теоремы и примеры нахождения определителей
Содержание:
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Приведение определителя к треугольному виду
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Теорема Лапласа
В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$
Пример
Задание.
Вычислить определитель второго порядка
$\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$
Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$
Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание.
Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.
Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание.
Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение.
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$ Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка. Пример Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$ Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному. $$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$ $$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$ Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными. Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$ Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа. Пример Задание. Вычислить определитель
$\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца. Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем: $$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$ Полученный определитель разложим по элементам первого столбца: $$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$ Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. $$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$ Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$ Замечание Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки. С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали. Пример Задание. Вычислить определитель
$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду. Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный: $$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$ Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь: $$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$ Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. $$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$ Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем: $$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {-10} & {-10} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|$$ Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью: $$\Delta=-10 \left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {-1} & {-9}\end{array}\right|=$$ $$=-10 \cdot \left| \begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {-8}\end{array}\right|=(-10) \cdot 1 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot(-8)=-80$$ Ответ. Теорема Пусть $\Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю. Пример Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|$ Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем): $$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {4} & {-5}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+4} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \\ {3} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {1}\end{array}\right|+$$ $$+\left| \begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+2+5} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \\ {3} & {1} & {0} \\ {1} & {2} & {-2}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{cc}{-1} & {2} \\ {-5} & {0}\end{array}\right| \cdot(-1)^{2+4+5} \cdot \left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \\ {3} & {2} & {1} \\ {1} & {1} & {2}\end{array}\right|=$$ $$=-23+128+90=195$$ Ответ. Читать дальше: обратная матрица. Вы искали 3 найти? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление матрица, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «3 найти». Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Решить задачу 3 найти вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора. Стандартная формула для нахождения определителя матрицы 3×3 представляет собой разбивку более мелких задач на определитель 2×2 , с которыми очень легко справиться. Определитель матрицы A вычисляется как Вот ключевые точки: Приведенные ниже практические задачи помогут вам проверить, знаете ли вы, как найти определитель матрицы 3×3. Не стесняйтесь использовать его в качестве дополнительного учебного материала. Определитель матрицы 3×3 Практические задачи Пример 1: Найдите определитель матрицы 3×3 ниже. Приведенная ниже установка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной задачи. Применение формулы Пример 2: Оцените определитель матрицы 3×3 ниже. Будьте очень осторожны при подстановке значений в нужные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда учащиеся проявляют небрежность на начальном этапе подстановки значений. Кроме того, не торопитесь, чтобы убедиться, что ваши арифметические расчеты также верны. В противном случае единственная ошибка где-то в расчетах приведет к неправильному ответу в конце. Так как, наш расчет определителя становится… Пример 3: Найдите определитель матрицы 3×3 ниже. Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, ноль, умноженный на что-либо, приведет к исчезновению всего выражения. Вот снова настройка, чтобы показать соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле. Используя формулу, мы имеем… Пример 4: Найдите определитель матрицы 3×3 ниже. \большой{\begin{bmatrix}
1 и -2 и 3 \\
2 и 0 и 3 \\
1 и 5 и 4
\end{bmatrix}} Решение : Пример 5 : Вычислите определитель матрицы три на три ниже. \большой{\begin{bmatrix}
-5&-5&-5\
3&-1&-2\
4 и 2 и 1
\end{bmatrix}} Решение : Вас также может заинтересовать: Определители матрицы 2×2 Определитель — это специальное число , которое можно вычислить по матрице. Матрица должна быть квадратной (одинаковое количество строк и столбцов), как эта: Матрица Вычислим определитель этой матрицы: 3×6 − 8×4 Полегче, а? Вот еще пример: Символ для определителя представляет собой две вертикальные линии с каждой стороны, например: |B| = 1×4 − 2×3 (Примечание: это тот же символ, что и абсолютное значение. Определитель помогает нам найти обратную матрицу, рассказывает нам о матрице то, что полезно в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом. Прежде всего, матрица должна быть квадратной (т.е. иметь такое же количество строк, как и столбцов). Тогда это просто арифметика. Для матрицы 2×2 (2 строки и 2 столбца): Определитель: |А| = ad − bc 
{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$
Разложение определителя по элементам строки или столбца
{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$Приведение определителя к треугольному виду
И снова, если
диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$\Delta=-80$Теорема Лапласа
$\left| \begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \\ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \\ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \\ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \\ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}\end{array}\right|=195$3 найти
Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 3 найти,вычисление матрица,вычисление определителя 3 порядка онлайн,вычислительная матрица,вычислить матрицу,вычислить онлайн определитель третьего порядка,вычислить определитель 3 порядка онлайн,вычислить определитель 3 порядка онлайн с подробным решением,вычислить определитель матрицы 3х3,вычислить определитель третьего порядка онлайн,вычислить определитель третьего порядка онлайн с решением,вычислить определитель третьего порядка с решением онлайн,как в матрице вычислить определитель,как найти детерминант,как найти определитель,как найти определитель матрица,как найти определитель матрицы 2х3,как найти определитель матрицы 3 на 3,как найти определитель матрицы 3х3,как найти определитель третьего порядка,как находить определитель,как посчитать матрицу,как посчитать матрицу 3 на 3,как посчитать определитель матрицы,как решать определитель,как считается определитель матрицы,как считать матрицу 2 на 2,как считать матрицу 3 на 3,калькулятор определителей 3 порядка,калькулятор определитель 3 порядка,калькулятор определителя 3 порядка,матрица 3 на 3,матрица 3 на 3 решение,матрица 3а 2в,матрица как найти определитель,матрица онлайн 3 на 3,матрица онлайн калькулятор,матрица онлайн третьего порядка,матрица порядка 3,матрица решение 3 на 3,матрица третьего порядка онлайн,матриці калькулятор,матрицы 3 на 3 решение,матрицы как вычислять,матрицы найти,матрицы поиск определителя,матрицы порядка 3,найти значение матричного многочлена онлайн,найти значение матричного многочлена онлайн калькулятор,найти значение многочлена от матрицы онлайн калькулятор,найти определитель 3 порядка онлайн,найти определитель как,найти определитель матрицы 3х3,нахождение определителя матрицы 3 порядка,онлайн вычисление определителя 3 порядка,онлайн вычислить определитель третьего порядка,онлайн калькулятор определитель 3 порядка,онлайн калькулятор определитель 3 порядка онлайн,онлайн калькулятор определитель третьего порядка с решением,онлайн матрица третьего порядка,онлайн определитель 3 порядка,онлайн определитель матрицы 3 на 3,онлайн определитель третьего порядка,онлайн решение определителя 3 порядка,определитель 2 на 3,определитель 3 на 2,определитель 3 на 3,определитель 3 порядка калькулятор,определитель 3 порядка калькулятор онлайн,определитель 3 порядка найти онлайн,определитель 3 порядка онлайн,определитель 3 порядка онлайн калькулятор,определитель 3 порядка онлайн с решением,определитель матрицы 2 на 3,определитель матрицы 3 на 2,определитель матрицы 3 на 3,определитель матрицы 3 на 3 онлайн,определитель матрицы 3 порядка онлайн,определитель матрицы 3х3,определитель матрицы онлайн 3 на 3,определитель третьего порядка онлайн,определитель третьего порядка онлайн калькулятор с решением,определить матрицы найти,посчитать определитель матрицы как,решение матриц 3 на 3,решение матрица 3 на 3,решение матрицы 3 на 3,решение матрицы 3 на 3 онлайн,решение определителя 3 порядка онлайн,упростить матрицу онлайн.
На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 найти. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, вычисление определителя 3 порядка онлайн). Определитель матрицы 3×3 | ChiliMath
Если вам нужно освежить знания, ознакомьтесь с другим моим уроком о том, как найти определитель 2 × 2. Предположим, нам дана квадратная матрица A, где Примеры поиска определителя матрицы 3×3
Определитель матрицы
(у нее 2 строки и 2 столбца)
= 18 − 32
= −14 Пример:
= 4 − 6
= −2 
) Для чего это?
Вычисление определителя
Для матрицы 2×2
«Определитель A равен a, умноженному на d минус b, умноженному на c»
Легко вспомнить, когда думаешь о кресте:
|
Пример: найти определитель
Отвечать:
|C|= 4×8 − 6×3
= 32 − 18
= 14
Для матрицы 3×3
Для матрицы 3×3 (3 строки и 3 столбца):
А =
абв деф ги
Определитель:
|А| = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
«Определитель A равен .
.. и т. д.»
Это может показаться сложным, но есть шаблон :
Чтобы вычислить определитель матрицы 3×3 :
- Умножьте на на определитель матрицы 2×2 , который равен не в строке или столбце .
- Аналогично для b и для с
- Суммируйте их, но помните минус перед b
Как формула (помните, что вертикальные черточки || означают «детерминант») :
«Определитель A равен a, умноженному на определитель … и т.д.»
Пример:
Д =
611 4−25 287
|Д| = 6×(−2×7 − 5×8) − 1×(4×7 − 5×2) + 1×(4×8 − (−2×2))
= 6×(−54) − 1×(18) + 1×(36)
= −306
Для матриц 4×4 и выше
Шаблон продолжается для матриц 4×4:
- плюс определитель матрицы, который равен не в строка или столбец,
- минус b определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце b ,
- плюс с умножить на определитель матрицы, который равен
- минус d , умноженный на определитель матрицы, который равен , а не в строке или столбце d ,
В виде формулы:
Обратите внимание на шаблон +-+- (+a.