Уравнение вида x² = a. | План-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему:
Ход урока
- Орг.момент – 1 мин.
Тема сегодняшнего урока – уравнение вида x² = a. На уроке мы познакомимся с алгоритмом решения данных уравнений, рассмотрим количество его решений в зависимости от значения а.
Уравнения с давних времен волновали умы человечества. По этому поводу у английского поэта средних веков Джеффри Чосера есть прекрасные строки, предлагаю сделать их эпиграфом нашего урока:
Посредством уравнений, теорем
Я уйму всяких разрешил проблем.
Уравнения, которые мы будем изучать тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для других наук.
- Актуализация знаний – 5 мин.
Раз уж мы говорим об уравнениях, давайте вспомним – что это такое?
— Равенство, содержащее неизвестное.
Что такое корень уравнения?
- Корнем уравнения называется значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное числовое равенство.
Что значит решить уравнение?
- Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Дайте определение арифметического квадратного корня из числа a.
- Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.
При каких значениях а имеет смысл выражение ?
- Выражение имеет смысл при неотрицательных а (при а больших или равных нулю).
- Выполним устно задание:
Вычислите арифметический квадратный корень из числа:
225, 361, 196, 100, 0,25, 0,0036, 1,44, 4,84
- Выполним письменно задание:
Разложите на множители выражение: 2 суворовца у доски, остальные в тетради.
Какую формулу нужно применить для выполнения этого задания? Сформулируйте.
- Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.
x² — 225 x² — 361 x² — y² x² — c² x² + 144 | x² — 223 x² — 35 x² +17 x² — b x² — a |
- Объяснение нового материала – 10 мин.
Придумайте задачу, в которой нам потребовалось бы решить уравнение такого вида.
Рассмотрим геометрическую задачу:
Площадь квадрата равна 8 см². Найдите сторону квадрата.
Что нужно сделать для решения данной задачи?
- Составить уравнение x² = 8 и решить его.
Какие способы для его решения вы можете предложить?
- подбор;
- перенести число 8 в левую часть уравнения так, чтобы справа получился ноль.
Воспользуемся вторым предложением: Суворовец у доски, остальные в тетради.
x² = 8
x² — 8 = 0
Чем воспользуемся в данной ситуации?
- формулой разности квадратов.
(x — )(x + ) = 0
Каким наиболее рациональным способом мы можем его решить?
- Приравнивая каждый множитель к нулю. Произведение нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
То есть мы приравняем каждый множитель к нулю.
x — = 0 или x + = 0
x = или x = —
Рассмотрим уравнение в общем виде: (записывают в левую колонку таблицы)
Решение уравнения x² = a, а > 0 в общем виде: | Пример: |
x² = a, а > 0 x² — a = 0 (x — )(x + ) = 0 x — = 0 или x + = 0 x = или x = — |
Будет ли иметь корни уравнение x² = — 4. Если «да», то сколько и какие?
- Нет, так как квадрат числа всегда неотрицателен.
Или
- x² + 4 = 0, не можем разложить на множители, так как такой формулы не существует.
А уравнение x² = 0 ?
- Да, один корень, х = 0.
Обобщим: суворовцы заполняют пустую схему на листе, «сильный» суворовец – на доске.
x² = a
1) а = 0 2) а
один корень 3) а > 0 корней нет
х = 0
два корня
x = ; x = —
Проговорить ещё раз случаи для а
Рассмотрим пример:
Решим уравнение: 3x² = 243
К какому случаю можно отнести данное уравнение?
— к случаю 3)
(записывают решение в правой колонке, 1 суворовец на доске)
Решение уравнения x² = a, а > 0 в общем виде: | Пример: |
x² = a, а > 0 x² — a = 0 (x — )(x + ) = 0 x — = 0 или x + = 0 x = или x = — | 3x² = 243 x² = 81 x² — 81 = 0 (x – 9)(x + 9) = 0 x — 9= 0 или x + 9 = 0 x = или x = — |
- Зарядка для глаз. – 2 мин.
– 2 мин.Тренажер «Веселые глазки для активизации зрительной координации.
Следим глазами на интерактивной доске за движением стрелки-указателя.
Суворовцы стоя выполняют упражнения для глаз.
- Решение упражнений – 10 мин.
Попробуем решить несколько уравнений самостоятельно.
Вам предложено по три уравнения разных уровней сложности. Выберите тот уровень, с которым вы, по вашему мнению, справитесь. Приступайте к решению. Кто справится, поднять руку для проверки.
Трое суворовцев вызвать к доске – решить по одному уравнению из 0 уровня.
Затем по одному суворовцу решить 1 уравнение на выбор (из 1 и 2 уровней).
3 уровень – по желанию.
При наличии времени те, кто справится с выбранным уровнем, работают над решением уравнений следующего уровня.
Те, кто решают на месте, могут проверить своё решение. Ответы к уравнениям, не решённым на доске, высветить на интерактивной доске.
0 уровень (3) | 1 уровень (4) | 2 уровень (5) | 3 уровень (5+) |
x² = 16 (4; — 4) | 0,02 + x² = 0,38 (; ) | (x + 4)² — 8х = 4 (нет корней) | x³ — 121x = 0 (0; ; — ) |
x² = 7 (; — ) | 13x² = 52 (2; — 2) | х(x – 5) + 5х =36 (6; — 6) | (x + 3)² = 49 (4; — 10) |
x² = — 25 (нет корней) | x² + 3х = 25 + 3х (5; — 5) | (x – 3)(х + 3) – 4 = 6 (; — ) | (x — 13)² = 3 (13 + ; 13 — ) |
Карточки (для «сильных» учащихся):
Вариант 1 | Вариант 2 |
1) х2 = 4 2) х2 = 0,09 3) х2 = — 9 4) х2 = 17 5) 2х2 = 0,08 6) х2 – 9 = 0 7) — 1 = 0 8) (2х – 5)(2х + 5) = 75 9) (х – 9)2 = 49 10) (х + 5)2 = 2 | 1) х2 = 100 2) х2 = 0,25 3) х2 = — 16 4) х2 = 13 5) 3х2 = 0,48 6) х2 – 49 = 0 7) — 1 = 0 8) (3х – 2)(3х + 2) = 5 9) (х + 1)2 = 64 10) (х — 3)2 = 3 |
- Закрепление материала – 5 мин.
Высветить схему ещё раз.
- Ответьте на вопросы:
Уравнения какого вида мы научились решать?
- Уравнения вида x² = a.
Сколько корней имеет данное уравнение при а > 0?
- при а > 0 уравнение имеет два корня.
Сколько корней имеет данное уравнение при а 0?
- при а 0 уравнение не имеет корней.
Сколько корней имеет данное уравнение при а = 0?
- при а = 0 уравнение имеет один корень, x=0.
- Компьютерный тест (в формате Excel)
1 вариант | 2 вариант |
1.Сколько корней имеет уравнение x² = 45 ? А) один корень Б) ни одного корня В) два корня | 1. Сколько корней имеет уравнение x² = 78 ? А) один корень Б) ни одного корня В) два корня |
2. А) один корень Б) ни одного корня В) два корня | 2. Сколько корней имеет уравнение x² = 0? А) один корень Б) ни одного корня В) два корня |
3.Сколько корней имеет уравнение x² = — 67 ? А) один корень Б) ни одного корня В) два корня | 3. Сколько корней имеет уравнение x² = — 98 ? А) один корень Б) ни одного корня В) два корня |
4.Найдите корни уравнения x² = 100 А) 10 Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней | 4. Найдите корни уравнения x² = 225 А) 15 Б) 15; — 15 В) — 15 Г) нет корней |
5.Найдите корни уравнения x² = 65 А) , — Б) 65; — 65 В) Г) нет корней | 5. Найдите корни уравнения x² = 32 А) , — Б) 32; — 32 В) Г) нет корней |
6.Найдите корни уравнения x² + 121 = 0 А) Б) 11; — 11 В) — 11 Г) нет корней | 6. А) Б) 10; — 10 В) — 10 Г) нет корней |
Сколько корней имеет уравнение x² = 0?
Найдите корни уравнения x² + 100 = 0Ключ к тесту: 1 вариант: ВАББАГ, 2 вариант: БВААГБ
6 баллов – «5», 5 баллов – «4», 4 балла – «3».
Запишите в рабочий лист свой результат и отметку.
Вернемся к началу урока, к задаче. Оба ли полученных числа являются решением данной задачи?
- нет, число — не подходит по условию задачи.
Значит в ответ запишем только см.
- Рефлексия – 2 мин.
— Что нового вы узнали на этом уроке?
— Что было сложно?
— Что понравилось?
Оцените степень усвоения материала: поставьте плюсик в соответствующей строчке таблицы.
Усвоил полностью, могу применять | ||
Усвоил, но затрудняюсь в применении | ||
Усвоил частично | ||
Не усвоил |
- Задание на самоподготовку – 1 мин.
№ 320(а, в, д), 322(а, в, д), 323(а, в, д).
- Итоги урока – 2 мин.
Подвести итоги, выставить отметки.
Как решить судоку при помощи компьютерного зрения — NTA на vc.ru
Привет, VC! Поиграем в судоку?
69 просмотров
Судоку – это игра, в которой игровое поле представляет собой квадрат размером 9×9, разделённый на меньшие квадраты со стороной в 3 клетки. Таким образом, всё игровое поле состоит из 81 клетки. В них уже в начале игры стоят некоторые числа (от 1 до 9), называемые подсказками. От игрока требуется заполнить свободные клетки цифрами от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом малом квадрате 3×3 каждая цифра встречалась бы только один раз.
Процесс решения мы разобьём на несколько этапов:
- Определение границ судоку и выравнивание поля (OpenCV)
- Распознание исходных данных (подсказок) (EasyOCR)
- Решение задачи (PuLP)
- Отображение ответа на исходном изображении
Для решения первой задачи мы воспользуемся OpenCV.
Сначала открываем изображение и находим на нём все контуры. Для этого необходимо перевести изображение в серые тона, наложить размытие (чтобы сгладить шум) и при помощи функции порога adaptiveThreshold на изображении оставляем только главные контуры:
# Открываем изображение с судоку img = cv2.imread(‘example/test.png’) # Находим контуры на изображении gray = cv2.cvtColor(img, cv2.COLOR_BGR2GRAY) blurry = cv2.GaussianBlur(gray, (5, 5), 5) thresh = cv2.adaptiveThreshold(blurry, 255, cv2.ADAPTIVE_THRESH_GAUSSIAN_C, cv2.THRESH_BINARY_INV,57,5) cnts,_ = cv2.findContours(thresh, cv2.RETR_TREE, cv2.CHAIN_APPROX_SIMPLE) cnts = sorted(cnts, key=cv2.contourArea, reverse=True)
Чтобы найти на фото квадрат с судоку предположим, что он будет являться самым большим квадратом на изображении. Для этого при помощи аппроксимации контуров возьмём наибольший по площади контур с 4 сторонами и отсортируем координаты углов по часовой стрелке:
# Для поиска сетки судоку находим наибольший квадрат на изображении
location = None
for cnt in cnts:
approx = cv2.
Далее создаём квадрат и при помощи getPerspectiveTransform и warpPerspective вписываем в него наш квадрат с судоку:
# Создаём квадрат 900х900 height = 900 width = 900 pts1 = np.float32([location[0], location[1], location[3], location[2]]) pts2 = np.float32([[0, 0], [width, 0], [0, height], [width, height]]) # Вписываем судоку в наш квадрат matrix = cv2.getPerspectiveTransform(pts1, pts2) board = cv2.warpPerspective(img, matrix, (width, height))
Теперь нам необходимо распознать подсказки, с чем нам поможет EasyOCR:
# Загружаем модель OCR
import easyocr
reader = easyocr.
Reader([‘en’])
# Создаём датафрейм и список для записи распознанных результатов
df = pd.DataFrame(index=range(1, 10), columns=range(1, 10))
sudoku_map = []
# Создаём оси для отрисовки разделённых изображений
fig, ax = plt.subplots(9, 9, figsize=(8,8))
Для будущего решения нам потребуется знать значение подсказки, его номер строки и столбца. Так как мы конвертировали изображение в размер 900х900, мы можем получить столбцы судоку просто разделив изображение на 9, а затем разделить каждый столбец на 9 для получения ячеек. Передадим модели параметр allowlist=’0123456789’, чтобы она распознавала только числа:
# Разделяем наш судоку на 9 строк и 9 столбцов и распознаём каждое значение
split = np.split(board, 9, axis=1)
for col,j in enumerate(split):
digs = np.split(j, 9)
for row,d in enumerate(digs):
# Обрежем по 10 пикселей с каждой стороны ячейки, чтобы убрать рамки
d = d[10:90,10:90]
cv2.copyMakeBorder(d,10,10,10,10,cv2.BORDER_CONSTANT)
ax[row][col].
imshow(d)
ax[row][col].axis(‘off’)
# Распознаём число в ячейке и записываем его в датафрейм и список с координатами
text = reader.readtext(d, allowlist=’0123456789′, detail=0)
if len(text) > 0:
df.iloc[row, col] = text[0]
sudoku_map.append([text[0], str(row+1), str(col+1)])
df.fillna(», inplace=True)
df
Результат распознавания:
Как мы видим, все числа распознались корректно.
Остался последний этап – решить судоку. Для этого мы воспользуемся библиотекой PuLP.
PuLP – библиотека линейного программирования на Python. В нашем случае, мы будем искать оптимальное значение для каждой ячейки основываясь исключительно на ограничениях, так как целевой функции в решении судоку нет.
Создаём списки с числами от 1 до 9 (возможные значения для самой ячейки, номера столбца и номера строки) и создаём из них PuLP переменную LpVariable. В нашем случае это словарь значений от 1 до 9, в котором значением может быть 0 или 1, в зависимости от истинности утверждения.
Затем объявляем задачу с любой целевой функцией (минимизация или максимизация), вместо формулы задаём 0:
# Создаём списки для перебора в Pulp nums = [*map(str, [*range(1,10)])] # список чисел от 1 до 9 со строковым типом rows = nums cols = nums vals = nums # Создаём Pulp словарь с переменными возможных ответов choices = LpVariable.dicts(«Choice», (vals, rows, cols), 0, 1, LpInteger) # Создаём задачу для Pulp prob = LpProblem(«Судоку», LpMaximize) prob += 0, «Целевая функция» # Задаётся нулём, так как нас интересует только подбор значения согласно ограничениям
Добавляем в модель ограничения о подборе чисел. Для этого циклами добавляем условия, что сумма значений словаря для каждого числа, строки и столбца будет равна 1:
# Задаём ограничениями условие, что каждое число в каждой строке и каждом столбце должно повторяться не более 1 раза for r, c in product(rows, cols): prob += lpSum([choices[v][r][c] for v in vals]) == 1, «» for v, r in product(vals, rows): prob += lpSum([choices[v][r][c] for c in cols]) == 1, «» for v, c in product(vals, cols): prob += lpSum([choices[v][r][c] for r in rows]) == 1, «» # Задаём аналогичные ограничения для малых квадратов 3х3 grid = (range(3), range(3)) subs = [[(rows[3*i+k],cols[3*j+l]) for k,l in product(*grid)] for i,j in product(*grid)] for v,s in product(vals, subs): prob += lpSum([choices[v][r][c] for (r, c) in s]) == 1, «»
Добавляем подсказки из ранее созданного списка с распознанными значениями.
В указанных строке и столбце для значения подсказки ставим 1 (например, для 1 строки и 2 столбца проставим истину для значения 7):
# Добавляем в задачу известные значения, распознанные OCR for num in sudoku_map: prob += choices[num[0]][num[1]][num[2]] == 1, «»
На этом подготовка модели завершена и для решения нам осталось добавить всего одну строчку:
# Решаем задачу prob.solve()
Модель оптимизирует значения ячеек в судоку в соответствии с установленными ограничениями, осталось только посмотреть результат!
# Отрисовка конечного результата
fig, ax = plt.subplots(1,2, figsize=(15,15))
for a in ax:
a.axis(‘off’)
a.imshow(board)
ax[0].set_title(‘Задача’, fontsize=25)
ax[1].set_title(‘Решение’, fontsize=25)
# Пишем решение поверх изображения
y = 50
for r in rows:
x = 50
for c,v in product(cols, vals):
if choices[v][r][c].value() == 1:
if [v,r,c] not in sudoku_map: # Пишем только подобранные значения
ax[1].
В заключение хотелось бы сказать, что в рамках поста рассмотрен только один из вариантов решения. Распознавание символов может быть ускорено при наличии GPU с поддержкой CUDA, так как EasyOCR построен на базе PyTorch, либо можно обучить свою модель. Алгоритм подстановки может быть реализован без помощи PuLP, но в рамках поста хотелось показать именно необычный способ использования данной библиотеки для линейного программирования.
Полный код можно посмотреть в репозитории
Шаг за шагом Решение:
Шаг 1:
Пытаясь фактор равен 1.
Средний член равен -x, его коэффициент равен -1.
Последний член, «константа», равен -2
Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 1• -2 = -2
Шаг 2. Найдите два множителя -2 , сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен -1 .
| -2 | + | 1 | = | -1 | , что это |
Шаг -3: rewrite
С. Шаг 2 выше, -2 и 1
x 2 -2x+1x-2
Шаг-4: Сложите первые 2 члена, вытягивая, как факторы:
x • (x-2)
. 2 термина, вытягивание общих множителей :
1 • (x-2)
Шаг-5: Сложите четыре члена шага 4:
(x+1) • (x-2)
, что является желаемой факторизацией
Уравнение в конце шага 1:
(х + 1) • (х - 2) = 0
Шаг 2 :
Теория – корни произведения:
2.
1 Произведение нескольких членов равно нулю.
Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.
Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно
Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении
Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.
Решение единого переменного уравнения:
2,2 Решение: x+1 = 0
Вычитание 1 с обеих сторон уравнения:
x = -1
Решение единого переменного уравнения:
2.3. 2 = 0
Добавить 2 к обеим сторонам уравнения:
x = 2
Дополнение: Решение квадратичного уравнения напрямую
Решение x 2 -x -2 = 0 Прямо
Ранее мы фактически Фын -полиномиальным на раздел. . давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
парабола, найдя вершину:
3.1 найдите вершину y = x 2 -x-2
Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной.
Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).
Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.
Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх, через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
Для любой параболы, Ax 2 +Bx+C, x-координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата x равна 0,5000
Подставив в формулу параболы 0,5000 вместо х, мы можем вычислить координату у:
y = 1,0 * 0,50 * 0,50 — 1,0 * 0,50 — 2,0
Корневой график для: y = x 2 -x-2
Ось симметрии (штриховая) {x}={ 0,50}
Вершина в {x,y} = {0,50,-2,25}
x -Перехваты (корни ) :
Корень 1 при {x,y} = {-1,00, 0,00}
Корень 2 при {x,y} = {2,00, 0,00}
Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат
3.
2 Решение x 2 -x-2 = 0 путем заполнения квадрата.
Прибавьте 2 к обеим частям уравнения:
x 2 -x = 2
Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент при x , равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите его в квадрат. что дает 1/4
. Прибавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
В правой части мы получим:
2 + 1/4 или (2/1)+(1/4)
Общий знаменатель две дроби равны 4 Добавление (8/4)+(1/4) дает 9/4
Таким образом, прибавив к обеим сторонам, мы окончательно получим :
x 2 -x+(1/4) = 9/4
Добавление 1/4 дополнит левую часть до полного квадрата:
x 2 -x+(1/4) =
(x-(1/2)) • (x-(1/2)) =
(x-(1/2)) 2
Вещи, которые равны одному и тому же вещи также равны друг другу. Поскольку
x 2 -x+(1/4) = 9/4 и
x 2 -x+(1/4) = (x-(1/2)) 2
, то по закону транзитивности,
(x-(1/2)) 2 = 9/4
Мы будем называть это уравнение уравнением #3.
2.1
Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
Обратите внимание, что квадратный корень из
(x-(1/2)) 2 равен
(x-(1/2)) 2/2 =
(x-(1/2)) 1 =
x-(1/2)
Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению #3.2.1 получаем:
x-(1/2) = √ 9/4
Добавьте 1/2 к обеим частям, чтобы получить:
x = 1/2 + √ 9/4
Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 — x — 2 = 0
имеет два решения:
x = 1/2 + √ 9/4
или
x = 1/2 — √ 9/4
Обратите внимание, что √ 9/4 можно записать как
√ 9 / √ 4 , что равно 3/2
Решите квадратное уравнение, используя квадратное уравнение
3.3 Решение x 2 -x-2 = 0 по квадратичной формуле .
Согласно квадратичной формуле, x , решение для Ax 2 +BX +C = 0, где A, B и C являются числами, часто называемыми коэффициентами, дается:
-B ± √ B 2 -4AC
x =————— ——
2A
В нашем случае A = 1
B = -1
C = -2
Соответственно, B 2 -4AC =
1 -(-8) =
9
Применение формулы квадрата:
1 ± √ 9
x = ————
2
Можно ли упростить √ 9?
Да! Первичная факторизация 9 это
3•3
Чтобы иметь возможность удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого числа (потому что мы берем квадрат, т.