Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью
Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.
Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .
Пример.
Необходимо вычислить предел
Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .
В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:
То же самое проделаем со знаменателем:
Здесь также старшая степень = 2.
Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.
Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x2:
Ответ: 2/3.
Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.
Пример.
Необходимо вычислить предел .
Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:
Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.
В нашем случае решаем уравнение:
Находим дискриминант:
.
Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.
Теперь находим корни уравнения:
Подставляем:
Числитель разложили.
В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.
Тогда наш предел примет вид:
х + 1 красиво сокращается:
Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:
2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7
Ответ: -7.
Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:
- Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:
- Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
- За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:
- Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):
- Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:
- Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):
На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё.
Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.
Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.
Вокруг бесконечных пределов
На прошлой лекции мы обсуждали, как пределы взаимодействуют с арифметическими
операциями, и выяснили, что взаимодействуют «хорошо». Однако, это только до тех
пор, пока пределы существуют (как обычные вещественные числа).
Тот факт, что
предел последовательности, входящей в арифметическое выражение, может оказаться
равен бесконечности (а также плюс бесконечности и минус бесконечности), сильно
расширяет пространство возможностей. Иногда предел такого арифметического
выражения удаётся найти однозначно, иногда же он может оказаться равен любому
числу или бесконечности. Важно уметь различать эти случаи.
7.1Арифметика пределов и бесконечности
7.1.1Ошибочное и верное применение арифметики пределов
Для начала я приведу пример неверного применения арифметики пределов.
Пример 1. Пусть мы хотим вычислить предел
limn→∞n2+2n2n2+3.
Следующая цепочка равенств содержит ошибку. Попробуйте найти её, не заглядывая ниже.
limn→∞n2+2n2n2+3=limn→∞(n2+2n)limn→∞(2n2+3)=∞∞=1.
Собственно, неверны все равенства. В первом равенстве, применяя теорему о
пределе частного, мы предполагаем, что пределы числителя и знаменателя
существуют.
Однако, как мы выясняем в дальнейшем, они оба равны бесконечности,
то есть не существуют. Это означает, что первый переход сделать нельзя. Второй и
третий переходы просто не имеют смысла, поскольку ∞∞ — не
является нормальным арифметическим выражением, и обычные правила арифметики
здесь не работают — нельзя дробь «сократить на бесконечность».
Как следовало решать этот номер? Нужно было преобразовать дробь таким образом, чтобы пределы числителя и знаменателя существовали. Это можно сделать, разделив числитель и знаменатель на n2 (значение дроби от этого не поменяется, и n2 никогда не равно нулю, так что можно смело делить). Имеем:
limn→∞n2+2n2n2+3=limn→∞n2+2nn22n2+3n2=limn→∞1+2n2+3n2.
И вот теперь можно применить к этой дроби теорему о пределе частного:
limn→∞1+2n2+3n2=limn→∞(1+2n)limn→∞(2+3n3).
К пределам в числителе и знаменателе можно применить теорему о пределе суммы:
первое слагаемое является константой и сходится само к себе, второе (в обоих
случаях) стремится к нулю, как мы уже доказывали на семинарах.
Значит числитель
сходится к 1, знаменатель — к 2.
Теперь можно проследить, что каждое из правил арифметики пределов применено обоснованно. Теорема о пределе суммы к числителю и знаменателю была применена обоснованно, потому что предел каждого из слагаемых существует. Теперь мы видим, что теорема о пределе произведения ко всей дроби тоже была применена обоснованно: мы нашли предел числителя и знаменателя, они оказались конечными числами, предел знаменателя не равен нулю. Имеем:
limn→∞n2+2n2n2+3=12.
7.1.2Неопределенности
Допустим, мы хотели бы сформулировать какую-нибудь теорему вида «если an→∞ и bn→∞, то an/bn стремится туда-то». Покажем, что никакую теорему такого типа сформулировать нельзя: предел an/bn может быть любым. А именно:
- Он может быть любым вещественным ненулевым числом. Можно выбрать последовательности an=n и bn=An, где A — это число.
- Он может быть равен нулю. Предыдущий пример не работает (почему?), но
работает такой: an=n, bn=n2.
- Он может равняться бесконечности и плюс бесконечности: положим an=n2 и bn=n.
- Минус бесконечности тоже может быть равен (придумайте пример самостоятельно).
- Может не иметь ни конечного, ни бесконечного предела (придумайте пример самостоятельно).
Краткое выражение этой мысли звучит так: «∞∞ является неопределенностью». Здесь под ∞∞ подразумевается не арифметическое выражение, а символическая запись, которая означает предел последовательности вида {an/bn}, где пределы числителя и знаменателя равны бесконечностям.
Приведём пример ещё одной неопределенности: (∞)+(∞). (Я взял каждую из бесконечностей в скобки, чтобы подчеркнуть, что это «бесконечности без знака».) Действительно, пусть мы знаем, что an→∞ и bn→∞. Что можно сказать про limn→∞(an+bn)? Он может равняться чему угодно:
- Любому вещественному числу A: возьмём an=n, bn=−n+A.
(Напомним, что мы требуем, чтобы оба слагаемых стремились к
бесконечности без знака, и значит {−n+A} подходит: по модулю эта
последовательность становится сколь угодно большой.
- Плюс бесконечности: возьмём an=n, bn=n.
- Минус бесконечности: возьмём an=−n, bn=−n.
- Не иметь ни конечного, ни бесконечного предела: возьмём an=n, bn=(−1)n⋅n.
- Бесконечности без знака, которая не является ни плюс, ни минус бесконечностью (придумайте пример).
Есть и другие примеры неопределенностей: 0/0, 0⋅∞, 1∞ и др.
Упражнение 1. Докажите, что 0/0 и 0⋅∞ тоже неопределенности, то есть могут принимать любые вещественные значения, а также стремиться к бесконечности.
С 1∞ мы разберёмся позже, когда обсудим логарифмы.
7.2«Арифметика бесконечностей»
Не все арифметические выражения с последовательностями, стремящимися к бесконечностям (или иначе нарушающими правила арифметики пределов), обязательно являются неопределенностями.
7.2.1Сумма плюс бесконечностей
Утверждение 1. Пусть an→+∞ и bn→+∞. Тогда (an+bn)→+∞. Неформально это утверждение можно записать так:
(+∞)+(+∞)=+∞.
Доказательство. Как обычно в таких доказательствах, начнём с формализации:
Нам дано.
∀C1 ∃N=N1(C1) ∀n>N: an>C1;∀C2 ∃N=N2(C2) ∀n>N: bn>C2.(7.1)(7.2)
∀C1 ∃N=N1(C1) ∀n>N: an>C1;∀C2 ∃N=N2(C2) ∀n>N: bn>C2.(7.1)(7.2)
Хотим получить.
∀C ∃N=N(C) ∀n>N:an+bn>C.
Возьмём C1=C2=C/2. Тогда гарантированно C1+C2=C. Пусть N=max(N1(C/2),N2(C/2)). Тогда для всех n>N выполняются неравенства в конце (7.1) и (7.2). Их можно сложить и получить:
an+bn>C1+C2=C.
Что и требовалось.∎
Конечно, можно было догадаться до ответа, и не записывая всё это рассуждение. Можно было думать так: нам сказано, что an и bn с течением времени становятся о-о-очень большими, причём не по модулю большими, а на самом деле большими (положительными и большими). Значит, их сумма тоже будет очень большой.
Заметим, что это рассуждение не работает в том случае, когда an или bn
стремятся не к плюс бесконечности, а к бесконечности без знака: если два числа
велики по модулю, мы не можем сказать, что их сумма большая по модулю: они могут
оказаться разных знаков и «сократить» друг друга.
7.2.2Деление на ноль и на бесконечность
Рассмотрим ещё пару примеров, связанных с делением.
Утверждение 2. Пусть an→∞. Тогда 1an→0. Неформально можно записать так: 1∞=0.
Доказательство. Ну, как обычно.
Имеем.
∀C ∃N=N1(C) ∀n>N:|an|>C.
Хотим доказать.
∀ε>0 ∃N=N(ε) ∀n>N:|1/an|<ε.
Теперь можно доказывать. Для всякого ε>0 положим C:=1/ε. Возьмём N:=N1(1/ε). Тогда для всех n>N:
|an|>C=1ε.
Умножим на ε и разделим на |an| (поскольку |an|>C>0, на него можно делить):
∣∣∣1an∣∣∣=1|an|<ε.
Что и требовалось.∎
Утверждение 3. Пусть an→0 и для всех n, an≠0. Тогда 1/an→∞. Неформально можно записать так: 1/0=∞. (Ура! Нам разрешили делить на ноль! Хоть и только неформально.)
Доказательство. Нужно повторить предыдущее доказательство «наоборот».
Имеем.
∀ε>0 ∃N=N1(ε) ∀n>N:|an|<ε.
Хотим доказать.
∀C ∃N=N(C) ∀n>N:∣∣∣1an∣∣∣>C.
Докажем. Если C≤0, то подойдёт любое N, потому что |an|≥0 всегда. Пусть теперь C>0. Положим ε=1/C (это можно сделать, потому что C>0 и тогда обязательно получится ε>0) и возмём N:=N1(1/C). Тогда для всех n>N:
|an|<ε.
Поделим всё на |an|ε (имеем право, потому что an≠0 и значит |an|ε>0). Тогда для всех n>N:
∣∣∣1an∣∣∣=1|an|>1ε=C.
Что и требовалось.∎
7.3Заключение
Мир последовательностей за пределами «арифметики пределов» выглядит непривычно:
например, похожие выражения могут приводить к очень разным результатам (сравните
(∞)+(∞) и (+∞)+(+∞)). Нам нужно приобрести интуицию,
чтобы научиться делать выводы о последовательностях, анализируя формулы для их
общего члена, не занимаясь каждый раз утомительным доказательством через
определения.
В каких-то случаях мы сможем свести всё к конечным пределам и
воспользоваться арифметикой пределов. В каких-то нам придётся разбираться с
бесконечностями. Иногда нас будет интересовать не предел, а более грубые
свойства последовательности — например, ограниченность. Невозможно запастись
теоремами на все случаи жизни — именно поэтому мы изучаем, как они доказываются,
чтобы при необходимости уметь доказывать похожие утверждения — ровно те, которые
нам нужны для конкретного случая. Как обычно, ключ к успеху — самостоятельное
решение задач.
← Предыдущая глава Следующая глава →
Limits at Infinity Проблемы и решения — Matheno.com
Обновление: По состоянию на сентябрь 2022 года у нас есть гораздо дополнительных интерактивных способов узнать об основополагающей концепции Limits at Infinity, активно используя графические калькуляторы Desmos . Пожалуйста, посетите наш Введение в Пределы в Бесконечности, чтобы начать действительно получить этот материал для себя.
Все это бесплатно и предназначено для того, чтобы помочь вам преуспеть в вашем курсе.
Если вам сейчас просто нужно попрактиковаться в решении проблем с ограничениями, предыдущие ученики сочли нижеприведенную информацию очень полезной. А если у вас есть вопросы, задавайте их на нашем форуме!
Пределы в бесконечности: проблемы и решения
Вы работаете над решением задач о $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}}$ и $\displaystyle{\lim_{x \to\, -\infty }}$? Давайте рассмотрим общий предел в бесконечных задачах и решениях, чтобы вы могли научиться решать их регулярно.
РЕЗЮМЕ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ: Пределы в бесконечности
Вот краткое изложение нашего подробного рассмотрения Пределов в бесконечности. Вы можете бесплатно получить доступ к этому материалу, включая специально разработанные графические калькуляторы Desmos, которые иллюстрируют основные моменты, в разделе нашего сайта, посвященном ограничениям в бесконечности.
Сводка закрытия/открытия
Эта сводка представляет собой изображение, поэтому вы можете легко сохранить его, если хотите.
[свернуть]
Чтобы получить доступ к другим проблемам и решениям, включая вопросы с несколькими вариантами ответов в стиле AP, бесплатно войдите в свою учетную запись Google, Apple или Facebook или создайте специальный Matheno за 60 секунд. Вы также сможете отмечать задачи , которые вы хотите обязательно просмотреть перед экзаменами. Просто используйте область входа в систему в нижней части этого экрана. 92} \\[8px]
&= \frac{5}{3} \quad \cmark
\end{align*} \]
Теоретически числитель и знаменатель растут с одинаковой скоростью, поскольку изменены только коэффициенты этих наибольших членов.
Кстати, на графике видно, что линия $y = \dfrac{5}{3}$ является горизонтальной асимптотой для этой функции: кривая функции сколь угодно близко подходит к этой линии при $x \to \infty $.
Открыт для более тщательной разработки ответа
4} \\[8px]
&= 0 \quad \cmark
\end{align*} \]
, потому что наибольшая степень в знаменателе больше, чем наибольшая степень в числителе. (Именно так; рассуждения так просты.)
Концептуально рост знаменателя «выигрывает» над ростом числителя, что означает, что знаменатель растет быстрее, чем числитель, и поэтому дробь стремится к нулю по мере роста x и растет и растет в положительном направлении.
2} \\[8px]
&= \lim_{x \to \infty}\frac{x}{3} \\[8px]
&= \infty \quad \cmark
\end{align*} \]
Вторая строка решения показывает, что функция приближается к $\dfrac{x}{3}$ по мере увеличения размера x , что соответствует графику. Предел на бесконечности равен (положительному) $\infty$, потому что функция всегда растет в положительном направлении y по мере того, как x становится больше и больше в положительном направлении.
[свернуть]
Задача № 5: sin & cos
(a) Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \sin(x)}$.
(b) Найдите $\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \cos(x)}$.
Нажмите, чтобы просмотреть решение исчисления
Решение (a)Решение (b)
$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \sin(x)}$ не существует (DNE)$\ quad \cmark$
Предел на бесконечности не существует, потому что функция постоянно колеблется между -1 и 1 навсегда как x растет и растет. Если бы вы шли вдоль функции, идущей вправо, вы бы продолжали идти вверх по холмам и вниз по долинам вечно, никогда не приближаясь ни к одному значению. Следовательно, предела на бесконечности не существует.
$\displaystyle{\lim_{x \to -\infty} \cos(x)}$ не существует (DNE)$\quad \cmark$
Предел на бесконечности не существует для одного и того же причина $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} \sin(x)}$ не существует: если бы вы всегда шли по функции, идущей налево, вы бы продолжали подниматься по холмам и спускаться по долины между $y = 1$ и $-1,$ никогда не приближаются к одному значению.
Следовательно, предела не существует.
[свернуть]
Предел в бесконечности Задачи с квадратными корнями
У нас есть отдельная страница, чтобы помочь вам конкретно с Предел в бесконечности Задачи с квадратными корнями.
Хотите получить доступ к всем нашим задачам и решениям исчисления? Войдите бесплатно с помощью своей учетной записи Google, Facebook или Apple или с помощью специальной учетной записи Matheno (которую вы можете создать за 60 секунд). Затем посетите наш главный экран исчисления.
И если у вас есть вопрос о проблеме ограничения на бесконечности, с которой вам может понадобиться помощь, или о ограничениях в целом, пожалуйста, зайдите на наш форум и напишите. Будем рады помочь!
По состоянию на сентябрь 2022 года мы используем наш форум для комментариев и обсуждения этой темы, а также для любых математических вопросов.