Обратимая функция определение: Обратная функция — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Обратимая функция

10-04-2021, 16:29

Обратимая функция — это функция, которая принимает каждое своё значение в единственной точке области определения.

Определение

Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} такова, что для любого её значения y 0 {displaystyle y_{0}} уравнение f ( x ) = y 0 {displaystyle f(x)=y_{0}} имеет относительно x {displaystyle x} единственный корень, то говорят, что функция f {displaystyle f} обратима.

Свойства

Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} определена и возрастает (или убывает) на промежутке X {displaystyle X} и областью её значений является промежуток Y {displaystyle Y} , то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на X {displaystyle X} .

Если функция y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} задана формулой, то для нахождения обратной к ней функции нужно решить уравнение f ( x ) = y {displaystyle f(x)=y} относительно x {displaystyle x} , а потом поменять местами x {displaystyle x} и y {displaystyle y} .

Если уравнение f ( x ) = y {displaystyle f(x)=y} имеет более одного корня, то функции, обратной функции y = f ( x ) {displaystyle y=f(x)} , не существует.

Графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x {displaystyle y=x} .

{2}} не является обратимой на R {displaystyle mathbb {R} } , но обратима при x ⩾ 0 {displaystyle xgeqslant 0} или x ⩽ 0 {displaystyle xleqslant 0} .

Функция sin ⁡ x {displaystyle sin x} не является обратимой на R {displaystyle mathbb {R} } , т. к. одному значению функции соответствует бесконечное множество значений аргумента.

Теорема унитарности

Квантили распределения Стьюдента

Вторая гипотеза Харди — Литлвуда

Теорема Ролля

Уравнение переноса

Алгебра и теория чисел

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М.: Высш. школа, 1979. — 559 с.

В книге систематически изложены элементы логики, множества и отношения, алгебры и алгебраические системы, основные числовые системы, основы линейной алгебры, включающие системы линейных неравенств, группы, теоретико-числовые темы, кольца и кольца полиномов, полиномы над основными числовыми полями и элементы теории полей.

Предназначается для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава первая. ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ
§ 1. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Формулы логики высказываний.
Законы логики.
Упражнения
§ 2. ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДСТВИЕ
Схемы доказательств.
§ 3. ПРЕДИКАТЫ

Предикаты.
Операции над предикатами.
Упражнения
§ 4. КВАНТОРЫ
Запись высказываний на языке логики предикатов.
Упражнения
§ 5. ПРЕДИКАТНЫЕ ФОРМУЛЫ.

ЗАКОНЫ ЛОГИКИ
Предикатные формулы.
Законы логики предикатов.
Упражнения
Глава вторая. МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ
§ 1. МНОЖЕСТВА
Подмножества.
Пустое множество.
Операции над множествами.
Основные свойства операций над множествами.
Универсальное множество. Дополнение множества.
Диаграммы Эйлера — Венна.
Упражнения
§ 2. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Упражнения
§ 3. ФУНКЦИИ
Композиция функций.
Инъективные функции.
Обратимые функции.
Ограничение функции.
Упражнения
§ 4. ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Отношение эквивалентности.
Фактор-множество.
Отношение равнообразности отображения.
Упражнения
§ 5. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА
Упорядоченное множество.
Упражнения
Глава третья. АЛГЕБРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 1. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ
Виды бинарных операций.
Нейтральные элементы.
Симметричные элементы.
Подмножества, замкнутые относительно операций.
Аддитивная и мультипликативная формы записи.

Конгруэнция.
Упражнения.
§ 2. АЛГЕБРЫ
Гомоморфизмы алгебр.
Подалгебры.
Фактор-алгебра.
Упражнения
§ 3. ГРУППЫ
Примеры групп.
Простейшие свойства группы.
Гомоморфизмы групп.
Подгруппы.
Упражнения
§ 4. КОЛЬЦА
Простейшие свойства кольца.
Гомоморфизмы колец.
Подкольца.
Упражнения
§ 5. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Изоморфизмы алгебраических систем.
Подсистемы.
Упражнения
Глава четвертая. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Слова в однобуквенном алфавите.
Система натуральных чисел.

Принцип математической индукции.
Упражнения
§ 2. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Свойства умножения.
§ 3. ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА НА МНОЖЕСТВЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Полная упорядоченность множества натуральных чисел.
Упражнения
§ 4. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел.
Кольцо целых чисел.
Отношение делимости в кольце целых чисел.

Упражнения
§ 5. ПОЛЯ. ПОЛЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Поле рациональных чисел.
Упражнения
§ 6. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Система действительных чисел.
Упражнения
§ 7. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Поле комплексных чисел.
Модуль комплексного числа.
Геометрическое представление комплексных чисел.
Упражнения
§ 8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Корни n-й степени из единицы.
Корни n-й степени из произвольного комплексного числа.

Упражнения
Глава пятая. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Эквивалентные системы векторов.
Базис конечной системы векторов.
Ранг конечной системы векторов.
Упражнения
§ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы.
Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы.

Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы.
Теоремы о следствиях системы линейных уравнений.
Упражнения.
§ 3. СТУПЕНЧАТЫЕ МАТРИЦЫ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приведенные ступенчатые матрицы.
Однородные системы линейных уравнений.
Фундаментальная система решений.

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.
Упражнения
Глава шестая. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА
Транспонирование произведения матриц.
Упражнения
§ 2. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ
Элементарные матрицы.
Вычисление обратной матрицы.
Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.
Упражнения
§ 3. ПОДСТАНОВКИ
Четные и нечетные подстановки.
Знак подстановки.
Упражнения
§ 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Основные свойства определителей.
Упражнения
§ 5. МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ. ТЕОРЕМЫ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ
Разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель произведения матриц.
Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.
§ 6. ТЕОРЕМЫ О МАТРИЦАХ. ПРАВИЛО КРАМЕРА
Правило Крамера.
Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения.
Упражнения
Глава седьмая. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Простейшие свойства векторных пространств.
Линейная зависимость и независимость системы векторов.
Упражнения
§ 2. ПОДПРОСТРАНСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Линейная оболочка множества векторов.
Сумма подпространств.
Линейные многообразия.
Упражнения
§ 3. БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Дополнение независимой системы векторов до базиса.
Размерность векторного пространства.
Упражнения.
§ 4. ИЗОМОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Изоморфизм векторных пространств.
Упражнения
§ 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ
Ортогональная система векторов.
Процесс ортогонализации.

Упражнения.

§ 6. ЕВКЛИДОВЫ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Норма вектора.
Ортонормированный базис евклидова пространства.
Изоморфизмы евклидовых пространств.
Упражнения.
Глава восьмая. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Ядро и образ линейного оператора.
Операции над линейными отображениями.
Упражнения
§ 2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ
Связь между координатными столбцами векторов х и ф(x).
Ранг линейного оператора.
Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.
Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.
Упражнения
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ
Алгебра линейных операторов векторного пространства
Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры.
Упражнения
§ 4. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Полная линейная группа.
Упражнения
§ 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Нахождение собственных векторов линейного оператора.

Характеристическое уравнение.
Линейные операторы с простым спектром.
Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.
Упражнения
Глава девятая. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
§ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Однородные системы линейных неравенств и выпуклые конусы.
Следствия однородной системы линейных неравенств.
Теорема Минковского.
Критерий несовместности системы линейных неравенств.
Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств.
Упражнения
§ 2. СТАНДАРТНЫЕ И КАНОНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Допустимые и оптимальные векторы.
Теорема двойственности для стандартных задач.
Теорема двойственности для канонических задач.
Теорема равновесия.
Упражнения
§ 3. СИМПЛЕКС-МЕТОД
Упражнения
Глава десятая. ГРУППЫ
§ 1. ПОЛУГРУППЫ И МОНОИДЫ
Моноиды.
Обобщенный закон ассоциативности.
Упражнения
§ 2. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
Смежные классы.

Теорема Лагранжа.
Упражнения
§ 3. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Циклические группы.
Подгруппы циклической группы.
Упражнения
§ 4. НОРМАЛЬНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ И ФАКТОР-ГРУППЫ
Фактор-группа.
Ядро гомоморфизма.
Упражнения
Глава одиннадцатая. ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Простые числа.
Разложение целых чисел на простые множители.
Делители целого числа.
Число и сумма натуральных делителей числа.
Бесконечность множества простых чисел.
Решето Эратосфена.
Упражнения
§ 2. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Взаимно простые числа.
Наименьшее общее кратное.
Упражнения
§ 3. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Конечные цепные дроби.
Подходящие дроби.
Упражнения.
§ 4. ЦЕЛЫЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Арифметические операции над целыми систематическими числами
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Упражнения
§ 5.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Функции T(х) и Л(х).
Неравенства для функции Т(х).
Неравенства Чебышева.
Простые числа в арифметических прогрессиях.
Упражнения
Глава двенадцатая. ТЕОРИЯ СРАВНЕНИЙ С АРИФМЕТИЧЕСКИМИ ПРИЛОЖЕНИЯМИ
§ 1. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА
Упражнения
§ 2. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Упражнения
§ 3. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем.
Функция Эйлера.
Теоремы Эйлера и Ферма.
Упражнения
§ 4. СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Сравнения первой степени.
Сравнения высших степеней по простому модулю.
Упражнения
§ 5. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ И ИНДЕКСЫ
Первообразные корни по простому модулю.
Индексы по простому модулю.
Двучленные сравнения.
Упражнения
§ 6. ОБРАЩЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОЙ ДРОБИ В СИСТЕМАТИЧЕСКУЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ПЕРИОДА СИСТЕМАТИЧЕСКОЙ ДРОБИ
Упражнения
Глава тринадцатая. КОЛЬЦА
§ 1.

ИДЕАЛЫ КОЛЬЦА. ФАКТОР-КОЛЬЦО
Сравнения и классы вычетов по идеалу.
Фактор-кольцо.
Теорема об эпиморфизмах колец.
Характеристика кольца.
Наименьшее подкольцо кольца.
Упражнения
§ 2. ПОЛЕ ЧАСТНЫХ ОБЛАСТИ ЦЕЛОСТНОСТИ
Изоморфизм полей частных.
Упражнения
§ 3. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ
Простые и составные элементы области целостности.
Кольца главных идеалов.
Факториальность кольца главных идеалов.
Евклидовы кольца.
Упражнения
§ 4. НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ. НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
Наименьшее общее кратное.
Упражнения
Глава четырнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ
Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца.
Степень полинома.
Деление полинома на двучлен и корни полинома.
Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности.
Алгебраическое и функциональное равенства полиномов.
Упражнения
§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ
Алгоритм Евклида.

Неприводимые над данным полем полиномы.
Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей.
Упражнения
§ 3. ФАКТОРИАЛЬНОСТЬ КОЛЬЦА ПОЛИНОМОВ НАД ФАКТОРИАЛЬНЫМ КОЛЬЦОМ
Факториальность кольца полиномов.
§ 4. ФОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОЛИНОМА. НЕПРИВОДИМЫЕ КРАТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Разложение полинома по степеням разности х – с.
Неприводимые кратные множители полинома.
Кратные корни полинома.
Упражнения
Глава пятнадцатая. ПОЛИНОМЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Кольцо полиномов от нескольких переменных.
Изоморфизм колец полиномов.
Нормальное представление полинома и степень полинома.
Факториалыюсть кольца полиномов.
§ 2. СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
Лемма о высшем члене произведения двух полиномов.
Симметрические полиномы.
Леммы о симметрических полиномах.
Основная теорема о симметрических полиномах.
Упражнения
3. РЕЗУЛЬТАНТ ПОЛИНОМОВ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
Исключение переменных.

Глава шестнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ И НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ЗАМКНУТОСТЬ ПОЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Непрерывность модуля полинома.
Наименьшее значение модуля полинома.
Лемма Даламбера.
Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
Формулы Виета.
Упражнения
§ 2. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
§ 3. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами.
Уравнения четвертой степени.
§ 4. ОТДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
Теорема Штурма.
Глава семнадцатая. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ КОРНИ ПОЛИНОМА. КРИТЕРИЙ НЕПРИВОДИМОСТИ
§ 2. ПРОСТОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ
§ 3. СОСТАВНОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ РАСШИРЕНИЕ ПОЛЯ
§ 4. УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ В КВАДРАТНЫХ РАДИКАЛАХ
ЛИТЕРАТУРА

Обратимые функции — GeeksforGeeks

Как следует из названия, обратимые средства « обратные », Обратимая функция означает обратную функцию. Обратные функции, в самом общем смысле, — это функции, которые « обращают » друг друга. Например, если f переводит a в b, то обратная функция f ^-1 должна переводить b в a.

Обратная функция обозначается f ^-1

Другими словами, мы можем определить как, если f является функцией, набор упорядоченных пар, полученных путем замены первой и второй координат каждой упорядоченной пары в f , называется обратным f . Давайте разберемся с этим на примере.

Пример:

функция g = {(0, 1), (1, 2), (2,1)}, здесь мы должны найти g ^-1
Поскольку мы знаем, что g ^-1 формируется путем замены координат X и Y.
г = {(0, 1), (1, 2), (2, 1)} -> поменять местами X и Y, получим
г ^-1 = {(1, 0), (2, 1) 1), (1, 2)}
Итак, это обратная функция g.

График обратной функции

Мы можем проверить, является ли функция обратимой, построив график на графике. Мы можем построить график, используя данную функцию, и проверить обратимость этой функции, независимо от того, является ли функция обратимой или нет. Построим график функции и проверим, обратима она или нет для f(x) = 3x + 6. Эта функция имеет точку пересечения 6 и наклон 3. Построим график этой функции

Пример:

Найдем обратную функцию.

f (x) = 3x + 6
Перестановка x с y
x = 3y + 6
x – 6 = 3y

y = (x – 6) / 3
3)x / 3
f ^-1 (x) = (1 / 3) x / 3

Теперь построим график для ф ^-1 (х) . Обратная функция, имеющая точку пересечения и наклон 3 и 1/3 соответственно.

Функция и обратная ей функция будут симметричны относительно прямой y = x. Тогда говорят, что функция обратима. Итак, давайте проведем линию между функцией и обратной функцией и проверим, симметрично ли она разделена или нет.

Проведя прямую линию y = x, мы видим, что прямая пересекает линию обеих функций симметрично. Итак, функция f(x) является обратимой функцией, и таким образом мы можем построить график обратной функции и проверить обратимость.

Условия обратимости функции

Условие: Чтобы доказать обратимость функции, нам нужно доказать, что эта функция одновременно и один к одному, и Onto, т. е. биективна.

Объяснение

Можно сказать, что функция один к одному, когда каждый элемент домена имеет одно изображение с кодоменом после сопоставления. Мы можем сказать, что функция Onto, когда Range функции должен быть равен кодовому домену. Когда мы докажем, что данная функция является одновременно и Один к Одному, и Онто, мы можем сказать, что данная функция обратима. Давайте посмотрим на несколько примеров, чтобы правильно понять условие.

Пример 1: Пусть A : R – {3} и B : R – {1}. Рассмотрим функцию f : A -> B, определяемую как f(x) = (x – 2) / (x – 3). Покажите, что функция f(x) обратима, и, следовательно, найдите f ^-1 .

Решение:
Чтобы показать, что функция обратима, мы должны проверить условие обратимости функции, как обсуждалось выше. Чтобы показать, что функция обратима, мы должны сначала проверить, является ли функция один к одному или нет, поэтому давайте проверим.
Пусть x, y ∈ A такие, что f (x) = f (y)

=> (x – 2) / (x – 3) = (y – 2) / (y – 3 )
=> (х – 2) (у – 3) = (х – 3) (у – 2)
=> ху – 3у – 2у + 6 = ху – 2х – 3у + 6
=> — 3x + 2y + 6 = xy – 2x – 3y + 6
=> -3x + 2x = -3 + 2y
=> -x = -y
=> x = y
Начиная с f (x) = f (y) => x = y, ∀x, y ∈ A, поэтому функция один к одному.
Мы доказали, что функция один к одному. Теперь давайте проверим Onto. Чтобы показать, что f(x) совпадает, мы показываем, что диапазон f(x) = его кодовый домен.
Пусть у = (х – 2) / (х – 3)
Положим f (х) = у.
=> xy – 3y = x – 2
=> xy – x = 3y – 2
=> x(y – 1) = 3y – 2
=> x = (3y – 2) / (y -1) —-(1)

Так как x ∈ R – {3}, ∀y R – {1}, диапазон f задается как = R – {1}. Также кодовый домен f = Р – {1}.
Следовательно, Range = Codomain => f — это функция Onto
. Поскольку оба условия выполняются, функция является одновременно One to One и Onto, следовательно, функция f(x) является обратимой. Теперь, когда вопрос задан после проверки функции Invertible, мы должны найти f ^-1
из уравнения (1), мы получаем,
f ^-1 (y) = (3y — 2) / ( у – 1)
=> f ^-1 (х) = (3х – 2) / (у – 1)

Пример 2. Покажите, что f: R – {0} -> R – {0}, заданное формулой f(x) = 3 / x, обратимо.

Решение:
Показать, что функция f(x) = 3 / x обратима.
Сначала мы должны проверить, является ли функция One to One или нет.
Пусть x ₁ , x ₂ ∈ R – {0}, такие, что f(x ₁ ) = f(x ₂ ). Тогда
f(x ₁) = f(x ₂)
=> 3 / x ₁ = 3 / x ₂
=> x ₁ = x ₂
Таким образом, F (x ₁) = F (x ₂)
) = F (x ₂)
) = F (x ₂)
) = F (x ₂)) x ₂ ∀x, y ∈ R – {0}
Итак, функция f равна один к одному.
Мы доказали, что функция Один к Одному, теперь проверим, является функция Онто или нет.
Пусть y — произвольный элемент R – {0}.
Тогда для y в кодовом домене R – {0},
существуют его прообразы в домене R – {0}. Итак, f — это Онто.
Так как мы доказали функцию как One to One, так и Onto, функция обратима.

Пример 3. Рассмотрим f: R ⁺ -> [4, ∞], заданное выражением f(x) = x ² + 4. Покажите, что f обратимо, где R ⁺ — множество все неотрицательные действительные числа.

Решение:
Чтобы показать, обратима функция или нет, мы должны доказать, что эта функция одновременно и один к одному, и Onto, т. е. биективна
Давайте проверим один к одному.
Здесь функция f : R ⁺ -> [4, бесконечность)
Задается формулой f (x) = x ² + 4,
x) = f (y)
=> x ² + 4 = y ² + 4
=> x ² = y ²
=> y [с тех пор мы должны принимать только знак +ve как x, y ∈ R ⁺ ]
Следовательно, f является функцией один к одному.

Теперь нам нужно проверить Onto.
Для y ∈ [4, бесконечность) пусть y = x ² + 4

=> x ² = y – 4 ≥ 0
=> x = √(y – 4) ≥ 0 [ мы берем только знак +ve, так как x ∈ R ⁺ ]

Следовательно, для любого y ∈ R ⁺ (кодовая область) существует

x = √(y – 4) R ⁺ ( домен) такой, что

f (x) = f(√(y-4)) = (√(y – 4)) ² + 4 = y – 4 + 4 = y

Таким образом, f находится в работе.
Поскольку функция f(x) одновременно и один к одному, и Onto, функция f(x) обратима.

Определение того, является ли функция обратимой

Как мы обсуждали выше условия обратимости функции, те же самые условия мы будем проверять, чтобы определить, является ли функция обратимой или нет. Итак, давайте рассмотрим некоторые проблемы, чтобы правильно понять, как мы можем определить, является ли функция обратимой или нет.

Пример 1: Если f является обратимой функцией, определенной как f(x) = (3x -4) / 5 , то запишите f ^-1 (x).

Решение:
В заданном вопросе f(x) = (3x – 4) / 5 является обратимым, и мы должны найти обратную величину x. Итак, во-первых, мы должны преобразовать уравнение в терминах x. На приведенном ниже рисунке в последней строке мы обнаружили инверсию x и y. Итак, это наш требуемый ответ.
Дано, f(x) (3x – 4) / 5 является обратимой функцией.
Пусть, y = (3x – 5) / 5
5y = 3x – 4
3x = 5y + 4
x = (5y – 4) / 3

Следовательно, f ^-1 (y) = (5y – 4) / 3 или f ^-1 (x) = (5x – 4) / 3

Пример 2: f : R -> R определяется как f(x) = 2x -1 , найти f ^-1 (х)?

Решение:
Как мы сделали в предыдущем вопросе, то же самое мы должны сделать и в этом вопросе. В вопросе мы знаем, что функция f (x) = 2x – 1 обратимо. Пусть у = 2x – 1, тогда, чтобы найти только его обратную, нужно поменять местами переменные.
Дано,
f (x) = 2x -1 = y — обратимая функция.

Пусть, y = 2x – 1
Обратно: x = 2y – 1
, следовательно, f ^-1 (x) = (x + 1) / 2

Пример 3. Покажите, что функция f: R -> R, определяемое как f(x) = 4x – 7 обратимо или нет, также найдите f ^-1 .

Решение:
В вопросе задана функция f: R -> R f(x) = 4x – 7. Нам нужно проверить, является ли функция обратимой или нет. Итак, чтобы проверить, является ли функция обратимой или нет, мы должны следовать условию, в статье выше мы обсуждали условие обратимости функции. Итак, как мы узнали из приведенных выше условий, что если наша функция одновременно и Один к Одному, и Онто, то функция обратима, а если нет, то наша функция необратима. Итак, давайте решим проблему, во-первых, мы проверяем на рисунке ниже, является ли функция One-One или нет.
Функция One-One означает, что каждый элемент домена имеет только одно изображение в своем кодовом домене. Итак, у нас была проверка на One-One на рисунке ниже, и мы обнаружили, что наша функция — One-One. Теперь следующий шаг, который мы должны сделать, — проверить, находится ли функция в состоянии Onto или нет. Функция Onto только тогда, когда кодовый домен функции равен диапазону функции, что означает, что все элементы в кодовом домене должны быть сопоставлены с одним элементом домена. Итак, мы проверили, является ли функция Onto или нет на рисунке ниже, и мы обнаружили, что наша функция — Onto. Таким образом, условие обратимости функции выполнено означает, что наша функция является одновременно и Одно-Одним. Следовательно, мы можем доказать, что наша функция обратима.
Дано f : R -> R такое, что f(x) = 4x – 7

Один к одному:
Пусть x ₁ и x ₂ — любые элементы R такие, что f (x ₁ ) = f(x ₂ ), Then
f(x ₁ ) = f(x ₂ )
4x ₁ – 7 = 4x ₂ – 7
4x ₁ = 4x ₂
x ₁ = x ₂
Итак, f равно одному

Для на:
Пусть y = f(x), y принадлежит R. Тогда
y = 4x – 7
x = (y+7) / 4
Из вышеизложенного видно, что для каждого значения y существуют это прообраз x.
Итак, f находится на
Таким образом, f является Один к Одному На, это обратимо.

Обратные тригонометрические функции

Обратные функции бывают разных типов, такие как обратные тригонометрические функции, обратные логарифмические функции, обратные рациональные функции, обратные рациональные функции и т. д. В таблице ниже приведен список обратных тригонометрических функций с указанием их области определения и Диапазон.

Inverse Trigonometric Function	Domain	Range
sin ^-1 (x)	[-1, 1]	[ -PIE / 2, PIE / 2]
COS ^-1 (x)	[-1, 1]	[0, Pie]	[0, PIE]	[0, Pie]	[0, Pie]	. -1 (х)	R	(-PIE / 2, PIE / 2)
SEC ^-1 (x)	R – (-1, 1)	R – (-1, 1)	R –10012 (x)	R –10012 (x)	^{. , pie] — {pie / 2}}
cosec ^-1 (x)	R — (-1, 1)	, — pie {0}
детская кроватка ^-1 (x)	R	(0, круг)

Нахождение обратной функции с помощью Алгебра

Пример 1. Нахождение обратной функции f(x) = (x + 1) / (2x – 1), где x ≠ 1 / 2

Решение:
Для нахождения обратной функции мы должны применить очень простой процесс, мы просто приравняем функцию к y.
(x+1) / (2x-1) = y
x +1 = 2xy – y
x- 2xy = -y – 1
x(1- 2y) = -y – 1
x = (-y – 1) / (1 – 2y)
Взяв общий знак минус, мы можем написать ,
x = (1 + y) / (2y – 1)
f ^-1 (x) = (1 + x / (2x – 1)
Это требуемая обратная функция.

Пример 2. Решение: f(x) = 2x / (x -1)

Решение:
Как и выше, положим функцию равной y, получим
2x / (x – 1) = y
2x = xy – y
2x – xy = -y
Взяв x общее из левой части
x (2 – y) = -y
x = -y / (2 – y)
Взяв y общее из знаменателя, получаем,
x = y / (y – 2)
f ^-1 (x) = x / (x – 2)
Требуется обратная функция.

Пример 3. Найдите обратную функцию f(x) = 2x ² – 7x + 8

Решение:
Мы используем ту же процедуру для решения этой задачи,
приравняем функцию к y, получим
2x ² – 7x + 8 = y
Взяв 2 общих с левой стороны
2 [ x ² – (7 / 2)x + 4] = y
Чтобы получить полный квадрат (x – y) ² ,
, мы должны разделить и умножить на 2 второй член выражения.
Сложение и вычитание 49/16 после второго члена выражения.
Получаем,
2[ х ² – 2. (7 / 2*2). х + 49/ 16 – 49 / 16 +4] = y
Внимательно посмотрите на подчеркнутую часть, это формула (x – y) ² = x ² – 2xy + y ²
Мы можем написать это,
2(х – (7/4)) ² – 49/8 + 8 = у
2(х – (7/4)) ² = у – (15/8)
(х – (7/4)) ² = (y/2) – (15/8)
Теперь извлеките квадратный корень,
x – (7/4) = квадратный корень((y/2) – (15/32))
x = (7/4) + квадратный корень((y/2) – (15/32))
f ^-1 (x) = (7/4) + квадратный корень((x/2) – (15/32))
Это требуемая обратная функция.

Ограничение доменов функций, чтобы сделать их обратимыми

Как следует из вышеприведенного заголовка, чтобы сделать необратимую функцию обратимой, мы должны ограничить или установить домен, в котором наша функция должна стать обратимой функцией. Мы знаем, что функция — это то, что принимает набор чисел, берет каждое из этих чисел и сопоставляет их с другим набором чисел. Итак, если мы начнем с набора чисел.

x	f(x)
0	-8
2	-6
-2	-6

The В приведенной выше таблице показано, что мы пробуем разные значения в домене, и, увидев график, мы поняли идею значения f (x). Когда x = 0, то наш график говорит нам, что значение f (x) равно -8, точно так же для 2 и -2 мы получаем -6 и -6 соответственно. Как мы видим в приведенной выше таблице, при задании 2 и -2 у нас есть выход -6, это нормально для функции, но она не должна быть больше обратимой функцией. Итак, на графике определена необратимая функция, почему она не должна быть обратимой?, потому что два значения x отображают одно значение f(x), как мы видели в приведенной выше таблице. Для того, чтобы функция была обратимой, вы должны найти функцию, которая отображает в обратном направлении, что означает, что вы можете найти инверсию этой функции, поэтому давайте посмотрим

y = f(x)	x = f ^-1 (y)
-8	0
-6	2 or -2?

Таким образом, если мы находим инверсию и даем -8, инверсия равна 0, все должно быть в порядке, но когда мы даем -6, мы находим что-то интересное, мы получаем 2 или -2, это означает, что эта функция больше не будет обратимым, как показано на графике ниже.

Таким же образом, если мы проверим 4, мы получим два значения x, как показано на графике выше. Теперь мы должны ограничить домен так, чтобы наша функция стала обратимой. Итак, мы можем ограничить домен двумя способами

(0, ∞)
(-∞, 0)

Давайте попробуем первый подход, если мы ограничим домен от 0 до бесконечности, тогда у нас будет такой график

У нас есть этот график и теперь, когда мы проверяем график для любого значения y, мы получаем одно значение x, таким же образом, если мы проверяем любое положительное целое число y, мы получаем только одно значение x. Теперь давайте попробуем наш второй подход, в котором мы ограничиваем домен от -бесконечности до 0. Если мы построим график, наш график будет выглядеть так.

На этом графике мы проверяем y = 6, мы получаем единственное значение x. Теперь, если мы проверим любое значение y, мы получим единственное значение x. Таким образом, в обоих наших подходах наш график дает одно значение, что делает его обратимым. Итак, наш ограниченный домен, чтобы сделать функцию обратимой:

(0, ∞)
(-∞, 0)

Моделирование обратимой машины Тьюринга в 50 строках кода

Этот блог охватывает

Что такое обратимая машина Тьюринга (RTM),

Моделирование RTM в 50 строк,

Реализовать инкрементатор на этом RTM.

(для китайской версии)

Что такое обратимая машина Тьюринга?

Чтобы понять RTM, давайте сначала рассмотрим, что такое машина Тьюринга. Мы можем представить себе машину Тьюринга как ходячую головку чтения-записи на ленту. Голова имеет состояние . inline_formula не реализована. Лента состоит из последовательности ячеек, каждая из которых содержит символ встроенная_формула не реализована. На каждом временном шаге головка может выполнять действий, указанных в таблице правил , inline_formula не реализована. Следовательно, четырехкратная форма одноленточной машины Тьюринга может быть определена как

формула не реализована

, где не реализованная inline_formula и не реализованная inline_formula являются начальным и конечным состояниями TM. Нереализованный набор символов inline_formula содержит специальный символ «_», обозначающий ПУСТО. Нереализованный элемент в inline_formula определяется как

формула не реализована

где левая и правая части inline_formula не реализованы, представляют действий

Правило символов , если inline_formula не реализована, это символ в inline_formula не реализован. Если заголовок находится в состоянии inline_formula не реализовано, а в ячейке ленты с содержимым inline_formula не реализовано, перезапишите содержимое ячейки с нереализованным inline_formula и измените состояние заголовка на inline_formula не реализовано. В следующем примере совпало правило символов (3, 0, 1,4).

2. Переместить правило , если inline_formula не реализовано, равно «/» (косая черта). Если inline_formula не реализована, это «inline_formula не реализована» (ВЛЕВО), двигайтесь влево, в противном случае, если inline_formula не реализована, это «inline_formula не реализована» (STAY), в противном случае нереализованная inline_formula должна быть «inline_formula не реализована», двигайтесь вправо. В следующем примере выполняется соответствие правилу перемещения (4, /, ←, 5).

Примечание. Если вы знакомы с пятикратным определением машины Тьюринга, четверное правило просто разделяет правило перемещения и правило символа для дальнейшего удобства определения RTM.

ТМ, которую мы часто обсуждаем, является детерминированной , то есть никакие два правила не применяются в одном и том же случае. Для произвольной пары правил inline_formula не реализована и inline_formula не реализована, если inline_formula не реализована, то у нас должна быть не реализована inline_formula, то есть для головы в одном и том же состоянии не должно быть двух правил перемещения, сосуществование перемещения правила и правила символов или два правила символов, которые изменяют один и тот же символ.

Что такое Реверсивный -ТМ? RTM накладывает больше ограничений на машину Тьюринга. Ограничение состоит в том, что если inline_formula не реализована, то inline_formula не реализована или обратно детерминирована. В любом состоянии существует уникальное правило для отмены предыдущей операции. Это определение было впервые предложено в статье Беннета в 1973 г. [Ref. 3]. В этой статье также упоминается многоленточная версия, которую можно определить аналогичным образом. Первая реализация RTM на языке программирования находится в Janus [Ref. 1]. Далее мы расскажем, как смоделировать это в NiLang — обратимом eDSL в Джулии.

Моделирование RTM в 50 строк

В этом разделе мы собираемся реализовать RTM на языке Julia и запустить его вперед и назад. Коды были загружены на Github, добро пожаловать на звезды, проблемы и запросы на включение.

Во-первых, нам нужно установить пакет NiLang , встроенный обратимый доменный язык (eDSL) в Julia. Мы будем использовать его для написания обратимых функций. Статью НиЛанга можно найти в архиве:

Дифференцируйте все с помощью обратимого языка программирования

Поскольку NiLang является полным по Тьюрингу, его можно использовать для имитации RTM. Вы можете получить некоторое руководство в README NiLang. Чтобы установить этот пакет в Julia удобно, откройте Julia REPL и введите следующую команду.

Во-первых, мы определяем некоторые константы и структуры.

Мы используем целые числа в качестве «символов» в нашем моделировании, где

ПУСТО: специальный пустой символ0013
ВПРАВО: перемещение вправо «→»
STAY: не перемещать «inline_formula не реализована»

Структура RTM содержит начальное состояние qs и конечное состояние 809 qs 9099 правила (inline_formula не реализована). Каждое правило представляет собой экземпляр Quadruple.

Следующая основная функция.

Макрос @i перед функциональной клавишей от NiLang. Этот макрос компилирует тело обратимой функции. Возвращаемые значения этой функции такие же, как и входные аргументы. В теле есть обратимые операторы. Стрелки влево и вправо — это выделение и освобождение переменных. Можно просто взять « ← » как присваивание, «→» как утверждение. Выражение условия в операторе , в то время как содержит два выражения, одно для предусловия, а другое для постусловия. Документ NiLang или его Github. Здесь правила сопоставляются посредством перечисления. На каждой итерации программа увеличивает счетчик программ pc на единицу и пытается найти совпадение и выполняет pc -е правило, используя инстр определен ниже.

Эта функция также обратима. Он пытается сопоставить правило символов или правило перемещения cmd , если одно из правил соответствует, примените правило, в противном случае ничего не делайте. Обратите внимание, что здесь предусмотрено дополнительное постусловие для обеспечения обратимости. При этом правила должны удовлетворять упомянутому выше условию обратимости. В противном случае будет выдано сообщение об ошибке InvertibilityError .

Готово!

Реализуйте инкрементор на этом RTM.

Сначала определим четверные правила для инкремента, а также соответствующий RTM.

Чтобы понять, почему это правило вычисляет инкремент, требуется кое-какая бумажная работа. Далее мы определяем ленту как вектор. Мы помещаем символ BLANK в начало и конец, биты между ними представляют целое число в формате с обратным порядком байтов.

read_tape прочитать биты на ленте как целое число, мы можем видеть, что лента инициализирована в состоянии inline_formula не реализована.

Затем мы определяем тестовую функцию для печати и проверки результата

Макрос @instr определен в NiLang, он изменяет переменные на месте, подробности см. в документе NiLang. Выполняется 10 прямых и 10 обратных исполнений.