Как продифференцировать уравнение: III.3. Дифференцирование функции одной переменной

Содержание

III.3. Дифференцирование функции одной переменной

Глава III. Введение в математический анализ и основы дифференциального исчисления функции одной переменной‎ > ‎

(схема 30)

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Пусть явно задана функция y=f (x). Функция, зависящая непосредственно от переменной x, называется простой. Рассмотрим для простой функции точку x, принадлежащую ее области определения. Дадим приращение аргументу ∆x в точке x. Функция получит при этом соответствующее (3.9) приращение ∆y=f(x+∆x)—f(x).

Производной функции y=f (x) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции

к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

. (3.15)

Функция, имеющая в точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием и обозначается .

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Теорема 3.9. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y=|x| в точке x=0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y=f (x) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция

x=φ(y) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

(3. 30)

Доказательство. Дадим функции y=f (x) в точке x бесконечно малое приращение аргумента ∆x→0, функция при этом получит соответствующее приращение ∆y. Так как по условию теоремы функция дифференцируема в каждой точке интервала Х, то в каждой точке этого интервала функция непрерывна (по теореме 3.9). Следовательно, по определению непрерывности функции выполняется: , это означает, что при ∆x

→0; ∆y→0.

По определению производной можно записать:

, теорема доказана

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Функция называется сложной, если она представляет собой композицию нескольких функций: y=f (φ(x)). Функция f называется внешней, а φ — внутренней функцией, выступающей в качестве независимого переменного.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

(3.31)

Пример 3.8. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

К явным функциям можно отнести функции, заданные параметрически, вида:,

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

. (3. 32)

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Примечание. Функция, заданная в примере 3.9, представляет собой параметрическое уравнение окружности радиуса a. Действительно, возведем оба уравнения в квадрат и сложим их почленно, получим:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

(3.33)

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Пример 3.10. Найти производную функции.

Решение.

Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

(3.34)

Пример 3.11. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

(3. 35)

Пример 3.12. Найти производную функции.

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Все рассмотренные выше при дифференцировании функции были заданы в явном виде, то есть уравнением y=f (x), разрешенным относительно y.

Функция называется неявно заданной, если она имеет вид F (x;y)=0. Неявный способ задания к свойствам функции отношения не имеет. В этом случае любое выражение, содержащее переменную

y, нужно рассматривать как функцию сложную. Следовательно, при нахождении производной неявных функций следует применять теорему о дифференцировании сложной функции. В процессе отыскания все слагаемые, содержащие , оставляют в левой части равенства и выносят из них за скобки как общий множитель. Слагаемые, не содержащие , переносят в правую часть, и полученное уравнение разрешают относительно искомой .

Пример 3.13. Найти производную неявной функции .

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Иногда для упрощения процесса дифференцирования громоздких функций применяют их предварительное логарифмирование (логарифмическое дифференцирование

). Данный метод целесообразен в тех случаях, когда функция представляет собой произведение и (или) частное различных функций, таких как показательные и степенные выражения (особенно иррациональные). Логарифмическое дифференцирование используется также для нахождения производных показательно-степенных функций, которые без предварительного логарифмирования вообще не дифференцируются. При использовании данного метода в левой части получают производную от натурального логарифма y, которая равна . После этого обе части умножают на y, при этом в правой части заменяют y на заданную по условию функцию.

Пример 3.14. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем заданную функцию .

По свойству логарифма степени имеем:. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.19) и (3.29) можно записать

После умножения обеих частей последнего равенства на y окончательно получим:. Заметим, что без предварительного логарифмирования производную заданной функции найти невозможно, так как нельзя обосновать использование формул дифференцирования (3.17) или (3.22)

Пусть функция y=f (x) дифференцируема в некоторой текущей точке x и при этом . Тогда по определению производной и формуле (3.15) можно записать: . Иначе: приращение функции имеет вид

. (3. 36)

Дифференциалом функции y=f (x) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

. (3.37)

Найдем дифференциал независимой переменной x, то есть дифференциал функции y=x. Так как , то по формуле (3.37) имеем dy=dx=∆x. Тогда формула (3.37) для вычисления дифференциала функции может быть записана в виде:

. (3.38)

Если в формуле (3.36) отбросить бесконечно малую величину α∙∆x, то получим приближенное равенство . Подставляя в него выражения для ∆y и dy из формул (3.9) и (3.37), получим или

. (3.39)

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Пример 3.15. Вычислить приближенно значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле (3.39) имеем:

Так как x+∆x=0,95, то при x=1 и ∆x=-0,05 получаем:

Процесс дифференцирования может быть многократным. Производная от первой производной называется второй производной функции или производной 2-го порядка. Производная от последней, в свою очередь, является производной 3-го порядка и так далее. Производная функции n-го порядка – это производная от предыдущей производной (n-1)-го порядка заданной функции, то есть

. (3.40)

Вопросы для самопроверки

Правила дифференцирования:

;
, ;
, ;
, если , ;
, если , .

Определение. Если функция задана уравнением , разрешенным относительно , то функция задана в явном виде (явная функция).

Определение. Неявная функция одного аргумента задается уравнением, связывающим две переменные, причем уравнение не разрешено относительно какой-либо из них: или .

Определение. Уравнение, связывающее три переменные, задает неявную функцию 2 аргументов: , или , или .

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно (например, или ).

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от по нет необходимости разрешать уравнение относительно . Нужно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом как функцию , и полученное затем уравнение разрешить относительно .

Пример Найти производную функции , заданную уравнением: .

Решение. Функция задана неявно. Продифференцируем уравнение по , помня, что : . Затем находим: .

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически.

Пусть функция задана параметрически: где – вспомогательная переменная, называемая параметром.

Нужно найти . Предположим, что имеет однозначную обратную функцию . Продифференцируем уравнение по , как сложную функцию, считая промежуточным аргументом, зависящим от : ; . Так как , то получим:

. (4)

Пример Пусть Найти .

Решение. По формуле (4), получаем

Производную функции одной переменной в некоторых случаях можно найти значительно проще, если функцию предварительно прологарифмировать, такой метод называется логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование обычно применяется при отыскании производной от степенно-показательной функции и от произведения функций, т.е. в тех случаях, когда обычными методами производную нельзя найти, либо вычисление производной очень громоздко. Конечно, эта операция может применяться и в других случаях.

Определение. Функция , у которых основание и показатель степени есть функции независимых переменных, называются степенно-показательными.

Производные таких функций вычисляются только с помощью логарифмического дифференцирования.

Пример Дана функция . Найти .

Решение. Прологарифмировав функцию , получим

Дифференцируем полученное уравнение по : . Из последнего равенства найдем :

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию , имеющую в точке отличную от нуля производную: . По теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или . Приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . Заметим, что — бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а — функция более высокого порядка, чем : .

Определение. Слагаемое называется главной частью приращения функции .

Определение. Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается или . Заметим, что

. (5)

Определение. Дифференциал называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

. (6)

В самом деле, так как и , то .

Определение. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

. (7)

Так как , то – отношение дифференциалов и .

Пример Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле находим:

Пример Найти полное приращение функции и ее дифференциал, сравнить их значения при .

Решение. Полное приращение запишем в виде:

. Преобразуем это выражение: . По определению найдем полный дифференциал: . Подставив , получим, и .

Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда получит приращение.

Поясним утверждение, для этого рассмотрим график функции (рисунок 4).

Проведем к графику функции в точке касательную . Рассмотрим ординату этой касательной для точки , заметим, что , а . Рассмотрим прямоугольный треугольник , в котором , т.е. . Так как – геометрический смысл производной, то . Из формул: и получаем, что . Возможны три случая: , и – если функция является постоянной.

Механический смысл дифференциала: Дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени , точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону , где — длина пути, — время. Приращенному моменту времени соответствует приращенное значение пути: . Эта формула выражает истинное приращение пути за промежуток времени .

Вычислим дифференциал пути. Так как – скорость в момент , то .

Поскольку в выражение для дифференциала входит производная, то правила его вычисления используют правила вычисления производной:

Если функция равна постоянной , то ее дифференциал равен нулю, т.е. .
Дифференциал функции равен приращению этой функции: ; (дифференциал независимой переменной совпадает с ее приращением).

Отсюда следует: ; .

Дифференциал суммы:.
Дифференциал произведения:.
Дифференциал частного: .

Теорема 6.7 Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента:

Определение. и – форма дифференциала не изменилась независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией одного аргумента. Такое свойство дифференциала называется инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

Таблица дифференциалов

Пусть , – некоторые непрерывные функции аргумента х.

;
, ;
, ;
, если ;
, если и ;
;
;
, ;
, ;
;
;
;
;
;
;
;

Приращение любой дифференцируемой функции приближенно с большой точностью можно вычислить при помощи равенства: .

Приращение функции в точке можно представить в виде , где при . Отбросим бесконечно малую более высокого порядка, чем , получим приближенное равенство: . Чем меньше , тем точнее равенство.

Так как , , то из равенства или получим формулу для вычислений приближенных значений функци:

(8)

Пример Вычислить приближенно приращение функции при изменении от значения 2 к значению 2,02.

Решение. Так как достаточно малых : ().

Найдем : . Вычислим . Итак, .

Пример Найти приближенное значение .

Решение. Рассмотрим функцию . По формуле имеем: или . Так как , то при и , получаем:

Так как, то . Приближенное равенство можно увидеть из рисунка 4, дающего геометрическое истолкование дифференциала. На графике видно, что при уменьшении все с большей относительной точностью можно заменить приращение ординаты кривой приращением ординаты касательной.

Рассмотрим функцию одного переменного заданную явно: .

Производная этой функции зависит от координаты точки, в которой она вычисляется, т. е. является также функцией от . Поэтому от нее можно снова взять производную.

Определение. Производная, взятая от первой, называется производной второго порядка; производная, взятая от производной второго порядка, называется производной третьего порядка и т.д.:

;

Определение. Производной -го порядка называется производная, взятая от производной -порядка.

Пример Найти производную -го порядка от функции .

; ; ;

Пусть функция задана параметрическими уравнениями:

Производная функции заданной параметрически также является функцией заданной параметрически. Вторую производную можно найти и используя формулу (4), и по формуле:

. (9)

Пример Дано параметрическое уравнение эллипса: .

Найти

Решение. По формуле (4), получаем

Чтобы найти дифференциал второго порядка нужно взять дифференциал от первого дифференциала. Аналогично находят дифференциал третьего порядка и т.д. Рассмотрим функцию одного переменного . Найдем ее дифференциал второго порядка:

( обозначает ).

Исчисление I. Формулы дифференцирования

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы находитесь на устройстве с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, на мобильном телефоне). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3.3: Формулы дифференцирования

В первом разделе этой главы мы видели определение производной и вычислили пару производных, используя это определение. Как мы видели в этих примерах, вычисление пределов требовало большого объема работы, а функции, с которыми мы работали, были не очень сложными.

Для более сложных функций использование определения производной было бы почти невыполнимой задачей. К счастью для нас, нам не придется слишком часто использовать это определение. Нам придется использовать его время от времени, однако у нас есть большой набор формул и свойств, которые мы можем использовать, чтобы значительно упростить нашу жизнь и позволят нам избежать использования определения, когда это возможно.

Мы познакомимся с большинством этих формул в следующих нескольких разделах. Мы начнем в этом разделе с некоторых основных свойств и формул. Мы приведем свойства и формулы в этом разделе как в «простом», так и в «дробном» обозначении. 9\prime} = f’\left( x \right) \pm g’\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx} }\left( {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right) = \frac{{df}}{{dx}} \pm \frac{{dg}}{ {дх}}\)

Другими словами, чтобы дифференцировать сумму или разность, все, что нам нужно сделать, это дифференцировать отдельные термины, а затем сложить их вместе с соответствующими знаками. Обратите внимание, что это свойство не ограничивается двумя функциями.

9\prime} = cf’\left( x \right)\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {cf\left( x \ right)} \right) = c\frac{{df}}{{dx}}\), \(c\) — любое число

Другими словами, мы можем «вынести» мультипликативную константу из производной, если это необходимо. Доказательство этого свойства см. в разделе «Доказательство различных производных формул» главы «Дополнительно».

Обратите внимание, что мы не включили здесь формулы для производных произведений или частных двух функций. Производная произведения или частное двух функций не есть произведение или частное производных отдельных частей. Мы рассмотрим их в следующем разделе.

Далее давайте кратко рассмотрим пару основных «вычислительных» формул, которые позволят нам фактически вычислить некоторые производные.

Формулы

Если \(f\left( x \right) = c\), то \(\displaystyle f’\left( x \right) = 0\hspace{0.25in} \mbox{OR} \hspace {0,25 дюйма}\frac{d}{{dx}}\left( c \right) = 0\)
Производная константы равна нулю. Доказательство этой формулы см. в разделе «Доказательство различных производных формул» в главе «Дополнительно». 9{n — 1}}\), \(n\) — любое число.
Эту формулу иногда называют степенным правилом . Все, что мы здесь делаем, это ставим исходный показатель степени вперед, умножаем и затем вычитаем единицу из исходного показателя степени.
Обратите внимание, что для использования этой формулы \(n\) должно быть числом, оно не может быть переменной. Также обратите внимание, что основание, \(x\), должно быть переменной, а не числом. В некоторых последующих разделах будет заманчиво злоупотреблять степенным правилом, когда мы запускаем некоторые функции, где показатель степени не является числом и/или основание не является переменной.
Доказательство этой формулы см. в разделе «Доказательство различных производных формул» в главе «Дополнительно». На самом деле в этом разделе есть три разных доказательства. Первые два ограничивают формулу тем, что \(n\) является целым числом, потому что на данный момент это все, что мы можем сделать на данный момент. Третье доказательство относится к общему правилу, но предполагает, что вы прочитали большую часть этой главы. { — \,\,\frac{1}{2}}} + 9{\ кв. 2 — 1}} \]
Ответ немного запутан, и мы не будем уменьшать показатели степени до десятичных дробей. Тем не менее, эта проблема не так уж сложна, она просто выглядит так на первый взгляд.
Существует общее правило, касающееся деривативов этого класса, и вам необходимо выработать привычку его использовать. Когда вы видите радикалы, вы всегда должны сначала преобразовать радикал в дробную экспоненту, а затем максимально упростить экспоненту. Соблюдение этого правила избавит вас от многих проблем в будущем. 92}} \right)\) Показать решение
В этой функции мы не можем просто дифференцировать первое слагаемое, дифференцировать второе слагаемое, а затем снова умножать их. Это просто не сработает. Мы подробно обсудим это в следующем разделе, поэтому, если вы не уверены, что верите в это, подождите немного, и мы скоро рассмотрим это, а также покажем вам пример того, почему это не сработает.
Тем не менее, эту производную можно сделать. 3}}} + 4\) увеличивается, уменьшается или не изменяется в \(х = — 2\)? 94}}}\]
Обратите внимание, что мы переписали последний член производной обратно в виде дроби. Это не то, что мы делали до сих пор, и это делается здесь только для того, чтобы помочь с оценкой на следующем этапе. Часто проще проводить оценку с положительными показателями.
Итак, вычислив производную, получим
\[f’\left( { — 2} \right) = 6\left( 4 \right) — \frac{{900}}{{16}} = — \frac{{129}}{4} = — 32.25\]
Итак, при \(x = — 2\) производная отрицательна, поэтому функция убывает при \(x = — 2\).
Пример 4 Найдите уравнение касательной к \(f\left( x \right) = 4x — 8\sqrt x \) в точке \(x = 16\).
Показать решение
Мы знаем, что уравнение касательной задается как,
\[y = f\left( a \right) + f’\left( a \right)\left( {x — a} \right)\] 9{\ гидроразрыва {1} {2}}}}} \]
Опять же, обратите внимание, что мы убрали отрицательную экспоненту в производной исключительно ради оценки. Все, что нам нужно сделать, это вычислить функцию и производную в рассматриваемой точке \(x = 16\).
\[f\влево( {16} \вправо) = 64 — 8\влево( 4 \вправо) = 32\hspace{0,25 дюйма}\hspace{0,25 дюйма}f’\влево( 16 \вправо) = 4 — \ дробь{4}{4} = 3\]
Тогда касательная будет равна 92} + 60т — 10\]
Определите, когда объект движется вправо и когда объект движется влево.
Показать решение
Единственный способ узнать наверняка, в каком направлении движется объект, — это иметь скорость на руках. Напомним, что если скорость положительна, объект движется вправо, а если скорость отрицательна, то объект движется влево.
Нам нужна производная, чтобы получить скорость объекта. Производная и, следовательно, скорость равна 92} — 7t + 10} \вправо) = 6\влево( {t — 2} \вправо)\влево( {t — 5} \вправо)\]
Причина факторинга дериватива станет очевидной в ближайшее время.
Теперь нам нужно определить, где производная положительная, а где отрицательная. Есть несколько способов сделать это. Мы предпочитаем следующий метод.
Поскольку многочлены непрерывны, мы знаем из теоремы о промежуточном значении, что если многочлен когда-либо меняет знак, то он должен сначала пройти через нуль. Итак, если бы мы знали, где производная равна нулю, мы знали бы только точки, в которых производная равна 9.0007 может изменить знак .
Из факторизованной формы производной видно, что производная будет равна нулю при \(t = 2\) и \(t = 5\). Нанесем эти точки на числовую прямую.
Теперь мы можем видеть, что эти две точки делят числовую прямую на три отдельных участка. В каждой из этих областей мы знаем , что производная будет того же знака. Напомним, что производная может менять знак только в двух точках, которые используются для деления числовой строки на области.
Следовательно, все, что нам нужно сделать, это проверить производную в контрольной точке в каждой области, и производная в этой области будет иметь тот же знак, что и контрольная точка. Вот числовая строка с показанными тестовыми точками и результатами.
Здесь указаны интервалы, в которых производная положительна и отрицательна.
\[\begin{array}{rl}{{\mbox{положительный: }}}&{ — \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\,5 < t < \infty}\\{{\mbox{отрицательный:}}}&{2
Мы включили сюда отрицательные \(t\), потому что могли бы, даже если они не имеют особого смысла для этой задачи. Зная это, мы также можем ответить на вопрос. Объект движется вправо и влево со следующими интервалами.
\[\begin{array}{rl}{{\mbox{движение вправо: }}}&{ — \infty < t < 2\,\,\,\,\& \,\,\,\, 5 < t < \infty}\\{{\mbox{перемещение влево: }}}&{2 < t < 5}\end{массив}\]
Убедитесь, что вы можете выполнять работу, которую мы только что сделали в этом примере. В течение следующих двух глав вас будут много раз просить определить, где функции положительны и/или отрицательны. Если вам нужен обзор или вы хотите попрактиковаться в подобных задачах, вам следует обратиться к разделу «Решение неравенств» в обзоре алгебры/триггеров.
Дифференцируйте функцию с помощью Пошагового решения математических задач
Введите выражение и переменную, по которой нужно дифференцировать. Затем нажмите кнопку «Разделить».
Помощь
Отличие
по отношению к
Нахождение производной от
включает в себя вычисление следующих предел:

Мягко говоря, такой расчет был бы неприятным. Мы хотели бы найти способы вычисления производных без явного использования определения производная как предел разностного отношения. Полезным предварительным результатом является следующее:
Производная константы
Если c — любое действительное число и если f(x) = c для всех x, то f ‘(x) = 0 для всех x . То есть производная постоянной функции является нулевой функцией.
Это легко увидеть геометрически. Обращаясь к рисунку 1, мы видим, что график постоянной функции f(x) = c представляет собой горизонтальную линию. Поскольку горизонтальный линия имеет наклон 0, а линия является собственной касательной, отсюда следует, что наклон касательная везде равна нулю.
Далее мы даем правило дифференцирования f(x) = x ⁿ, где n — любое действительное число. Некоторые из следующих результатов уже были проверены в предыдущем разделе, а остальные
можно проверить, используя определение производной.

Этот шаблон предлагает следующую общую формулу для степеней n, где n — это положительное число.
Силовое правило
На самом деле правило степени справедливо для любого действительного числа n и поэтому может использоваться для дифференцировать различные неполиномиальные функции. Следующий пример иллюстрирует некоторые применения правила мощности.
Пример 1

Различайте каждую из следующих функций:

(a) Поскольку f(x) = 5, f — постоянная функция; следовательно, f'(x) = 0,
(b) При n = 15 в степенном правиле f ‘(x) = 15x ¹⁴
(c) Обратите внимание, что f(x) = x ^1/2 . Следовательно, при n = 1/2 в степенном правиле

(d) Так как f(x) = x ^-1 , из правила степени следует, что f ‘(х) = -х ^-2 = -1/x ²
Правило дифференцирования постоянных функций и степенное правило являются явными правила дифференциации. Следующие правила говорят нам, как найти производные комбинации функций через производные составляющих их части. В каждом случае мы предполагаем, что f ‘(x) и g'(x) существуют, а A и B равны. константы.
Четыре правила, перечисленные выше, вместе с правилом дифференцирования постоянной функции и степенное правило дают нам технику для дифференциации любых функция, которая выражается как степень или корень частного многочлена функции.
No related posts.