Построение графиков функций — урок. Алгебра, 10 класс.
построить график функции y=x2+4×2−4.
Решение 1. Обозначим: f(x)=x2+4×2−4. Область определения этой функции: D(f)=(−∞;−2)∪(−2;2)∪(2;+∞), так как x≠2,x≠−2.
2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:
f(−x)=−x2+4−x2−4=x2+4×2−4=f(x).
Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для x≥0 и отобразить их симметрично относительно оси ординат.
3. Определим асимптоты. Вертикальная асимптота: прямая \(x=1\), т. к. при \(x=1\) знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем limx→∞f(x):
limx→∞x2+4×2−4=limx→∞x2x2+4x2x2x2−4×2=limx→∞1+4×21−4×2=1.
Следовательно, \(y=1\) — горизонтальная асимптота.
4.
Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y′=x2+4×2−4′=(x2+4)′⋅(x2−4)−(x2+4)⋅(x2−4)′x2−42=2x⋅(x2−4)−(x2+4)⋅2xx2−42=2×3−8x−2×3−8xx2−42==−16xx2−42.
Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.
Стационарные точки определим из уравнения y′=0. Получаем: \(-16x=0\) — откуда получаем, что \(x=0\). При \(x<0\) имеем: y′>0; при \(x>0\) имеем: y′<0. Таким образом, в точке \(x=0\) функция имеет максимум, причём ymax=f(0)=02+402−4=−1.
При \(x>0\) имеем: y′<0. Учитывая точку разрыва \(x=2\), делаем вывод: функция убывает на промежутках 0;2) и (2;+∞).
5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f(x)=x2+4×2−4 при x≥0:
\(x\) | \(0\) | \(0. | \(1\) | \(3\) | \(4\) |
\(y\) | \(-1\) | −1715 | −53 | 135 | 53 |
5\)
6. Сначала нарисуем часть графика при x≥0, потом — часть, симметричную ей относительно оси \(y\). Полученный график имеет точку максимума \((0;-2)\), горизонтальную асимптоту \(y=1\) и вертикальную асимптоту \(x=2\).
Как построить график функции
В этой статье разобран самый простой метод получения графика функции.
Суть метода: найти несколько точек принадлежащих графику, расставить их на координатной плоскости и соединить. Этот способ не лучший (лучший – построение графиков с помощью элементарных преобразований), но если вы все забыли или ничего не учили, то знайте, что у вас всегда есть план Б – возможность построить график по точкам.
Итак, алгоритм по шагам:
1. Представьте, как выглядит ваш график.
Строить гораздо легче, если вы понимаете, что примерно должны получить в итоге. Поэтому сначала посмотрите на функцию и представьте, как примерно должен выглядеть ее график. Все виды графиков элементарных функций вы можете найти здесь. Этот пункт желательный, но не обязательный.
Пример: Построить график функции
Данная функция — гипербола с ветвями расположенными во второй и четвертой четверти. Её график выглядит как-то так:
2. Составьте таблицу точек, принадлежащих графику:
Теперь подставим разные значения «иксов» в функцию, и для каждого икса посчитаем значение «игрека».
Пример: \(y=-\)\(\frac{2}{x}\)
|
при \(x=-1\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-1}\)\(=2\) |
|
|
при \(x=0\) |
\(y\) — не существует (делить на ноль нельзя) |
|
|
при \(x=1\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{1}\)\(=-2\) | |
|
при \(x=2\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{2}\)\(=-1\) |
|
|
при \(x=3\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{3}\) |
|
|
при \(x=4\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{4}\)\(=-\)\(\frac{1}{2}\) |
Результат вычислений удобно представлять в виде таблицы, примерно такой:
|
\(x\) |
\(-1\) |
|
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
|
\(y\) |
\(2\) |
\(-\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\)\(\frac{2}{3}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
Как вы могли догадаться, полученные пары «икс» и «игрек» — это точки, лежащие на нашем графике.
4. Постройте координатную плоскость и отметьте на ней точки из таблицы.
Пример:
5. Если нужно, найдите еще несколько точек и нанесите их на координатную плоскость.
Пример: Чтобы построить график мне не хватает нескольких точек из отрицательной части, а также рядом с осью игрек, поэтому я добавлю столбцы с \(x=-2\), \(x=-4\), \(x=\)\(\frac{1}{2}\) и \(x=-\)\(\frac{1}{2}\)
|
при \(x=-2\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-2}\)\(=1\) |
|
|
при \(x=-4\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-4}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\) |
|
|
при \(x=\)\(\frac{1}{2}\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{\frac{1}{2}}\)\(=-2:\)\(\frac{1}{2}\)\(=-2 \cdot 2=-4\) |
|
|
при \(x=-\)\(\frac{1}{2}\) |
\(y=-\)\(\frac{2}{-\frac{1}{2}}\)\(=-2:(-\)\(\frac{1}{2}\)\()\)\(=-2 \cdot (-2)=4\) |
|
\(x\) |
\(-1\) |
\(0\) |
\(1\) |
\(2\) |
\(3\) |
\(4\) |
\(-2\) |
\(-4\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
|
\(y\) |
\(2\) |
\(-\) |
\(-2\) |
\(-1\) |
\(-\)\(\frac{2}{3}\) |
\(-\)\(\frac{1}{2}\) |
\(1\) |
\(\frac{1}{2}\) |
\(-4\) |
\(4\) |
6.
Постройте график
Теперь аккуратно и плавно соединяем точки.
Готово!
Скачать статью
Онлайн уравнение прямой по двум точкам с подробным решением
- Подробности
Калькулятор уравнения прямой онлайн составлет общее уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом k по двум точкам.
Исходные данные:
Решение:
A x + B y + C = 0 — общее уравнение прямой, где A и B одновременно не равны нулю:
составление общее уравнение прямой, где
расчет коэффициента А для общего уравнения прямой
расчет коэффициента B для общего уравнения прямой
расчет коэффициента C для общего уравнения прямой
y = k x + b — уравнение прямой с угловым коэффициентом k, равным тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ (ось абсцисс):
составление уравнения прямой с угловым коэффициентом, где
расчет углового коэффициента k
расчет коэффициента b
I.
Порядок действий при составлении уравнения прямой, проходящей через 2 точки онлайн калькулятором:
- Для составления уравнения прямой требуется ввести значеня координат 2 точек ([X1, Y1]; [X2, Y2]).
II. Для справки:
- прямая (прямая линия)
- — это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя ее точками.
- интерполяция
- — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
- линейная интерполяция
- — нахождение промежуточного значения функции по двум точкам (условно проведя прямую между ними).
- квадратичная интерполяция
- — нахождение промежуточного значения функции по трем точкам (интерполирующая функция многочлен второго порядка — парабола).
III. Примечание:
- Блок исходных данных выделен желтым цветом, блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом, блок решения выделен зеленым цветом.
Аппроксимация в Matlab — CodeTown.ru
Приветствую! Сегодня продолжаем говорить об обработке экспериментальных данных. Сегодняшняя статья — продолжение предыдущей темы: Интерполяция в Matlab. Настоятельно советую с ней ознакомиться перед чтением данной статьи. По сути аппроксимация в Matlab очень похожа на интерполяцию, однако, для её реализации используются другие правила и функции.
Аппроксимация
Относительно интерполяции, аппроксимация получила более широкое распространение. Сущность этого метода состоит в том, что табличные данные аппроксимируют кривой, которая не обязательно должна пройти через все узловые точки, а должна как бы сгладить все случайные помехи табличной функции.
МНК (Метод Наименьших Квадратов)
Одним из самых популярных методов аппроксимации в Matlab и в других средах, это Метод Наименьших Квадратов ( МНК ). В этом методе при сглаживании опытных данных аппроксимирующую кривую стремятся провести так, чтобы её отклонения от табличных данных по всем узловым точкам были минимальными.
Суть МНК заключается в следующем: для табличных данных, полученных в результате эксперимента, отыскать аналитическую зависимость, сумма квадратов уклонений которой от табличных данных во всех узловых точках была бы минимальной.
Аппроксимация в Matlab по МНК осуществляется с помощью функции polyfit. Функция p = polyfit(x, y, n) находит коэффициенты полинома p(x) степени n, который аппроксимирует функцию y(x) в смысле метода наименьших квадратов. Выходом является строка p длины n+1, содержащая коэффициенты аппроксимирующего полинома.
Примеры задач
Разберём задачу, в которой разрешается использование встроенных матлабовских функций.
Осуществить аппроксимацию в Matlab табличных данных x = [0, 0.1 , 0.2, 0.3, 0.5] и y = [3, 4.5, 1.7, 0.7, -1] . Применяя метод наименьших квадратов, приблизить ее многочленами 1-ой и 2-ой степени. Однако, встречаются задачи, где требуется реализовать аппроксимацию в Matlab без использования специальных функций.
2+coeff2(2)*x+coeff2(3)))
Вывод:ans = 0.9253
ans = 0.8973
Найти у(0.25) путём построения аппроксимирующего полинома методом наименьших квадратов согласно данным:
x: 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5
y: 3, 4.5, 1.7, 0.7, -1
p: 0.5, 0.8, 1.6, 0.8, 0.1
Построить этот полином без учёта весовых коэффициентов с использованием определителя Вандермонда и стандартных операторов.
%Задаем массивы данных: x = [0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.5]; y = [3;4.5;1.7;0.7;-1]; %Строим матрицу W – матрицу Вандермонда с вырезанным первым столбцом: W = vander(x); W = W(1:5,2:5); %Вычисляем элементы матрицы А как произведение транспонированной матрицы W и просто матрицы W A = W'*W; %Вычисляем элементы вектора b b = W'*y; %Решая систему уравнений Aa = b, находим значения вектор-столбца a: a = inv(A)*b %Это будут коэффициенты аппроксимирующего полинома.
2 + a(3)*x2 + a(4)
Вывод:a =
228.1447
-176.0984
22.7745
3.1590
qq = 228.1447 -176.0984 22.7745 3.1590
y2 = 1.4113
Как видите встроенные функции для аппроксимации в Matlab укорачивают алгоритм почти вдвое.
Существует также возможность реализации всего алгоритма через одну функцию, но для преподавателей студентов она скорее всего будет не приемлема. С помощью функции lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata), где:
xdata,ydata– табличные значения аппроксимируемой функции;
x0 –стартовое значение параметров функции;
fun – функция аппроксимации, задаваемая пользователем
С аналитически-теоретической стороны, существуют такие виды аппроксимации:
- Аппроксимация ортогональными классическими полиномами.
- Аппроксимация каноническим полиномом
Но на практике их реализацию требуют редко.
Вот и вся основная информация по аппроксимации в Matlab, если остались вопросы, задавайте их в комментариях.
Скачать исходник первой задачи
Скачать исходник второй задачи
Поделиться ссылкой:
ПохожееПолучить функцию по точкам. Как по точкам найти функцию
Как построить график по n точкам? Самое простое — отметить их маркерами на координатной сетке. Однако для наглядности их хочется соединить, чтобы получить легко читаемую линию. Соединять точки проще всего отрезками прямых. Но график-ломаная читается довольно тяжело: взгляд цепляется за углы, а не скользит вдоль линии. Да и выглядят изломы не очень красиво. Получается, что кроме ломаных нужно уметь строить и кривые. Однако тут нужно быть осторожным, чтобы не получилось вот такого:
Метрика программного обеспечения — это функция системы, документации или процесса, которые могут быть объективно измерены. Вот некоторые примеры: размер программного обеспечения, количество зарегистрированных дефектов, количество тестовых примеров на случай использования, количество людей, необходимых для разработки системного модуля, среди прочих.
Метрики можно разделить на контроль или прогнозирование. Элементы управления обычно связаны с программными процессами, такими как: среднее усилие и время, необходимое для исправления дефекта.
Немного матчасти
Восстановление промежуточных значений функции, которая в данном случае задана таблично в виде точек P 1  … P n , называется интерполяцией. Есть множество способов интерполяции, но все они могут быть сведены к тому, что надо найти n  – 1 функцию для расчёта промежуточных точек на соответствующих сегментах. При этом заданные точки обязательно должны быть вычислимы через соответствующие функции. На основе этого и может быть построен график:Функции f i могут быть самыми разными, но чаще всего используют полиномы некоторой степени. В этом случае итоговая интерполирующая функция (кусочно заданная на промежутках, ограниченных точками P i ) называется сплайном .
Прогнозирующие показатели напрямую связаны с самой системой.
Примерами являются: цикломатрическая сложность, строки кода, размер класса и другие. Прогнозирующие показатели могут влиять на принятие решений руководителями проектов. Менеджеры используют показатели процесса, чтобы решить, нужно ли вносить изменения в процесс. Предиктивные меры также используются для оценки усилий, необходимых для создания или внесения изменений в программное обеспечение. В этой статье, когда мы ссылаемся на показатели программного обеспечения, мы будем иметь дело с теми, которые классифицируются как прогноз.
В разных инструментах для построения графиков — редакторах и библиотеках — задача «красивой интерполяции» решена по-разному. В конце статьи будет небольшой обзор существующих вариантов. Почему в конце? Чтобы после ряда приведённых выкладок и размышлений можно было поугадывать, кто из «серьёзных ребят» какие методы использует.
Показатели программного обеспечения являются индикаторами, возникающими в результате измерительной деятельности процесса разработки программного обеспечения, которые помогают в управлении проектами.
Существует несколько способов измерения системы. Еще некоторые, другие менее эффективны и эффективны. Некоторые вызывают больше, другие меньше влияют на команду. Некоторые из них могут применяться во всем программном процессе. В качестве примера можно привести строки кода, которые измеряют размер продукта.
Другим примером метрики является человекоподобное усилие или человеко-час. Ротация работоспособности также может считаться метрикой. Другими примерами являются точка использования и функциональная точка, которая является одной из наиболее часто используемых и широко распространенных показателей.
Ставим опыты
Самый простой пример — линейная интерполяция, в которой используются полиномы первой степени, а в итоге получается ломаная, соединяющая заданные точки.Давайте добавим немного конкретики. Вот набор точек (взяты почти с потолка):
0 0 20 0 45 -47 53 335 57 26 62 387 74 104 89 0 95 100 100 0
Результат линейной интерполяции этих точек выглядит так:
Однако, как отмечалось выше, иногда хочется получить в итоге гладкую кривую.
Анализ по функциональной точке имеет в качестве основной цели измерение функциональности системы на основе представления пользователя в соответствии со следующими характеристиками.
- База основана на представлении пользователя.
- Тем имеет смысл для конечных пользователей.
- Используются оценки Утилиза.
Что есть гладкость? Бытовой ответ: отсутствие острых углов. Математический: непрерывность производных. При этом в математике гладкость имеет порядок, равный номеру последней непрерывной производной, и область, на которой эта непрерывность сохраняется. То есть, если функция имеет гладкость порядка 1 на отрезке [a ; b ], это означает, что на [a ; b ] она имеет непрерывную первую производную, а вот вторая производная уже терпит разрыв в каких-то точках.
У сплайна в контексте гладкости есть понятие дефекта. Дефект сплайна — это разность между его степенью и его гладкостью. Степень сплайна — это максимальная степень использованных в нём полиномов.
Важно отметить, что «опасными» точками у сплайна (в которых может нарушиться гладкость) являются как раз P i , то есть точки сочленения сегментов, в которых происходит переход от одного полинома к другому. Все остальные точки «безопасны», ведь у полинома на области его определения нет проблем с непрерывностью производных.
Чтобы добиться гладкой интерполяции, нужно повысить степень полиномов и подобрать их коэффициенты так, чтобы в граничных точках сохранялась непрерывность производных.
Он в основном количественно определяет функции, содержащиеся в программном обеспечении, в значимых терминах для пользователей. Эта мера напрямую связана с функциональными требованиями. Хотя он очень популярен, его также критикуют многие авторы, которые считают, что это не объективная мера.
Чтобы рассказать о функциональной точке, необходимо выполнить несколько шагов, как показано на рисунке 1. Первый — это определить тип счета. На этом этапе вы определяете, что будет измеряться, тип подсчета, который будет использоваться для измерения дизайна программного обеспечения, как в процессе, так и в продукте. Возможны три типа подсчетов.
Традиционно для решения такой задачи используют полиномы третьей степени и добиваются непрерывности первой и второй производной. То, что получается, называют кубическим сплайном дефекта 1 . Вот как он выглядит для наших данных:
Счетчик проекта развития, счетчик проектов улучшения, количество приложений. . В упрощенном виде первая измеряет функциональность, предоставляемую конечным пользователям, когда проект готов к моменту его установки. Этот счет также охватывает преобразование данных, необходимых для развертывания программного обеспечения.
Второе измеряет модификации существующего приложения, которое включает в себя функции, включенные, измененные и исключенные из системы проектом, в дополнение к функциям преобразования данных.
Важно помнить, что всегда после подсчета обслуживания и его реализации количество функциональных точек приложения должно обновляться в соответствии с изменениями, внесенными в функциональные возможности. Это призвано постоянно обновлять подсчет точек функции приложения.
Кривая, действительно, гладкая. Но если предположить, что это график некоторого процесса или явления, который нужно показать заинтересованному лицу, то такой метод, скорее всего, не подходит. Проблема в ложных экстремумах. Появились они из-за слишком сильного искривления, которое было призвано обеспечить гладкость интерполяционной функции. Но зрителю такое поведение совсем не кстати, ведь он оказывается обманут относительно пиковых значений функции. А ради наглядной визуализации этих значений, собственно, всё и затевалось.
Так что надо искать другие решения.
Третий и последний тип счета измеряет функциональность, предоставляемую пользователю установленным приложением и в процессе производства, так что текущая функциональность имеет меру.
Шаги операций функции рисунка. Второй шаг для подсчета — это идентификация объема счета и границы приложения. На этом этапе область оцениваемой системы и ее граница ограничены.
Граница приложения определяет, что является внешним для приложения. — концептуальный интерфейс между приложением и внешними пользователями. Область определяет набор или подмножество программного обеспечения известного размера. Третий и четвертый шаги — это подсчет функций данных и функций транзакции. На этих шагах подсчитываются нескорректированные функциональные точки. На этих этапах рассматриваются.
Другое традиционное решение, кроме кубических сплайнов дефекта 1 — полиномы Лагранжа. Это полиномы степени n  – 1, принимающие заданные значения в заданных точках. То есть членения на сегменты здесь не происходит, вся последовательность описывается одним полиномом.
Но вот что получается:
Функции данных: внутренние логические файлы, файлы внешнего интерфейса, функции транзакции: внешние записи, внешние выходы и внешние запросы.
Логическая обработка не должна иметь математической формулы или вычисления и не должна генерировать производные данные.
Пятым шагом для подсчета является расчет коэффициента корректировки. Эти факторы связаны с характеристиками приложения. Он отвечает за исправление искажений предыдущего шага и основывается на общих характеристиках системы, в которой определены 14 элементов, которые определяют значение уровня влияния каждого из этих элементов размера системы.
Гладкость, конечно, присутствует, но наглядность пострадала так сильно, что… пожалуй, стоит поискать другие методы. На некоторых наборах данных результат выходит нормальный, но в общем случае ошибка относительно линейной интерполяции (и, соответственно, ложные экстремумы) может получаться слишком большой — из-за того, что тут всего один полином на все сегменты.
Легкость изменения. Шестой и последний шаг счетчика — это вычисление скорректированных точек функции. На этом шаге исправлены возможные искажения, возникающие при расчете нескорректированных функциональных точек, приближая измерения к реальной ситуации.
Обычно и по контракту корректирующие коэффициенты равны 1, так что они не влияют на нескорректированные функциональные точки.
Он делится на циклы, называемые спринтами. Именно в этих спринтах выполняются мероприятия по проекту. Его практика осуществляется по этапам, известным как «Совещание по планированию», «Ежедневный анализ», «Обзор и ретроспектива». Существует также «Заготовка продукта» и «Спринт-отставание», где перечислены действия по проекту и будут разделены спринтами. Для этого расчет производится по следующей формуле.
В компьютерной графике очень широко применяются кривые Безье , представленные полиномами k -й степени.
Они не являются интерполирующими, так как из k  + 1 точек, участвующих в построении, итоговая кривая проходит лишь через первую и последнюю. Остальные k  – 1 точек играют роль своего рода «гравитационных центров», притягивающих к себе кривую.
Вот пример кубической кривой Безье:
Как применить это в реальном случае? Пример 2 практической части этой статьи.
Пример 1 — Регистрация клиентов. В этом примере рассмотрим экран «Мастер клиента», показанный на рисунке 2. Рисунок каркаса клиента. Давайте рассмотрим все этапы только для примера.
Регистрация клиентов. . Подсчет транзакций. Извлекая сложность и общие функциональные точки как функций данных, так и функций транзакций, необходимо вычислить нескорректированные функциональные точки, умножив количество функций, определенных для заданной сложности, на их вклад. Наконец, добавьте все найденные точки функции. Давайте рассмотрим пример нашего клиента, как показано на рисунке 3.
Как это можно использовать для интерполяции? На основе этих кривых тоже можно построить сплайн. То есть на каждом сегменте сплайна будет своя кривая Безье k -й степени (кстати, k  = 1 даёт линейную интерполяцию). И вопрос только в том, какое k взять и как найти k  – 1 промежуточную точку.
Здесь бесконечно много вариантов (поскольку k ничем не ограничено), однако мы рассмотрим классический: k  = 3.
Чтобы итоговая кривая была гладкой, нужно добиться дефекта 1 для составляемого сплайна, то есть сохранения непрерывности первой и второй производных в точках сочленения сегментов (P i ), как это делается в классическом варианте кубического сплайна.
Решение этой задачи подробно (с исходным кодом) рассмотрено .
Вот что получится на нашем тестовом наборе:
Расчет коэффициента корректировки выполняется для каждого приложения для каждого счета. Важно помнить, что показанные факторы связаны с характеристиками приложения и могут влиять на его размер. После вычислений нескорректированных функциональных точек и коэффициента корректировки вычисляется функция, скорректированная по формуле.
Коэффициент корректировки тока: значение корректировки, обнаруженное после проекта технического обслуживания. Таким образом, размер функциональности, который будет реализован, будет составлять 13 пунктов. Пример 2 — Отчет о регистрации клиентов. В этом примере только один спринт будет использоваться для реализации функциональных возможностей и доведения его до завершения тестирования.
Запрос был подан в уже существующую систему и в производстве на клиенте.
Стало лучше: ложные экстремумы всё ещё есть, но хотя бы не так сильно отличаются от реальных.
Думаем и экспериментируем
Можно попробовать ослабить условие гладкости: потребовать дефект 2, а не 1, то есть сохранить непрерывность одной только первой производной.Достаточное условие достижения дефекта 2 в том, что промежуточные контрольные точки кубической кривой Безье, смежные с заданной точкой интерполируемой последовательности, лежат с этой точкой на одной прямой и на одинаковом расстоянии:
В качестве прямых, на которых лежат точки C i  – 1 (2) , P i и C i (1) , целесообразно взять касательные к графику интерполируемой функции в точках P i . Это гарантирует отсутствие ложных экстремумов, так как кривая Безье оказывается ограниченной ломаной, построенной на её контрольных точках (если эта ломаная не имеет самопересечений).
Будет использоваться владелец продукта клиента, специалист, который будет поднимать, описывать и определять приоритеты требований и правил, которые должны быть разработаны.
Прогноз «Идеальный день» был сделан для каждого вида деятельности с использованием шкалы, поэтому определение создания функциональности было всего лишь одним спринтом. При кодировании у нас будет 14, 5 дней. Остальные дни будут для документации, тестов и любых исправлений ошибок, обнаруженных командой тестирования.
Для расчета Идеального Дня было определено, что это будет считаться производительностью 90% в день 8 часов в день. Планирование показателей по Покеру было применено, и после нескольких обсуждений в итоге было достигнуто 125 баллов. Для каждой точки оценивалось почасовое значение в общей сложности 220 часов.
Методом проб и ошибок эвристика для расчёта расстояния от точки интерполируемой последовательности до промежуточной контрольной получилась такой:
Эвристика 1
Первая и последняя промежуточные контрольные точки равны первой и последней точке графика соответственно (точки C 1 (1) и C n  – 1 (2) совпадают с точками P 1 и P n соответственно).
В этом случае получается вот такая кривая:
Как видно, ложных экстремумов уже нет. Однако если сравнивать с линейной интерполяцией, местами ошибка очень большая. Можно сделать её ещё меньше, но тут в ход пойдут ещё более хитрые эвристики.
Отчет о регистрации клиентов. Для дидактических целей счет будет проходить через все этапы, как в примере 1. Проект улучшения. . Идентификация границы приложения. Извлекая сложность и общие функциональные точки как функций данных, так и функций транзакции, необходимо вычислить нескорректированные функциональные точки. Давайте посмотрим на наш пример отчета о записи клиентов на рисунке.
Рисунок Всего необычных точек функции. Коэффициент корректировки = 0, 65. Расчет скорректированных функциональных точек. После вычислений нескорректированных функциональных точек и коэффициента корректировки будет рассчитана функция, скорректированная в соответствии с формулой, представленной в примере 1.
К текущему варианту мы пришли, уменьшив гладкость на один порядок.
Можно сделать это ещё раз: пусть сплайн будет иметь дефект 3. По факту, тем самым формально функция не будет гладкой вообще: даже первая производная может терпеть разрывы. Но если рвать её аккуратно, визуально ничего страшного не произойдёт.
Отказываемся от требования равенства расстояний от точки P i до точек C i  – 1 (2) и C i (1) , но при этом сохраняем их все лежащими на одной прямой:
Таким образом, размер функциональности, который будет реализован, будет составлять 3. 03 функциональных пункта. Мы можем заключить, что точка функции является метрикой, ориентированной на пользователя. Они описывают, что программное обеспечение должно делать с точки зрения задач и услуг.
Тем не менее, это очень распространенный, стандартизированный и один из наиболее широко используемых сегодня. И главное, не учитывает ни язык программирования, ни «чувство» профессионала на момент разработки, как и многие другие стратегии. Тем не менее, можно сделать совместное из двух методов, где сложность может быть оценена с учетом оценок, сделанных разработчиками, и размера, с учетом взгляда пользователя.
Эвристика для вычисления расстояний будет такой:
Эвристика 2
Расчёт l 1 и l 2 такой же, как в «эвристике 1».
При этом, однако, стоит ещё проверять, не совпали ли точки P i и P i  + 1 по ординате, и, если совпали, полагать l 1  = l 2  = 0. Это защитит от «вспухания» графика на плоских отрезках (что тоже немаловажно с точки зрения правдивого отображения данных).
Результат получается такой:
В результате на шестом сегменте ошибка уменьшилась, а на седьмом — увеличилась: кривизна у Безье на нём оказалась больше, чем хотелось бы. Исправить ситуацию можно, принудительно уменьшив кривизну и тем самым «прижав» Безье ближе к отрезку прямой, которая соединяет граничные точки сегмента. Для этого используется следующая эвристика:
Эвристика 3
Если абсцисса точки пересечения касательных в точках P i (x i , y i ) и P i  + 1 (x i  + 1 , y i  + 1) лежит в отрезке [x i ; x i  + 1 ], то l 1 либо l 2 полагаем равным нулю. В том случае, если касательная в точке P i направлена вверх, нулю полагаем максимальное из l 1 и l 2 , если вниз — минимальное.
Результат следующий:
На этом было принято решение признать цель достигнутой.
Может быть, кому-то пригодится код .
А как люди-то делают?
Обещанный обзор. Конечно, перед решением задачи мы посмотрели, кто чем может похвастаться, а уже потом начали разбираться, как сделать самим и по возможности лучше. Но вот как только сделали, не без удовольствия ещё раз прошлись по доступным инструментам и сравнили их результаты с плодами наших экспериментов. Итак, поехали.MS Excel
Это очень похоже на рассмотренный выше сплайн дефекта 1, основанный на кривых Безье. Правда, в отличие от него в чистом виде, тут всего два ложных экстремума — первый и второй сегменты (у нас было четыре). Видимо, к классическому поиску промежуточных контрольных точек тут добавляются ещё какие-то эвристики. Но ото всех ложных экстремумов они не спасли.
LibreOffice Calc
В настройках это названо кубическим сплайном. Очевидно, он тоже основан на Безье, и вот тут уже точная копия нашего результата: все четыре ложных экстремума на месте.
Есть там ещё один тип интерполяции, который мы тут не рассматривали: B-сплайн. Но для нашей задачи он явно не подходит, так как даёт вот такой результат:)
Highcharts , одна из самых популярных JS-библиотек для построения диаграмм
Тут налицо «метод касательных» в варианте равенства расстояний от точки интерполируемой последовательности до промежуточных контрольных. Ложных экстремумов нет, зато есть сравнительно большая ошибка относительно линейной интерполяции (седьмой сегмент).
amCharts , ещё одна популярная JS-библиотека
Картина очень похожа на экселевскую, те же два ложных экстремума в тех же местах.
Coreplot , самая популярная библиотека построения графиков для iOS и OS X
Есть ложные экстремумы и видно, что используется сплайн дефекта 1 на основе Безье.
Библиотека открытая, так что можно посмотреть в код и убедиться в этом.
aChartEngine , вроде как самая популярная библиотека построения графиков для Android
Больше всего похоже на кривую Безье степени n  – 1, хотя в самой библиотеке график называется «cubic line». Странно! Как бы то ни было, тут не только присутствуют ложные экстремумы, но и в принципе не выполняются условия интерполяции.
Вместо заключения
В конечном счёте получается, что из «больших ребят» лучше всех проблему решили Highcharts. Но метод, описанный в этой статье, обеспечивает ещё меньшую ошибку относительно линейной интерполяции.Вообще, заняться этим пришлось по просьбе покупателей, которые зарепортили нам «острые углы» в качестве бага в нашем движке диаграмм . Будем рады, если описанный опыт кому-то пригодится.
Метки: Добавить метки
Инструкция
Определите степень полинома, который будет использован для интерполирования. Он имеет вид: Кn*Х^n + К(n-1)*Х^(n-1) +.0.
Если вы не можете найти линейную функцию , а точнее распознать ее среди многих, то не переживайте. Трудного в этом ничего нет. Всего лишь пару простых правил, и вы будете всегда отличать функции друг от друга.
Инструкция
Линейная функция является самой просто из основных школьных функций. Если вы только начали изучать их, то, несомненно, у вас могут возникнуть некоторые трудности по распознаванию. Учителя зачастую считают, что дети легко и быстро усваивают материал. Но бывает , что пропустишь всего лишь одно занятие, а уже материал стал более сложны и непонятным, и самому его не разобрать . Поэтому первым делом вам нужно начать с определения, в котором говорится, что линейной функцией называется функция вида f(x)=ax+b. То есть вам необходимо запомнить общий вид, с помощью которого вы сможете находить подобные и определять, что данные функции линейные.
Если общий вид не помогает, и вы все равно никак не разыщите линейную функцию , то вам поможет график. По точкам постройте чертеж (можно даже схематический). Запомните одну важную вещь: у линейной функции график всегда прямая. Поэтому, сделав рисунок , вы сразу же увидите, линейная она у вас либо нет.
В случае, если график не удается построить, есть еще один способ распознавания , который является одним из наиболее простых. Запомните раз и навсегда, что линейная функция имеет степень не выше второй, то есть квадратичная функция никак не может быть линейной, также как и кубическая, и функция четвертой, пятой степеней и так далее. Даже если функция равна числу и в левой части не содержит х, то все равно она будет линейной.
Обратите внимание
Рекомендуем также
Функция поиска уравнения по таблице точек
Поиск инструмента
Поиск по уравнениям функций
Инструмент для нахождения уравнения функции по ее точкам, ее координатам x, y = f (x) в соответствии с некоторыми методами интерполяции и алгоритмами поиска уравнений
Результаты
Функция поиска уравнений — dCode
Тег (и): Функции
Поделиться
dCode и другие
dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Ответы на вопросы (FAQ)
Как найти уравнение кривой?
Чтобы найти уравнение на графике:
Метод 1 (подгонка): проанализируйте кривую (посмотрев на нее), чтобы определить, какой тип функции это (линейная, экспоненциальная, логарифмическая, периодическая и т. Д.).) и укажите некоторые значения в таблице, и dCode найдет функцию, которая ближе всего подходит к этим точкам.
Метод 2 (интерполяция): из конечного числа точек существуют формулы, позволяющие создать многочлен, который проходит точно через эти точки (см. Интерполяция Лагранжа), указать значения определенных точек, и dCode вычислит проходящий полином по этим точкам. точки.
Как найти уравнение из набора точек?
Чтобы вывести уравнение функции из таблицы значений (или кривой), существует несколько математических методов.
Метод 1: обнаруживает замечательные решения , как и замечательные идентичности, иногда легко найти уравнение, анализируя значения (сравнивая два последовательных значения или идентифицируя определенные точные значения).
Пример: функция имеет для точек (пары $ (x, y) $) координаты: $ (1,2) (2,4), (3,6), (4,8) $, ординаты увеличиваются на 2, а абсциссы увеличиваются на 1, решение тривиально: $ f (x) = 2x $
Метод 2: использовать функцию интерполяции , более сложный, этот метод требует использования математических алгоритмов, которые могут найти многочлены, проходящие через любые точки.Наиболее известными интерполяциями являются лагранжева интерполяция, ньютоновская интерполяция и интерполяция Невилля.
NB: для данного набора точек существует бесконечное количество решений, потому что через определенные точки проходят бесконечные функции. dCode пытается предложить максимально упрощенные решения, основанные на аффинной функции или полиноме низкой степени (степени 2 или 3).
Как найти уравнение линии?
Задайте новый вопросИсходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Function Equation Finder.За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Function Equation Finder» (конвертер, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любая «Функция» Функция Equation Finder (вычисление, преобразование, решение, расшифровка / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.), Без загрузки данных , скрипт, копипаст или доступ к API для «Function Equation Finder» будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.
Нужна помощь?
Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!
Вопросы / комментарии
Сводка
Похожие страницы
Поддержка
Форум / Справка
Ключевые слова
уравнение, координата, кривая, точка, интерполяция, таблица
Ссылки
Источник: https: //www.dcode.2 + bx + c} \) задается тремя числами, разумно предположить, что мы могли бы подогнать параболу к трем точкам на плоскости. Это действительно так, и это полезная идея. На этом шаге мы увидим, как алгебраически подогнать параболу к трем точкам на декартовой плоскости. Это включает в себя вспоминание или обучение тому, как решить три уравнения с тремя неизвестными. Это полезный навык сам по себе.
Уникальный круг, проходящий через три неколлинеарных точки
Линия определяется двумя точками.С другой стороны, окружность определяется тремя точками, если эти точки не лежат на одной прямой (все три точки не могут лежать на одной линии). Построение круга, проходящего через три точки, является стандартным упражнением в евклидовой геометрии: мы строим серединные перпендикуляры отрезков прямых, определяемых этими тремя точками, а затем эти три прямые пересекаются в центре описанной окружности треугольника \ (\ normalsize { ABC} \), а именно центр единственной окружности, проходящей через все три точки.2 + bx + c} \), который проходит через точки \ (\ normalsize {[0,1], [1,5]} \) и \ (\ normalsize {[2,3]} \). Подставляя каждую из трех точек в уравнение, получаем \ [\ Large {1 = c} \] \ [\ Large {5 = a + b + c} \] \ [\ Large {3 = 4a + 2b + c} \] Это три уравнения с тремя неизвестными. 2 + 7x + 1} \).Вот график:Решение трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Поскольку два линейных уравнения представляют собой две прямые на плоскости, их общее решение соответствует геометрическому пересечению этих двух линий. Для трех линейных уравнений с тремя неизвестными ситуация фактически соответствует общей точке пересечения трех плоскостей в трехмерном пространстве! К счастью, древние китайцы смогли разработать общую методику решения таких систем уравнений. Здесь мы просто пытаемся найти простой практический метод.2 + bx + c} \), который проходит через точки \ (\ normalsize {[1,3], [2, -1]} \) и \ (\ normalsize {[4,1]} \). Это означает, что у нас есть три уравнения, по одному для каждой точки — поскольку мы знаем, что данные точки должны удовлетворять неизвестному уравнению. Три уравнения: \ [\ Large {3 = a + b + c} \ label {b1p} \ tag {1} \] \ [\ Large {-1 = 4a + 2b + c} \ label {b2p} \ tag {2} \ ] \ [\ Большой {1 = 16a + 4b + c}. \ label {b3p} \ tag 3 \] Какая стратегия? Это просто: мы пытаемся исключить одну из переменных, оставляя нам два уравнения с двумя неизвестными.Мы знаем, как решить эту проблему. Чтобы получить два уравнения с двумя переменными, давайте исключим \ (\ normalsize {c} \) из первых двух уравнений. Мы делаем это, вычитая одно из другого, скажем, вычитая первое из второго: \ [\ Large {-4 = 3a + b} \ label {b4p} \ tag {4} \] Пожалуйста, убедитесь, что вы понимаете, как мы это получили. Теперь проделаем то же самое с двумя последними уравнениями: возьмем третье уравнение и вычтем второе: \ [\ Large {2 = 12a + 2b} \] Мы можем сделать это немного проще, разделив все коэффициенты на \ (\ normalsize {2} \), чтобы получить \ [\ Large {1 = 6a + b}.\ label {b5p} \ tag {5} \] Теперь мы рассматриваем \ (\ normalsize {(\ ref {b5p})} \) и \ (\ normalsize {(\ ref {b4p})} \) как новые уравнения и используем их для нахождения \ (\ normalsize {a} \) и \ (\ normalsize {b} \). Если мы возьмем \ (\ normalsize {(\ ref {b5p})} \) — \ (\ normalsize {(\ ref {b4p})} \), мы получим \ (\ normalsize {5 = 3a} \), так что \ (\ normalsize {a = 5/3} \), а затем снова подключиться к \ (\ normalsize {(\ ref {b3p})} \) или \ (\ normalsize {(\ ref {b4p})} \ ) дает \ (\ normalsize {b = -9} \). Затем поместив их обратно в, скажем, \ (\ normalsize {(\ ref {b1p})} \), получим \ (\ normalsize {3 = 5 / 3-9 + c} \), так что \ (\ normalsize {c = 31/3} \).2-20л + 17 \ вправо) \). Обратите внимание, что это не функция.Линейные уравнения в координатной плоскости (Алгебра 1, Визуализация линейных функций) — Mathplanet
Линейное уравнение — это уравнение с двумя переменными, график которого представляет собой линию. График линейного уравнения — это набор точек на координатной плоскости, которые все являются решениями уравнения. Если все переменные представляют собой действительные числа, можно изобразить уравнение, нанеся на график достаточно точек для распознавания шаблона, а затем соединить точки, чтобы включить все точки.
Если вы хотите построить график линейного уравнения, у вас должно быть как минимум две точки, но обычно рекомендуется использовать более двух точек. При выборе очков старайтесь включать как положительные, так и отрицательные значения, а также ноль.
Пример
Постройте функцию y = x + 2
Начните с выбора пары значений для x, например -2, -1, 0, 1 и 2 и вычислите соответствующие значения y.
| X | Y = х + 2 | Заказанная пара |
| -2 | -2 + 2 = 0 | (-2, 0) |
| -1 | -1 + 2 = 1 | (-1, 1) |
| 0 | 0 + 2 = 2 | (0, 2) |
| 1 | 1 + 2 = 3 | (1, 3) |
| 2 | 2 + 2 = 4 | (2, 4) |
Теперь вы можете просто нанести пять упорядоченных пар на координатную плоскость
На данный момент это пример дискретной функции.Дискретная функция состоит из изолированных точек.
Проведя линию через все точки и продолжая линию в обоих направлениях, мы получаем противоположность дискретной функции, непрерывную функцию, которая имеет непрерывный график.
Если вы хотите использовать только две точки для определения вашей линии, вы можете использовать две точки, где график пересекает оси. Точка, в которой график пересекает ось x, называется отрезком x, а точка, в которой график пересекает ось y, называется отрезком y.Пересечение по оси x находится путем нахождения значения x, когда y = 0, (x, 0), а точка пересечения по оси y находится путем нахождения значения y, когда x = 0, (0, y).
Стандартная форма линейного уравнения —
$$ Ax + By = C, \: \: A, B \ neq 0 $$
Прежде чем вы сможете построить линейное уравнение в его стандартной форме, вы сначала должны решить уравнение относительно y.
$$ 2y-4x = 8 $$
$$ 2y-4x \, {\ color {green} {+ \, 4x}} = 8 \, {\ color {green} {+ \, 4x}} $$
$$ 2y = 4x + 8 $$
$$ \ frac {2y} {{\ color {green} 2}} = \ frac {4x} {{\ color {green} 2}} + \ frac {8} {{\ color {green} 2}}
$$$ y = 2x + 4 $$
Отсюда вы можете построить уравнение, как в примере выше.
График y = a представляет собой горизонтальную линию, где прямая проходит через точку (0, a)
В то время как график x = a представляет собой вертикальную линию, проходящую через точку (a, 0)
Видеоурок
Постройте график линейного уравнения y = 3x — 2
Функции: графики и пересечения
Предполагать ж ( Икс ) а также грамм ( Икс ) это две функции, которые принимают на входе действительное число и выводят действительное число.
Тогда точки пересечения ж ( Икс ) а также грамм ( Икс ) эти числа Икс для которого ж ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) .
Иногда точные значения легко найти, решив уравнение ж ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) алгебраически.
Пример 1:
Какие точки пересечения функций ж ( Икс ) а также грамм ( Икс ) если ж ( Икс ) знак равно Икс + 6 а также грамм ( Икс ) знак равно — Икс ?
Точки пересечения ж ( Икс ) а также грамм ( Икс ) эти числа Икс для которого ж ( Икс ) знак равно грамм ( Икс ) .
Это, Икс + 6 знак равно — Икс .
Решить для Икс .
Икс + 6 знак равно — Икс 2 Икс + 6 знак равно 0 2 Икс знак равно — 6 Икс знак равно — 3
Теперь вы можете использовать значение Икс найти соответствующий у -координата точки пересечения.
Подставьте значение Икс в любой из двух функций.
грамм ( — 3 ) знак равно — ( — 3 ) знак равно 3
Уравнения также можно решить графически, построив две функции на координатной плоскости и указав точку их пересечения.
В других случаях бывает сложно найти точные значения. Возможно, вам потребуется использовать технологию для их оценки.
Пример 2:
Найдите точку (точки) пересечения двух функций.
ж ( Икс ) знак равно | Икс — 5 | грамм ( Икс ) знак равно бревно Икс
Здесь не так-то просто решить алгебраически.Решения уравнения | Икс — 5 | знак равно бревно Икс не являются красивыми рациональными числами.
Изобразите функции на координатная плоскость .
Вы можете использовать графическую утилиту, чтобы определить, что координаты точек пересечения приблизительно равны ( 4,36 , 0,64 ) а также ( 5.76 , 0,76 ) .
1.1: Четыре способа представления функции
Цели обучения
- Определите, представляет ли отношение функцию.
- Найдите значение функции.
- Определите, является ли функция взаимно однозначной.
- Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
- Изобразите функции, перечисленные в библиотеке функций.
Авиалайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета.Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.
Определение того, представляет ли отношение функцию
Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном.Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.
\ [\ {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10) \} \ tag {1.1.1} \]
Домен \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Диапазон равен \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).
Обратите внимание, что каждое значение в домене также известно как входное значение или независимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (x \).Каждое значение в диапазоне также известно как выходное значение или зависимая переменная и часто обозначается строчной буквой \ (y \).
Функция \ (f \) — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене. Другими словами, никакие \ (x \) — значения не повторяются. Для нашего примера, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, {1, 2, 3, 4, 5}, связан ровно с одним элементом в диапазон, \ (\ {2, 4, 6, 8, 10 \} \).
Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Он будет выглядеть как
\ [\ mathrm {\ {(нечетное, 1), (четное, 2), (нечетное, 3), (четное, 4), (нечетное, 5) \}} \ tag {1.1.2} \]
Обратите внимание, что каждый элемент в домене {четный, нечетный} не связан ровно с одним элементом в диапазоне \ (\ {1, 2, 3, 4, 5 \} \). Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из области \ (\ {1, 3, 5 \} \), а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона \ (\ {2, 4 \} \).Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.
На рисунке \ (\ PageIndex {1} \) сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.
Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): (a) Это отношение является функцией, потому что каждый вход связан с одним выходом. Обратите внимание, что входные \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). (б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Это отношение не является функцией, потому что вход \ (q \) связан с двумя разными выходами.Функция
Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».
Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .
Как сделать: учитывая связь между двумя величинами, определите, является ли связь функцией
- Определите входные значения.
- Определите выходные значения.
- Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, классифицируйте отношение как функцию. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, не классифицируйте отношение как функцию.
Пример \ (\ PageIndex {1} \): определение того, являются ли прайс-листы меню функциями
Меню кофейни, показанное на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), состоит из предметов и их цен.
- Цена зависит от товара?
- Является ли товар функцией цены?
Решение
- Начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены. См. Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).
У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена зависит от элемента.
- Два пункта меню имеют одинаковую цену.Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных. См. Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).
Следовательно, товар не зависит от цены.
Пример \ (\ PageIndex {2} \): определение того, являются ли правила оценки класса функциями
В конкретном математическом классе общая процентная оценка соответствует среднему баллу.Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице \ (\ PageIndex {1} \) показано возможное правило назначения оценок.
| Процентное содержание | 0–56 | 57–61 | 62–66 | 67–71 | 72–77 | 78–86 | 87–91 | 92–100 |
| Средний балл | 0.0 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 | 4,0 |
Решение
Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.
В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу. Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.
Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)
Таблица \ (\ PageIndex {2} \) перечисляет пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.
| Игрок | Рейтинг |
|---|---|
| Бэйб Рут | 1 |
| Уилли Мейс | 2 |
| Тай Кобб | 3 |
| Уолтер Джонсон | 4 |
| Хэнк Аарон | 5 |
- Является ли ранг функцией имени игрока?
- Имя игрока зависит от ранга?
- Ответьте на
Есть
- Ответ б
да.(Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)
Использование обозначения функций
Как только мы определим, что отношение является функцией, нам нужно отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли понять и использовать их, а иногда также, чтобы мы могли программировать их в компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартные обозначения функций — это одно из представлений, облегчающих работу с функциями.
Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных \ (h \) для роста и \ (a \) для возраста. Буквы \ (f \), \ (g \) и \ (h \) часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем \ (x \), \ (y \) и \ (z \) для обозначения числа и \ (A \), \ (B \) и \ (C \) для представления множеств.
\ [\ begin {array} {ll} h \ text {is} f \ text {of} a \; \; \; \; \; \; & \ text {Назовем функцию} f \ text {; высота является функцией возраста.} \\ h = f (a) & \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции.} \\ f (a) & \ text {Мы называем функцию} f \ text {; выражение читается как «} f \ text {of} a \ text {.»} \ end {array} \]
Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; обозначение \ (h (a) \) показывает нам, что \ (h \) зависит от \ (a \). Значение \ (a \) необходимо поместить в функцию \ (h \), чтобы получить результат. Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.
Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции.Например, \ (f (a + b) \) означает «сначала сложите \ (a \) и \ (b \), и результат будет входом для функции \ (f \)». Для получения правильного результата операции необходимо выполнять именно в таком порядке.
Обозначение функций
Запись \ (y = f (x) \) определяет функцию с именем \ (f \). Это читается как «\ (y \) является функцией \ (x \)». Буква \ (x \) представляет входное значение или независимую переменную. Буква \ (y \) или \ (f (x) \) представляет выходное значение или зависимую переменную.
Пример \ (\ PageIndex {3} \): использование обозначения функций для дней в месяце
Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце.
Решение
Использование обозначения функций для дней в месяце
Используйте обозначение функции для представления функции, вход которой является названием месяца, а выход — количеством дней в этом месяце.
Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию \ (f \), мы напишем \ (\ text {days} = f (\ text {month}) \) или \ (d = f (m) \). Название месяца — это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.
Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): функция \ (31 = f (январь) \), где 31 — результат, f — правило, а январь — вход.Например, \ (f (\ text {March}) = 31 \), потому что в марте 31 день. Обозначение \ (d = f (m) \) напоминает нам, что количество дней, \ (d \) (выход), зависит от названия месяца \ (m \) (вход).
Анализ
Обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода.Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.
Пример \ (\ PageIndex {3B} \): интерпретация обозначения функции
Функция \ (N = f (y) \) дает количество полицейских \ (N \) в городе в году \ (y \). Что означает \ (f (2005) = 300 \)?
Решение
Когда мы читаем \ (f (2005) = 300 \), мы видим, что входной год — 2005. Выходное значение, количество полицейских \ ((N) \), равно 300.Помните, \ (N = f (y) \). Утверждение \ (f (2005) = 300 \) говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.
Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)
Используйте обозначение функций, чтобы выразить вес свиньи в фунтах как функцию ее возраста в днях \ (d \).
- Ответ
\ (ш = е (г) \)
Вопросы и ответы
Вместо обозначения, такого как \ (y = f (x) \), можем ли мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например, \ (y = y (x) \), означающий «\ (y \) является функцией \ (x \)? »
Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится проводить различие между такой функцией, как \ (f \) , которая является правилом или процедурой, и выходом y, который мы получаем, применяя \ (f \) к конкретному ввод \ (x \) . Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как \ (y = f (x), P = W (d) \) и т. Д.
Представление функций с помощью таблиц
Общий метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.
Таблица \ (\ PageIndex {3} \) перечисляет входное число каждого месяца (\ (\ text {Январь} = 1 \), \ (\ text {Февраль} = 2 \) и т. Д.) И вывод значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце \ (f \), где \ (D = f (m) \) идентифицирует месяцы целым числом, а не именем.
Номер месяца, \ (м \) (ввод) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Дней в месяце, \ (D \) (вывод) | 31 | 28 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 | 31 | 30 | 31 | 30 | 31 |
Таблица \ (\ PageIndex {4} \) определяет функцию \ (Q = g (n) \) Помните, это обозначение говорит нам, что \ (g \) — это имя функции, которая принимает входные данные \ (n \) и дает результат \ (Q \).
\ (п \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \ (Q \) | 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Таблица \ (\ PageIndex {5} \) отображает возраст детей в годах и соответствующий им рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Мы сразу видим, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма.
Возраст в годах, \ (a \) (ввод) | 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Высота в дюймах, \ (h \) (выход) | 40 | 42 | 44 | 47 | 50 | 52 | 54 |
Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию
- Определите входные и выходные значения.
- Проверьте, сопряжено ли каждое входное значение только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.
Пример \ (\ PageIndex {5} \): определение таблиц, представляющих функции
Какая таблица, Таблица \ (\ PageIndex {6} \), Таблица \ (\ PageIndex {7} \) или Таблица \ (\ PageIndex {8} \), представляет функцию (если есть)?
| Ввод | Выход |
|---|---|
| 2 | 1 |
| 5 | 3 |
| 8 | 6 |
| Ввод | Выход |
|---|---|
| -3 | 5 |
| 0 | 1 |
| 4 | 5 |
| Ввод | Выход |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 5 | 2 |
| 5 | 4 |
Решение
Таблица \ (\ PageIndex {6} \) и Таблица \ (\ PageIndex {7} \) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.
Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.
Функция, представленная таблицей \ (\ PageIndex {6} \), может быть представлена записью
\ [f (2) = 1 \ text {,} f (5) = 3 \ text {и} f (8) = 6 \ nonumber \]
Аналогично выписки
\ [g (−3) = 5 \ text {,} g (0) = 1 \ text {и} g (4) = 5 \ nonumber \]
представляют функцию в таблице \ (\ PageIndex {7} \).
Таблица \ (\ PageIndex {8} \) не может быть выражена аналогичным образом, потому что она не представляет функцию.
Упражнение \ (\ PageIndex {5} \)
Представляет ли таблица \ (\ PageIndex {9} \) функцию?
| Ввод | Выход |
|---|---|
| 1 | 10 |
| 2 | 100 |
| 3 | 1000 |
- Ответ
да
Поиск входных и выходных значений функции
Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию.Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.
Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем вход. Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.
Вычисление функций в алгебраических формах
Когда у нас есть функция в форме формулы, вычислить ее обычно несложно.2 + 2p − 3 = 0 & \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны.} \\ (p + 3) (p − 1) = 0 & \ text {Factor.} \ End {array} \ nonumber \]
Если \ ((p + 3) (p − 1) = 0 \), либо \ ((p + 3) = 0 \), либо \ ((p − 1) = 0 \) (или оба они равны \ (0 \)). Мы установим каждый множитель равным \ (0 \) и решим относительно \ (p \) в каждом случае.
\ [(p + 3) = 0, \; p = −3 \ nonumber \]
\ [(p − 1) = 0, \, p = 1 \ nonumber \]
Это дает нам два решения. Выход \ (h (p) = 3 \), когда вход либо \ (p = 1 \), либо \ (p = −3 \). Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке \ (\ PageIndex {6} \).2 + 2п \)
Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)
Учитывая функцию \ (g (m) = \ sqrt {m − 4} \), решите \ (g (m) = 2 \).
- Ответ
\ (м = 8 \)
Вычисление функций, выраженных в формулах
Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения . Если можно выразить выход функции с помощью формулы, включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме.Например, уравнение \ (2n + 6p = 12 \) выражает функциональную связь между \ (n \) и \ (p \). Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли \ (p \) функцией \ (n \).
Как: Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.
- Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства, а другую сторону как выражение, которое включает только входную переменную.
- Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.
Пример \ (\ PageIndex {8A} \): поиск уравнения функции
Выразите отношение \ (2n + 6p = 12 \) как функцию \ (p = f (n) \), если это возможно.
Решение
Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где \ (p \) является функцией \ (n \), что означает запись его как \ (p = [\ text {выражение с участием} п] \).
\ [\ begin {align *} 2n + 6p & = 12 \\ 6p & = 12−2n && \ text {Вычтите 2n с обеих сторон.} \\ p & = \ dfrac {12−2n} {6} & & \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите.} \\ p & = \ frac {12} {6} — \ frac {2n} {6} \\ p & = 2− \ frac {1} {3} n \ end {align *} \]
Следовательно, \ (p \) как функция от \ (n \) записывается как
\ [p = f (n) = 2− \ frac {1} {3} n \ nonumber \]
Анализ
Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, можно также выразить как функцию с формулой. 2 = 1 \) функцию с \ (x \) на входе и \ (y \) на выходе? Если это так, выразите отношение как функцию \ (y = f (x) \).y \), если мы хотим выразить y как функцию от x, не существует простой алгебраической формулы, включающей только \ (x \), которая равна \ (y \). Однако каждый \ (x \) определяет уникальное значение для \ (y \), и существуют математические процедуры, с помощью которых \ (y \) можно найти с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для \ (y \) как функции \ (x \), даже если формулу нельзя записать явно.
Оценка функции, заданной в табличной форме
Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц.И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев. И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.
Функция, которая связывает тип питомца с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы (Table \ (\ PageIndex {10} \)).
Память питомца | интервал в часах |
|---|---|
| Щенок | 0,008 |
| Взрослая собака | 0.083 |
| Кот | 3 |
| Золотая рыбка | 2160 |
| Бета-рыба | 3600 |
Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию \ (P \). Область функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память питомца.Мы можем оценить функцию \ (P \) при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали \ (P (золотая рыбка) = 2160 \). Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции P кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.
Как сделать: для функции, представленной в виде таблицы, определить конкретные выходные и входные значения
1.Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.
Пример \ (\ PageIndex {9} \): Вычисление и решение табличной функции
Использование таблицы \ (\ PageIndex {11} \),
а. Оцените \ (g (3) \).
г. Решите \ (g (n) = 6 \).
\ (п \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \ (г (п) \) | 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Решение
а.Вычисление \ (g (3) \) означает определение выходного значения функции \ (g \) для входного значения \ (n = 3 \). Выходное значение таблицы, соответствующее \ (n = 3 \), равно 7, поэтому \ (g (3) = 7 \).
г. Решение \ (g (n) = 6 \) означает определение входных значений n, которые производят выходное значение 6. Таблица \ (\ PageIndex {12} \) показывает два решения: 2 и 4.
\ (п \) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| \ (г (п) \) | 8 | 6 | 7 | 6 | 8 |
Когда мы вводим 2 в функцию \ (g \), на выходе получается 6.Когда мы вводим 4 в функцию \ (g \), наш результат также равен 6.
Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)
Используя Table \ (\ PageIndex {12} \), вычислите \ (g (1) \).
- Ответ
\ (г (1) = 8 \)
Поиск значений функций из графика
Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.
Пример \ (\ PageIndex {10} \): чтение значений функций из графика
Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \),
- Вычислить \ (f (2) \).
- Решите \ (f (x) = 4 \).
Решение
Чтобы оценить \ (f (2) \), найдите точку на кривой, где \ (x = 2 \), затем прочтите координату y этой точки.Точка имеет координаты \ ((2,1) \), поэтому \ (f (2) = 1 \). См. Рисунок \ (\ PageIndex {8} \).
\ (\ PageIndex {8} \): график положительной параболы с центром в \ ((1, 0) \) с отмеченной точкой \ ((2, 1) \), где \ (f (2) = 1 \) .Чтобы решить \ (f (x) = 4 \), мы находим выходное значение 4 на вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по прямой \ (y = 4 \), мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением 4: \ ((- 1,4) \) и \ ((3,4) \). Эти точки представляют два решения \ (f (x) = 4 \): −1 или 3. Это означает \ (f (−1) = 4 \) и \ (f (3) = 4 \), или когда вход — -1 или 3, выход — 4.См. Рисунок \ (\ PageIndex {9} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): График обращенной вверх параболы с вершиной в \ ((0,1) \) и помеченными точками в \ ((- 1, 4) \) и \ ((3 , 4) \). Прямая в точке \ (y = 4 \) пересекает параболу в отмеченных точках.Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)
Учитывая график на рисунке \ (\ PageIndex {7} \), решите \ (f (x) = 1 \).
- Ответ
\ (x = 0 \) или \ (x = 2 \)
Определение того, является ли функция однозначной
Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям.Например, на биржевой диаграмме, показанной на рисунке в начале этой главы, цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.
Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа. Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в Таблице \ (\ PageIndex {13} \).
| Letter Grade | Средний балл |
|---|---|
| A | 4,0 |
| В | 3,0 |
| С | 2,0 |
| D | 1,0 |
Эта система оценок представляет собой функцию «один-к-одному», потому что каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.
Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, изображенные на рисунках \ (\ PageIndex {1a} \) и \ (\ PageIndex {1b} \). Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является взаимно однозначной, потому что входы \ (q \) и \ (r \) оба дают выход \ (n \). Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.
Индивидуальные функции
Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.2 \). Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: \ (\ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} \). Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.
Упражнение \ (\ PageIndex {11A} \)
- Является ли остаток функцией номера банковского счета?
- Является ли номер банковского счета функцией баланса?
- Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?
- Ответ
а.да, потому что на каждом банковском счете в любой момент времени имеется единый баланс;
г. нет, потому что несколько номеров банковских счетов могут иметь одинаковый баланс;
г. нет, потому что один и тот же выход может соответствовать более чем одному входу.
Упражнение \ (\ PageIndex {11B} \)
Оцените следующее:
- Если каждая процентная оценка, полученная на курсе, соответствует одной буквенной оценке, является ли буквенная оценка функцией процентной оценки?
- Если да, то функция взаимно однозначная?
- Ответ
а.Да, буквенная оценка является функцией процентной оценки;
г. Нет, не один на один. Мы могли бы получить 100 различных процентных чисел, но только около пяти возможных буквенных оценок, поэтому не может быть только одного процентного числа, соответствующего каждой буквенной оценке.
Использование теста вертикальной линии
Как мы видели в некоторых примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика. Графики отображают огромное количество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений.Обычно графики строятся с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.
Наиболее распространенные графики называют входное значение \ (x \) и выходное значение \ (y \), и мы говорим, что \ (y \) является функцией \ (x \), или \ (y = f (x) \), когда функция названа \ (f \). График функции — это совокупность всех точек \ ((x, y) \) на плоскости, которая удовлетворяет уравнению \ (y = f (x) \). Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующим выходным значением.Например, черные точки на графике на рисунке \ (\ PageIndex {10} \) говорят нам, что \ (f (0) = 2 \) и \ (f (6) = 1 \). Однако множество всех точек \ ((x, y) \), удовлетворяющих \ (y = f (x) \), является кривой. Показанная кривая включает \ ((0,2) \) и \ ((6,1) \), потому что кривая проходит через эти точки
. Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): График многочлена.Тест вертикальной линии можно использовать для определения того, представляет ли график функцию. Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию, которая пересекает график более одного раза, то график не определяет функцию, потому что функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.См. Рисунок \ (\ PageIndex {11} \) .
Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): три графика, наглядно демонстрирующие, что является функцией, а что нет.Практическое руководство. Имея график, используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию
- Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная вертикальная линия кривую более одного раза.
- Если такая линия есть, определите, что график не представляет функцию.
Пример \ (\ PageIndex {12} \): Применение теста вертикальной линии
Какой из графиков на рисунке \ (\ PageIndex {12} \) представляет (ы) функцию \ (y = f (x) \)?
Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): график полинома (a), наклонной вниз прямой (b) и круга (c).Решение
Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) рисунка \ (\ PageIndex {12} \). Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что не более чем значений x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {13} \).
Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): График круга.Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)
Представляет ли график на рисунке \ (\ PageIndex {14} \) функцию?
Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): График функции абсолютного значения.- Ответ
да
Использование теста горизонтальной линии
После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли она взаимно однозначной функцией, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Если какая-либо горизонтальная линия пересекает график более одного раза, то график не представляет собой взаимно однозначную функцию.
Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию
- Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
- Если такая линия есть, определите, что функция не взаимно однозначна.
Пример \ (\ PageIndex {13} \): Применение теста горизонтальной линии
Рассмотрим функции, показанные на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) и рисунке \ (\ PageIndex {12b} \). Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?
Решение
Функция на рисунке \ (\ PageIndex {12a} \) не является взаимно однозначной. Горизонтальная линия, показанная на рисунке \ (\ PageIndex {15} \), пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках.)
Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): График многочлена с горизонтальной линией, пересекающей 2 точкиФункция на рисунке \ (\ PageIndex {12b} \) взаимно однозначна. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.
Упражнение \ (\ PageIndex {13} \)
Является ли график, показанный на рисунке \ (\ PageIndex {13} \), взаимно однозначным?
- Ответ
Нет, потому что он не проходит тест горизонтальной линии.
В этом тексте мы будем исследовать функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. 2} \)
Ключевые понятия
- Отношение — это набор упорядоченных пар.Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
- Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме \ (y = f (x) \).
- В табличной форме функция может быть представлена строками или столбцами, которые относятся к входным и выходным значениям.
- Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
- Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
- Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
- Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
- Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
- Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
- График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
- График функции «один к одному» проходит проверку горизонтальной линии.
Глоссарий
зависимая переменная
выходная переменная
домен
набор всех возможных входных значений для отношения
функция
отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение
Проверка горизонтальной линии
Метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза
независимая переменная
входная переменная
введите
каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция
однозначная функция
функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода
вывод
каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию
диапазон
набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении
отношение
набор заказанных пар
Проверка вертикальной линии
Метод проверки того, представляет ли график функцию, путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза
Авторы и авторство
Как рассчитать уклон в точке — Видео и стенограмма урока
Нахождение уклона в точке Шаги
Хорошо, теперь мы знаем взаимосвязь между производными и уклонами.Это соотношение уступает место этапам нахождения наклона функции в заданной точке ( x 1, y 1):
- Найдите производную функции (есть много разных способов сделать это, в зависимости от на функции) и
- Вставьте значение x , x 1 точки в производную (это наклон функции в точке)
Довольно просто, правда? Давайте применим это на практике! Снова рассмотрим наш пример с бассейном.Предположим, вода стекает 15 минут. Мы можем подключить 15 для x , чтобы увидеть, сколько воды осталось в бассейне:
A (15) = 4 (15) 2 — 320 (15) + 6400 = 2500
Через 15 минут слива , в бассейне осталось 2500 галлонов воды. Если мы хотим узнать скорость, с которой пул истощается в этот момент, мы просто выполняем функцию через предыдущие шаги.
Сначала находим производную функции. Для этой функции мы используем следующие факты, чтобы найти производную:
- Производная суммы или разницы — это сумма или разность производных, соответственно
- Производная константы равна 0, а
- Производная от a x n is тревога n -1
Таким образом, производная A ( x ) = 4 x 2 — 320 x + 6400 равна A ‘( x ) = 8 x — 320
Следующий шаг состоит в том, чтобы вставить x = 15 в A ‘:
A ‘ (15) = 8 * 15 — 320 = -200
. вода, выходящая из бассейна, составляет 200 галлонов в минуту.Не позволяйте отрицательному ответу сбивать вас с толку. Это отрицательно, потому что вода уходит из бассейна, поэтому количество воды уменьшается. Если бы мы наполняли бассейн, то было бы положительно. В общем, когда значение функции уменьшается, ее наклон отрицательный, а когда значение функции увеличивается, ее наклон положительный.
Обратите внимание: если мы проведем касательную линию к графику функции, где x = 15, мы увидим, что это выглядит так, как будто наклон линии составляет примерно -200.
Мы видим, что мы вычислили наклон кривой в точке (15, 2500).
Дополнительная практика
Предположим, мы хотели узнать, как быстро истощается пул через 20 минут. Это тот же процесс. Мы уже нашли производную, поэтому просто подставляем x = 20 в производную A :
A ‘(20) = 8 * 20 — 320 = -160
Мы видим, что через 20 минут слива, вода выходит из бассейна со скоростью 160 галлонов в минуту.Опять же, мы можем заметить, что наклон касательной к кривой при x = 20 выглядит примерно как -160, поэтому мы знаем, что сделали это правильно.
Резюме урока
Хорошо, давайте на минутку рассмотрим то, что мы узнали. Производная функции дает формулу, которая позволяет нам вычислить наклон функции в любой заданной точке. Чтобы найти наклон функции в точке ( x 1, y 1), мы используем следующие шаги:
- Найдите производную функции и
- Вставьте x 1 в производную для x
Это дает вам наклон функции в точке ( x 1, y 1).
По сути, когда мы находим наклон функции в данной точке, мы находим скорость изменения этой функции в этой точке. Поскольку скорость изменений в мире вокруг нас постоянно меняется, это чрезвычайно полезное знание!
Линейные функции и их графики
Обзор линий графика
Напомним, что множество всех решений линейного уравнения может быть представлено на прямоугольной координатной плоскости с использованием прямой линии, проходящей по крайней мере через две точки; эта линия называется ее графиком.Например, чтобы построить график линейного уравнения 8x + 4y = 12, мы сначала решим для y .
8x + 4y = 12 Вычтем 8x с обеих сторон. 4y = −8x + 12 Разделим обе части на 4.y = −8x + 124 Упростим. Y = −8×4 + 124y = −2x + 3
В таком виде мы видим, что y зависит от x ; другими словами, x — это независимая переменная, которая определяет значения других переменных. Обычно мы думаем о x -значении упорядоченной пары ( x , y ) как о независимой переменной.и y — зависимая переменная — переменная, значение которой определяется значением независимой переменной. Обычно мы думаем о значении y упорядоченной пары ( x , y ) как о зависимой переменной. Выберите по крайней мере два значения x и найдите соответствующие значения y . Рекомендуется выбирать ноль, некоторые отрицательные числа, а также некоторые положительные числа. Здесь мы выберем пять значений x , определим соответствующие значения y , а затем сформируем репрезентативный набор упорядоченных парных решений.
x | л | y = −2x + 3 | Решения |
|---|---|---|---|
-2 | 7 | y = −2 (−2) + 3 = 4 + 3 = 7 | (-2, 7) |
-1 | 5 | y = −2 (−1) + 3 = 2 + 3 = 5 | (-1, 5) |
0 | 3 | y = −2 (0) + 3 = 0 + 3 = 3 | (0, 3) |
4 | −5 | y = −2 (4) + 3 = −8 + 3 = −5 | (4, −5) |
6 | −9 | y = −2 (6) + 3 = −12 + 3 = −9 | (6, −9) |
Постройте точки и проведите через них линию с помощью линейки.Не забудьте добавить стрелки на обоих концах, чтобы указать, что график неограничен.
Получившаяся линия представляет все решения 8x + 4y = 12, которых бесконечно много. Вышеупомянутый процесс описывает метод построения графиков, известный как построение точек. Способ определения графика с использованием конечного числа типичных упорядоченных парных решений. Этот метод будет использоваться для построения графиков более сложных функций по мере продвижения в этом курсе.
Крутизну любого наклона можно измерить как отношение вертикального изменения к горизонтальному.Например, уклон 5% можно записать как 5100, что означает, что на каждые 100 футов вперед высота увеличивается на 5 футов.
В математике мы называем наклон линии наклоном Наклон линии, измеряемый как отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению, часто называемый «подъем через пробег», обозначается буквой м . Вертикальное изменение называется подъемом. Вертикальное изменение между любыми двумя точками на линии. Горизонтальное изменение называется пробегом. Горизонтальное изменение между любыми двумя точками на линии.. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2) мы можем получить подъем и бег, вычитая соответствующие координаты.
Это приводит нас к формуле наклона. Наклон прямой, проходящей через точки (x1, y1) и (x2, y2), задается формулой m = y2 − y1x2 − x1 .. Для любых двух точек (x1, y1) и (x2, y2), наклон определяется по формуле:
Наклон m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx ← Изменение y ← Изменение x
Греческая буква дельта (Δ) часто используется для описания изменения количества.Поэтому наклон иногда описывается с использованием обозначения ΔyΔx, которое представляет изменение y , деленное на изменение x .
Пример 1
Найдите наклон прямой, проходящей через (−3, −5) и (2, 1).
Решение:
Учитывая (−3, −5) и (2, 1), вычислите разницу значений y , деленную на разность значений x . Будьте последовательны при вычитании координат:
(x1, y1) (x2, y2) (- 3, −5) (2,1)
м = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 5) 2 — (- 3) = 1 + 52 + 3 = 65
Неважно, какую точку вы считаете первой или второй.Однако, поскольку вычитание не является коммутативным, вы должны позаботиться о том, чтобы вычесть координаты первой точки из координат второй точки в том же порядке. Например, мы получим тот же результат, если применим формулу наклона с переключенными точками:
(x1, y1) (x2, y2) (2,1) (−3, −5)
м = y2 − y1x2 − x1 = −5−1−3−2 = −6−5 = 65
Ответ: m = 65
Убедитесь, что наклон равен 65, построив линию, описанную в предыдущем примере.
Конечно, график не является обязательным; Красота формулы наклона состоит в том, что для любых двух точек мы можем получить наклон, используя только алгебру.
Пример 2
Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через (6, −3) и (−9, y), равен −23.
Решение:
Подставьте данную информацию в формулу наклона.
Наклон (x1, y1) (x2, y2) m = −23 (6, −3) (−9, y)
м = y2 − y1x2 − x1−23 = y — (- 3) −9−6−23 = y + 3 −15
После подстановки в данную информацию остается единственная переменная y .Решать.
−15 (−23) = — 15 (−y + 3 15) 10 = y + 37 = y
Ответ: y = 7
Существует четыре геометрических случая для значения наклона.
Если читать график слева направо, линии с наклоном вверх имеют положительный наклон, а линии с наклоном вниз — отрицательный. В двух других случаях используются горизонтальные и вертикальные линии. Напомним, что если k — действительное число, мы имеем
y = k Горизонтальная линия x = k Вертикальная линия
Например, если мы построим график y = 2, мы получим горизонтальную линию, а если мы построим график x = −4, мы получим вертикальную линию.
Из графиков мы можем определить две точки и рассчитать наклон по формуле наклона.
Горизонтальная линия | Вертикальная линия |
|---|---|
(x1, y1) (x2, y2) (- 3,2) (3, 2) м = y2 − y1x2 − x1 = 2− (2) 3 — (- 3) = 2−23 + 3 = 06 = 0 | (x1, y1) (x2, y2) (- 4, −1) (−4, 1) m = y2 − y1x2 − x1 = 1 — (- 1) −4 — (- 4) = 1 + 1−4 + 4 = 20 Не определено |
Обратите внимание, что точки на горизонтальной линии имеют одинаковые значения y .Следовательно, подъем равен нулю, а значит, и наклон равен нулю. Точки на вертикальной линии имеют одинаковые значения x . Следовательно, пробег равен нулю, что приводит к неопределенному уклону. В целом
Линейные функции
Для любого линейного уравнения в стандартной форме Любая невертикальная линия может быть записана в стандартной форме ax + by = c., Ax + by = c, мы можем решить для y , чтобы получить форму пересечения наклона Любая невертикальная линия может быть записана в виде форма y = mx + b, где м — наклон, а (0, b ) — пересечение y ., у = mx + b. Например,
3x − 4y = 8 ← Стандартная форма − 4y = −3x + 8y = −3x + 8−4y = −3x − 4 + 8−4y = 34x − 2 ← Форма пересечения наклона
Где x = 0, мы видим, что y = −2 и, следовательно, (0, −2) — решение для упорядоченной пары. Это точка, где график пересекает ось y и называется пересечением y Точка (или точки), где график пересекает ось y , выраженную в виде упорядоченной пары (0, y ) .. Мы можем использовать эту точку и наклон как средство для быстрого построения линии.Например, чтобы построить график y = 34x − 2, начните с точки пересечения y (0, −2) и отметьте наклон, чтобы найти вторую точку. Затем используйте эти точки, чтобы построить линию следующим образом:
Тест с вертикальной линией показывает, что этот график представляет функцию. Кроме того, домен и диапазон состоят из всех действительных чисел.
В общем случае линейная функция Любая функция, которую можно записать в форме f (x) = mx + b, является функцией, которую можно записать в форме f (x) = mx + b Линейная функция где уклон м и б представляют любые действительные числа.Поскольку y = f (x), мы можем использовать y и f (x) как взаимозаменяемые, а упорядоченные парные решения на графе (x, y) можно записать в форме (x, f (x)).
(х, у) ⇔ (х, е (х))
Мы знаем, что любой перехват y будет иметь значение x , равное нулю. Следовательно, перехват y может быть выражен как упорядоченная пара (0, f (0)). Для линейных функций
f (0) = m (0) + b = b
Следовательно, перехват y любой линейной функции равен (0, b).Чтобы найти пересечение x Точка (или точки), где график пересекает ось x , выраженную в виде упорядоченной пары ( x , 0)., Точка, в которой функция пересекает ось x . , находим x , где y = 0 или f (x) = 0.
Пример 3
Изобразите линейную функцию f (x) = — 53x + 6 и обозначьте точку пересечения x .
Решение:
Из функции мы видим, что f (0) = 6 (или b = 6) и, таким образом, перехват y равен (0, 6).Также мы можем видеть, что наклон m = −53 = −53 = riserun. Начиная с точки пересечения и , отметьте вторую точку на 5 единиц ниже и на 3 единицы вправо. Проведите линейкой линию, проходящую через эти две точки.
Чтобы определить точку пересечения x , найдите значение x , при котором функция равна нулю. Другими словами, определите x , где f (x) = 0.
f (x) = — 53x + 60 = −53x + 653x = 6 (35) 53x = (35) 6x = 185 = 335
Следовательно, интервал x равен (185,0).Общее правило — помечать все важные точки, которые нельзя четко прочитать на графике.
Ответ:
Пример 4
Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .
Решение:
Начнем с считывания наклона графика. В этом случае начисляются два балла, и мы видим, что
м = стояк = −23
Кроме того, перехват y равен (0, 3) и, следовательно, b = 3.Мы можем подставить в уравнение любую линейную функцию.
г (х) = mx + b ↓↓ g (x) = — 23x + 3
Чтобы найти точку пересечения x , мы устанавливаем g (x) = 0 и решаем относительно x .
г (x) = — 23x + 30 = −23x + 323x = 3 (32) 23x = (32) 3x = 92 = 412
Ответ: g (x) = — 23x + 3; x -перехват: (92,0)
Затем рассмотрите горизонтальные и вертикальные линии. Используйте тест вертикальной линии, чтобы убедиться, что любая горизонтальная линия представляет функцию, а вертикальная — нет.
Для любой горизонтальной линии тест вертикальной линии показывает, что каждое значение x в домене соответствует ровно одному значению y в диапазоне; это функция. С другой стороны, вертикальная линия не проходит тест вертикальной линии; это не функция. Вертикальная линия представляет собой набор упорядоченных пар, в которых все элементы в домене одинаковы. Это нарушает требование о том, что функции должны связывать ровно один элемент в диапазоне с каждым элементом в домене.Резюмируем следующим образом:
Горизонтальная линия | Вертикальная линия | |
|---|---|---|
Уравнение: | y = 2 | х = −3 |
пересечение по оси x: | Нет | (−3,0) |
Y-пересечение: | (0,2) | Нет |
Домен: | (-∞, ∞) | {−3} |
Диапазон: | {2} | (-∞, ∞) |
Функция: | Есть | № |
Горизонтальная линия часто называется постоянной функцией .Дано любое действительное число c ,
f (x) = c Константа функция
Пример 5
Изобразите постоянную функцию g (x) = — 2 и укажите домен и диапазон.
Решение:
Здесь дана постоянная функция, эквивалентная y = −2. Это определяет горизонтальную линию через (0, −2).
Ответ: Домен: ℝ; диапазон: {−2}
Попробуй! График f (x) = 3x − 2 и обозначьте точку пересечения x .
Ответ:
Линейные уравнения и неравенства: графическая интерпретация
Мы можем использовать идеи этого раздела, чтобы развить геометрическое понимание того, что значит решать уравнения вида f (x) = g (x), где f и g являются линейными функциями. Используя алгебру, мы можем решить линейное уравнение 12x + 1 = 3 следующим образом:
12x + 1 = 312x = 2 (2) 12x = (2) 2x = 4
Решение этого уравнения: x = 4.Геометрически это значение x пересечения двух графиков f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3. Идея состоит в том, чтобы построить график линейных функций по обе стороны от уравнения и определить, где графики совпадают.
Пример 6
Изобразите f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x).
Решение:
Здесь f — линейная функция с наклоном 12 и y -пересечение (0,1).Функция g является постоянной функцией и представляет собой горизонтальную линию. Изобразите обе эти функции на одном и том же наборе осей.
Из графика видно, что f (x) = g (x), где x = 4. Другими словами, 12x + 1 = 3, где x = 4.
Ответ: x = 4
Мы можем немного расширить геометрическую интерпретацию, чтобы решить неравенства. Например, мы можем решить линейное неравенство 12x + 1≥3, используя алгебру, следующим образом:
12x + 1≥312x≥2 (2) 12x≥ (2) 2x≥4
Набор решений состоит из всех действительных чисел, больших или равных 4.Геометрически это значения x , для которых график f (x) = 12x + 1 лежит выше графика g (x) = 3.
Пример 7
График f (x) = 12x + 1 и g (x) = 3 на одном и том же наборе осей и определить, где f (x) ≥g (x).
Решение:
На графике это заштриховано.
Из графика видно, что f (x) ≥g (x) или 12x + 1≥3, где x≥4.
Ответ: Значения x , которые решают неравенство, в интервальной записи: [4, ∞).
Основные выводы
- Мы можем рисовать линии, нанося точки. Выберите несколько значений для x , найдите соответствующие значения y и затем постройте полученные решения для упорядоченных пар. Проведите линию через точки с помощью линейки, чтобы завершить график.
- Для любых двух точек на прямой мы можем вычислить наклон алгебраически, используя формулу наклона, m = riserun = y2 − y1x2 − x1 = ΔyΔx.
- Используйте форму пересечения наклона y = mx + b, чтобы быстро нарисовать график линии.От точки пересечения и (0, b) отметьте наклон, чтобы определить вторую точку. Поскольку две точки определяют линию, проведите линию через эти две точки линейкой, чтобы завершить график.
- Линейные функции имеют вид f (x) = mx + b, где наклон m и b являются действительными числами. Чтобы найти перехват x , если он существует, установите f (x) = 0 и решите для x .
- Поскольку y = f (x), мы можем использовать y, и f (x) как взаимозаменяемые.Любую точку на графике функции можно выразить с помощью обозначения функции (x, f (x)).
Тематические упражнения
(-52,14) и (-12,54)
(−4, −3) и (−2, −3)
(12, -1) и (-1, -32)
м = 32; (6,10), (−4, у)
м = −13; (−6,4), (9, у)
м = −4; (−2,5), (−1, y)
м = 3; (1, −2), (−2, y)
м = 15; (1, у), (6,15)
м = −34; (−1, у), (−4,5)
Часть A: Графические линии по точкам графика
Найдите пять упорядоченных парных решений и график.
Найдите наклон прямой, проходящей через заданные точки.
Найдите значение y , для которого наклон прямой, проходящей через заданные точки, имеет заданный наклон.
По графику определите наклон.
Часть B: Линейные функции
Найдите точки пересечения x и y и используйте их для построения графика следующих функций.
Изобразите линейную функцию и обозначьте точку пересечения x .
Определите линейную функцию, которая определяет данный график, и найдите точку пересечения x .
f (x) = 3x − 2, g (x) = — 2x + 3
f (x) = — 13x, g (x) = — 23x + 1
f (x) = 23x − 1, g (x) = — 43x − 3
f (x) = 32x + 3, g (x) = — 32x − 3
Часть C: Графическая интерпретация линейных уравнений и неравенств
Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) = g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.
Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x) ≥g (x). Проверьте свой ответ алгебраически.
Постройте график функций f и g на одном и том же наборе осей и определите, где f (x)
Все ли линейные функции имеют точки пересечения y ? Все ли линейные функции имеют точки пересечения x ? Объяснять.
Может ли функция иметь более одного перехвата y ? Объяснять.
Как проверка вертикальной линии показывает, что вертикальная линия не является функцией?
Часть D: Обсуждение
ответов
ф (х) = х + 1; (−1,0)
f (x) = — 32x; (0,0)