Как решать числовые последовательности: определения, формулы и примеры решения

Числовые последовательности: определение, формулы, пределы последовательностей

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной. 

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность? 

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
• это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
• для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N. 

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

Различают:

• постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1. .. 
• возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
• убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел. 

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

1. Последовательность может иметь только один предел.
2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.  
9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором. 

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Математический анализ. Предел последовательности

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Числовую последовательность, иногда, рассматривают как функцию числового аргумента. Иначе говоря, каждому натуральному

числу n поставлено в соответствие действительное число  .

Числовые последовательности могут обладать свойствами обычных функций.

Возрастающие и убывающие последовательности

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …

называют возрастающей последовательностью, если каждый член этой последовательности больше предшествующего члена

т.е.  для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_{n + 1} > x_{n  ,}  например, последовательность натуральных чисел

1, 2, 3, … n, … является возрастающей последовательностью.

•  Числовую последовательность  x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют убывающей последовательностью, 

если каждый член этой последовательности меньше предшествующего члена

т.е. для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство

x_n +1 < x_n , например, последовательность   заданная формулой   

 является убывающей последовательностью.

Числовая последовательность 1, – 1, 1, – 1, … заданная формулой

x_n = (– 1)ⁿ,       n = 1, 2, 3, … не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

• Возрастающие и убывающие числовые последовательности  называют монотонными  последовательностями.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , … ,

называют ограниченной сверху, если существует такое число M, что каждый член этой последовательности меньше числа M.

Другими словами, для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n < M

• Числовую последовательность   x₁ ,  x₂ , … x_n , … называют ограниченной снизу, если существует такое число m, что каждый член этой последовательности больше числа m: для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство x_n > m,

Например, числовая последовательность 1, 4, 9, … n

2 , … заданная формулой x_n = n²,       n = 1, 2, 3, … , ограничена снизу, например, числом 0.   Однако эта последовательность неограничена сверху.

• Числовую последовательность x₁ ,  x₂ , … x_n , …, называют ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу.

Другими словами, существуют такие числа M и m, что для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство m < x_n < M

Например, последовательность    заданная формулой   является ограниченной последовательностью,

поскольку для всех   n = 1, 2, 3, …   выполнено неравенство   

•  Числовые последовательности, которые не являются ограниченными, называют неограниченными последовательностями.      

 

 

• Число   a   называют пределом числовой последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , …  если для любого

положительного числа   ε>0   найдется такое натуральное число   N ,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n – a | < ε .

Условие того, что число   a   является пределом числовлй последовательности    a₁ ,  a₂ , … a_n , … , записывают с помощью обозначения

(читается как: «Предел   a_n   при   n,   стремящемся к бесконечности, равен   a ».) То же самое соотношение можно записать

следующим образом: a_n → a   при  (читается как: «a_n   стремится к   a   при   n,   стремящемся к бесконечности»).

Замечание. Если для последовательности a₁ ,  a₂ , … a_n , … найдется такое число   a ,   что   a_n → a   при ,

то эта последовательность ограничена

Свойства пределов различных последовательностей

Последовательность  a₁ ,  a₂ , … a_n , … стремится к бесконечности, если для любого положительного числа   C  

найдется такое натуральное число   N,   что при всех   n > N   выполняется неравенство | a_n| > C .

Условие того, что числовая последовательность

a₁ ,  a₂ , … a_n , … , стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения         или с помощью

обозначения  при 

1.  Для любого числа   k > 0   справедливо равенство  

2 . Для любого числа   k > 0   справедливо равенство   

3. Для любого числа   a   такого, что   | a | < 1,   справедливо равенство         

4. Для любого числа   a   такого, что   | a | > 1,   справедливо равенство             

5 . Последовательность – 1 , 1 , – 1 , 1 , … , заданная с помощью формулы общего члена  a_n = (– 1)ⁿ , предела не имеет.

a₁ ,  a₂ , … a_n , … ,   и   b₁ ,  b₂ , … b_n , … .

Если при    существуют такие числа   a   и   b ,  что

   и   

 существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем

 

 Если, кроме того, выполнено условие      то при  существует предел дроби     причем

 

Нахождение пределов числовых последовательностей

Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремится к 

то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 

Часто неопределенность типа  удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки

«самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены,

«самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.

      Пример. Найти предел последовательности

      Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней

      Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби,

а также, используя свойства пределов последовательностей    при |а|<1,  получаем

 

      Ответ. 

Как оценивать числовые последовательности

Что такое числовые последовательности? Как мы можем угадать, какое число будет следующим? В этом посте мы дадим вам рекомендации, необходимые для решения задач с числовыми последовательностями.

Числовые серии — это числа, организованные по определенному правилу.

Самое сложное — выяснить правило, но когда оно у нас есть, остается только следовать ему, чтобы определить следующие числа в последовательности.

Мы пройдемся по шагам, которые помогут нам узнать правило последовательности чисел.

Первый шаг — определить, является ли последовательность восходящей, нисходящей или комбинацией того и другого.

Последовательности чисел по возрастанию:

Последовательности чисел по возрастанию — это последовательности , в которых каждое число больше предыдущего . Их легче всего решить, потому что возрастание подразумевает сложение, умножение или комбинацию обоих методов.

• Последовательности дополнительных номеров:

Эта последовательность является возрастающей, и чтобы перейти от одного числа к другому, нам нужно только добавить 1.

Это означает, что следующее число этой последовательности равно 4 + 1 = 5

• Числовые последовательности умножения:

Эта последовательность также идет в порядке возрастания, но на этот раз, чтобы перейти от одного числа к другому, мы умножили на 2.

Это означает, что следующее число этой последовательности 8 x 2 = 16

• Числовые последовательности сложения и умножения:

Это еще одна последовательность в порядке возрастания, однако мы не добавляем одно число и не умножаем его на другое. Вместо этого мы попеременно прибавляем 4 и умножаем на 2.

После прибавления 4, умножения на 2 и повторного прибавления 4 следующим шагом является умножение на 2. Это означает, что результат этой последовательности равен 14 x 2 = 28

Последовательности чисел по убыванию:

Последовательности чисел по убыванию последовательности, в которых каждое число меньше предыдущего. Математические операции, которые нам нужно использовать в качестве правил, — это вычитание и деление.

Эта последовательность чисел идет в порядке убывания. Чтобы перейти от одного числа к другому, мы вычитаем 3.

Это означает, что следующее число в этой последовательности 5 – 3 = 2.

В завершение поста на этой неделе я оставлю вам последовательность, чтобы посмотреть, сможете ли вы понять правило. Вы можете это сделать?

Если вы думаете, что выяснили правило для этой числовой последовательности , оставьте комментарий и поделитесь им с друзьями и одноклассниками. Кроме того, если вы хотите попрактиковаться в подобных и других задачах, зайдите на Smartick и попробуйте бесплатно!

Подробнее:

• Автор
• Последние сообщения

Smartick

Команда создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Последние сообщения от Smartick (посмотреть все)

Числовые последовательности — все, что вам нужно знать!

Числовые последовательности можно использовать в качестве инструмента для тренировки и улучшения ваших навыков числового мышления. Эти типы тестов встречаются в тестах IQ, психометрических оценках и тестах способностей и часто используются в сочетании с другими тестами в качестве индикатора интеллекта человека. Практикуя их, вы можете улучшить свои способности к численному мышлению, что может очень помочь в повседневной жизни, например, при расчете кредита, покупке продуктов или при приеме на работу при оценке.

Тесты типа числовых последовательностей всегда основаны на стандартной форме. Представлен ряд чисел, из которых вы должны найти недостающее число. Это может быть начало или середина последовательности, но обычно в конце. Умело используя математические действия, такие как вычитание, сложение, деление и умножение, вы сможете решить последовательность и найти пропущенное число. Числа, представленные в этих последовательностях, могут быть целыми последовательностями или рациональными последовательностями.

 

Изучайте и практикуйте тесты последовательностей чисел

 

• Тесты на знание последовательностей чисел
• Тесты последовательностей номеров, используемые работодателями
• Общие сведения о численных рассуждениях (тесты)
• Общие сведения об основах счета (тесты)

 

Последовательности целых чисел

 
Первый тип чисел, представленных в числовых последовательностях, — это целочисленные числовые последовательности, которые представляют собой форму или действительные числа. Как уже указывает само слово, целое означает неподкупный, и, таким образом, ряды целых чисел состоят из целых чисел без дробей и десятичных знаков. Когда эти числа являются положительными целыми числами, такими как 0, 1, 2, 3 и т. д., они называются натуральными числами, когда они являются отрицательными целыми числами, такими как -1, -2, -3 и т. д., они называются ненатуральными числами. Оба эти типа чисел могут присутствовать в последовательностях целых чисел, что приводит к следующей последовательности:

 

-1,     1,     3,     5,     7,     …

 
Рядом с делением натуральных и ненатуральных чисел можно провести второе деление, используя термин явное и неявное описания. Явные числовые последовательности можно легко решить, задав последовательности формулу, подобную той, что показана выше. Формула для этой последовательности — «2n−1» для n-го члена, что означает, что вы можете выбрать любое целое число вместо буквы «n» в формуле, и это сгенерирует число в последовательности, например: n=3 будет сгенерируйте 2*3-1 = 5, как показано в примере.

Неявная числовая последовательность задается отношением между ее членами. Например, последовательность Фибоначчи, как показано ниже:

 

 

0,   1,   1,   2,   3,   5,   8,   13,   21,   …

 
Эта числовая последовательность формируется, начиная с 0 и 1 и затем добавляя любые два предыдущих члена, чтобы получить следующий. Связь между числами называется неявным описанием, так как вы не можете определить это в такой простой формуле только с одной переменной, как в явном определении.

 

Последовательности рациональных чисел

 
В отличие от целых чисел, рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде дроби или частного, где числитель и знаменатель состоят из целых чисел, то есть верхняя и нижняя части дроби являются целыми числами. Рациональные числа также могут быть записаны в виде десятичной записи, которая либо заканчивается после конечного количества чисел, либо повторяет одну и ту же последовательность снова и снова. Примеры рациональных чисел: ½, ¾, 1,75 и 3,25.

Наряду с рациональными числами существуют и иррациональные числа. Эти последовательности состоят из действительных чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби, а могут быть представлены только десятичными дробями. Даже в этом случае десятичные дроби не заканчиваются после конечного числа чисел, а продолжаются без повторения последовательности. Примерами иррациональных чисел являются квадратный корень из 2, пи и е.

Как объяснялось выше, числовые последовательности существуют во многих формах и типах. Чтобы улучшить свои навыки числового мышления, лучше всего практиковать все эти различные типы и формы, чтобы овладеть ими.

 

Примеры и типы последовательностей номеров

Числовые последовательности состоят из конечного ряда чисел, одно из которых отсутствует в последовательности. Как уже указывает термин «последовательность», это упорядоченный ряд чисел, в котором одно и то же число может встречаться несколько раз. На его странице представлены наиболее распространенные примеры числовых последовательностей.

Практикуйте тесты числовой последовательности, используемые работодателями, с помощью JobTestPrep.

 

Арифметические последовательности

Арифметическая последовательность — это математическая последовательность, состоящая из последовательности, в которой следующий член возникает путем добавления константы к предыдущему. Когда известен первый член x1 и разность последовательности d, фиксируется вся последовательность, или в формуле:

X _n = x ₁ + (n – 1)d

Примером этого типа числовой последовательности может быть следующее:

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …

Эта последовательность имеет разницу в 5 между каждым числом. Шаблон продолжается путем добавления постоянного числа 5 к последнему числу каждый раз. Добавляемая каждый раз стоимость называется «общей разницей». Общая разница также может быть отрицательной, например:

25, 23, 21, 19, 17, 15, …

Эта общая разница равна -2. Шаблон продолжается, вычитая 2 каждый раз.

Геометрические последовательности

Геометрическая последовательность — это математическая последовательность, состоящая из последовательности, в которой следующий член получается путем умножения предыдущего на константу, более известную как обыкновенное отношение. Когда первый член x1 и знаменатель r известны, вся последовательность фиксируется, или в формуле:

х _п = х ₁ г ^п-1

Примером этого типа числовой последовательности может быть следующее:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …

Эта последовательность имеет коэффициент 2 между каждым числом, что означает, что общее отношение равно 2. Шаблон продолжается путем умножения последнего числа на 2 каждый раз. Другой пример:

2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, …

Эта последовательность имеет коэффициент 3 между каждым числом, однако, как видно, последовательность может работать как при увеличении, так и при уменьшении значения чисел. Шаблон продолжается путем деления последнего числа на 3 каждый раз.

Последовательности специальных номеров

Треугольные числа

Треугольные числа попадают в категорию многоугольных чисел, последнее из которых представляет собой число, связанное с количеством точек, представленных на рисунке. В случае треугольных чисел эти точки представляют количество точек, необходимое для заполнения треугольника, начиная с наименьшего возможного числа, или в формуле:

X _n = (n ² + n) / 2

Примером такого типа числовой последовательности может быть следующий:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …

Эта последовательность создается из набора точек, образующих треугольник. Добавляя еще один ряд точек и подсчитывая все точки, мы можем найти следующий номер последовательности.

Квадратные числа

Квадратные числа, более известные как совершенные квадраты, представляют собой целое число, являющееся произведением этого целого числа на себя. Квадратные числа никогда не бывают отрицательными, поэтому квадратный корень из квадратного числа всегда является целым числом или в формуле:

X _n = n ²

Примером этого типа числовой последовательности может быть следующее:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, …

Последовательность состоит из многократного возведения в квадрат следующих чисел: 1, 2, 3, 4 и т. д., поскольку 10-е число последовательности отсутствует, ответ будет 102 = 100.

Числа в кубе

Последовательность кубических чисел — это математическая последовательность, состоящая из последовательности, в которой следующий член возникает путем трехкратного умножения числа на самого себя или, другими словами, возведения его в степень три по формуле:

X _n = n ³

Примером этого типа числовой последовательности может быть следующее:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, …

Следующее число получается путем кубирования в данном случае 10-го числа и, таким образом, 103 = 10*10*10= 1000.