— общее решение уравнения (8).

Пример . Найти общее решение уравнения
.

Решение

. Запишем это уравнение в виде:
или
. Тогда
,
,
,
. Таким образом,
– общее решение данного уравнения.

Уравнение вида

(9)

интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде
, а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx , а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy . Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на
. В результате получим уравнение

, (10)

в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10):
. Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

Пример 3 . Проинтегрировать уравнение
.

Решение . Преобразуем уравнение и разделим переменные:
,
. Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.

.

Пусть уравнение задано в виде

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на
:

. (12)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):

.(13)

Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение . Запишем уравнение в виде

и разделим обе его части на
,
. Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

,
,

,
. Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Пример 5 . Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условию
.

Решение . Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Разделим переменные:
. Проинтегрируем это уравнение:
,
,
. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию
. Подставим в общий интеграл и найдёмС :
,С =1. Тогда выражение
является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

(14)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка . Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение линейно, а функции
и

непрерывны.

Если
, то уравнение

(15)

называется линейным однородным . Если
, то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным .

Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.

Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

, (16)

где
и
— некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):

Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие
. Тогда
. Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
. В качестве функции
можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. при

С =1:
. Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
.

Пример 6 . Решить уравнение
.

Решение . Решение уравнения будем искать в виде
. Тогда
. Подставим в уравнение:

или
. Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Тогда
. Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:
,
,
,
,. Функциюv подставим во второе уравнение:
,
,
,
. Общим решением данного уравнения является
.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

Что называется решением дифференциального уравнения?

Что называется интегральной кривой?

Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

Что называется частным решением дифференциального уравнения?

Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C , где C — произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т. е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = e x и y 2 = e — x линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y 1 = e x и y 2 = 5 e x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т.е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и — два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и — произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

.

Пример 2.

Решение y = C 1 e x + C 2 e — x уравнения является общим, т. к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

Инструкция

Если уравнение представлено в виде: dy/dx = q(x)/n(y), относите их к категории дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными. Их можно решить, записав условие в дифференциалах по следующей : n(y)dy = q(x)dx. Затем проинтегрируйте обе части. В некоторых случаях решение записывается в виде интегралов, взятых от известных функций. 2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения — это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного : линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.

Инструкция

Дифференциальное исчисление исследует свойства . И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.

Любое является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).

Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y — ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.

Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.

РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.

Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.

Проинтегрируйте:∫dy/y = — ∫dx/x + Сln |y| = — ln |x| + C.

Это решение называется общим дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения. 4 – 13·x² + 36 = 0

Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Находим интеграл:

Возвращаясь к переменной x , получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Автономные дифференциальные уравнения на прямой

Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для начала — очень простые.

В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида

˙x=f(t,x),(2.1)

где x:D→R — неизвестная функция, D — связное подмножество прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), f:D×R→R — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.

Напомним, что решением уравнения (2.1) называется дифференцируемая функция φ, такая, что выполнено тождество

˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D

Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции φ, не пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым. Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических построений.

2.1Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Пусть поставлена задача Коши:

˙x=f(t,x),x(t0)=x0.(2.2)

Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку (t0,x0) расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом f(t0,x0). Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на секундочку представим, что интегральная кривая в точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени — начиная с момента t0 и заканчивая t0+Δt, где Δt — некоторое маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с постоянной скоростью — той, которая была в момент времени t0, то есть f(t0,x0). В этом случае к моменту времени t0+Δt мы пройдём расстояние, равное f(t0,x0)⋅Δt и попадём в точку (t1,x1), задаваемую следующим образом: x1=x0+f(t0,x0)⋅Δtt1=t0+Δt Точка (t1,x1) лежит на касательной, проходящей через точку (t0,x0). Если Δt мало, эта точка должна лежать близко к графику настоящего решения. Теперь мы можем взять точку (t1,x1) за стартовую, построить в ней уже новую касательную и пройти по этой касательной ещё на Δt вправо. Действуя таким образом, получим набор точек, связанных соотношением: xn+1=xn+f(tn,xn)⋅Δttn+1=tn+Δt=t0+(n+1)Δt Если соединить эти точки отрезками прямых, они будут проходить близко к касательным к графику решения, и сама получающаяся ломаная будет приближаться к настоящему решению. Естественно, с уменьшением шага точность приближения увеличивается.

Этот метод приближённого нахождения решений называется методом Эйлера. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.

На рис. 2.1 синим изображено истинное решение уравнения ˙x=t с начальным условием x(−3)=4, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами соответственно. Заметим, что уже сто шагов дает достаточно хорошее приближение решения.

Рис. 2.1: Приближённые решения

Упражнение 1. Используя метод Эйлера (но не используя компьютер), найти решение дифференциального уравнения ˙x=x, удовлетворяюее начальному условию x(0)=1. Отсюда найти одну из известных формул для числа e.

2.2Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой

Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений, то у нас всё получится.

Определение 1.Автономным называется дифференциальное уравнение, правая часть которого не зависит от времени явно. Такое уравнение имеет вид

˙x=f(x)(2.3)

Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения (2.3) с начальным условием x(t0)=x0. Пусть f(x0)≠0. В этом случае решение задаётся явной формулой (она называется формулой Барроу). Мы обсудим несколько способов её вывода и интерпретации.

2.2.1Геометрические соображения

В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида ˙x=f(t), мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. параграф 1.2.4). Мы будем называть такие уравнения простейшими, хотя это не общепринятый термин.

Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе автономным, см. рис. 2.2.

Рис. 2.2: Поля направлений для уравнения ˙x=t (слева) и ˙x=x (справа)

Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством: они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не меняется при вертикальных сдвигах, а второе — при горизонтальных. Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух классов.

Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений, сводящий их к некоторым простейшим.

Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и считать независимой переменной x, а неизвестной функцией — время. Ниже мы обсудим два способа реализации этого замысла.

2.2.2Механический подход

Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о том, где окажется решение в произвольный момент времени t, если в момент времени t0 оно находилось в точке x0. В соответствии с выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос: сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки x0 до некоторой другой точки x?

Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода Эйлера (см. раздел 2.1). Предположим для определённости, что x>x0 и f(x0)>0 (вблизи x0 движение происходит вправо; обратный случай рассматривается полностью аналогично). Предположим также, что на всём отрезке [x0,x] функция f принимает только положительные значения (чуть ниже мы обсудим, что это вполне разумное предположение). Разобьем отрезок [x0,x] на n равных маленьких отрезочков длины Δx. Пусть xk=x0+k⋅Δx — концы наших отрезочков. Сколько времени нужно, чтобы попасть из точки xk в точку xk+1? Для этого нам придётся пройти расстояние, равное Δx. Мгновенная скорость движения в точке xk равна f(xk). Поскольку Δx мало, а функция f непрерывна, можно ожидать, что её значение не слишком сильно изменится, по крайней мере, пока мы находимся на том же отрезочке. Значит, можно считать (совершая некоторую ошибку, малую при малых Δx), что движение на всём отрезочке происходит с постоянной скоростью, равной f(xk). Тогда время движения вычисляется по школьной формуле: нужно расстояние Δx поделить на скорость f(xk). Обозначим вычисленное таким образом время прохождения k-го отрезочка через Δtk. Имеем:

Δtk=Δxf(xk)(2.4)

Пусть мы оказались в точке x в момент времени t. Тогда время прохождения всего отрезка от x0 до x равна t−t0 и получается сложением всех Δtk для k=0,…,n−1:

t−t0≈n−1∑k=0Δtk=n−1∑k=01f(xk)Δx(2.5)

Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции 1f(x)! Равенство (2. 5) является приближённым, но когда мы перейдём к пределу при Δx→0 (или, что то же самое, при n→∞), оно превратится в точное:

t−t0=∫xx0dyf(y).(2.6)

Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное выражение x через t. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию x(t) явно.

2.2.3Аналитический подход

Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический анализ. Пусть функция x=φ(t) является решением уравнения (2.3) и удовлетворяет начальному условию φ(t0)=x0. Рассмотрим функцию t=ψ(x), обратную к функции x=φ(t). Рассмотрим произвольную точку (t1,x1), лежащую на графике решения: для неё выполняются соотношения x1=φ(t1), t1=ψ(x1) и ˙φ(t1)=f(x1) (поскольку φ является решением уравнения). Тогда по теореме о производной сложной функции

ψ′(x1)=1˙φ(t1)=1f(x1)

Это равенство выполняется в любой точке x1. Значит, функция ψ является решением дифференциального уравнения

ψ′(x)=1f(x),

где x выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:

ψ(x)=∫xx0dyf(y)+t0

Вспоминая, что t=ψ(x) — обратная функция к решению x=φ(t), имеем:

t−t0=∫φ(t)x0dyf(y)

Мы снова получили формулу Барроу.

2.2.4Магия

Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись: ˙x=f(x)dxdt=f(x)dt=dxf(x)∫tt0dt=∫xx0dxf(x)(2.7)(2.8)(2.9)(2.10) Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение (2.9). Чуть позже мы дадим определение дифференциальной 1-формы, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение (2.9) очень похоже на уравнение (2.4). В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе 2.2.2.

Пример 1. Решим уравнение ˙x=x с начальным условием x(t0)=x0. Пусть x=φ(t) — решение и t=φ−1(x) — обратная функция к решению. Имеем: (φ−1(x))′=1xφ−1(x)=ψ(x)ψ′(x)=1xψ(x)=∫dxx=ln|x|+Ct=ln|x|+Cx=±e−Cet=C1et Заметим, что если бы мы забыли модуль под логарифмом при интегрировании, то константа C1=e−C принимала бы только положительные значения. Но из-за модуля она может принимать и отрицательные значения.

Заметим также, что в ходе преобразований (деления на x) мы «потеряли» решение x=0. Если в ответ подставить значение C1=0, получим как раз его. Таким образом, формула x(t)=Cet, C∈R даёт все известные нам решения. Мы пока не доказали, что других нет — на следующей лекции мы обсудим этот вопрос.

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Дифференциальные уравнения — Введение

Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими ее производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная д дх  

Решение

Мы решим его, когда найдем функцию y (или набор функций y).

Есть много «хитростей» для решения дифференциальных уравнений ( если их можно решить!).

Но сначала: почему?

Чем полезны дифференциальные уравнения?

В нашем мире вещи меняются, и , описывая, как они меняются, часто заканчивается дифференциальным уравнением:

Пример: Кролики!

Чем больше у нас будет кроликов, тем больше у нас будет крольчат.

Потом эти кролики вырастают и тоже рожают! Население будет расти все быстрее и быстрее.

Важными частями этого являются:

• население N в любое время т
• скорость роста р
• скорость изменения населения dN dt

Подумайте о dN dt как о «насколько население меняется с изменением времени в любой момент времени».

Представим, что скорость роста r равна 0,01 новых кроликов в неделю на каждого текущего кролика.

Когда популяция составляет 1000 , скорость изменения dN dt составляет 1000×0,01 = 10 новых кроликов в неделю.

Но это верно только для конкретного времени , и не включает в себя то, что население постоянно увеличивается. Чем больше популяция, тем больше новых кроликов мы получаем!

При поголовье 2000 получаем 2000×0,01 = 20 новых кроликов в неделю и т.д.

Таким образом, лучше сказать, что скорость изменения (в любой момент) равна скорости роста, умноженной на численность населения в этот момент:

dN dt = rN

имеет функцию N(t) и ее производную.

 

А как сильна математика! В этом коротком уравнении говорится, что «скорость изменения численности населения с течением времени равна скорости роста, умноженной на численность населения».

Дифференциальные уравнения

могут описать, как меняется население, как перемещается тепло, как вибрируют пружины, как распадается радиоактивный материал и многое другое. Это очень естественный способ описать многие вещи во Вселенной.

Что с ними делать?

Дифференциальное уравнение само по себе является прекрасным способом что-то выразить, но его трудно использовать.

Итак, мы пытаемся решить их, превратив дифференциальное уравнение в более простое уравнение без дифференциальных битов, чтобы мы могли выполнять вычисления, строить графики, предсказывать будущее и так далее.

Пример: сложные проценты

Деньги приносят проценты. Проценты могут рассчитываться в фиксированное время, например, ежегодно, ежемесячно и т. д., и добавляться к исходной сумме.

Это называется сложным процентом.

Но когда он начисляется непрерывно , то в любое время проценты добавляются пропорционально текущей стоимости кредита (или инвестиции).

И по мере роста кредита проценты по нему увеличиваются.

Использование T за время, R для процентной ставки и V для текущей стоимости кредита:

DV DT = RV

, и здесь есть круто: это то же самое, что уравнение, которое мы получили с Кроликами! Просто там разные буквы. Итак, математика показывает нам, что эти две вещи ведут себя одинаково.

 

Решение

Дифференциальное уравнение говорит об этом хорошо, но его трудно использовать.

Но не беспокойтесь, его можно решить (используя специальный метод, называемый разделением переменных), и в результате получится:

V = Pe ^rt

Где P — основная сумма (первоначальный кредит), а e — число Эйлера.

Таким образом, непрерывно начисляемый кредит в размере 1000 долларов США на 2 года с процентной ставкой 10% становится:

V = 1000 × e ^(2×0,1)

V = 1000 × 1,22140…

V = 1221,40 доллара США (с точностью до цента)

Итак, дифференциальные уравнения прекрасно описывают вещи, но их нужно решать, чтобы они были полезными.

Дополнительные примеры дифференциальных уравнений

Уравнение Ферхюльста

Пример: Снова кролики!

Помните о нашем росте. Дифференциальное уравнение:

dN dt = rN

Что ж, этот рост не может продолжаться вечно, так как скоро у них закончится доступная еда.

Итак, давайте улучшим его, включив:

• максимальное население, которое может поддерживать еда k

Парень по имени Ферхюльст сообразил все это и получил следующее дифференциальное уравнение:

Простое гармоническое движение

В физике простое гармоническое движение — это тип периодического движения, при котором восстанавливающая сила прямо пропорциональна смещению. Примером этого является масса на пружине.

Пример: Пружина и груз

К пружине прикреплен груз:

• груз опускается под действием силы тяжести,
• по мере растяжения пружины ее натяжение увеличивается,
• вес замедляется,
• затем натяжение пружины тянет его обратно,
• , затем он падает вниз, вверх и вниз, снова и снова.

Опиши это математически!

 

Вес притягивается вниз под действием силы тяжести, и из второго закона Ньютона мы знаем, что сила равна массе, умноженной на ускорение:

F = m a

F = M D ² x DT ²

Spring Ставит его обратно на основе того, как она растянута ( K — жесткость пружины, и x насколько оно растянуто): F = -kx

Две силы всегда равны:

m d ² x dt ² = −k3 900 уравнение!

Имеет функцию x(t) и вторую производную д ² х ²

 

Примечание: мы не включили «демпфирование» (замедление отскоков из-за трения), что немного сложнее, но вы можете поиграть с ним здесь (нажмите играть ):

 

Создание дифференциального уравнения является первым важным шагом. Но нам также нужно решить , чтобы узнать, как, например, пружина подпрыгивает вверх и вниз с течением времени.

Классифицируйте, прежде чем пытаться решить

Так как же нам решить их?

Это не всегда просто!

За эти годы мудрые люди разработали специальных методов для решения некоторых типов дифференциальных уравнений.

Итак, нам нужно знать какой тип дифференциального уравнения  это первый.

Это как путешествие: разные виды транспорта решили, как добраться до определенных мест. Это близко, так что мы можем просто пройтись? Есть ли дорога, чтобы мы могли взять машину? Или он находится в другой галактике, и мы просто пока не можем туда добраться?

Итак, давайте сначала классифицируем дифференциальное уравнение .

 

Обычный или частичный

Первая основная группа:

• «Обычные дифференциальные уравнения» (ОДУ) имеют единственную независимую переменную (например, y )
• «Уравнения с частными производными» (УЧП) имеют две или более независимых переменных.

Мы изучаем обыкновенных дифференциальных уравнений здесь!

 

Орден и степень

Далее прорабатываем Орден и Степень:

Заказ

Орден является высшей производной (это первая производная? вторая производная? и т.д.):

Пример:

dy dx + y ² = 5x

Имеет только первую производную д дх , так и «Первый Орден»

Пример:

d ² y dx ² + xy = sin(x)

Имеет вторую производную д ² г дх ² , так и «Заказ 2»

Пример:

d ³ y dx ³ + x dy dx + y = e x

3 Третья производная г ³ г дх ³ который превосходит д дх , так и «Заказ 3»

Степень

Степень является показателем старшей производной.

Пример:

( dy dx ) ² + y = 5x ²

Наибольшая производная просто dy/dx, и ее показатель степени равен 2, так что это «900d».

На самом деле это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка второй степени

Пример:

D ³ Y DX ³ + ( DY DX ) ² + Y = 5x ²

.0178 3 y/dx ³ , но у него нет показателя степени (ну, на самом деле, степени 1, которая не показана), так что это «Первая степень».

(Показатель степени 2 для dy/dx не считается, так как это не самая высокая производная).

Итак, это обыкновенное дифференциальное уравнение первой степени третьего порядка

 

Будьте осторожны, не путайте порядок со степенью. Некоторые люди используют порядок слов, когда имеют в виду степень!

Линейный

Это Линейный , когда переменная (и ее производные) не имеет степени или другой функции.

So no y ² , y ³ , √y, sin(y), ln(y) и т. д.,
просто y (или любая другая переменная)

Более формально Линейное дифференциальное уравнение имеет форму:

dy dx + P(x)y = Q(x)

Решение

Хорошо, мы классифицировали наше дифференциальное уравнение, теперь нужно решить его.

И у нас есть руководство по решению дифференциальных уравнений, чтобы помочь вам.

 

 

myPhysicsLab Классификация дифференциальных уравнений

myPhysicsLab Классификация дифференциальных уравнений

Когда вы изучаете дифференциальные уравнения, это похоже на ботанику. Вы учитесь смотреть на уравнение и отнести его к определенной группе. Причина в том, что методы решение дифференциальных уравнений является общим для этих различных классификационных групп. А также иногда можно преобразовать уравнение одного типа в эквивалентное уравнение другой тип, так что вы можете использовать более простые методы решения. Вот некоторые из основные классификации дифференциальных уравнений:

На этой странице мы предполагаем, что х а также г являются функциями времени, т :

х = х (т)
у = у (т)

И производные по отношению к т

д х	= х ‘( т )
д т

Частичное против обычного

Обыкновенное дифференциальное уравнение (или ОДУ) имеет дискретный (конечный) набор переменных. Например, в простом маятнике есть два переменные: угол и угловая скорость.

Уравнение в частных производных (или УЧП) имеет бесконечный набор переменных, которые соответствуют всем положениям на линии, поверхности или области пространства. За Например, в моделировании строки у нас есть непрерывный набор переменных вдоль строки. соответствующее смещению струны в каждой позиции. На практике мы аппроксимировать бесконечный набор переменных конечным набором переменных, разбросанных по строка (или поверхность, или объем) в каждой позиции.

Для ОДУ каждая переменная имеет отдельное дифференциальное уравнение с использованием «обычного» производные. Для УЧП существует только одно дифференциальное уравнение в частных производных для каждого измерение.

Первый заказ, Второй заказ

порядок дифференциального уравнения равен старшей производной в уравнение. Одинарная кавычка указывает на различие. Так х ‘ является первым производная, в то время как х » является второй производной.

х ‘ = 1/ x   является первым порядком

x » = − x   является вторым порядком

x » + 2 x ‘ + x = 0 – это второй порядок.

Линейный и нелинейный

Линейный просто означает, что переменная в уравнении появляется только со степенью единицы. Так х является линейным, но х ² является нелинейным. Также любая функция, например потому что ( х ) является нелинейным.

По математике и физике, linear обычно означает «простой» и нелинейный означает «сложный». Теория решения линейных уравнений очень хорошо развиты, потому что линейные уравнения достаточно просты, чтобы их можно было решить. Нелинейные уравнения обычно не могут быть решены точно и являются предметом многих текущие исследования. Вот краткое описание того, как распознать линейный уравнение.

Вспомним, что уравнение прямой равно

.

г = м х + б

где м , б константы ( м это наклон, и б это г -перехват). В дифференциальном уравнении, когда переменные и их производные только умножаются на константы, тогда уравнение является линейным. переменные и их производные должны всегда появляться как простая первая степень. Здесь Некоторые примеры.

x » + x = 0   является линейным

х » + 2x’ + x = 0  является линейным

x ‘ + 1/ x = 0 нелинейно, потому что 1/ x не является первой степенью

x ‘ + x ² = 0 нелинейно, потому что x ² не является первой степенью

x » + sin( x ) = 0 нелинейно, потому что sin( x ) не является первой степенью

x x ‘ = 1 нелинейно, потому что x ‘не умножается на константу

Аналогичные правила применяются к задачам с несколькими переменными.

x ‘ + y ‘ = 0 является линейным

x y ‘= 1 нелинейно, потому что y ‘ не умножается на константу

Обратите внимание, однако, что для временной переменной сделано исключение. т ( переменная, по которой мы дифференцируем). У нас может быть любая сумасшедшая нелинейная функция т появляются в уравнении, но все еще имеют уравнение, которое является линейным в х .

x » + 2 x ‘ + x = sin( t ) линейно в x

x ‘ + t ² x = 0   линейно в x

sin( t ) x ‘ + cos( t ) x = exp( t )   является линейным в x

См. статью в Википедии о линейные дифференциальные уравнения для более подробной информации.

Однородный и неоднородный

Это еще один способ классификации дифференциальных уравнений. Эти причудливые термины составляют к следующему: существует ли термин, включающий только время, т (показано на правую часть уравнений ниже).

x » + 2_x’ + x = 0 является однородным

х » + 2_x’ + х = грех ( t ) неоднородный

x ‘ + t ² x = 0 является однородным

x ‘ + t ² x = t + t ²   является неоднородным

Неоднородная часть уравнения — это член, который включает только время. Это обычно соответствует форсирующему члену в физической модели. Например, в управляемый маятник, это будет двигатель, который приводит в движение маятник.

Эта веб-страница была впервые опубликована в июне 2001 года.

Введение в обыкновенные дифференциальные уравнения

Что такое обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)?

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, которое включает некоторые обычные производные (в отличие от частных производных) функции. Часто наша цель состоит в том, чтобы решить ОДУ, т. е. определить, что функция или функции удовлетворяют уравнению.

Если вы знаете, что такое производная функции, как вы можете найти сама функция? Вам нужно найти первообразную, т.е. вам нужно интегрироваться. Например, если вам дано \начать{собирать*} \diff{x}{t}(t) = \cos t \end{собрать*} тогда что такое функция $x(t)$? Поскольку первообразная $\cos t$ равно $\sin t$, то $x(t)$ должно быть равно $\sin t$. За исключением того, что мы забыли одну важную точка: всегда существует произвольная константа, которую мы не можем определить, если мы знаем только производную. Таким образом, все, что мы можем определить из вышеизложенного уравнение в том, что \начать{собирать*} х(т) = \sin т + С \end{собрать*} для произвольной константы $C$. Вы можете убедиться, что действительно $x(t)$ удовлетворяет уравнению $\diff{x}{t} = \cos t$.

В общем, решение ОДУ сложнее простого интегрирования. Тем не менее, основным принципом всегда является интеграция, поскольку нам необходимо перейти от производной к функции. Обычно самая трудная часть определить, какую интеграцию нам нужно сделать.

Самый простой ОДУ

Начнем, однако, с простого. Что такое простейшее ОДУ? Пусть $x(t)$ — функция от $t$, удовлетворяющая ОДУ: \начать{собирать} \разн{х}{т} = 0. \label{самый простой_код}\tag{1} \конец{собрать}

Мы можем задать несколько простых вопросов. Что такое $x(t)$? Определяется ли $x(t)$ из этого уравнения однозначно? Если нет, то что еще нужно указать?

Уравнение \eqref{simplest_ode} просто означает, что $x(t)$ — постоянная функция, $х(т)=С$. Это, конечно, не определено однозначно, так как нет способ указать константу $C$, если у нас есть только уравнения для производные от $x$. Чтобы однозначно определить $x(t)$, необходимо ввести некоторые дополнительные данные в терминах самой функции $x(t)$.

Мы могли бы, например, указать, что $x(t)$ должно быть равно 31, когда $t=11$, добавив условие $$x(11)=31.$$ Тогда мы знаем, что $C=31$ и функция равна $x(t)=31$ для всех $t$. Мы часто думаем о переменной $t$ как о представлении времени и ссылаемся к такому условию, как $x(11)=31$ в качестве начального условия .

Запишем начальное условие в более общем виде как $$x(t_0)=x_0,$$ где $t_0$ — заданное время, а $x_0$ — заданное число. Как будто мы инициализируем систему равной числу $x_0$ в момент времени $t=t_0$. Однако это «начальное условие» также определяет $x(t)$ для ранних времен. Как видно из решения $x(t)=31$ для все время $t$, это условие определяет состояние системы для раз до и после $t=11$. 4/4). \конец{выравнивание*} 94/4 + С \end{собрать*} для произвольной константы $C$.

ОДУ, не являющееся простым интегралом

До сих пор примеры ОДУ, которые мы видели, можно было решить простым интегрированием. Причина, по которой они были такими простыми, заключалась в том, что уравнения для $\diff{x}{t}$ не зависели от функцию $x(t)$, но только по переменной $t$. С другой стороны, если уравнение зависит как от $\diff{x}{t}$, так и от $x(t)$, нам нужно проделать дополнительную работу, чтобы найти функцию $x(t)$.

Вот ОДУ, включающее $x(t)$: \начать{собирать*} \ разная {х} {t} = ах (т) + б \метка{linear_ode}\тег{3} \end{собрать*} где $a$ и $b$ — некоторые константы. Поскольку правая часть зависит от самого $x$, мы не можем просто интегрируйте и используйте фундаментальную теорему исчисления. Чтобы решить это ОДУ для $x(t)$, нам нужно проделать некоторые манипуляции и использовать цепное правило (т. е. $u$-подстановка).

Первое, что нужно сделать, это получить все выражения, содержащие $x$ с одной стороны уравнения. Если мы вычтем, мы не сможем поместить вещи в правильная форма для цепного правила, так как у нас будут термины без $\diff{x}{t}$ в них. Вместо этого мы делим обе части уравнения на $ax(t)+b$, \начать{собирать*} \ frac {\ diff {x} {t}} {ax (t) + b} = 1. \end{собрать*}

Теперь правая часть представляет собой простую функцию от $t$ (в данном случае постоянную функцию). Мы можем проинтегрировать обе части уравнения по $t$, \начать{собирать*} \ int \ frac {\ diff {x} {t} dt} {ax (t) + b} = \ int 1 dt. \end{собрать*}

На первый взгляд, левая сторона может выглядеть некрасиво. Но это в специальной форме, облегчающей интеграцию. Он содержит фактор $\diff{x}{t} dt$, а оставшаяся зависимость на $t$ только через функцию $x(t)$. Если мы изменим переменные (выполнить $u$-подстановку) вида $u=x(t)$, тогда $du = \diff{x}{t} dt$, и мы просто заменяем оставшиеся вхождения $x(t)$ на $u$. Тогда левая часть представляет собой простой интеграл в терминах нового переменная $u$, которую мы можем проинтегрировать и подставить обратно $u=x(t)$: \начать{выравнивать*} \ int \ frac {\ diff {x} {t} dt} {ax (t) + b} & = \ int \ frac {du} {au + b} \\ &= \frac{1}{a} \log |au+b| + С_1\ &= \frac{1}{a} \log |ax(t)+b| + С_1, \конец{выравнивание*} для произвольной константы $C_1$. z$.) 9{а(т-3)} -б/а. \конец{выравнивание*}

Быстрый метод решения простых ОДУ

Для приведенного выше решения мы сделали несколько дополнительных шагов для того, чтобы продемонстрировать, что манипуляции на самом деле были ничем больше, чем $u$-подстановка. Обычно мы пропускаем многие из эти шаги и использовать метод быстрого доступа. Однако перед прыжком в сокращенный метод, убедитесь, что вы понимаете, как указанная выше $u$-подстановка работает.

Давайте вернемся к нашему методу решения, чтобы увидеть, как мы можем использовать некоторые сокращения. Первое, что мы могли бы сделать по-другому, это избежать перехода к переменной $u$. Мы могли бы сохранить все в терминах $x$, и в этом случае подстановка $u$ заменяла бы $x(t)$ на $x$ и $\diff{x}{t}{dt}$ на $ дх$.

Далее наблюдайте за результатами замены. Мы начали с \начать{выравнивать*} \ frac {\ diff {x} {t}} {ax + b} = 1 \конец{выравнивание*} и закончил с \начать{выравнивать*} \int \frac{dx}{ax + b} = \int 1 dt, \конец{выравнивание*} где теперь мы записали все в терминах $x$, а не $u$. Чтобы выполнить эту манипуляцию, мы умножили на $dt$ и сделали наше подстановка для замены $\diff{x}{t}dt$ на $dx$. Это как если бы мы убрали $dt$ из числителя с $dt$ из знаменателя. Производная $\diff{x}{t}$ на самом деле не является долей чисел $dx$ и $dt$, но в интеграле применение цепного правила (т. е. $u$-подстановки) делает его вести себя так, как будто это дробь.

Следовательно, на практике мы можем безопасно обращаться с $\diff{x}{t}$ как с дробью при использовании в этом контексте формирования интеграла для решения дифференциального уравнения. Чтобы решить уравнение $\diff{x}{t}=ax+b$, мы умножаем обе части уравнения на $dt$ и делим обе части уравнения на $ax+b$, чтобы получить \начать{собирать*} \frac{dx}{ax+b} = dt. \end{собрать*} Затем мы интегрируем обе части, чтобы получить \начать{собирать*} \int \frac{dx}{ax+b} = \int dt. \end{собрать*} Просто помните, что эти манипуляции на самом деле являются кратчайшим путем к обозначают с помощью цепного правила.