Построить область интегрирования: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Вычисление двойных интегралов в прямоугольной декартовой системе координат — Студопедия

Поделись  

Вычисление двойного интеграла в прямоугольной декартовой системе координат сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область D (рис. 3) ограничена кривыми причем всюду на функции и непрерывны и Тогда

,

причём сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной ( считается постоянной), потом полученный результат интегрируется по . Интегралы такого вида называются повторными.

Если кривая (или кривая ) в промежутке задается различными аналитическими выражениями, то следует разбить область интегрирования на части и воспользоваться свойством аддитивности интеграла.

Аналогично, можно построить второй повторный интеграл. Если область D ограничена кривыми причем всюду на функции и непрерывны и (рис. 4), то

.

Для двойного интеграла справедливы свойства линейности и аддитивности:

а) линейность:

( — постоянные числа).

б) аддитивность:

если , то .

Чтобы изменить порядок интегрирования в повторном интеграле, необходимо:

1. Определить подынтегральную функцию как функцию переменных и .

2. Задать кривые, ограничивающие область интегрирования в двух видах: выражая как функцию от и, наоборот, как функцию от .

3. Построить на одном графике линии, ограничивающие область интегрирования.

4. Графически определить координаты точек пересечения графиков функций – пределы интегрирования.

5. Найти точное значение координат точек пересечения графиков. Сравнить полученные результаты.

6. Вычислить искомый интеграл, расставив пределы интегрирования (двумя способами).

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле , построить область интегрирования.

Решение.Задаёмподынтегральную функцию иопределяем границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:

Изменим порядок интегрирования. Для этого выразим уравнения границ в виде: :

Область интегрирования разбивается на две части. Исходный интеграл запишется в виде суммы двух интегралов. Вычисляем искомый интеграл двумя способами (используя оба порядка интегрирования) и сравниваем полученные результаты:

Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: или , надо определить границу в виде: и записать функцию Затем в меню «Символика» (Symbolics) выбрать команду «Разрешить относительно переменной» (Variable Solve), выделив сначала или в зависимости от того, какое уравнение хотим получить.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл , если область интегрирования ограничена линиями:

Решение.Задаёмподынтегральную функцию и определяем кривые, ограничивающие область интегрирования:

Строим область интегрирования:

Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений:

Система имеет два решения, но из графика видно, что подходит точка с координатами , т. е. − абсцисса точки пересечения графиков функций и . Точка пересечения графиков функций и имеет координаты , а точка пересечения графиков функций и имеет координаты .

Найдём другое выражение для границ области интегрирования (используя меню «Symbolics», команда «Varieble Solve»):

Вычислим двойной интеграл, переходя к повторному интегралу, двумя способами:

Вычислим заданный интеграл аналитически, используя один любой порядок интегрирования (без использования программного продукта MathCAD).

Область интегрирования заштрихована на рис. 5.

Порядок интегрирования выберем следующий: сначала по вдоль любой прямой , проходящей через область , от точки «о» её входа в область в , в которой , до точки выхода « », в которой , затем проведём интегрирование по от крайней левой границы области до правой Имеем:



Лекция 1

6

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

1.1. Определение двойного интеграла

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Р

Рис. 1.1

азобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом s_i. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P_i, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (

x_i,y_i). Составим интегральную сумму для функции f(x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P_i, умножим их на площади соответствующих участков s_i и просуммируем все полученные результаты:

. (1.1)

Назовем диаметром diam(G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1. 1) при неограниченном увеличении числа разбиений n

(при этом ). Это записывают следующим образом

. (1.2)

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P_i. Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f(x,y) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования.

П

Рис. 1.2

усть функция f(x,y) интегрируема в области D.

Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна s_i=x_iy_i. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координатдвойные интегралы можно записывать в виде

. (1.3)

Замечание. Если подынтегральная функция f(x,y)1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

. (1.4)

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы.

Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1⁰. Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:

;

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

2⁰. Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:

.

3⁰. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области

D, то в этой области найдется такая точка (), что:

.

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

1.2. Повторные интегралы

Повторными интегралами называются интегралы вида

. (1.5)

В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:

.

Затем полученную функцию интегрируют по x:

.

Пример 1.1. Вычислить интегралы:

а) , б) .

Решение. а) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого вычисляем интеграл по x:

.

б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y³ можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y² во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x, получаем

.

Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy. Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная.

Л

а б

Рис. 1.4

юбую сложную область можно представить в виде суммы простых областей. Соответственно, любой двойной интеграл можно представить в виде суммы двойных интегралов по простым областям. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, только интегралы по простым областям.

Теорема. Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

; (1.6)

если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

. (1.7)

Е

простая область

простая область в направлении Oy

простая область в направлении Ox

сложная область

Рис. 1.3

сли область интегрирования является правильной в обоих направлениях, то можно произвольно выбирать вид повторного интеграла, в зависимости от простоты интегрирования.

1.3. РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.3.1. Прямоугольная область интегрирования

П

Рис. 1.5

ри сведении двойных интегралов к повторным, основная трудность возникает при расстановке пределов во внутренних интегралах. Наиболее просто это сделать для прямоугольных областей (см. рис. 1.5).

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл

.

Решение. Запишем двойной интеграл в виде повторного:

.

1.3.2. Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:

1. построить область интегрирования;

2. расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т. е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.

Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла

, если а) б)

Р

Рис. 1.6

ешение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.6). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем – по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем

.

Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим

.

б

Рис. 1.7

) Построим область интегрирования D (см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем – по y. В этом случае при изменении x от –1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [–1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1–x. Таким образом,

.

Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем – по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности до прямой x=1–y. В результате получим

.

Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования

а) ; б) .

Р

Рис. 1.8

ешение. а) Построим область интегрирования. На отрезке [0;1] для x переменная y изменяется от прямой y=0 до прямой y=x. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.8). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования

.

б) Построим область интегрирования. На отрезке [0;9/16] для y переменная x изменяется от прямой x=y до параболы ; на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y до прямой x=3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,

.

многомерное исчисление — как представить эту область интегрирования

спросил 8 лет, 10 месяцев назад

Изменено 8 лет, 10 месяцев назад

Просмотрено 405 раз

$\begingroup$

У меня есть упражнение из книги Стюарта, у меня нет с собой книги и я не помню номер и страницу. 2}$, $x=1$ и $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ — ваши границы. Среди них есть только один регион.

Чтобы найти домен, нужно провести все границы и выбрать регион внутри. Как только вы это сделали, все готово.

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.