Как рассчитать длину вектора: Как найти длину вектора? Ответ на webmath.ru

Содержание

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислить длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: a→=49+e.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Дано разложение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ:a→=52.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Пример 3

Найти длину вектора AB→, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

Решение

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB→=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB→=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB→=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

Ответ: AB→=20-23.

Пример 4

Определить, при каких значениях длина вектора AB→ равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

Решение

Для начала распишем длину вектора AB→ по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2 λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Пример 5

Длины векторов AB→ и AC→ равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC→.

Решение

Длина вектора BC→ в данном случае равна длине стороны BC треугольника △ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos∠(AB,→AC→)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 ⇒BC=37 Таким образом, BC→=37.

Ответ:BC→=37.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Вычисление длины вектора — Программные вопросы

#1 OFFLINE Onix

Отправлено 21 Август 2008 — 14:01

Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору
Заранее благодарен!

Похожие темы:
Как в АртКаме посчитать периметр вырезаемого объекта?
Программа для вычисление обьема детали

Наверх

#2 OFFLINE vv92

Отправлено 21 Август 2008 — 14:03

plotcalc. com

Знаю технику безопасности как свои три пальца.Эксперт — это существо, которое перестало мыслить, ибо оно знает!В мире еще много граблей, на которые не ступала нога человека.
Пожалуйста! Исправляйте мои глупые ошибки (но оставьте мои умные ошибки)!

Наверх

#3 OFFLINE Sherak

Отправлено 21 Август 2008 — 14:11

Есть очень удобный плагин для CorelDraw — Measure Perimeter называется. measure_perimeter_1_1.zip 9,01К 2892 скачиваний

WBR, Anatoly

Наверх

#4 OFFLINE Onix

Отправлено 21 Август 2008 — 14:26

Спасибо будем пробовать )))!
П. С. Весьма доволен форумом!!!

Сообщение отредактировал 3D-BiG: 21 Август 2008 — 15:10

Наверх

#5 OFFLINE Sherak

Отправлено 21 Август 2008 — 14:40

http://plotcalc.com/

Блин, она платная…

WBR, Anatoly

Наверх

#6 OFFLINE 3D-BiG

Отправлено 21 Август 2008 — 15:18

Sherak:
Все в этом мире имеет две ценности, хотя plotcalc написан русским программистом и стоит честно говоря — копейки, а дает экономию — бааальшие рубли. .. А ряд функций работают и в демо-режиме…

Наверх

#7 OFFLINE vv92

Отправлено 21 Август 2008 — 15:53

Измерение длины работает в демке.

Наверх

#8 OFFLINE Onix

Отправлено 21 Август 2008 — 18:35

Нашел ломаную версию, только проблема в том что у меня Корел 14 а он только для 13 написал, перевешивать нехочется, а в принцепе хорошая софтина!
Пока measure perimeter меня устраивает!

Наверх

#9 OFFLINE Buzl

Отправлено 22 Август 2008 — 10:44

В арткаме когда создаешь УП там есть значок блокнотика там пишет и длину реза и свободного перемещения и время

Наверх

#10 OFFLINE woodman

Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 12:41

в программе TypeEdit (Type3) есть такая функция. Выбираешь любой векторный объект нажимаешь соответсвующую кнопку и получаешь результат.

Наверх

#11 OFFLINE wizard

Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:16

Я давно пользуюсь простенькой программкой PLTV.EXE. Инсталяшка весит 100 с мелочью Килобайт.. И клиентам почти всем ее пристроил.. Токо сначала приходится сохранять в PLT- формате.. Если кому надо- кину..

Не делай добро..Не бросай его в воду..

Наверх

#12 OFFLINE vv92

Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:19

Plotcalc удобен тем, что можно расчитать стоимость (длину реза) прямо из присланного файла (не нужно делать массы лишних операций и сделать это может менеджер).

Наверх

#13 OFFLINE Sherak

Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 13:30

Если менеджер умеет пользоваться Корелом, как в этом случае, то проще таки выделить все, что нужно для резки и жамкнуть кнопку меасура периметра. А получившуюся длину умножить на стоимость за метр уже на калькуляторе.

WBR, Anatoly

Наверх

#14 OFFLINE rexti64

Отправлено 01 Сентябрь 2008 — 14:58

Если про длину векторов, то в аркаме выделяешь вектор щелкаешь правой кнопкой выбираешь свойства и там тебе пропишется все и длина вектора и пощадь и тп (только с единичным вектором). А если про длину всех выбранных веторов — сам писал програмку на дельфи если надо могу скинуть. Выбираешь все вектора делаешь УП Обработка вдоль векторов глубина любая фреза любая и сохраняешь ее в формате выходного файла Cipher (*.plt) (с этим форматом работает моя программа).

Наверх

#15 OFFLINE rexti64

Отправлено 02 Сентябрь 2008 — 08:41

Извиняюсь насчет глубины. Глубина должна быть для прохода один раз фрезой (я ставлю 0).

Наверх

#16 OFFLINE Sherak

Отправлено 17 Ноябрь 2008 — 08:26

На счет плоткалка. 2 месяца работы с ним меня полностью убедили, что работать с ним невозможно. Это окно постоянно мешается во всех прогах что неизбежно приводит к его закрытию, после чего по закону подлости возникает острая необходимость что-нибудь измерить. Расскидывает объекты коряво на мой взгляд — вручную проще и экономичнее. Метод упрощения чистки пленки у нас как-то не прижился. Меасуре и проще и удобнее. Все ИМХО

WBR, Anatoly

Наверх

#17 OFFLINE rexti64

Отправлено 17 Ноябрь 2008 — 14:08

Программка: V_Length.rar 300,28К 1476 скачиваний

Наверх

#18 OFFLINE gost2

Отправлено 22 Март 2009 — 23:49

8.2008, 14:01″>
Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору
Заранее благодарен!

Есть также макросы для Corel: Perimeter Perimeter.rar 6,37К 1073 скачиваний, GetArea Text (считает также площадь) GetAreaText.rar 16,44К 924 скачиваний

Наверх

#19 OFFLINE kontrolnaya

Отправлено 05 Сентябрь 2009 — 21:51

Как можно узнать или вычислить при помощи какой программы длину вектора? В АртКаме есть, но там нужно выбирать по одному вектору
Заранее благодарен!

Длина вектора онлайн

Наверх

#20 OFFLINE 3D-BiG

Отправлено 06 Сентябрь 2009 — 00:22

kontrolnaya, здесь в этом разделе под длиной вектора жаргонно подразумевается периметр линии заданной кривыми Бельзъе и отрезками — базис Corel. ..

Наверх

длина суммы векторов и теорема косинусов

Сложение векторов: как действовать
Сложение векторов: решение примеров
Сложение векторов — онлайн калькулятор

Сложение векторов по правилу треугольника (суммой векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора ) даёт возможность упрощать выражение перед вычислением произведений векторов.

Сложение векторов, заданных координатами (при сложении одноимённые координаты складываются) даёт возможность узнать, как расположен относительно начала координат вектор, являющийся суммой слагаемых векторов. Подробно эти две операции разбирались на уроке «Векторы и операции над векторами».

Теперь же нам предстоит узнать, как найти длину вектора, являющегося результатом сложения векторов. Для этого потребуется использовать теорему косинусов. Такую задачу приходится решать, например, когда дорога из пункта A в пункт С — не прямая, а отклоняется от прямой, чтобы пройти ещё через какой-то пункт B, а нужно узнать длину предполагаемой прямой дороги. Кстати, геодезия — одна из тех сфер деятельности, где тригонометрические функции применяются во всех их полноте.

При сложении векторов для нахождения длины суммы векторов используется теорема косинусов. Пусть и — векторы, — угол между ними, а — сумма векторов как результат сложения векторов по правилу треугольника. Тогда верно следующее соотношение:

где — угол, смежный с углом . У смежных углов одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (см. рисунок выше).

Поэтому для сложения векторов и определения длины суммы векторов нужно извлечь квадратный корень из каждой части равенства, тогда получится формула длины:

В случае вычитания векторов () происходит сложение вектора с вектором , противоположным вектору , то есть имеющим ту же длину, но противоположным по направлению. Углы между и и и между и являются смежными углами, у них, как уже было отмечено, одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. В случае вычитания векторов для нахождения длины разности векторов нужно знать следующее свойство косинусов смежных углов:

косинусы смежных углов равны по абсолютной величине (величине по модулю), но имеют противоположные знаки.

Перейдём к примерам.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 1. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Решение. Из элементарной тригонометрии известно, что .

Шаг 1. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, поставляя в формулу длины косинус угла, смежного с углом между векторами:

Шаг 2. Выполняем вычитание векторов. Находим длину разности векторов, подставляя в формулу косинус «изначального» угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Векторы и образуют угол . Их длины: и . Выполнить сложение векторов и найти их сумму . Выполнить вычитание векторов и найти их разность .

Правильное решение и ответ.

Пример 3. Даны длины векторов и длина их суммы . Найти длину их разности .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус угла, смежного с углом между векторами и находим его:

Не забываем, что косинус смежного угла получился со знаком минус. Это значит, что косинус «изначального» угла будет со знаком плюс.

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пример 4. Даны длины векторов и длина их разности . Найти длину их суммы .

Решение.

Шаг 1. По теореме косинусов составляем уравнение, чтобы найти косинус «изначального» угла (задача обратная по отношению к примеру 1) и находим его:

Шаг 2. Меняем знак косинуса и получаем косинус смежного угла между и :

Шаг 3. Выполняем сложение векторов. Находим длину суммы векторов, подставляя в формулу косинус смежного угла:

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Пример 5. Векторы и взаимно перпендикулярны, а их длины . Найти длину их суммы и и длину их разности .

Решение.

Два смежных угла, как нетрудно догадаться из приведённого в начале урока определения, в сумме составляют 180 градусов. Следовательно, смежный с прямым углом (90 градусов) угол — тоже прямой (тоже 90 градусов). Косинус такого угла равен нулю, то же самое относится и к косинусу смежного угла. Поэтому, подставляя это значение в выражения под корнем в формуле длины суммы и разности векторов, получаем нули как последние выражения — произведения под знаком корня. То есть длины суммы и разности данных векторов равны, вычисляем их:

Пример 6. Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы имели место слелующие соотношения:

1) длина суммы векторов равна длине разности векторов, т. е. ,

2) длина суммы векторов больше длины разности векторов, т. е. ,

3) длина суммы векторов меньше длины разности векторов, т. е. ?

Решение.

Находим условие для первого соотношения. Для этого решаем следующее уравнение:

То есть, для того, чтобы длина суммы векторов была равна длине их разности, необходимы, чтобы косинус угла между ними и косинус смежного ему угла были равны. Это условие выполняется, когда углы образуют прямой угол.

Находим условие для второго соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами меньше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была больше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали острый угол (пример 1).

Находим условие для третьего соотношения. Решаем уравнение:

Найденное условие выполняется, когда косинус угла между векторами больше косинуса смежных углов. То есть, чтобы длина суммы векторов была меньше длины разности векторов, необходимо, чтобы углы образовали тупой угол.

Пригодится: тригонометрическая таблица (синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы распространенных углов)

Проверить решение можно на Калькуляторе онлайн.

Назад

Листать

Вперёд>>>

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

К началу страницы

Пройти тест по теме Векторы

Поделиться с друзьями

Начало темы «Векторы»

Векторы: определения и действия над векторами

Продолжение темы «Векторы»

Линейная зависимость векторов

Базис системы векторов. Аффинные координаты

Векторное и смешанное произведение векторов

Сообщество Экспонента

Публикация
15.09.2022

Системы управления, Другое

Видел видос на канале экспоненты по созданию топливной системы. Вопрос заключается в наличии более полного описания готового примера или соответсвующее документации. Я новичок в симулинке и ещё многого не знаю. Адекватных и раскрытых пособий по созданию гидрав…

Моделирование гидравлических систем в simulink

Публикация
10.09.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое

Планирую написать книгу про модельно-ориентированное программирование с автоматическим генерированием кода применительно к разработке разнообразных микропроцессорных систем управления электроприводов. В этой книге в научно-практическо-методической форме я план…

Публикация
24.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

&…

Здесь собрана литература по комбинированным методам множественного доступа, в которых используется разделение пользователей в нескольких ресурсных пространствах.

вопрос
23.08.2022

Математика и статистика, Радиолокация, Цифровая обработка сигналов

Есть записанный сигнал с датчика (синус с шумом). Как определить соотношение сигнал/шум?

4 Ответа

ЦОС
цифровая обработка сигналов

23.08.2022

Публикация
23.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

&. ..

Здесь соборана литература по методам множественного доступа с поляризационным разделением и разделением по орбитальном угловому моменту.

Публикация
16.08.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

Здесь собрана литература по методам множественного доступа с пространственным разделением.

вопрос
22.07.2022

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика, Биология, Встраиваемые системы, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Автоматизация испытаний, ПЛИС и СнК, Системы управления, Другое

Здравствуйте. Мне нужно обработать большое количество файлов с похожими названиями, каждый блок файлов относится к отдельному объекту, например: file_1_1.txt file_1_2.txt file_1_3.txt file_1_4.txt fil…

2 Ответа

чтение

22.07.2022

вопрос
17.07.2022

Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

Уважаемые коллеги, добрый вечер! В общем, возникла проблема следующего характера. Имеется сигнал, достаточно большой объем точек, длительность порядка 35-40 секунд. Он представлят собой последовательн…

MATLAB
Signal Processing

17.07.2022

вопрос
15.07.2022

Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Здравствуйте! Сделала в симулинке модель сигнала с модуляцией QPSK. На входе сигнала подала последоватльномть с Генератора Бернули бинарного. Sample time: 1/8000. ПРи выводе сигнала на анализатор спек…

сигнал
модуляция
qpsk
скорость бита
битрейт
символьная скорость
скорость передачи информации
цифровая манипуляция

15.07.2022

Публикация
13.07.2022

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика

&…

Здесь собрана литература по методам множественного доступа с кодовым разделением

Результаты поиска

Нет результатов поиска, попробуйте задать другие параметры.

Нежное введение в векторные нормы в машинном обучении

Дата публикации 2018-02-05

Вычисление длины или величины векторов часто требуется либо непосредственно как метод регуляризации в машинном обучении, либо как часть более широких векторных или матричных операций.

В этом уроке вы узнаете, как рассчитать длину или величину вектора, называемую векторной нормой.

После завершения этого урока вы узнаете:

Норма L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора.
Норма L2, которая рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов векторных значений.
Максимальная норма, которая рассчитывается как максимальные значения вектора.

Давайте начнем.

Обновление март / 2018: Исправлена опечатка в уравнении максимальной нормы.
Обновление сентябрь / 2018: Исправлена опечатка, связанная с размером заданных векторов.

Обзор учебника

Этот урок разделен на 4 части; они есть:

Вектор Норма
Вектор L1 Норма
Вектор L2 Норма
Вектор Макс Норм

Вектор Норма

Вычисление размера или длины вектора часто требуется либо непосредственно, либо как часть более широкой операции над вектором или векторной матрицей.

Длина вектора называется векторной нормой или величиной вектора.

Длина вектора представляет собой неотрицательное число, которое описывает экстент вектора в пространстве, и иногда его называют величиной или нормой вектора.

— Страница 112,Руководство по линейной алгебре, 2017

Длина вектора всегда является положительным числом, за исключением вектора со всеми нулевыми значениями. Он рассчитывается с использованием некоторой меры, которая суммирует расстояние вектора от начала векторного пространства. Например, источником векторного пространства для вектора с 3 элементами является (0, 0, 0). 1.

Обозначения для нормы L1 вектора: || v || 1, где 1 — индекс. Таким образом, эту длину иногда называют нормой такси или нормой Манхэттена.

l1(v) = ||v||1

Норма L1 рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора, где абсолютное значение скаляра использует обозначение | a1 |. По сути, норма — это вычисление манхэттенского расстояния от начала векторного пространства.

||v||1 = |a1| + |a2| + |a3|

Норма L1 вектора может быть вычислена в NumPy с помощью функции norm () с параметром для указания порядка нормы, в данном случае 1.

# l1 norm of a vector
from numpy import array
from numpy.linalg import norm
a = array([1, 2, 3])
print(a)
l1 = norm(a, 1)
print(l1)

Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется норма вектора L1.

При выполнении примера сначала печатается определенный вектор, а затем норма L1 вектора.

[1 2 3]

6.0

Норма L1 часто используется при подборе алгоритмов машинного обучения в качестве метода регуляризации, например метод, позволяющий сохранять коэффициенты модели малыми, и, в свою очередь, модель менее сложной. 2)

Норму L2 вектора можно рассчитать в NumPy с помощью функции norm () с параметрами по умолчанию.

# l2 norm of a vector
from numpy import array
from numpy.linalg import norm
a = array([1, 2, 3])
print(a)
l2 = norm(a)
print(l2)

Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется норма вектора L2.

При выполнении примера сначала печатается определенный вектор, а затем норма L2 вектора.

[1 2 3]

3.74165738677

Как и норма L1, норма L2 часто используется при подборе алгоритмов машинного обучения в качестве метода регуляризации, например метод, позволяющий сохранять коэффициенты модели малыми и, в свою очередь, модель менее сложной.

Безусловно, норма L2 чаще используется, чем другие векторные нормы в машинном обучении.

Вектор Макс Норм

Длина вектора может быть рассчитана с использованием максимальной нормы, также называемой максимальной нормой.

Максимальная норма вектора называется L ^ inf, где inf — верхний индекс и может быть представлен символом бесконечности. Обозначения для максимальной нормы: || x || inf, где inf — индекс.

maxnorm(v) = ||v||inf

Максимальная норма вычисляется как возвращающая максимальное значение вектора, отсюда и название.

||v||inf = max(|a1|, |a2|, |a3|)

Максимальная норма вектора может быть вычислена в NumPy с помощью функции norm () с параметром порядка, установленным в inf.

# max norm of a vector
from numpy import inf
from numpy import array
from numpy.linalg import norm
a = array([1, 2, 3])
print(a)
maxnorm = norm(a, inf)
print(maxnorm)

Сначала определяется вектор 1 × 3, затем вычисляется максимальная норма вектора.

При запуске примера сначала печатается определенный вектор, а затем максимальная норма вектора

[1 2 3]

3.0

Максимальная норма также используется в качестве регуляризации в машинном обучении, например, в весах нейронных сетей, называемой максимальной нормализацией.

расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

Создайте 5 примеров, используя каждую операцию, используя ваши собственные данные.
Реализуйте каждую матричную операцию вручную для матриц, определенных как списки списков.
Найдите документы по машинному обучению и найдите 1 пример каждой используемой операции.

Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

Введение в линейную алгебру, 2016
Глава 2, Линейная алгебра,Глубокое обучение, 2016

API

API numpy.linalg.norm ()

статьи

Норма (математика) в Википедии

Резюме

В этом уроке вы обнаружили различные способы вычисления длины или величины вектора, называемые векторной нормой.

В частности, вы узнали:

Норма L1, которая рассчитывается как сумма абсолютных значений вектора.
Норма L2, которая рассчитывается как квадратный корень из суммы квадратов векторных значений.
Максимальная норма, которая рассчитывается как максимальные значения вектора.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Оригинальная статья

Векторы. Действия с векторами

Векторы. Действия с векторами. В этой статье мы поговорим о том, что такое вектор, как находить его длину, и как умножать вектор на число, а также как находить сумму, разность и скалярное произведение двух векторов.

Как обычно, немного самой необходимой теории.

Вектор — это направленный отрезок, то есть такой отрезок, у которого есть начало и конец:

Здесь точка А — начало вектора, а точка В — его конец.

У вектора есть два параметра: его длина и направление.

Длина вектора — это длина отрезка, соединяющего начало и конец вектора. Длина вектора обозначается

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены.

Два вектора называются сонаправленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону: вектора и сонаправлены:

Два вектора называются противоположно направленными, если они лежат на параллельных прямых и направлены в противоположные стороны: вектора и , а также и направлены в противоположные стороны:

Вектора, лежащие на параллельных прямых называются коллинеарными: вектора , и — коллинеарны.

Произведением вектора на число называется вектор, сонаправленный вектору , если , и направленный в противоположную сторону, если , и длина которого равна длине вектора , умноженной на :

=k:

Чтобы сложить два вектора и , нужно начало вектора соединить с концом вектора . Вектор суммы соединяет начало вектора с концом вектора :

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Чтобы сложить два вектора по правилу параллелограмма, нужно отложить вектора от одной точки и достроить до параллелограмма. Вектор суммы соединяет точку начала векторов с противоположным углом параллелограмма:

Разность двух векторов определяется через сумму: разностью векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором даст вектор :

Отсюда вытекает правило нахождения разности двух векторов: чтобы из вектора вычесть вектор , нужно отложить эти вектора от одной точки. Вектор разности соединяет конец вектора с концом вектора ( то есть конец вычитаемого с концом уменьшаемого):

Чтобы найти угол между вектором и вектором , нужно отложить эти вектора от одной точки. Угол, образованный лучами, на которых лежат вектора, называется углом между векторами:

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Предлагаю вам решить задачи из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике, а затем сверить све решение с ВИДЕОУРОКАМИ:

1. Задание 4 (№ 27709)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину разности векторов и .

2. Задание 4 (№ 27710)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

3. Задание 4 (№ 27711)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину суммы векторов и .

4. Задание 4 (№ 27712)

Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину разности векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

5. Задание 4 (№ 27713)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора .

6. Задание 4 (№ 27714)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

7.Задание 4 (№ 27715)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).

8.Задание 4 (№ 27716)

Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .

9. Задание 4 (№ 27717)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора + .

10. Задание 4 (№ 27718)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора — .(чертеж из предыдущей задачи).

11.Задание 4 (№ 27719)

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите скалярное произведение векторов и .(чертеж из предыдущей задачи).

12. Задание 4 (№ 27720)

Стороны правильного треугольника ABC равны Найдите длину вектора +.

13. Задание 4 (№ 27721)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите длину вектора -.(чертеж из предыдущей задачи).

14. Задание 4 (№ 27722)

Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов и . (чертеж из предыдущей задачи).

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Длина вектора – определение, формулы и примеры

Длина вектора позволяет нам понять, насколько велик вектор с точки зрения размеров. Это также помогает нам понимать векторные величины, такие как перемещение, скорость, сила и т. д. Понимание формулы для вычисления длины вектора поможет нам установить формулу для длины дуги векторной функции.

Длина вектора (известная как величина) позволяет нам количественно оценить свойство данного вектора. Чтобы найти длину вектора, просто добавьте квадрат его компонентов, затем извлеките квадратный корень из результата .

В этой статье мы расширим наше понимание величин до трехмерных векторов. Мы также рассмотрим формулу длины дуги векторной функции. К концу нашего обсуждения наша цель состоит в том, чтобы вы уверенно работали над различными задачами, связанными с векторами и длинами векторных функций.

Какова длина вектора?

Длина вектора представляет собой расстояние вектора в стандартной позиции от начала координат. В нашем предыдущем обсуждении векторных свойств мы узнали, что длина вектора также известна как 9-кратная длина вектора. 2}\конец{выровнено}

Фактически, мы можем расширить наше понимание трехкоординатных систем и векторов, чтобы доказать формулу для длины вектора в пространстве.

Доказательство формулы длины вектора в 3D

Предположим, что у нас есть вектор, $\textbf{u} = x_o \textbf{i} + y_o \textbf{j} +z_o \textbf{k}$ , мы можем переписать вектор как сумму двух векторов. Следовательно, мы имеем следующее:

\begin{aligned}\textbf{v}_1 &= \\ \textbf{v}_2 &= <0 , 0, z_o>\\\textbf{u} &= \\&= +<0 ,0, z_o>\\&=\textbf{v}_1+ \textbf{v}_2\end{выровнено} 92}\end{aligned}

Это означает, что для вычисления длины вектора в трех измерениях все, что нам нужно сделать, это сложить квадраты его компонентов, а затем извлечь квадратный корень из результата.

Длина дуги векторной функции

Мы можем распространить это понятие длины на векторные функции — на этот раз мы аппроксимируем расстояние векторной функции на интервале $t$. Длину вектор-функции $\textbf{r}(t)$ в интервале $[a, b]$ можно рассчитать по приведенной ниже формуле. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt\end{aligned}

Мы рассмотрели все основные определения длин векторов и длин векторных функций, теперь пришло время применить их для вычисления их значений.

Как вычислить длину вектора и векторную функцию?

Мы можем вычислить длину вектора, применив формулу для величины . Вот разбивка шагов для вычисления длины вектора:

Следовательно, длина вектора $\textbf{u}$ равна $\sqrt{21}$ единиц или примерно равно $4,58$ единиц.

Как мы показали в предыдущем обсуждении, длина дуги векторной функции зависит от касательного вектора . Вот подсказка, которая поможет вам вычислить длину дуги векторной функции:

Перечислите компоненты вектора и возведите их квадраты. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x} dt$, где $\textbf{r}\prime(t)$ представляет собой касательный вектор.

2} \\&= \sqrt{ 20}\end{выровнено} 94\\&= 2\sqrt{5}( 4 -0)\\&= 8\sqrt{5}\end{aligned}

Это означает, что длина дуги $\textbf{r}(t)$ от $t=0$ до $t=4$ равно $8\sqrt{5}$ единиц или приблизительно $17,89$ единиц.

Это два замечательных примера того, как мы можем применять формулы для длин векторов и векторных функций. Мы приготовили для вас еще несколько задач, так что переходите к следующему разделу, когда будете готовы!

Пример 1

Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в $P(-2, 0, 1 )$ и конечную точку в $Q(4, -2, 3)$ . Какова длина вектора? 92}\\&= \sqrt{36+ 4+ 4}\\&= \sqrt{44}\\&= 2\sqrt{11}\\&\приблизительно 6,63 \end{aligned}

Это означает, что вектор $\textbf{u}$ имеет длину $2\sqrt{11}$ единиц или примерно $6,33$ единиц.

Пример 2

Вычислить длину дуги вектор-функции, $\textbf{r}(t) = \left<2\cos t, 2\sin t, 4t\right>$, если $t$ находится внутри интервала, $t \in [0, 2\pi]$.

Решение

Теперь мы ищем длину дуги векторной функции, поэтому воспользуемся формулой, показанной ниже. 9{b} |\textbf{r}\prime(t)| \phantom{x}dt\end{aligned}

Сначала возьмем производную каждой компоненты, чтобы найти $\textbf{r}\prime(t)$.

\begin{выровнено}x\prime(t)\end{выровнено}	\begin{align}x\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \cos t)\\&= 2(-\sin t)\\&= -2\sin t \end {выровнено}
\begin{выровнено}y \prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 \sin t)\\&= 2(\cos t)\\&= 2\cos t\end{выровнено }
\begin{выровнено}z\prime(t)\end{выровнено}	\begin{выровнено}y\prime(t) &= \dfrac{d}{dt}(2 4t)\\&= 4(1)\\&= 4\end{выровнено}
\begin{выровнено}\textbf{r}\prime(t) &= \left\\&= \left <-2\sin t, 2\cos t, 4\right>\end{выровнено}

Теперь найдем величину $\textbf{r}\prime(t)$, добавив квадраты компонентов касательного вектора. Запишите квадратный корень из суммы, чтобы выразить величину через $t$. 9{2\pi} \phantom{x}dt\\&= 2\sqrt{5}(2\pi – 0)\\&= 4\sqrt{5}\pi\\&\примерно 28,10\end{выровнено }

Это означает, что длина дуги векторной функции составляет $4\sqrt{5}\pi$ или приблизительно $28,10$ единиц.

Практические вопросы

1. Вектор $\textbf{u}$ имеет начальную точку в точке $P(-4, 2, -2 )$ и конец в точке $Q(-1, 3, 1)$. Какова длина вектора?

2. Вычислить длину дуги вектор-функции $\textbf{r}(t) = \left$, если $t$ находится в пределах интервал, $t \in [0, 2\pi]$.

Ключ ответа

1. Вектор имеет длину $\sqrt{19}$ единиц или примерно $4,36$ единиц.
2. Длина дуги примерно равна $25,343$ единиц.

Трехмерные изображения/математические чертежи создаются с помощью GeoGebra.

Векторы в двух- и трехмерных декартовых координатах

Во введении к векторам мы обсуждали векторы без привязки к какой-либо системе координат. Работая только с геометрическим определением величины и направления векторов, мы смогли определить такие операции, как сложение, вычитание, и умножение на скаляры. Мы также обсудили свойства этих операций.

Часто система координат оказывается полезной, потому что проще управлять координатами вектора, чем непосредственно его величиной и направлением. Когда мы выражаем вектор в системе координат, мы идентифицируем вектор с помощью списка чисел, называемых координатами или компонентами, которые определяют геометрию вектора в терминах системы координат. Здесь мы обсудим стандартные декартовы системы координат на плоскости и в трехмерном пространстве.

Векторы на плоскости

Мы предполагаем, что вы знакомы со стандартной декартовой системой координат $(x,y)$ на плоскости. Каждая точка $\vc{p}$ на плоскости отождествляется со своими компонентами $x$ и $y$: $\vc{p} = (p_1,p_2)$.

Чтобы определить координаты вектора $\vc{a}$ на плоскости, первый шаг — перевести вектор так, чтобы его хвост находился в начале координат системы координат. 2$, чтобы обозначить, что его можно описать двумя действительными координатами. 92} = 5$.

Приведенный ниже апплет, повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между компонентами вектора и его величиной.

Величина и направление вектора. Синяя стрелка обозначает вектор $\vc{a}$. Два определяющих свойства вектора, величина и направление, показаны красной полосой и зеленой стрелкой соответственно. Длина красной полосы — это величина $\|\vc{a}\|$ вектора $\vc{a}$. Зеленая стрелка всегда имеет длину единицу, но ее направление совпадает с направлением вектора $\vc{a}$. Единственным исключением является случай, когда $\vc{a}$ является нулевым вектором (единственным вектором с нулевой величиной), для которого направление не определено. Вы можете изменить любой конец $\vc{a}$, перетащив его мышью. Вы также можете переместить $\vc{a}$, перетащив середину вектора; однако изменение положения $\vc{a}$ таким образом не меняет вектор, так как его величина и направление остаются неизменными.

Дополнительная информация об апплете.

Векторные операции, которые мы определили во введении к векторам, легко выразить в терминах этих координат. Если $\vc{a}=(a_1,a_2)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2)$, их сумма просто $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2)$, как показано на рисунке ниже. Также легко видеть, что $\vc{b}-\vc{a} = (b_1-a_1,b_2-a_2)$ и $\lambda \vc{a} = (\lambda a_1, \lambda a_2)$ для любого скаляра $\lambda$.

Приведенный ниже апплет, также повторяющийся из введения вектора, позволяет вам исследовать взаимосвязь между геометрическим определением сложения векторов и суммированием компонентов вектора.

Сумма двух векторов. Сумма $\vc{a}+\vc{b}$ вектора $\vc{a}$ (синяя стрелка) и вектора $\vc{b}$ (красная стрелка) показана зеленой стрелкой . Поскольку векторы не зависят от их начального положения, обе синие стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{a}$, а обе красные стрелки представляют один и тот же вектор $\vc{b}$. Сумму $\vc{a}+\vc{b}$ можно составить, поместив хвост вектора $\vc{b}$ в начало вектора $\vc{a}$. То же самое можно сделать, поместив хвост вектора $\vc{a}$ в начало вектора $\vc{b}$. Обе конструкции вместе образуют параллелограмм, сумма $\vc{a}+\vc{b}$ которого является диагональю. (По этой причине закон перестановки $\vc{a}+\vc{b}=\vc{b}+\vc{a}$ иногда называют законом параллелограмма.) Вы можете изменить $\vc{a} $ и $\vc{b}$, перетаскивая желтые точки.

Дополнительная информация об апплете.

Вы могли заметить, что мы используем одни и те же обозначения для обозначения точки и вектора. Мы не склонны подчеркивать какое-либо различие между точкой и вектором. Вы можете думать о точке как о представлении вектора, хвост которого зафиксирован в начале координат. Вам придется выяснить по контексту, думаем ли мы о векторе или нет. как с фиксированным хвостом в начале координат.

Другой способ обозначения векторов — стандартные единичные векторы обозначаются $\vc{i}$ и $\vc{j}$. Единичный вектор — это вектор, длина которого равна единице. Вектор $\vc{i}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $x$. В координатах мы можем написать $\vc{i}=(1,0)$. Точно так же вектор $\vc{j}$ является единичным вектором в направлении положительной оси $y$: $\vc{j}=(0,1)$. Мы можем записать любой двумерный вектор в терминах этих единичных векторов как $\vc{a}=(a_1,a_2) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}$.

Векторы в трехмерном пространстве

В трехмерном пространстве существует стандартная декартова система координат $(x,y,z)$. Начиная с точки, которую мы называем началом координат, построим три взаимно перпендикулярные оси, которые мы называем осью $x$, осью $y$ и осью $z$. Вот один из способов изобразить эти оси. Встаньте в углу комнаты и посмотрите вниз, в точку, где стены соприкасаются с полом. Затем пол и стена слева от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $x$. Пол и стена справа от вас пересекаются по линии, являющейся положительной осью $y$. Стены пересекаются по вертикальной линии, являющейся положительной осью $z$. Эти положительные оси изображены в приведенном ниже апплете и помечены как $x$, $y$ и $z$. Отрицательная часть каждой оси находится на противоположной стороне начала координат, где оси пересекаются.

Загрузка апплета

Трехмерные декартовы оси координат. Представление трех осей трехмерной декартовой системы координат. Положительная ось $x$, положительная ось $y$ и положительная ось $z$ — это стороны, помеченные $x$, $y$ и $z$. Начало — это пересечение всех осей. Ветвь каждой оси на противоположной стороне от начала координат (немаркированная сторона) является отрицательной частью. Вы можете перетащить фигуру с помощью мыши, чтобы повернуть ее.

Дополнительная информация об апплете.

Мы установили относительное расположение положительных осей $x$, $y$ и $z$ чтобы сделать систему координат правой системой координат . Обратите внимание, что если согнуть пальцы правой руки от положительной оси $x$ к положительной оси $y$, большой палец правой руки будет указывать в направлении положительной оси $z$.

Если вы поменяли местами положительную ось $x$ и положительную ось $y$, тогда у вас будет левосторонняя система координат. Если вы сделаете это, вы будете жить в математической вселенной, в которой некоторые формулы будут отличаться на знак минус от формулы во вселенной, которую мы здесь используем. Ваша вселенная будет такой же достоверной, как и наша, но будет много путаницы. Мы предлагаем вам жить в нашей вселенной, изучая эти страницы.

С помощью этих осей любой точке $\vc{p}$ в пространстве можно присвоить три координаты $\vc{p}=(p_1,p_2,p_3)$. Например, учитывая приведенную выше аналогию с углом комнаты, предположим, вы начинаете с угла комнаты и проходите четыре метра по оси $x$, затем поворачиваете налево и проходите три метра вглубь комнаты. Если ваш рост два метра, то ваша макушка находится в точке $(4,3,2)$. 93$ для обозначения того, что его можно описать тремя действительными координатами. Суммы, разности и скалярные умножения трехмерных векторов выполняются для каждого компонента. Если $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ и $\vc{b}=(b_1,b_2,b_3)$, то $\vc{a}+\vc{b}=(a_1+ b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$, $\vc{b}-\vc{a}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)$ и $\lambda\vc{a}= (\лямбда а_1, \лямбда а_2, \лямбда а_3)$.

Загрузка апплета

Вектор в трехмерном пространстве. Представление вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$ в трехмерной декартовой системе координат. Вектор $\vc{a}$ изображается в виде зеленой стрелки с хвостом, закрепленным в начале координат. Вы можете перетащить мышкой кончик зеленой стрелки, чтобы изменить вектор. Чтобы показать трехмерную перспективу, розовый треугольник соединяет вектор с его проекцией $(a_1,a_2,0)$ на $xy$-плоскость (серая стрелка). Фиолетовые векторы показывают проекции $\vc{a}$ на каждую ось и представляют координаты $a_1$, $a_2$ и $a_3$. Вы также можете перетаскивать головки фиолетовых векторов, чтобы изменить только одну из координат вектора. Или перетащите вершину серого вектора в плоскости $xy$, чтобы изменить только координаты $x$ и $y$.

Дополнительная информация об апплете.

Так же, как и в двух измерениях, мы также можем обозначать трехмерные векторы is в терминах стандартных единичных векторов $\vc{i}$, $\vc{j}$ и $\vc{k}$. Эти векторы являются единичными векторами в положительных направлениях $x$, $y$ и $z$ соответственно. В терминах координат мы можем записать их как $\vc{i}=(1,0,0)$, $\vc{j}=(0,1,0)$ и $\vc{k}= (0,0,1)$. Мы можем выразить любой трехмерный вектор как сумму скалярных кратных этих единичных векторов в форме $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3) = a_1\vc{i}+a_2\vc{j}+a_3\vc{k}$.

Загрузка апплета

Стандартные единичные векторы в трех измерениях. Стандартные единичные векторы в трех измерениях, $\vc{i}$ (зеленый), $\vc{j}$ (синий) и $\vc{k}$ (красный), представляют собой векторы длины один, которые указывают параллельно ось $x$, ось $y$ и ось $z$ соответственно. Перемещение их с помощью мыши не меняет вектора, поскольку они всегда указывают в положительном направлении соответствующей оси.

Дополнительная информация об апплете.

Какова длина вектора $\vc{a}=(a_1,a_2,a_3)$? Мы можем разложить вектор на $(a_1,a_2,a_3) = (a_1,a_2,0)+(0,0,a_3)$, где два вектора справа соответствуют двум зеленым сегментам линии в вышеуказанном апплете. 2}.$$ 9n$, где $n$ — некоторое натуральное число.

Перейти в более высокое измерение легко со списками чисел, хотя, конечно многомерные векторы нелегко (невозможно?) визуализировать. Вы можете прочитать больше о многомерных векторах или проверить примеры $n$-мерных векторы, которые иллюстрируют, как собираются размеры число выше трех может быть полезным во многих ситуациях.

13.3: Длина дуги и кривизна

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы
2596

Гилберт Стрэнг и Эдвин «Джед» Герман
OpenStax

Цели обучения

Определите длину пути частицы в пространстве с помощью функции длины дуги.
Объясните значение кривизны кривой в пространстве и назовите ее формулу.
Объясните, что означают векторы нормали и бинормали кривой в пространстве.

В этом разделе мы изучаем формулы, относящиеся к кривым как в двух, так и в трех измерениях, и видим, как они связаны с различными свойствами одной и той же кривой. Например, предположим, что вектор-функция описывает движение частицы в пространстве. Мы хотели бы определить, какое расстояние прошла частица за заданный интервал времени, который можно описать длиной дуги пути, по которому она следует. Или предположим, что вектор-функция описывает дорогу, которую мы строим, и мы хотим определить, насколько круто изгибается дорога в данной точке. Это описывается кривизной функции в этой точке. В этом разделе мы исследуем каждую из этих концепций. 9{b}_{a} \|\vecs r′(t)\|dt . \label{Arc3D} \end{align} \]

Эти две формулы очень похожи; они отличаются только тем, что пространственная кривая имеет три составляющие функции вместо двух. Обратите внимание, что формулы определены для гладких кривых: кривых, где вектор-функция $\vecs r(t)$ дифференцируема с ненулевой производной. Условие гладкости гарантирует, что кривая не имеет точек возврата (или углов), которые могли бы сделать формулу проблематичной.

Пример $\PageIndex{1}$: определение длины дуги 9{3/2})≈37,785\) единиц

Теперь вернемся к спирали, представленной ранее в этой главе. Вектор-функцию, описывающую спираль, можно записать в виде

\[\vecs r(t)=R \cos \left(\dfrac{2πNt}{h}\right) \,\hat{\mathbf {i}} +R \sin\left(\dfrac{2πNt}{h}\right) \,\hat{\mathbf{j}}+t \,\hat{\mathbf{k}},0≤t ≤h, \nonumber \]

где $R$ представляет радиус спирали, $h$ представляет высоту (расстояние между двумя последовательными витками), а спираль завершает $N$ витков. Давайте выведем формулу для длины дуги этой спирали, используя уравнение \ref{Arc3D}. Во-первых, 92}.\end{align*}\]

Это дает формулу для длины провода, необходимой для формирования спирали с $N$ витками, которая имеет радиус $R$ и высоту $h$ .

Параметризация длины дуги

Теперь у нас есть формула для длины дуги кривой, определяемой векторнозначной функцией. Давайте сделаем еще один шаг вперед и рассмотрим, что такое функция длины дуги .

Если векторнозначная функция представляет положение частицы в пространстве как функцию времени, то функция длины дуги измеряет, как далеко эта частица проходит как функцию времени. Формула для функции длины дуги непосредственно следует из формулы для длины дуги: 92} дю. \label{arclength3} \]

Если кривая двухмерная, то под квадратным корнем внутри интеграла появляются только два члена. Причина использования независимой переменной u состоит в том, чтобы различать время и переменную интегрирования. Поскольку $s(t)$ измеряет пройденное расстояние как функцию времени, $s′(t)$ измеряет скорость частицы в любой момент времени. Поскольку у нас есть формула для $s(t)$ в уравнении \ref{arclength3}, мы можем дифференцировать обе части уравнения: 9{t}_{a} ‖\vecs r′(u)‖\,du \nonumber \]

Кроме того,

\[\dfrac{ds}{dt}=‖\vecs r′(t)‖> 0. \nonumber \]

Если $‖\vecs r′(t)‖=1$ для всех $t≥a$, то параметр $t$ представляет длину дуги от начальной точки в \ (т=а\).

Полезным применением этой теоремы является нахождение альтернативной параметризации данной кривой, называемой параметризацией длины дуги . Напомним, что любую вектор-функцию можно перепараметрировать заменой переменных. Например, если у нас есть функция $\vecs r(t)=⟨3 \cos t,3 \sin t⟩,0≤t≤2π$, которая параметризует окружность радиуса 3, мы можем изменить параметр с $t$ в $4t$, получив новую параметризацию $\vecs r(t)=⟨3 \cos 4t,3 \sin 4t⟩$. Новая параметризация по-прежнему определяет окружность радиуса 3, но теперь нам нужно использовать только значения $0≤t≤π/2$, чтобы пройти круг один раз.

Предположим, что мы нашли функцию длины дуги $s(t)$ и можем решить эту функцию для $t$ как функцию от $s$ . Затем мы можем перепараметрировать исходную функцию $\vecs r(t)$, подставив выражение для $t$ обратно в $\vecs r(t)$. Теперь вектор-функция записывается в терминах параметра $s$ . Поскольку переменная $s$ представляет длину дуги, мы называем это параметризацией длины дуги исходной функции $\vecs r(t)$. Одним из преимуществ нахождения параметризации длины дуги является то, что расстояние, пройденное вдоль кривой, начиная с $s=0$, теперь равно параметру $s$. Параметризация длины дуги также появляется в контексте кривизны (которую мы рассмотрим позже в этом разделе) и линейных интегралов.

Пример $\PageIndex{2}$: поиск параметризации длины дуги

Найдите параметризацию длины дуги для каждой из следующих кривых:

$\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+ 4 \sin t \,\hat{\mathbf{j}},\quad t≥0$
$\vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩,\quad t≥3$

Решение

Сначала найдем функцию длины дуги, используя уравнение \ref{arclength3}:
\[\begin{align*} s(t) &= \int_a^t ‖\vecs r′(u)‖ \,du \\[4pt] &= \int_0^t ‖⟨−4 \sin u, 4 \cos u⟩‖ \,du \\[4pt] &= \int_0^t \sqrt{(−4 \sin u)^2+(4 \cos u)^2} \,du \\[4pt] &= \int_0^t \sqrt{16 \sin ^2 u+16 \cos ^2 u} \,du \\[4pt] &= \int_0^t 4\,du = 4t, \end{align*} \]
, который дает связь между длиной дуги $s$ и параметром $t$ как $s=4t;$, то есть $t=s/4$. Далее заменяем переменную $t$ в исходной функции $\vecs r(t)=4 \cos t \,\hat{\mathbf{i}}+4 \sin t \,\hat{\mathbf {j}}$ с выражением $s/4$, чтобы получить
\[\vecs r(s)=4 \cos\left(\frac{s}{4}\right) \,\hat{\mathbf{i}} + 4 \sin\left(\frac{s} {4}\справа) \,\шляпа{\mathbf{j}}. \номер\]
Это параметризация длины дуги $\vecs r(t)$. Поскольку исходное ограничение на $t$ было задано выражением $t≥0$, ограничение на 9t 3 \,du \\[4pt] &= 3t — 9. \end{align*}\]
Следовательно, связь между длиной дуги $s$ и параметром $t$ равна $s=3t−9$, поэтому $t= \frac{s}{3}+3$. Подстановка этого в исходную функцию $\vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩ $ дает
\[\vecs r(s)=⟨\left(\frac{s}{3}+3\right)+3,\,2\left(\frac{s}{3}+3\right)− 4,\,2\влево(\frac{s}{3}+3\вправо)⟩=⟨\frac{s}{3}+6, \frac{2s}{3}+2,\frac{2s {3}+6⟩.\номер \]
Это параметризация длины дуги $\vecs r(t)$. Исходное ограничение на параметр $t$ было $t≥3$, поэтому ограничение на $s$ равно $(s/3)+3≥3$ или $s≥0 $.

Упражнение $\PageIndex{2}$

Найдите функцию длины дуги для спирали

\[\vecs r(t)=⟨3 \cos t, 3 \sin t,4t⟩,\quad т≥0. \nonumber \]

Затем используйте связь между длиной дуги и параметром $t$, чтобы найти параметризацию длины дуги для $\vecs r(t)$.

Подсказка

Начните с нахождения функции длины дуги.

Ответить

$s=5t$ или $t=s/5$. Подстановка этого в $\vecs r(t)=⟨3 \cos t,3 \sin t,4t⟩$ дает

\[\vecs r(s)=⟨3 \cos\left(\frac{s}{5}\right),3 \sin\left(\frac{s}{5}\right),\frac{ 4s}{5}⟩,\quad s≥0 \nonumber \]

Кривизна

Кривизна является важной темой, связанной с длиной дуги. Понятие кривизны позволяет измерить, насколько резко поворачивает гладкая кривая. Окружность имеет постоянную кривизну. Чем меньше радиус окружности, тем больше кривизна.

Представьте, что вы едете по дороге. Предположим, что дорога лежит на дуге большого круга. В этом случае вам едва ли придется крутить руль, чтобы оставаться на дороге. Теперь предположим, что радиус меньше. В этом случае вам нужно будет поворачивать более резко, чтобы остаться на дороге. В случае кривой, отличной от окружности, часто полезно сначала вписать окружность в кривую в данной точке так, чтобы она касалась кривой в этой точке и «обнимала» кривую как можно теснее в заданной точке. окрестности точки (рис. $\PageIndex{1}$). Затем кривизна графика в этой точке определяется как такая же, как кривизна вписанной окружности.

Определение: кривизна

Пусть $C$ — гладкая кривая на плоскости или в пространстве, заданная формулой $\vecs r(s)$, где $s$ — параметр длины дуги. Кривизна $κ$ в точке $s$ равна

\[κ =\bigg{\|}\dfrac{d\vecs{T}}{ds}\bigg{\|}=‖\vecs T «(с)». \nonumber \]

Посмотрите это видео, чтобы узнать больше о кривизне пространственной кривой.

Формула определения кривизны не очень полезна с точки зрения вычислений. В частности, напомним, что $\vecs T(t)$ представляет собой единичный касательный вектор к заданной вектор-функции $\vecs r(t)$, а формула для $\vecs T(t) $ равно

\[\vecs T(t)=\frac{\vecs r′(t)}{∥\vecs r′(t)∥}. \nonumber \]

Чтобы использовать формулу для кривизны, сначала необходимо выразить $\vecs r(t)$ через параметр длины дуги $s$, затем найти единичный касательный вектор \ (\vecs T(s)\) для функции $\vecs r(s)$, то возьмем производную от $\vecs T(s)$ по $s$. Это утомительный процесс. К счастью, существуют эквивалентные формулы для кривизны. 9{3/2}}.\label{EqK4} \]

Доказательство

Первая формула непосредственно следует из цепного правила:

\[\dfrac{d\vecs{T}}{dt} = \dfrac{ d\vecs{T}}{ds} \dfrac{ds}{dt}, \nonumber \]

, где $s$ — длина дуги вдоль кривой $C$. Разделив обе части на $ds/dt$ и взяв величину обеих сторон, мы получим

\[\bigg{\|}\dfrac{d\vecs{T}}{ds}\bigg{\|}= \left\lVert\frac{\vecs T'(t)}{\dfrac{ds}{dt}}\right\rVert.\nonumber \]

Так как $ds/dt=‖\vecs r'(t )‖$, это дает формулу кривизны $κ$ кривой $C$ в терминах любой параметризации $C$: 93}.\nonumber \]

Это доказывает $\ref{EqK3}$. Чтобы доказать $\ref{EqK4}$, мы начнем с предположения, что кривая $C$ определяется функцией $y=f(x)$. Затем мы можем определить $\vecs r(t)=x \,\hat{\mathbf{i}}+f(x) \,\hat{\mathbf{j}}+0 \,\hat{\ mathbf{k}}$. Используя предыдущую формулу для кривизны:

\[\begin{align*} \vecs r'(t) &=\,\hat{\mathbf{i}}+f'(x)\,\hat{\mathbf {j}} \\[4pt] \vecs r″(t) &=f″(x)\,\hat{\mathbf{j}} \\[4pt] \vecs r′(t)×\vecs r ″(t) &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & f'(x) & 0 \\ 0 & f»(x) & 0 \end{vmatrix} =f»(x)\,\hat{\mathbf{k}}. \end{выравнивание*}\] 9{3/2}}≈0,0059\)

Нормальный и бинормальный векторы

Мы видели, что производная $\vecs r′(t)$ вектор-функции является касательным вектором к кривой, заданной $\vecs r(t) $, а единичный касательный вектор $\vecs T(t)$ можно рассчитать, разделив $\vecs r′(t)$ на его величину. При изучении движения в трех измерениях для описания движения частицы по траектории в пространстве полезны два других вектора: главный единичный вектор нормали и вектор бинормальный вектор .

Определение: бинормальные векторы

Пусть $C$ — трехмерная гладкая кривая, представленная $\vecs r$ на открытом интервале $I$ . Если $\vecs T′(t)≠\vecs 0$, то главный единичный вектор нормали в точке $t$ определяется как

\[\vecs N(t)=\dfrac{\vecs T′(t)}{‖\vecs T′(t)‖}. \label{EqNormal} \]

Вектор бинормалей в точке $t$ определяется как

\[\vecs B(t)=\vecs T(t)×\vecs N(t),\label{EqBinormal } \]

где $\vecs T(t)$ — единичный касательный вектор.

Обратите внимание, что бинормали по определению ортогональны как единичному касательному вектору, так и вектору нормали. Кроме того, $\vecs B(t)$ всегда является единичным вектором. Это можно показать, используя формулу для величины векторного произведения.

\[‖\vecs B(t)‖=‖\vecs T(t)×\vecs N(t)‖=‖\vecs T(t)‖‖\vecs N(t)‖ \sin \theta, \nonumber \]

, где $\theta$ — угол между $\vecs T(t)$ и $\vecs N(t)$. Поскольку $\vecs N(t)$ является производной единичного вектора, свойство (vii) производной вектор-функции говорит нам, что $\vecs T(t)$ и $\vecs N(t)$ ортогональны друг другу, поэтому $\theta=π/2$. Кроме того, они оба являются единичными векторами, поэтому их величина равна 1. Следовательно, $‖\vecs T(t)‖‖\vecs N(t)‖ \sin \theta=(1)(1) \sin (π/ 2)=1$ и $\vecs B(t)$ — единичный вектор.

Главный единичный вектор нормали может быть сложным для вычисления, поскольку единичный вектор касательной включает частное, а это частное часто имеет квадратный корень в знаменателе. В трехмерном случае нахождение векторного произведения единичного касательного вектора и единичного вектора нормали может быть еще более громоздким. К счастью, у нас есть альтернативные формулы для нахождения этих двух векторов, и они представлены в разделе «Движение в пространстве».

Пример $\PageIndex{4}$: нахождение вектора нормали к главной единице и вектора бинормали 92 t}} \\[4pt]

Обратите внимание, что единичный вектор касательной и главный единичный вектор нормали ортогональны друг другу для всех значений $t$:

\[\begin{align*} \vecs T (t)·\vecs N(t) &=⟨− \sin t,− \cos t⟩·⟨− \cos t, \sin t⟩ \\[4pt] &= \sin t \cos t−\cos т \sin т \\[4pt] &=0. \end{align*}\]

Кроме того, главный единичный вектор нормали указывает к центру окружности из каждой точки окружности. Поскольку $\vecs r(t)$ определяет кривую в двух измерениях, мы не можем вычислить вектор бинормалей. 92−3t)\,\hat{\mathbf{i}}+(4t+1)\,\hat{\mathbf{j}}\) и оценить его при $t=2$.

Подсказка: Сначала найдите $\vecs T(t)$, затем используйте $\ref{EqNormal}$.
Ответить: $\vecs N(2)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\,\hat{\mathbf{i}}−\,\hat{\mathbf{j}})$

Для любой гладкой кривой в трех измерениях, заданной вектор-функцией, теперь у нас есть формулы для единичного касательного вектора $\vecs T$, единичного вектора нормали $\vecs N$ и бинормальный вектор $\vecs B$. Единичный вектор нормали и вектор бинормали образуют плоскость, перпендикулярную кривой в любой точке кривой, называемую плоскостью нормали. Кроме того, эти три вектора образуют систему отсчета в трехмерном пространстве, называемую 9.0008 Система координат Френе (также называемая системой координат TNB ) (рис. $\PageIndex{2}$). Наконец, плоскость, определяемая векторами $\vecs T$ и $\vecs N$, образует соприкасающуюся плоскость $C$ в любой точке $P$ на кривой.

$P$

на трехмерной кривой вектора единичной касательной, единичной нормали и бинормали образуют трехмерную систему отсчета.

Предположим, мы образуем окружность в соприкасающейся плоскости $С$ в точке $Р$ на кривой. Предположим, что окружность имеет ту же кривизну, что и кривая в точке $P$, и пусть окружность имеет радиус $r$. Тогда кривизна круга определяется как $\frac{1}{r}$. Мы называем $r$ радиусом кривизны кривой, и он равен обратной величине кривизны. Если эта окружность лежит на вогнутой стороне кривой и касается кривой в точке $P$, то эта окружность называется соприкасающийся круг из $C$ в точке $P$, как показано на рисунке $\PageIndex{3}$.

и имеет ту же кривизну.

Для получения дополнительной информации о соприкасающихся окружностях см. эту демонстрацию кривизны и кручения, эту статью о соприкасающихся окружностях и это обсуждение формул Серре.

Чтобы найти уравнение соприкасающейся окружности в двух измерениях, нам нужно найти только центр и радиус окружности. 9{3/2}}. \nonumber \]

Это дает $κ=6$. Следовательно, радиус соприкасающейся окружности определяется выражением $R=\frac{1}{κ}=\dfrac{1}{6}$. Далее мы вычисляем координаты центра круга. Когда $x=1$, наклон касательной равен нулю. 2=\frac{1}{36}\). График и его соприкасающийся круг показаны на следующем графике. 9{3/2}}\)

В точке $x=1$ кривизна равна $4$. Следовательно, радиус соприкасающейся окружности равен $\frac{1}{4}$.

Далее появится график этой функции:

Вершина этой параболы находится в точке $(1,3)$. Кроме того, центр соприкасающейся окружности находится прямо над вершиной. Следовательно, координаты центра равны $(1,\frac{13}{4})$. Уравнение соприкасающейся окружности

Вектор нормали к главной единице
$\vecs N(t)=\frac{\vecs T′(t)}{‖\vecs T′(t)‖}$
Вектор бинормалей
$\vecs B(t)=\vecs T(t)×\vecs N(t)$

Глоссарий

функция длины дуги: функция $s(t)$, которая описывает длину дуги кривой $C$ как функцию $t$

параметризация длины дуги: репараметризация вектор-функции, в которой параметр равен длине дуги

бинормальный вектор: единичный вектор, ортогональный единичному касательному вектору и единичному вектору нормали

кривизна: производная единичного касательного вектора по параметру длины дуги

Система координат Френе: (кадр TNB) система отсчета в трехмерном пространстве, образованная единичным касательным вектором, единичным вектором нормали и бинормальным вектором

обычный самолет: плоскость, перпендикулярная кривой в любой точке кривой

соприкасающийся круг: окружность, касающаяся кривой $C$ в точке $P$ и имеющая ту же кривизну

соприкасающаяся плоскость: плоскость, определяемая единичной касательной и единичным вектором нормали

вектор нормали к главной единице: вектор, ортогональный единичному касательному вектору, определяемый формулой $\frac{\vecs T'(t)}{‖\vecs T'(t)‖}$

радиус кривизны: обратная кривизна

гладкая: кривых, где вектор-функция $\vecs r(t)$ дифференцируема с ненулевой производной

Эта страница под названием 13. 3: Длина дуги и кривизна распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Гилбертом Стрэнгом и Эдвином «Джедом» Херманом (OpenStax) через исходный контент, который был отредактировано в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Наверх

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Автор
ОпенСтакс
Лицензия
СС BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Программа OER или Publisher
ОпенСтакс
Показать страницу Содержание
нет
Теги
1. Длина дуги
2. функция длины дуги
3. параметризация длины дуги
4. автор @ Эдвин «Джед» Герман
5. автор@Гилберт Странг
6. бинормальный бинормальный вектор
7. кривизна
8. Система координат Френе
9. обычный самолет
10. соприкасающийся круг
11. соприкасающаяся плоскость
12. вектор нормали к главной единице
13. радиус кривизны
14. гладкая
15. источник@https://openstax. org/details/books/calculus-volume-1

MathScene — Векторы — Урок 3

2008 Расмус Эф и Джанн Сак

Урок 3

Векторы в системе координат

Пример 1

точка А имеет координаты (2, 2), а точка В — координаты (6, 5) (см. схему). Координаты вектора

Мы можно использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние между A и B, то есть длина вектора
(см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

Подставляя заданные координаты в формулу получаем:

Мы видим, что числа под квадратным корнем — это просто координаты вектор. Это, конечно, потому, что длина вектора — это просто гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

Формула длины вектора, начинающегося в точке
А = (х ₁ , y ₁ ) и заканчивается на B = (x ₂ , у ₂ ) это:

Если координаты вектора то имеем следующее правило:

Пример 2

Найдите вектор что параллельно и который имеет длину 2 единицы (видеть диаграмму).

Два треугольника на диаграмме подобны, поэтому соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.
|| = т∙||. Число t есть отношение между соответствующими сторонами. Отношение такое.
Мы можем найти координаты как следует:

Если векторы а также находятся параллельно, то существует число t такое, что:

= т∙

Пример 3

Какие из следующих векторов параллельны а также .

Если векторы а также находятся параллельно, то существует число t такое, что = т∙. Если векторы а также находятся параллельно существует число r такое, что знак равно р∙.

Мы можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть найдены ли те же значения, когда мы используем координаты y.

= т∙

3 = t∙13 дает t = 3/13 = 2/9

4 = t∙18 также дает t = 4/18 = 2/9

векторы и есть параллель .

= р∙

3 = r∙6 дает r =

4 = r∙9 дает r = 4/9

векторы и есть не параллельно (Это означает, что а также находятся тоже не параллельно).

Вектор на диаграмме имеет координаты . вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты конечная точка совпадает с координатами самого вектора. Это относится к все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в точка (0, 0).

Вектор, который начинается в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

Каждая точка в системе координат может быть представлена своим вектором положения. Координаты точки и вектор ее положения совпадают. Это может быть очень полезно при просмотре переводов в системе координат.

Пример 4

Треугольник, показанный на диаграмме, должен быть переведен вектором .

Мы используем векторы положения вершинных точек (−3, 0),
(2, −2) и (3, 1) и добавляем вектор каждому из них.

Это дает нам новый вектор положения каждой вершины. Диаграмма ниже показывает перевод.

Пример 5

Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если А = (1, 2) и В = (4, 3).

Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина AB тогда:

знак равно + ∙

Вектор является вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и точку М, которую мы хотим вычислить. Вектор – это вектор положения A. Чтобы достичь середины M, нам нужно добавить половину вектор . Нарисуйте схему, чтобы увидеть это.

Сначала нам нужно найти вектор .

Теперь мы можем найти .

знак равно + ∙

Координаты M такие же, как у вектора положения или (2, 2) .

Легко найти формулу, по которой можно найти координаты точки. середина отрезка АВ.

Из диаграммы видно, что в середину М можно попасть из двух направлениях, от O через A до M и от O через B до M.

Таким образом, мы можем написать два векторных уравнения для .

знак равно + ∙

знак равно — ∙

Складывая эти два уравнения вместе, мы получаем

2 = + ∙ + — ∙

Мы видим, что вектор положения середины отрезка представляет собой своего рода среднее значение векторов положения конечных точек. Поэтому мы можем найти координаты средней точки, найдя среднее значение координат x и y координаты соответственно.
Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

Середина М отрезка АВ определяется по правилу:

При использовании координат правило:

Пример 6

Вершинами треугольника ABC являются A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

Найдите длину прямой, проведенной от А до середины стороны ВС (медиану стороны ВС). треугольник АВС).

Мы начнем с нахождения середины BC, используя приведенное выше правило.

Назовем середину M и найдем ее вектор положения (видеть схему).

= ∙ + ∙

Следовательно, M, середина ВС, имеет координаты
. М = (3, 1).

Далее находим координаты вектора .

Наконец, мы можем найти длину вектора как требуется.

≈ 2,55

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центр треугольника (обозначен Т на диаграмме). Если мы знаем координаты вершин треугольника можно найти координаты T по простой формуле. Эта формула находится аналогично Правило средней точки.

Мы можем достичь T через все три вершины треугольника, тогда мы добавляем три векторных выражения вместе.

В уроке 2 о треугольниках мы видели, что все медианы пересекаются в одной точке. точки, делящие друг друга в соотношении 2:1 или 2/1. Отсюда мы знаем, что длина вектора в два раза больше, чем и поэтому

знак равно ∙ а также знак равно −∙. Используя это, мы можем написать три уравнения:

= + ∙

= + ∙ — ∙

= — ∙ — ∙

Когда мы сложим их вместе, выходит и получаем:

3= + +

Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x и y координаты вершин соответственно.

Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан треугольника путем нахождения своего рода среднего векторов положения вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.

Пример 7

Найдите точку пересечения Т медиан треугольника АВС ( центр ) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см. схему).

Центр Т = (2, 1) .

Попробуйте Викторина 3 на Векторы.
Не забывайте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Исчисление III. Длина дуги с векторными функциями

Онлайн-заметки Пола
Главная / Исчисление III / Трехмерное пространство / Длина дуги с векторными функциями

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-9: Длина дуги с векторными функциями

В этом разделе мы переведем старую формулу в термины векторных функций. Мы хотим определить длину векторной функции,

\[\vec r\left( t \right) = \left\langle {f\left( t \right),g\left( t \right),h\left( t \right)} \right\rangle \ ]

на интервале $a \le t \le b$.

Мы уже знаем, как это сделать. Напомним, что мы можем записать векторную функцию в параметрическую форму,

\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\hspace{0. 25in}z = h\left( t \right)\] 9{{\,b}}{{\влево\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | \, dt}} \]

Давайте рассмотрим быстрый пример этого.

Пример 1 Определить длину кривой $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right)} \right\rangle $ на отрезке $0 \le t \le 2\pi $.

Показать решение

Сначала нам понадобится касательный вектор и его величина.

Прежде чем мы рассмотрим, почему это может быть важно, давайте рассмотрим небольшой пример.

Пример 2. Определить функцию длины дуги для $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \право)} \право\угол $.

Показать решение

Из предыдущего примера мы знаем, что

\[\слева\| {\ vec r ‘\ влево ( т \ вправо)} \ вправо \ | = 2\квадрат {10} \] 9т = 2\sqrt {10} \,т\]

Ладно, только зачем нам это? Что ж, давайте возьмем результат примера выше и решим его для $t$.

\[t = \frac{s}{{2\sqrt {10} }}\]

Теперь, взяв это и подставив в исходную векторную функцию, мы можем репараметризовать функцию в виде $\vec r\left( {t\left( s \right)} \right)$. Для нашей функции это

. \[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

Итак, зачем нам это? Что ж, с репараметризацией мы теперь можем сказать, где мы находимся на кривой после того, как мы прошли расстояние $s$ вдоль кривой. Также обратите внимание, что мы начнем измерение расстояния с того места, где мы находимся в точке $t = 0$.

Пример 3. Где на кривой $\vec r\left( t \right) = \left\langle {2t,3\sin \left( {2t} \right),3\cos \left( {2t} \right )} \right\rangle $ после путешествия на расстояние $\displaystyle \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}$?

Показать решение

Чтобы определить это, нам нужна репараметризация, которую мы получили сверху.

\[\ vec r\left( {t\left(s\right)} \right) = \left\langle {\ frac {s}{{\ sqrt {10}}},3\sin \left( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \right), 3 \ cos \ left ( {\ frac {s} {{\ sqrt {10} }}} \ right)} \ right \ rangle \]

Затем, чтобы определить, где мы находимся, все, что нам нужно сделать, это подставить сюда $s = \frac{{\pi \sqrt {10} }}{3}$, и мы получим наше местоположение.

\[\ vec r \ left ( {t \ left ( {\ frac {{\ pi \ sqrt {10}}} {3}} \ right)} \ right) = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3},3\sin\left({\frac{\pi}{3}}\right),3\cos\left({\frac{\pi}{3}}\right)} \right\rangle = \ left \ langle {\ frac {\ pi} {3}, \ frac {{3 \ sqrt 3}} {2}, \ frac {3} {2}} \ right \ rangle \]

Итак, пройдя расстояние $\frac{{\pi \sqrt {10}}}{3}$ по кривой, мы находимся в точке $\left( {\frac{\pi }{ 3},\frac{{3\sqrt 3 }}{2},\frac{3}{2}} \right)$.

Видео-вопрос: вычисление длин двух векторов по их векторному произведению при условии, что векторы перпендикулярны друг другу

Стенограмма видео

Два вектора 𝐚 и 𝐛 имеют одинаковую длину и перпендикулярны друг другу. Векторное произведение 𝐚 и 𝐛 имеет величину девять. Какова длина каждого вектора?

Итак, это вопрос о векторных произведениях. В этом вопросе нам сообщают величину векторного произведения двух векторов 𝐚 и 𝐛. И нам говорят, что эти векторы имеют одинаковую длину и что они перпендикулярны друг другу. Нас просят найти длину каждого вектора. Давайте начнем с того, что возьмем информацию, которую дает нам вопрос о векторах 𝐚 и 𝐛, и попробуем использовать ее для записи выражений для 𝐚 и 𝐛 в компонентной форме.

Нам ничего не говорят об абсолютной ориентации обоих векторов, только то, что они перпендикулярны друг другу. Таким образом, мы вольны ориентировать их по своему усмотрению. Абсолютное направление в пространстве не повлияет на наш ответ. И вообще, в этом случае проще всего выбрать ориентацию векторов по осям координат для выполнения расчета. Итак, давайте представим, что наш вектор 𝐚 указывает вдоль оси 𝑥, а наш вектор 𝐛 указывает на 𝑦-ось. Это выполняет требование вопроса о том, что два вектора перпендикулярны друг другу.

Затем мы можем записать наши векторы 𝐚 и 𝐛 в компонентной форме. Напомним, что 𝐢 — это единичный вектор в 𝑥-направлении, поэтому вектор 𝐚 можно записать как величину 𝐚, умноженную на единичный вектор 𝐢, а 𝐣 — единичный вектор в 𝑦-направлении, поэтому вектор 𝐛 можно записывается как величина 𝐛, умноженная на единичный вектор 𝐣. Но на самом деле вопрос дал нам еще одну информацию о векторах 𝐚 и 𝐛. Нам сказали, что эти два вектора имеют одинаковую длину.

Теперь длина и величина вектора эквивалентны. Итак, это означает, что величина вектора 𝐚 должна равняться величине вектора 𝐛. Итак, давайте установим величину 𝐚 и величину 𝐛 равными одному и тому же значению, которое мы будем называть 𝑚 для величины. Тогда мы имеем, что вектор 𝐚 равен 𝑚, умноженному на единичный вектор 𝐢, и у нас есть, что 𝐛 равен 𝑚, умноженному на единичный вектор 𝐣. Итак, теперь у нас есть выражения для вектора 𝐚 и вектора 𝐛 в компонентной форме. Итак, мы достигли первого шага.

Что дальше? Что ж, другая часть информации, которую дал нам вопрос, касается векторного произведения 𝐚 и 𝐛. Нам говорят, что это векторное произведение имеет величину девять. Итак, разумным следующим шагом было бы вычисление векторного произведения 𝐚 и 𝐛. И затем нашим последним шагом будет использование векторного произведения, чтобы найти длину 𝑚 каждого из векторов 𝐚 и 𝐛. Итак, давайте вспомним определение векторного произведения двух векторов.

Сначала мы определим два общих вектора в 𝑥𝑦-плоскости, заглавную 𝐀 и заглавную 𝐁. Мы можем записать их в компонентной форме следующим образом. Заглавная 𝐀 равна 𝑥-компонентной заглавной 𝐴 индексу 𝑥, умноженной на единичный вектор 𝐢 плюс 𝑦-компонентная заглавная 𝐴 нижняя индекса 𝑦, умноженной на единичный вектор 𝐣, и аналогично для заглавной 𝐁 с 𝑥-компонентной заглавной 𝐵 нижним индексом 𝑥 и 𝑦-компонентный заглавный 𝐵 нижний индекс 𝑦. Тогда векторное произведение 𝐀 пересечения 𝐁 равно 𝑥-компоненте 𝐴, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐵 минус 𝑦-компонента 𝐴, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐵, умноженной на 𝐤, который является единичным вектором в 𝑧-направлении.

Итак, давайте применим это к нашим векторам из вопроса, строчным 𝐚 и 𝐛. Мы можем немного прояснить, что происходит, если явно включим как 𝑥-, так и 𝑦-компоненты для обоих векторов. Вектор 𝐚 имеет только 𝑥-компоненту. Но мы можем переписать это как 𝐚 равно 𝑚, умноженное на 𝐢 плюс ноль, умноженное на 𝐣, чтобы явно включить 𝑦-компоненту нуля. И мы можем сделать то же самое для вектора 𝐛, который имеет только 𝑦-компоненту. Но мы можем явно включить 𝑥-компоненту нуля и переписать ее как ноль, умноженный на 𝐢 плюс 𝑚, умноженный на 𝐣.

Итак, теперь мы хотим вычислить векторное произведение 𝐚 и 𝐛. Но должны ли мы рассчитывать 𝐚 крест 𝐛 или 𝐛 крест 𝐚? На самом деле оказывается, что не имеет значения, какой из них мы выбираем для расчета. Чтобы понять почему, давайте вернемся к нашему общему выражению для векторного векторного произведения. Если бы вместо этого мы написали 𝐁 через 𝐀, наш первый член был бы 𝑥-компонентой 𝐵, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐴. И наш второй член будет 𝑦-компонентой 𝐵, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐴.

А потом все это будет умножено на наш единичный вектор 𝐤 в 𝑧-направлении. Вынесение из скобок множителя минус один дает нам здесь это выражение. Затем эти два знака минус сокращаются, давая нам плюс. А если поменять местами эти два члена в скобках, то получится, что векторное произведение 𝐁 крест 𝐀 равно минус единице умноженному на 𝐵 нижнего индекса 𝑦 умноженному на 𝐴 нижнему индексу 𝑥 минус 𝐵 нижнему индексу 𝑥 умноженному на 𝐴 нижнему индексу 𝑦 снова умноженному на единицу вектор 𝐤 в 𝑧-направлении.

Давайте посмотрим на наш первый член в скобках 𝐵 нижний индекс 𝑦, умноженный на 𝐴 нижний индекс 𝑥. Мы должны помнить, что когда мы умножаем два числа, порядок этих двух чисел в умножении не имеет значения. Таким образом, этот термин эквивалентен индексу 𝐴 𝑥, умноженному на индекс 𝐵 𝑦. Итак, давайте перепишем его. И аналогично, для нашего второго члена в скобках, 𝐵 нижнего индекса 𝑥, умноженного на 𝐴 нижнего индекса 𝑦, мы можем переписать это как 𝐴 нижнего индекса 𝑦, умноженного на 𝐵 нижнего индекса 𝑥.

Тогда, если мы сравним наше выражение для 𝐁 cross 𝐀 с нашим определением 𝐀 cross 𝐁, мы увидим, что эти биты в скобках абсолютно одинаковы в каждом случае. И единственная разница в том, что в нашем 𝐁 кроссе 𝐀 у нас этот коэффициент минус один впереди. Этот фактор просто дает нам общий знак минус. Итак, мы можем сказать, что 𝐁 крест 𝐀 равен отрицательному 𝐀 кресту 𝐁. А поскольку в этом вопросе нас интересует только величина векторного произведения, то не имеет значения, вычисляем ли мы 𝐀 крест 𝐁 или 𝐁 крест 𝐀, потому что они оба имеют одинаковые величины. Они просто имеют противоположные знаки, поэтому векторы указывают в противоположных направлениях.

Итак, возвращаясь к вопросу и нашим двум векторам в нижнем регистре 𝐚 и нижнем регистре 𝐛, давайте решим вычислить векторное произведение 𝐚 крест 𝐛. Это векторное произведение задается 𝑥-компонентой 𝐚, которая равна 𝑚, умноженной на 𝑦-компоненту 𝐛, которая также является 𝑚, за вычетом 𝑦-компоненты 𝐚, равной нулю, умноженной на 𝑥-компоненту 𝐛, что также равно нулю. А потом все это умножается на единичный вектор 𝐤. Поскольку единичный вектор 𝐤 по определению имеет величину единицу, то величина векторного произведения 𝐚 крест 𝐛 задается этой частью выражения здесь. Мы можем записать это как 𝑚 в квадрате. Итак, мы можем сказать, что величина креста 𝐛 равна 𝑚 в квадрате.

Итак, к этому моменту мы определенно выполнили второй шаг и вычислили векторное произведение 𝐚 и 𝐛. Все, что осталось, — это третий шаг, который состоит в том, чтобы использовать эту величину векторного произведения, чтобы найти длину 𝑚 каждого вектора. Вопрос говорит нам, что величина векторного произведения равна девяти. Итак, мы можем установить нашу величину 𝐚 крест 𝐛 равным 𝑚 в квадрате равным девяти.

Теперь нас попросили найти длину или величину каждого из векторов 𝐚 и 𝐛.

примеры и решения, формулы и теоремы

Длина вектора — основные формулы

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Вычисление длины вектора — Программные вопросы

#1 OFFLINE Onix

#2 OFFLINE vv92

#3 OFFLINE Sherak

#4 OFFLINE Onix

#5 OFFLINE Sherak

#6 OFFLINE 3D-BiG

#7 OFFLINE vv92

#8 OFFLINE Onix

#9 OFFLINE Buzl

#10 OFFLINE woodman

#11 OFFLINE wizard

#12 OFFLINE vv92

#13 OFFLINE Sherak

#14 OFFLINE rexti64

#15 OFFLINE rexti64

#16 OFFLINE Sherak

#17 OFFLINE rexti64

#18 OFFLINE gost2

#19 OFFLINE kontrolnaya

#20 OFFLINE 3D-BiG

длина суммы векторов и теорема косинусов

Выполнить сложение и вычитание векторов самостоятельно, а затем посмотреть решение

Сообщество Экспонента

Результаты поиска

Нежное введение в векторные нормы в машинном обучении

Обзор учебника

Вектор Норма

Вектор Макс Норм

расширения

Дальнейшее чтение

книги

API

статьи

Резюме

Векторы. Действия с векторами

Длина вектора – определение, формулы и примеры

Практические вопросы

Ключ ответа

Векторы в двух- и трехмерных декартовых координатах

Векторы на плоскости

Векторы в трехмерном пространстве

Загрузка апплета

Загрузка апплета

Загрузка апплета

13.3: Длина дуги и кривизна

Цели обучения

Пример \(\PageIndex{1}\): определение длины дуги 9{3/2})≈37,785\) единиц

Параметризация длины дуги

Пример \(\PageIndex{2}\): поиск параметризации длины дуги

Упражнение \(\PageIndex{2}\)

Кривизна

Доказательство

Нормальный и бинормальный векторы

Пример \(\PageIndex{4}\): нахождение вектора нормали к главной единице и вектора бинормали 92 t}} \\[4pt]

Глоссарий

MathScene — Векторы — Урок 3

Урок 3

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Исчисление III. Длина дуги с векторными функциями

Раздел 1-9: Длина дуги с векторными функциями

Видео-вопрос: вычисление длин двух векторов по их векторному произведению при условии, что векторы перпендикулярны друг другу

Стенограмма видео

Добавить комментарий Отменить ответ