Как прибавлять и вычитать отрицательные числа: Вычитание отрицательных чисел — Kid-mama

Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел

Урок-путешествие
«Сложение и вычитание
положительных и
отрицательных чисел».
Балан В.М.
Учит ель мат емат ики
и информат ики
МОУ «Парканская оош№2 им.
Д.И.Мищенко»

2. Девиз урока:

«Дорогу осилит идущий,
а математику мыслящий»

3. ЭКИПАЖ :

командир экипажа
пилот,
второй пилот,
бортинженер,
инженерисследователь,
• космонавтисследователь,
• врачисследователь.
Дублёры:
командира экипажа
пилота,
второго пилота,
бортинженера,
инженераисследователя,
• космонавтаисследователя,
• врачаисследователя.

4. Зачисление в члены экипажа корабля

• -Как называют число,
показывающее положение
точки на прямой?;
• — Какие числа называются
противоположными?;
• — Как сложить два
отрицательных числа?;
• — Каким числом является
число ноль: + или -?;
• — Что мы называем модулем
числа?;
• — Любое отрицательное
число меньше…
• — Как сложить два числа с
разными знаками?;
• — Каким числом можно
выразить уменьшение
любой величины?
• — Из двух отрицательных
чисел меньше то, …
• — Как из одного числа
вычесть другое?;
• — Нуль больше…
• — Чему равна сумма
противоположных чисел?
• — Как найти длину отрезка
на координатной прямой?
• — Как изменится число,
если к нему прибавить
нуль?

5.

Планета «Сказочная»
«На этой планете бесконечное множество
жителей разного возраста — от младенца до
старожила, они живут в двух кратерах. Каждый
житель имеет свой дом, свое место, свою
семью. У каждого жителя одного кратера есть
брат или сестра — близнец в другом кратере и
на двоих один папа. Только у одного жителя
нет двойника — у короля. Он живет в своем
дворце, который расположен между этими
двумя кратерами и следит, чтобы все законы
этой планеты строго выполнялись. Жители
этой планеты очень разные, они четко знают
свое место, могут соперничать между собой,
переходить с одного места на другое и при
этом не изменятся…»
Вычислите
57
13
-57
-13
Вычислите
-0,9
0,9
-6,5
6,5
Вычислите
7,8
4,8
-4,8
-7,8
Вычислите
-16,4
-8,2
16,4
0
Вычислите
49
-49
-5
5
Вычислите
49
-2,1
-21
5
Вычислите
21
17
-21
-17
Вычислите
24
-30
30
-24
Вычислите
-26
-44
44
26
Вычислите
-6
6
2,8
-2,8
Вычислите
49
-49
-6,1
5
Вычислите
-26
+39
44
26

18.

Планета «Историческая»Отрицательные числа появились значительно
позже натуральных чисел и обыкновенных
дробей. Первые сведения об отрицательных
числах встречаются у китайских математиков во
II в. до н. э. Положительные числа тогда
толковались как имущество, а отрицательные –
как долг, недостача. Но ни египтяне, ни
вавилоняне, ни древние греки отрицательных
чисел не знали.
Лишь в VII в. индийские математики
начали широко использовать отрицательные
числа, но относились к ним с некоторым
недоверием.
• В Европе
отрицательными
числами начали
пользоваться уже у
Леонардо Фибоначчи с
XII–XIII вв., но до XVI
в., как и в древности,
они понимались как
долги, большинство
ученых считали их
“ложными”, в отличие
от положительных
чисел – “истинных”.

22. Рене Декарт (1596-1650)

Отрицательные числа
довольно долго не
получали признания.
Признанию отрицательных
чисел способствовали
работы французского
математика, физика и
философа Рене Декарта. Он
предложил геометрическое
истолкование
положительных и
отрицательных чисел – ввел
координатную прямую.

23. Складывать и вычитать отрицательные числа научились древнекитайские ученые еще до нашей эры.

Индийские математики представляли себе положительные
числа как, “имущества”, а отрицательные числа как
“долги”. Вот как индийский математик Брахмагупта
излагал правила сложения и вычитания: “Сумма двух
имуществ есть имущество”, “сумма двух долгов есть
долг”, “сумма имущества и долга равна их разности” и
т.д.
Соврем. запись
1
2
3
4
5
6
7
a+b=c
(– a) + (– b) = – c
a + (– b) = a – b
a + (– a) = 0
0 + (– a) = – a
0+a=a
0 – (– a) = a
8
0–a=–a
Правила Брахмагупты
Сумма двух имуществ есть имущество.
Сумма двух долгов есть долг.
Сумма имущества и долга равна их разности.
Сумма имущества и равного долга равна нулю.
Сумма нуля и долга есть долг.
Сумма нуля и имущества есть имущество.
Долг, вычитаемый из нуля, становится
имуществом.
Имущество, вычитаемое из нуля, становится
долгом.
Немецкий математик
Михаил Штифель дал в
1544 году новое
определение отрицательных
чисел, как чисел,
«меньших, чем ничто», то
есть меньших нуля.
Сам Штифель писал:
«Нуль находится между
истинными и абсурдными
числами…»

26. Планета «Спортивная »

Раз – на цыпочки
подняться.
Надо всем, друзья,
размяться.
2 – нагнулись до земли
И не раз, раза три.
3 – руками помахали.
Наши рученьки устали.
На 4 – руки в боки.
Дружно делаем
подскоки.
5 – присели раза два.

27. Планета «Кроссвордная»

Кроссворд
о
п р
т р
о т и
в о п
0
-2
0
А
0
0
и ц а
4
Р
К
11. Назовите
модуль числа: |-1|
0
к о
т е
п
о
л
о
л
р
ь
к
ю
д
н
е
с
и н а
ы е
а н
о л о ж н ы е
м и н у с
ш е с т ь
с е
м о д у л
т а
-3 и 3
м ь
ь
б о л ь ш е
о д и н
ц е л ы е
ч е т ы р
е
А
12. 1.
13.
Натуральные
Определите
Знак математического
насколько
числа, противоположные
изменились
действия. показания
им числа
термометра
и ноль называют…
за сутки.
10.
Поставьте
знак
в
сравнении
чисел:
2
и
3
4.Природный
2. Число,объект,
показывающее
взятый
положение
начало отсчета
точки
при
на
прямой.
определении
или
3.
одним
словомзаследующие
числа:
— 1;
— 0,3; -100. довысоты
9.Назовите
Расстояние
(в единичных
отрезках) от
начала
координат
точки А.
глубины
места.
6.
5.Какой
Два какого-либо
числа,
знак нужно
которые
использовать,
0отличаются
2
чтобы
друг отзаписать
друга только
число,
знаком
противоположное
называют…
7. Наасколько единиц переместилась точка Р (4) по координатной прямой,
числу
8.Назовите
если она попала в точку
К(-2)
А координату точки А.

29. Планета «Мудрецов»

Задание №1
Даны числа: -1; -2; -3; -4; -5; -6; -7; -8; -9; -10
Используя каждое число
по одному разу, составьте три верных
Равенства.
-1 + (-4) = -5
-2 + (-6) = -8
-3 + (-7) = -10
Задание №2
Замените
* знаками
1) 3,9 * 7,4 * ( — 9,3) = — 12,8
2)-6,1 * (-2,3) * 3,8= 0
-6,1- (-2,3)+3,8= 0
3,9- 7,4+ (- 9,3)=-12,8
Задание №3
Найти значение алгебраической суммы
1. (-18)+ 48 – 34- (- 18)+ 35 -28=
2. 30,5- 12,4 + (-7,5) – 30,5+19,9 =
3. (-45,56) +66, 53 –(-13,47) +45,56=
4. 87-54+43- (-55)+39 – 87=

33. Сравните числа:

-58 и 145
62,2 и -62,3
-8,58 и -8,5
-1\2 и -0,5

34. Найдите ошибки в вычислениях

1. 25+ (-17) = — 8
2. – 30,5 – 12,6 = 43,1
3. 15, 73 – 20,5= 4,77

35. Найдите ошибки в вычислениях

1. 25+ (-17) = 8
2. – 30,5 – 12,6 = — 43,1
3. 15, 73 – 20,5= — 4,77
Заполните пропуски:
-14 + … = -37
-4,8 + … = -8,6
-2,13 + … = -17
-3,8 + … = -4,08
(-14,87)
(-3,8)
(-0,28)
(-23)
Есть, науки хороши
Для развития души,
Их и сами все вы знаете, конечно.
Для развития ума предназначена
она Математика.
Это было, это будет, это вечно!

Как люди придумали числа меньше нуля — Look At Me

Каждую неделю Look At Me публикует отрывок из новой нон-фикшн-книги, выходящей на русском языке. В этот раз мы представляем книгу Алекса Беллоса «Красота в квадрате. Как цифры отражают жизнь и жизнь отражает цифры», которую выпустило издательство «Манн, Иванов и Фербер».

Проще всего посмеяться над людьми, не понимающими основ арифметики, однако не стоит с этим спешить. Отрицательные числа мучили наш разум столетиями и делают это до сих пор. Именно поэтому подземные этажи зданий принято обозначать буквами (например, LG — lower ground («подземный этаж») и B — basement («подвальный этаж»)) или алфавитно-цифровыми знаками (скажем, B1, B2 и B3), а не отрицательными числами (–1, –2 и –3). Когда мы датируем события, произошедшие до рождения Христа, например, когда Евклид написал свой труд «Начала», мы предпочитаем говорить «в 300 году до нашей эры», а не «в –300 году нашей эры».

А у бухгалтеров вообще множество способов избегать знака «минус»: записывать долги красным, прибавлять аббревиатуру DR (от debtor — «должник») или заключать неприятную сумму в скобки.

Ни древнегреческие, ни египетские, ни вавилонские математики не создали концепцию отрицательных чисел. В древние времена числа использовались для подсчёта и измерения, а как можно подсчитать или измерить то, что меньше, чем ничего? Давайте попытаемся встать на место обитателей античного мира, чтобы понять, какой интеллектуальный прорыв им нужно было совершить. Мы знаем, что 2 + 3 = 5, потому что, когда у нас есть две буханки хлеба и нам дают ещё три, у нас будет пять буханок. Мы знаем, что 2 − 1 = 1, потому что, когда, имея две буханки хлеба, мы отдаём одну, у нас остаётся ещё одна. Но что значит 2 − 3? Если у меня есть только две буханки хлеба, я не могу отдать три. Однако предположим, что я всё же могу это сделать — тогда у меня останется минус одна буханка. Что же значит «минус одна буханка»? Это не обычная буханка хлеба.

Это, скорее, её отсутствие, причём такое, что если к нему прибавить буханку хлеба, то будет получено «ничто». Неудивительно, что древние считали эту концепцию абсурдной.

Однако в древней Азии допускали существование отрицательных величин — правда, в определённой степени. Ко временам Евклида у китайцев уже была система вычислений, в которой использовались бамбуковые палочки. Обычные палочки представляли положительные числа, их китайцы называли «истинными», а палочки, покрашенные в чёрный цвет, олицетворяли отрицательные числа, их называли «ложными». Китайцы размещали палочки на разграфлённой доске таким образом, чтобы каждое число занимало отдельную ячейку, а каждая колонка соответствовала одному уравнению. Опытный вычислитель решал уравнения, передвигая бамбуковые палочки. Если решение состояло из обычных палочек, это было истинное число, которое принималось. Если решение состояло из чёрных палочек, это было ложное число, и оно отбрасывалось. Тот факт, что китайцы использовали физические объекты для представления отрицательных величин, свидетельствовал о существовании этих чисел, хотя они и были всего лишь инструментами для вычисления положительных величин.

Китайцы поняли одну очень важную истину: если математические объекты приносят пользу, не имеет значения, что они не согласуются с повседневным опытом. Пусть этой проблемой занимаются философы. 

Через несколько столетий в Индии математики нашли для отрицательных чисел материальный контекст — деньги. Если я одалживаю у вас пять рупий, у меня получается долг в пять рупий — отрицательная величина, которая станет нулевой только после того, как я верну вам эту сумму. Астроном VII века Брахмагупта установил правила арифметических операций с положительными и отрицательными числами, которые назвал «имуществом» и «долгом». Кроме того, он ввёл число ноль в его современном понимании.

Брахмагупта описывал точное значение имущества и долга с помощью нуля и других девяти цифр, которые легли в основу десятичного представления чисел, используемого в настоящее время. Индийские числительные распространились на территории Ближнего Востока, Северной Африки, а к концу Х века — и в Испании. Тем не менее понадобилось ещё три столетия, прежде чем отрицательные числа получили широкое признание в Европе. Такая задержка была обусловлена тремя причинами: историческая связь с долгами, а значит, и с порочной практикой ростовщичества; всеобщая подозрительность в отношении новых методов, приходящих из мусульманских земель; продолжительное влияние древнегреческой философии, согласно которой величина не может быть меньше, чем ничто.

Со временем счетоводы привыкли к использованию отрицательных чисел в своей профессии, математики же очень долго остерегались их. В XV и XVI веках отрицательные величины были известны как абсурдные числа

(numeri absurdi), и даже в XVII столетии многие считали их бессмысленными. В XVIII веке преобладал следующий аргумент против отрицательных чисел. Рассмотрим такое уравнение:

С арифметической точки зрения это правильное утверждение. Тем не менее оно парадоксально, поскольку гласит, что отношение меньшего числа (−1) к большему (1) эквивалентно отношению большего числа (1) к меньшему (−1). Этот парадокс стал предметом множества дискуссий, но никто так и не смог его объяснить. В попытках понять смысл отрицательных чисел многие математики, в том числе и Леонард Эйлер, пришли к невероятному выводу, что эти числа больше бесконечности. Данная концепция вытекает из анализа такой последовательности:

Что эквивалентно ряду:

3,3; 5; 10; 20…

По мере уменьшения числа в нижней части дроби (знаменателя) от 3 до 2, а затем до 1 и 1/2, абсолютное значение дроби становится больше, а когда значение знаменателя приближается к нулю, значение дроби стремится к бесконечности. Была выдвинута гипотеза, что, когда знаменатель равен нулю, значение дроби бесконечно, а когда он меньше нуля (другими словами, когда это отрицательное число), дробь должна быть больше бесконечности. В настоящее время мы избегаем этой парадоксальной ситуации, утверждая, что бессмысленно делить число на ноль. Дробь 10/0 не бесконечна; она «не определена».

В этом смешении разных мнений прозвучала одна чёткая и понятная концепция, принадлежавшая английскому математику Джону Уоллису, который придумал эффективный способ визуальной интерпретации отрицательных чисел. В написанном в 1685 году труде A Treatise of Algebra («Трактат по алгебре») Уоллис впервые представил числовую ось, на которой положительные и отрицательные числа отображают расстояния от ноля в противоположных направлениях. Уоллис писал, что если человек отойдёт от ноля вперёд на пять ярдов, а затем вернётся назад на восемь ярдов, то он «переместится на позицию, которая на 3 ярда дальше, чем ничто… А значит, −3 — это та же точка на линии, что и +3, но не вперёд, как должно быть, а назад». Заменив концепцию количества концепцией позиции, Уоллис показал, что отрицательные числа нельзя считать «ни бесполезными, ни абсурдными». Как оказалось, это было явное преуменьшение. Понадобилось несколько лет на то, чтобы идея Уоллиса получила широкое распространение, но теперь, по прошествии времени, очевидно, что цифровая ось — самая успешная разъяснительная схема всех времён. У неё множество разных областей применения, от графиков до термометров. Теперь, когда мы можем увидеть отрицательные числа на числовой оси, у нас больше нет концептуальных трудностей с тем, чтобы представить себе, что это такое.

Каковы правила сложения и вычитания отрицательных чисел?

Алгебру можно определить как раздел математики, который занимается изучением, изменением и анализом различных математических символов. Это изучение неизвестных величин, которые часто изображаются с помощью переменных в математике. В алгебре есть множество формул и тождеств для изучения ситуаций с переменными. Он также имеет различные подветви, такие как линейная алгебра, продвинутая алгебра, коммутативная алгебра и т. д.

Числа 

Числа определяются как величины, к которым можно применять различные математические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Числа используются не только в математической практике, но и играют решающую роль в нашей повседневной жизни. Бухгалтерский учет, экономика, финансы, фондовые рынки, маркетинг и т. д. также используют числа в качестве основного инструмента для анализа и интерпретации.

Отрицательные числа

В математике такие числа, которые падают слева от нуля на прямой с действительными числами, называются отрицательными числами. Их положение слева от нуля указывает на то, что их значение меньше нуля, и поэтому они записываются со знаком минус (-) перед ними.

На приведенном выше рисунке показана числовая линия, показывающая некоторые положительные и отрицательные целые числа. Числа справа от нуля, т. е. положительные числа, продолжают возрастать слева направо. В то время как числа слева от нуля (отрицательные числа) продолжают уменьшаться в значении справа налево или возрастать в значении слева направо. Следовательно, −1 > −2. Следовательно, здесь можно сформировать общее правило:

−(a) > −(a + 1)

По какому правилу складывать и вычитать отрицательные числа?

Решение:

Для начинающих удобно использовать числовую прямую при выполнении сложения и вычитания отрицательных чисел. Чтобы сложить и вычесть, начните считать с нуля на числовой прямой. Если число, из которого вычитается другое число, отрицательное, то начните прибавлять от нуля влево, пока не будет получено указанное число. Теперь от этого числа начните считать дальше влево, пока не будет получено число, которое нужно вычесть.

Пример: Решите: -1 + (- 2).

Шаг 1. Отсчитайте один разряд влево от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте два разряда левее от −1.

Это показывает, что: −1 + (− 2) = −3.

Аналогичные задачи

Вопрос 1. Решить −1 − ( − 2).

Решение:

−1 − (−2) = −1 + 2

Шаг 1. Отсчитайте один разряд влево от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте два разряда вправо от −1.

Отсюда видно, что: −1 − (−2) = 1.

Вопрос 2. Решить −2 − (−3).

Решение:

−2 − (−3) = −2 +3

Шаг 1. Отсчитайте два разряда слева от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте три знака вправо от −2.

Это показывает, что: −2 +3 = 1.

Вопрос 3. Решите −1 + (−4).

Решение:

Шаг 1. Отсчитайте один разряд влево от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте 4 разряда слева от −1.

Это показывает, что: −1 + (−4) = −5.

Вопрос 4. Решить −1 + (−3).

Решение:

Шаг 1. Отсчитайте один разряд влево от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте 3 разряда слева от −1.

Это показывает, что: −1 + (−3) = −4.

Вопрос 5. Решите −2 + 4.

Решение:

Шаг 1. Отсчитайте два разряда слева от нуля.

Шаг 2. Отсчитайте 4 знака вправо от −2.

Это показывает, что −2 + 4 = 2.

Сложение и вычитание целых чисел Визуальный номер Разговор

Сложение и вычитание целых чисел Visual Number Talk для более глубокого понимания поведения при сложении отрицательных чисел.

В этом наборе визуальных подсказок о числах…

Учащиеся изучат сложение целых чисел в реальной контекстуальной ситуации, связанной с перемещением автомобиля вверх и вниз по уровням в гараже. поговорите, представьте каждый сценарий гаража по одному. В каждом сценарии предложите учащимся смоделировать уравнение, используя числовую прямую, и решить его. Цель сегодняшнего математического выступления — сделать некоторые обобщения о результате различных сценариев сложения и вычитания с участием положительных и отрицательных целых чисел.

Подсказка Visual Math Talk #1

Учащимся будет подсказка:

Эта машина припаркована на уровне 5.

Машина перемещается вниз на 6 уровней.

На каком уровне машина сейчас?

Напишите уравнение, представляющее этот сценарий.

В первой подсказке из этой цепочки связанных зрительных задач учащимся предлагается переместить машину вниз (или удалить уровни ) с уровня 5 всего 6 уровней. Контекст был создан таким образом, чтобы было ясно, что автомобиль может двигаться вниз ниже уровня земли , и мы будем аннотировать эти уровни под землей, используя знак минус.

Когда машина движется вниз на 6 уровней, мы видим, что осталось всего 5 уровней до первого этажа (уровень 0) и еще один уровень, который приведет нас к уровню -1.

Другой подход заключается в использовании нулевой принцип , сначала разложив -6 (или спустившись на 6 уровней) до -5 и -1, поэтому уровень 5 и удаление 5 уровней отменяет перевод автомобиля на уровень 0. Затем у нас остается движение на -1 этаж, чтобы привести нас на уровень -1.

Конечно, это действие очень интуитивно понятно в контексте уровней в гараже, однако важно также аннотировать то, что мы делаем, используя символическое представление, чтобы учащиеся могли видеть отношения, включающие целочисленные операции сложения и вычитания.

Примечание ведущего: 

Целые числа в этом контексте можно интерпретировать как сдачу или количество этажей. Например, если автомобиль стартует с пятого этажа над уровнем земли (5) и движется вниз на 6 этажей, это можно выразить как добавление 6 отрицательных этажей [5 + (−6)] или вычитание 6 этажей. (5 − 6). Оба утверждения приводят к одному и тому же ответу (-1).

При сложении положительного и отрицательного целых чисел результат будет отрицательным, если абсолютное значение положительного целого числа меньше абсолютного значения отрицательного целого числа.

Хотите продолжить изучение этих концепций и навыков?

Доступны две (2) дополнительные голосовые подсказки по номеру во втором дне математического блока, основанного на задаче «Вверх», в который вы можете погрузиться прямо сейчас.