Треугольник прямоугольный пример: Прямоугольный треугольник, формулы и примеры

Прямоугольный треугольник. Решения

Задачи на треугольник бывают простые, сложные и очень сложные. Если имеем прямоугольный треугольник то формулы для вычисления площади, катетов, радиусов вписанной и описанной окружности несколько упрощаются. Ниже приведены решения примеров на любой вкус, анализируйте их — возможно они помогут Вам в учебе.

Задача 1. Найдите синусы острых углов и гипотенузу прямоугольного треугольника если его катеты равны: а ) 6 см и 8 см; б) 4 см и 7 см.

Решение. Применим теорему Пифагора к заданным катетам

Для задания а) гипотенуза равна

та для б) соответственно

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению катета напротив угла к гипотенузе.

.

Рисунок с необходимыми формулами для синусов и формулой Пифагора приведен ниже

Вычисляем синусы искомых углов
а)
б)

На этом пример завершен.

————————

Задача 2. Найдите катеты прямоугольного треугольника если его гипотенуза и второй катет соответственно равны: а ) 15 см и 9 см; б) 8 см и 4 см.

Решение. На основе теоремы Пифагора получим

Подставляем значения
а)
б)

Ответ: Катеты треугольника равны 12 см и см.

————————

Задача 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 17 см. Один из катетов на 7 см меньше гипотенузы. Определиите катеты треугольника.

Решение. Для заданного примера и подобных ему необходимо составлять уравнения. В этом примере обозначим через
x – большой катет. Тогда x-7 – меньший катет.

По формуле Пифагора имеем

Делим на два и решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта

Второй корень уравнения исключаем, поскольку он противоречит условию задачи. Таким образом один катет равен 15 см, а второй – 15-7=8 см.

Ответ: Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 8 см.

————————

Задача 4. Вычислите длину высоты равностороннего треугольника сторона которого равна 12 см.
Решение. Если треугольник равносторонний то высота делит основание пополам. Кроме этого высота является перпендикуляром. Таким образом задача состоит в нахождении катета когда известно, что гипотенуза равна 12 см, а второй катет – 12/2=6 см.

По теореме Пифагора вычисляем

Ответ: Катет равен см.

————————

Задача 5. Сторона квадрата равна 7 см. Определите длину диагонали.
Решение. Поскольку стороны квадрата равны то нужно найти гипотенузу прямоугольного равнобедренного
треугольника с катетами длиной 7 см. Используем известную формулу Пифагора

Ответ: Диагональ квадрата равна см.

————————

Задача 6. Большая диагональ и большая основа прямоугольной трапеции равны соответственно 8 см и 6 см. Найдите длину меньшей боковой стороны трапеции.

Решение. Рассмотрим вспомогательный рисунок трапеции.

По условию известна диагональ BD=8 см и AD=6 см. Катет AB прямоугольного треугольника находим по формуле

Ответ: Сторона трапеции равна см.

————————

Задача 7. В треугольнике АВС угол В = 90 градусов, ВD перпендикулярна АС, АВ = 16 см, ВС = 12 см. Найдите длину отрезка АD и тангенс угла при основании.

Решение. Рассмотрим вспомогательный рисунок к заданию.

Составим пропорции для отыскания отрезка AD

Второе уравнение построим на основе теоремы Пифагора

Думаю выше Вам все понятно. Следующим шагом подставляем DC и значение катетов в уравнение

Отрезок найдено, тангенс угла А находим по формуле

Определим длину гипотенузы — для этого найдем неизвестную часть DC

Гипотенуза равна сумме AD+DC

Вычислим тангенс угла при основании

Ответ: AD=80/7, tan(A)=0,8.

————————

Задача 8. Периметр прямоугольного треугольника равен 12 см, а один из из его катетов — 3 см. Найдите площадь
треугольника.

Решение. Данный пример на сложение уравнения с неизвестными.
Первое уравнение соответствует формуле периметра треугольника, второе — теореме Пифагора.
Обозначим b – неизвестный катет, с – гипотенуза треугольника.

Составляем систему уравнений

Имеем два уравнения с двумя неизвестными. Метод решения Вам известен: из первого уравнения выражаем одну из переменных и подставляем во второе. В результате после упрощений получим квадратное уравнение один из корней которого и будет решением. Второй получим в результате подстановки в первую зависимость системы уравнений.

У меня получилось что b=4 см, c=5 см.
Если не верите то можете пройти описанные выше процедуры.
Площадь находим как половину произведения катетов

Ответ: площадь треугольника 6 сантиметров квадратных.

————————

Задача 9. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найти радиус вписанной и описанной окружности.

Решение. Радиус описанной окружности найти легче — он равен половине гипотенузы. Вычисляем ее длину по теореме Пифагора

Отсюда находим больший радиус

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти несколькими способами.
Пойдем простым и определим его на основе формулы площади треугольника

Как видите вычислить радиус вписанной окружности достаточно просто. Находим площадь треугольника

и подставляем в предыдущую формулу

Вот такой сложный на восприятие пример легко решается при знании необходимых формул.

Ответ: радиусы описанной и вписанной окружности равны 2,5 см и 1 см соответственно.

————————

Изучайте формулы основных геометрических фигур, набирайтесь опыта на практике и со временем примеры будете решать без труда. Если же не удается решить пример или задачу, или непонятно условие задачи обращайтесь к специалистам. На этом сайте и подобных интернет ресурсах Вы всегда можете решить любую сложную задачу.

Посмотреть материалы

• Площадь треугольника. Формулы
• Периметр и площадь прямоугольника
• Квадрат. Формулы
• Периметр и площадь параллелограмма
• Формулы площади трапеции
• Ромб. Площадь, периметр

Прямоугольные треугольники | ЕГЭ по математике (профильной)

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90$ градусов).

Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.

3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.) 

4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$. 

5. В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза равна катету, умноженному на $√2$ 

6. 2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$  для острого угла $В$:

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tgB={AC}/{BC};$

$ctgB={BC}/{AC}.$

5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.

6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA=-cos BOC;$

$tg BOA=-tg BOC;$

$ctg BOA=-ctg BOC.$

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов

$S={AC∙BC}/{2}$

Пример:

В треугольнике $АВС$ угол $С$ равен $90$ градусов, $АВ=10, АС=√{91}$. 2=AB∙AD$

Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

$AC∙CB=AB∙CD$

Практика: решай 6 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (профильной)

Вопрос Видео: Конгруэнтные треугольники в прямоугольниках

Стенограмма видео

Диагональ прямоугольника делит его поверхность на два пустых треугольника. Варианты заполнения бланка пространства различны или совпадают.

Два треугольника равны, если они точно такой же формы и размера. Это означает, что три угла в один треугольник должен быть того же размера, что и три угла в другом. И три стороны длины в одном треугольник должен быть таким же, как три длины сторон в другом. Итак, что этот вопрос задает нам являются ли два треугольника, образованные диагональю прямоугольника, одинаковыми или разные?

Вот прямоугольник. Затем мы можем нарисовать один из диагонали прямоугольника, соединяющие противоположные углы вместе. Диагональ делит прямоугольник на два треугольника, треугольники один и два. И именно эти два треугольника мы пытаемся определить, одинаковы они или разные. Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно Вспомните ключевое свойство прямоугольников. Это то, что противоположные стороны в прямоугольники одинаковой длины.

Итак, две более короткие стороны в этом прямоугольники одинаковой длины. А также другая пара противоположные стороны, более длинные стороны в этом прямоугольнике, имеют одинаковую длину. Мы можем отметить эти стороны в разные цвета на нашей диаграмме: оранжевый для более длинных сторон и зеленый для более короткие стороны.

Теперь давайте посмотрим, что мы знать об этих двух треугольниках. Во-первых, у них есть общая сторона. длина, длина оранжевой стороны. У них есть и другая общая сторона длина, длина зеленой стороны. Розовая сторона общая для обоих треугольники. Значит, у них есть и третий общий длина стороны. Это означает, что три стороны длины в треугольнике один такие же, как длины трех сторон в треугольнике два. И, следовательно, у нас есть SSS, или Сторона-сторона-сторона, условие конгруэнтности. Таким образом, мы можем сделать вывод, что эти два треугольники, образованные диагональю прямоугольника, равны. И рассуждения, которые мы использовали, Сторона-сторона-сторона.

Мы могли бы и это доказать используя другие свойства нашего прямоугольника и другие условия конгруэнтности. Например, внутренние углы в прямоугольник всегда 90 градусов. Поэтому каждый из наших треугольников имеет прямой угол внутри него, что делает их каждый прямоугольным треугольником.

Если мы теперь посмотрим только на зеленый сторона и оранжевая сторона и прямой угол, который является внутренним углом между этих двух сторон, мы могли бы также утверждать, что два треугольника конгруэнтны, используя SAS, сторона-угол-сторона, условие конгруэнтности.

Есть и третий способ сделай это. Как только мы определили, что два треугольники прямоугольные, заметим, что розовая сторона, диагональ прямоугольник, является гипотенузой каждого треугольника. Затем мы могли бы использовать один из более короткие стороны в каждом треугольнике, в данном случае сторона, отмеченная оранжевым цветом, и прямой угол, теперь отмеченный как 𝑅, и гипотенуза, отмеченная как 𝐻, для использования RHS условие конгруэнтности, которое означает Прямой угол-Гипотенуза-Сторона. Это состояние характерно для прямоугольные треугольники. Итак, есть много способов, которыми мы можем Докажите, что диагональ прямоугольника делит его поверхность на две равные части.

треугольники.

Круги, треугольники, квадраты и прямоугольники — Математика 2-го класса

Давайте узнаем о самых распространенных формах, которые мы видим повсюду: кругов, треугольников, квадратов, и прямоугольников.

Что такое круги?

Окружность состоит из одной изогнутой линии. Он имеет нет прямые стороны и нет углы.

Кварталы, часы и пицца — все это круги.

Можете ли вы придумать другие предметы, которые являются кругами?

Что такое треугольники?

Треугольник имеет 3 сторон и 3 углов.

Стороны — это прямые линии, составляющие треугольник.

Углы — это точки, где встречаются две линии.

Совет: Углы также называются вершинами .

Мы постоянно видим вокруг себя треугольники.

В нашем примере стороны треугольника имеют одинаковую длину. Это делает три равными углам .

Что такое углы?

Угол — это пространство между двумя линиями, образующими угол.

Стороны и углы треугольника не всегда должны быть равны. Так же, как треугольники ниже.

Подробнее об этих типах треугольников вы узнаете позже.

Что такое квадраты?

А квадрат имеет 4 равных сторон. Он также имеет 4 углов , что делает 4 равными углам.

Это углы квадрата.

Шахматные доски являются примерами квадратов.

Что такое прямоугольники?

A прямоугольник имеет 2 короткие стороны и 2 длинные стороны .