Разложение определителей по элементам его рядов. — КиберПедия
1.Теорема разложения:
Всякий определитель равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда на их алгебраические дополнения.
Для i-й строки:
;
или для j-го столбца:
Пример 7.1.Вычислить определитель разложением по элементам первой строки:
=1∙(1+12+12 ) ∙(2+16+18 )+
+3∙(4+8+27 ) ∙(8+4+18 )=
=8 = .
Теорема разложения позволяет заменить вычисление одного определителя n-го порядка вычислением n определителей (n-1)-го порядка.
Однако для упрощения вычислений целесообразно для определителей высоких порядков использовать метод «размножения нулей», основанный на свойстве 6 раздела 5. Его идея:
-сначала «размножить нули» в некотором ряду, т.е. получить ряд, в котором только один элемент не равен нулю, остальные нули;
-затем разложить определитель по элементам этого ряда.
Следовательно, на основании теоремы разложения исходный определитель равен произведению ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение.
Пример7.2. Вычислить определитель:
.
«Размножим нули» в первом столбце.
От второй строки вычтем первую, умноженную на 2, от третьей строки вычтем первую, умноженную на 3, а от четвертой строки вычтем первую, умноженную на 4. При таких преобразованиях величина определителя не изменится.
По свойству 4 раздела 5 можем вынести за знак определителя из 1-го столбца, из 2-го столбца и из 3-го столбца.
Следствие: Определитель с нулевым рядом равен нулю.
2. Теорема замещения:
Сумма парных произведений каких-либо чисел на алгебраические дополнения некоторого ряда определителя равна тому определителю, который получается из данного, если в нем заменить элементы этого ряда взятыми числами.
Для -й строки:
1. Теорема аннулирования:
Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.
.
Действительно, по теореме замещения получаем определитель, у которого в k-й строке стоят те же элементы, что и в i-й строке
Но по свойству 3 раздела 5 такой определитель равен нулю.
Т.о., теорему разложения и ее следствия можно записать следующим образом:
8. Общие сведения о матрицах. Основные определения.
Определение 8.1 . Матрицей называется следующая прямоугольная таблица:
содержащая элементов ,расположенных в т строках и в п столбцах.
Применяют также следующие обозначения матрицы: , или , или .
Строки и столбцы матрицы именуются рядами.
Величина называется размером матрицы.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то получим матрицу, называемую транспонированной. Матрица, транспонированнаяс , обычно обозначается символом .
Например:
Определение 8.
2. Две матрицы A и B называются равными, если
1) обе матрицы одинаковых размеров, т.е. и ;
2) все их соответствующие элементы равны, т.е.
(8.1)
Тогда . (8.2)
Здесь одно матричное равенство (8.2) эквивалентно скалярных равенств (8.1).
9. Разновидности матриц.
1) Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ноль-матрицей:
2) Если матрица состоит только из одной строки, то она называется матрицей-строкой, например . Аналогично этому матрица, имеющая только один столбец, именуется матрицей-столбцом, например .
Транспонирование переводит матрицу-столбец в матрицу-строку и наоборот.
3) Если m = n , то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
Диагональ членов квадратной матрицы, идущая из левого верхнего угла в ее правый нижний угол, называется главной. Другая же диагональ ее членов, идущая из левого нижнего угла в ее правый верхний угол, именуется побочной.
Для квадратной матрицы может быть вычислен определитель det(A).
4) Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется особенной, или вырожденной. В противном случае матрица именуется неособенной, или невырожденной.
5) Разновидности квадратных матриц:
Если все элементы квадратной матрицы, за исключением элементов ее главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной. Диагональная матрица имеет вид:
Ее определитель равен произведению элементов главной диагонали:
В частности, при диагональная матрица называется скалярной: .
При скалярная матрица называется единичной и обозначается символом Е.
. Ее определитель равен единице:
Если все элементы квадратной матрицы по одну сторону главной диагонали равны нулю, то матрица именуется треугольной (соответственно верхней или нижней).
— верхняя треугольная матрица.
Матрицы.
Действия с матрицами. Определитель. Его вычисление и основные свойства презентация, докладЛекция №1
Алгебра:
Матрицы. Действия с матрицами.
Определитель. Его вычисление и основные свойства. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Методы решения СЛАУ.
1
Матрицы.
Определение: Матрица размерности mxn – это таблица чисел расположенных в m строках и n столбцах вида
2
Матрицы бывают квадратные:
Прямоугольные: или
Матрицы.
3
Нулевая матрица
Побочная диагональ
Главная диагональ
Единичная матрица
Матрица столбец
Матрица строка
Действия над матрицами.
Сложение матриц:
4
Вычитание матриц:
Умножение матрицы на число:
Действия над матрицами
Умножение матриц:
5
Пример умножения матриц.
6
Действия над матрицами.
Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами:
Сложения:
А+В=В+А (переместительный закон)
А+(В+С)=(А+В)+С (сочетательный закон)
А+0=А
(α·β)·А= α·(β·А)
(α+β)·А= α·А+β·А (распределительный
(А+В)·α=α·А+α·В закон)
Умножения:
1. А·В≠В·А
2. А·(В·С)= (А·В)·С
3. А·(В+С)= А·В+А·С
(А+В)·С= А·С+В·С
4. А·Е= Е·А=А
7
Определитель матрицы.
Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, называемое определителем матрицы.
Обозначается: det|A| или ||A|| или |A|
8
Вычисление определителя.
Для матрицы размера 2х2, определитель вычисляется по следующей формуле:
9
Для вычисления определителя матрицы размера 3х3 (nxn), введем понятие миноров и алгебраических дополнений.
Вычисление определителя.
Будем называть минором (Mkl) определитель матрицы полученной из исходной после вычеркивания из нее k-ой строки и l-го столбца.
10
Вычисление определителя.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы с индексами k, l называется число , полученное умножением минора (Mkl) на (-1) в степени (k+l).
11
Вычисление определителя.
Определитель матрицы размера более чем 3х3, вычисляется путем разложения этой матрицы по строке или столбцу, следующим образом:
12
Вычисление определителя.
Для вычисления определителя матрицы 3х3 можно использовать следующую формулу:
13
Пример вычисление определителя.
14
Пример вычисление определителя.
15
Пример вычисление определителя.
16
Свойства определителей.
17
Свойство 1. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель меняет знак.
Свойство 2. Общий множитель какой-либо строки или столбца можно выносить за знак определителя.
Свойство 3. Если в определителе две строки (или два столбца) пропорциональны (в частности, равны), то определитель равен нулю.
Свойство 4. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами величина его не изменится.
Свойства определителей.
18
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число.
Свойство 7. Сумма парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Система вида:
где матрица системы,
— вектор неизвестных, — вектор правой части уравнения,
называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
19
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Если обозначим:
20
То нашу систему можно записать в виде:
Тогда решение будет иметь вид:
где обратная матрица системы.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
21
Обратная матрица – это такая матрица при умножении на которую самой матрицы получается единичная матрица.
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Геометрически, каждое уравнение нашей системы является уравнением плоскости. Возможны следующие варианты взаимного расположения трех плоскостей:
22
1.Пересечение в одной точке:
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
23
2.Пересечение по прямой:
3.Нет общих точек пересечения:
Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
В первом случае определитель нашей системы НЕ равен нулю, а значит решение существует и единственно.
Найти решение такой системы мы можем двумя методами: 1. Методом Крамера, 2. Методом обратной матрицы.
Во втором случае решений системы бесконечно много, и решить эту системы мы можем при помощи метода Гаусса.
В третьем случае система не имеет решения, проверить это можно также методом Гаусса.
24
Метод Крамера.
Данный метод сводиться к нахождению четырех определителей:
25
Метод Крамера.
В результате получим решение СЛАУ:
26
Метод Крамера. Пример.
Решить систему уравнений:
27
Метод Крамера. Пример.
Вычислим определитель системы:
28
Метод Крамера. Пример.
29
Метод Крамера. Пример.
30
Метод Крамера. Пример.
31
Метод Крамера.
Пример.
В результате мы получили: D=5, D1=0, D2=0, D3=10.
32
Метод Крамера. Пример.
33
Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
34
Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
35
Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
36
Решение СЛАУ методом обратной матрицы.
37
Метод Гаусса
Расширенной матрицей системы
38
будем называть матрицу вида
Метод Гаусса
Ранг матрицы – это размер наибольшего ненулевого минора этой матрицы.
Ранг матрицы с ненулевым определителем равен размеру этой матрицы.
39
Метод Гаусса
Для того, чтобы СЛАУ была совместна ранг матрицы системы должен быть равен рангу расширенной матрицы.
Заметим:
Если ранг матрицы системы равен размерности самой матрицы, то система имеет единственное решение.
2. Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, но меньше размерности самой матрицы системы, то система имеет бесконечное множество решений.
3. Если ранг матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы, то система несовместна и решений не существует.
40
Метод Гаусса
Сам метод Гаусса состоит в том, чтобы преобразованием строк получить нули под главной диагональю расширенной матрицы системы.
41
Метод Гаусса
42
Метод Гаусса
43
Вычитаем из 3 строки первую строку
Добавим к 3 строке вторую умноженную на 2
Метод Гаусса
44
Теперь из расширенной матрицы запишем получившуюся систему:
Метод Гаусса
Осталось только решить нашу систему.
Из последнего уравнения получаем z=2, подставляем это значение z во второе уравнение и получаем y=0, теперь подставляем значение y в первое уравнение и получаем x=0.
45
Метод Гаусса
Исследовать СЛАУ на совместность:
46
Запишем расширенную матрицу системы:
Метод Гаусса
47
Вычитаем из 2 строки первую
Вычитаем из 3 строки первую умноженную на 3
Вычитаем из 3 строки вторую
Метод Гаусса
Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 2, а количество неизвестных системы равно 3, т.е. ранг системы совпадает с рангом расширенной матрицы, но он меньше чем количество неизвестных системы – это означает, что наша система имеет бесконечное множество решений.
48
Метод Гаусса
Исследовать СЛАУ на совместность:
49
Запишем расширенную матрицу системы:
Метод Гаусса
50
Вычитаем из 2 строки первую
Вычитаем из 3 строки первую умноженную на 3
Вычитаем из 3 строки вторую
Метод Гаусса
Заметим, что наибольший ненулевой минор имеет размерность 3.
51
Заметим, что ран матрицы самой системы равен 2 – это означает, что наша система не имеет решения, т.к. ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы системы.
Скачать презентацию
матриц — Создание нулевой матрицы путем умножения матриц
спросил
Изменено 10 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 32к раз
$\begingroup$
Из задания:
Пусть $A = \left[ \begin{matrix} 3 & -6 \\ -2 & 4 \end{matrix}\right] $ Постройте матрицу $2 * 2$ $B$ такую, что $AB$ является нулем матрица. Используйте два разных ненулевых столбца для $B$.
Значение $AB$ будет следующим:
$$ АВ = \влево[ \begin{матрица} 3b_{11} -6b_{12} и 3b_{21} -6b_{22} \\ -2b_{11} + 4b_{12} и -2b_{21} + 4b_{22} \конец{матрица}\справа] $$
Я думал об использовании подстановки, но следующие уравнения просто приводят к тому, что переменные равны $0$:
$$\begin{align*} 3b_{11} -6b_{12} &= 0\\ -2b_{11} + 4b_{12} &= 0 \end{align*}$$
Любые подсказки о том, как я могу это решить?
- матрицы
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Рассмотрим решения $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$.
Их можно легко найти методом исключения Гаусса:
$$\left(\begin{массив}{rr}
3 и -6\\
-2 и 4
\end{массив}\right)\стрелка вправо \left(\begin{массив}{rr}
1 и -2\\
1 и -2
\end{массив}\right) \rightarrow \left(\begin{массив}{rr}
1 и -2\\
0 и 0
\конец{массив}\справа).$$
Итак, $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}r\\s\end{array}\right)$ удовлетворяет $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ тогда и только тогда если $r-2s = 0$, тогда и только тогда, когда $r=2s$.
Теперь обратите внимание, что если $B=[\mathbf{b}_1|\mathbf{b}_2]$, где $\mathbf{b}_1$ — первый столбец, а $\mathbf{b}_2$ — второй столбец, затем $$AB = [A\mathbf{b}_1|A\mathbf{b}_2].$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Ваши уравнения $$3b_{11}-6b_{12}=0,\qquad -2b_{11}+4b_{12}=0$$ говорят вам $b_{11}=2b_{12}$, это означает, что вы можете сделать $b_{12}$ своим любимым ненулевым числом, и тогда вы также будете знать $b_{11}$. Вы также получаете два уравнения для $b_{21}$ и $b_{22}$; вы можете сделать $b_{22}$ своим вторым любимым ненулевым числом и вычислить $b_{21}$.
Тогда все готово.
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Я думаю, что для маленьких матриц, таких как приведенная выше, хорошо просто искать линейную зависимость столбцов в такой задаче. (т.е. здесь вы можете быстро заметить, что в матрице $A$ столбец 2 — это просто столбец 1, умноженный на -2)
Глядя на такую линейную зависимость между столбцами, вы быстро понимаете, почему $B$ выглядит так это так (т.е. возьмите 1 из столбца 1 и -2 из столбца два, и вы получите нулевую матрицу, и это именно то, что делает умножение на $B$)!
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
python — найти индексы элементов, равные нулю, в массиве NumPy
спросил
Изменено 3 месяца назад
Просмотрено 338 тысяч раз
NumPy имеет эффективную функцию/метод nonzero() для определения индексов ненулевых элементов в объекте ndarray . Каков наиболее эффективный способ получить индексы элементов, которые имеет ли нулевое значение?
- python
- numpy
numpy.where() — мой любимый.
>>> х = numpy.массив ([1,0,2,0,3,0,4,5,6,7,8]) >>> numpy.where(x == 0)[0] массив([1, 3, 5])
Метод , где возвращает кортеж ndarrays, каждый из которых соответствует разным измерениям входных данных.
Поскольку ввод является одномерным, [0] распаковывает единственный элемент кортежа.
6
Существует np.arg, где ,
импортировать numpy как np массив = np.array([[1,2,3], [0, 1, 0], [7, 0, 2]]) np.argwhere (обр == 0)
, который возвращает все найденные индексы в виде строк:
array([[1, 0], # Индексы первого нуля
[1, 2], # Индексы второго нуля
[2, 1]], # Индексы третьего нуля
тип = int64)
Вы можете искать любое скалярное условие с помощью:
>>> a = np.asarray([0,1,2,3,4]) >>> a == 0 # или что-то еще массив([Истина, Ложь, Ложь, Ложь, Ложь], dtype=bool)
Что вернет массив в виде логической маски условия.
1
Вы также можете использовать nonzero() , используя его в логической маске условия, потому что False также является своего рода нулем.
>>> х = numpy.массив ([1,0,2,0,3,0,4,5,6,7,8]) >>> х==0 array([False, True, False, True, False, True, False, False, False, False, False], dtype=bool) >>> numpy.nonzero(x==0)[0] массив([1, 3, 5])
Делает то же самое, что и mtrw , но больше относится к вопросу 😉
1
Вы можете использовать numpy.nonzero, чтобы найти ноль.
>>> импортировать numpy как np >>> x = np.array([1,0,2,0,3,0,0,4,0,5,0,6]).reshape(4, 3) >>> np.nonzero(x==0) # это то, что вам нужно (массив ([0, 1, 1, 2, 2, 3]), массив ([1, 0, 2, 0, 2, 1])) >>> np.nonzero(x) (массив ([0, 0, 1, 2, 3, 3]), массив ([0, 2, 1, 1, 0, 2]))
Если вы работаете с одномерным массивом, есть синтаксический сахар:
>>> x = numpy.array([1,0,2,0,3,0,4,5,6,7, 8]) >>> numpy.flatnonzero(x == 0) массив([1, 3, 5])
2
Я бы сделал так:
>>> x = np.
