Как решать неравенства с квадратом: Квадратные неравенства, решение, примеры, графический метод, тесты

Элементарная математика

  

Сканави М.И. Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. — 592с.

Книга представляет собой повторительный курс элементарной математики и рассчитана на тех, кто хочет пополнить, укрепить и систематизировать свои знания. Как и в первом издании, содержание ориентировано на программы вступительных экзаменов в технические вузы и, в особенности, на программы подготовительных отделений при высших учебных заведениях, для учащихся которых, как мы надеемся, книга окажется полезной.

(Книга включает в себя Ч1 — Арифметика, алгебра и элементарные функции и Ч2 — Геометрия. Каждый раздел включает в себя теоретическую часть и большое количество задач с решениями.)



Оглавление

ВВЕДЕНИЕ
Часть первая.
АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава I. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2. Простые и составные числа. Признаки делимости.
3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
4. Целые числа. Рациональные числа.
5. Десятичные дроби. Представление рациональных чисел десятичными дробями.
6. Иррациональные числа. Действительные числа.
7. Действия с приближенными числами.
8. Числовая ось. Координаты точки на плоскости.
§ 2. Степени и корни
9. Степени с натуральными показателями.
10. Степени с целыми показателями.
11. Корни.
12. Степени с рациональными показателями. Степени с действительными показателями.
13. Алгоритм извлечения квадратного корня.
§ 3. Комплексные числа
14. Основные понятия и определения.
15. Рациональные действия с комплексными числами.
16. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа.
17. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Формула Муавра.
18. Извлечение корня из комплексного числа.
Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.
20. Формулы сокращенного умножения.
21. Бином Ньютона.
22. Разложение многочлена на множители.
23. Дробные алгебраические выражения.
§ 2. Иррациональные алгебраические выражения
24. Радикалы из алгебраических выражений.
25. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
Глава III. ЛОГАРИФМЫ
26. Определение и свойства логарифмов.
27. Логарифмы по различным основаниям. Модуль перехода.
§ 2. Десятичные логарифмы
28. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.
29. Применение десятичных логарифмов к вычислениям.
Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
30. Величина. Числовые множества.
31. Определение функции.
32. График функции. Способы задания функций.
33. Элементарное исследование поведения функции.
34. Сложная функция.
35. Обратная функция.
36. n.
41. Обратная пропорциональная зависимость. Степенная функция с рациональным показателем степени.
42. Показательная функция.
43. Логарифмическая функция.
§ 3. Преобразование графиков
44. Параллельный сдвиг графика.
45. График квадратного трех члена.
46. График дробно-линейной функции.
47. Преобразование симметрии. Сжатие и растяжение графика.
48. Построение графиков функций.
49. Сложение графиков.
§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях
50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов.
51. Схема Горнера. Теорема Безу.
52. Нули многочлена. Разложение многочлена на множители.
Глава V. УРАВНЕНИЯ
53. Уравнение. Корни уравнения.
54. Равносильные уравнения.
55. Системы уравнений.
56. Графическое решение уравнений.
§. 2. Алгебраические уравнения с одной неизвестной
57. Число и кратность корней.
58. Уравнения первой степени (линейные уравнения).
59. Уравнения второй степени (квадратные уравнения).
60. Формулы Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители.
61. Исследование квадратного уравнения.
62. Уравнения высших степеней. Целые корни.
63. Двучленные уравнения.
64. Уравнения, сводящиеся к квадратным.
65. Возвратные уравнения.
§ 3. Системы алгебраических уравнений
66. Линейные системы.
67. Определители второго порядка. Исследование линейных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
68. Системы, состоящие из уравнения второй степени и линейного уравнения.
69. Примеры систем двух уравнений второй степени. Системы уравнений высших степеней.
§ 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения
70. Иррациональные уравнения.
71. Показательные уравнения.
72. Логарифмические уравнения.
73. Разные уравнения. Системы уравнений.
Глава VI. НЕРАВЕНСТВА
74. Свойства неравенств. Действия над неравенствами.
75. Алгебраические неравенства.
§ 2. Решение неравенств
76. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства.
77. Графическое решение неравенств.
79. Квадратные неравенства.
80. Неравенства высших степеней. Неравенства, содержащие дробные рациональные функции от х.
81. Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.
82. Неравенства с двумя неизвестными.
Глава VII. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
83. Числовая последовательность.
84. Предел числовой последовательности.
85. Бесконечно малые. Правила предельного перехода.
§ 2. Арифметическая прогрессия
86. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена.
87. Свойства арифметической прогрессии.
88. Формула для суммы n членов арифметической прогрессии.
§ 3. Геометрическая прогрессия
89. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена.
90. Свойства геометрической прогрессии.
91. Формулы для суммы n членов геометрической прогрессии.
92. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА (ДУГИ)
93. Вектор, проекция вектора.
94. Положительные углы и дуги, меньшие 360°.
95. Углы и дуги, большие 360°.
96. Отрицательные углы. Сложение и вычитание углов.
§ 2. Тригонометрические функции произвольного угла
97. Определение основных тригонометрических функций.
98. Изменение основных тригонометрических функций при изменении угла от 0 до 2pi.
§ 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла
99. Основные тригонометрические тождества.
100. Вычисление значений тригонометрических функций по значению одной из них.
101. Значения тригонометрических функций некоторых углов.
§ 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций
102. Четность и нечетность.
103. Понятие периодической функции.
104. Периодичность тригонометрических функций.
§ 5. Формулы приведения
105. Зависимость между тригонометрическими функциями дополнительных углов.
106. Формулы приведения.
Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ
§ 1. Тригонометрические функции числового аргумента
108. Области определения и области изменения значений тригонометрических функций.
109. Некоторые неравенства и их следствия.
§ 2. Графики тригонометрических функций
110. Первоначальные сведения о таблицах тригонометрических функций.
111. Основные графики.
112. Примеры построения графиков некоторых других тригонометрических функций.
113. Дальнейшие примеры построения графиков функций.
Глава X. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
114. Расстояние между двумя точками на плоскости.
115. Косинус суммы и разности двух аргументов.
116. Синус суммы и разности двух аргументов.
117. Тангенс суммы и разности двух аргументов.
118. О формулах сложения для нескольких аргументов.
§ 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a
119. Тригонометрические функции двойного аргумента.
120. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a при натуральном числе n.
121. Тригонометрические функции половинного аргумента.
122. Выражение основных тригонометрических функций аргумента а через tg(a/2).
§ 3. Преобразование в сумму выражений вида sina•cosb, cosa•cosb и sinа•sinb
§ 4. Преобразование в произведение сумм вида
§ 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента
127. Преобразование в произведение выражения a•sina + b•cosa.
128. Преобразование в произведение выражений a•sina+b и a•cosa+b
129. Преобразование в произведение выражения a•tga+b.
Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ
130. Функция у = arcsin x (арксинус).
131. Функция y = arccos x (арккосинус).
132. Функция y = arctg x (арктангенс).
133. Функция y = arcctg x (арккотангенс).
134. Пример.
§ 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями
135. Тригонометрические операции.
136. Операции сложения (вычитания).
§ 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями
137.
Функция у = arcsin (sin x).
138. Функция y = arctg (tg x).
Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
139. Уравнение sin х = а.
140. Уравнение cos х = a.
141. Уравнение tg x = a.
142. Уравнение ctg x = a.
143. Некоторые дополнения.
§ 2. Способ приведения к одной функции одного и того же аргумента
145. Некоторые типы уравнений, приводящихся к уравнениям относительно функции одного аргумента.
146. Способ разложения на множители.
147. Решение рациональных тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки tg(x/2) = t.
§ 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем
148. Введение вспомогательного аргумента.
149. Преобразование произведения в сумму или разность.
150. Переход к функциям удвоенного аргумента.
151. Решение уравнения типа…
152. Применение подстановок sinx ± соsx = y.
§ 4. Решение тригонометрических неравенств
154. Простейшие тригонометрические неравенства.

155. Примеры тригонометрических неравенств, сводящихся к простейшим.
Часть вторая. ГЕОМЕТРИЯ
156. Точка. Прямая. Луч. Отрезок.
157. Плоскость. Фигуры и тела.
160. Равенство фигур. Движение.
161. Равенство тел.
§ 2. Измерение геометрических величин
162. Сложение отрезков. Длина отрезка.
163. Общая мера двух отрезков.
164. Сравнительная длина отрезков и ломаных.
165. Измерение углов.
166. Радианная мера угла.
167. Измерение площадей.
168. Площадь прямоугольника. Объем прямоугольного параллелепипеда.
Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
169. Перпендикуляр и наклонные.
170. Свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку в его середине.
171. Параллельные прямые.
172. Углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей.
173. Углы с параллельными или перпендикулярными сторонами.
§ 2. Геометрические места точек. Окружность
174. Геометрическое место точек.
175. Свойство биссектрисы угла.
176. Окружность.
177. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая.
178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент.
179. Взаимное расположение двух окружностей.
§ 3. Основные задачи на построение
181. Деление отрезка пополам. Построение перпендикуляров.
182. Построение углов.
183. Другие задачи на построение.
Глава XV. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
184. Стороны и углы треугольника.
185. Биссектрисы треугольника. Вписанная окружность.
186. Оси симметрии сторон треугольника. Описанная окружность.
187. Медианы и выcоты треугольника.
188. Равенство треугольников.
189. Построение треугольников.
190. Равнобедренные треугольники.
191. Прямоугольные треугольники.
§ 2. Параллелограммы
192. Четырехугольники.
193. Параллелограмм и его свойства.
194. Прямоугольник.
§ 3. Трапеция
196. Трапеция.
197. Средняя линия треугольника.
198. Средняя линия трапеции.
199. Деление отрезка на равные части.
§ 4. Площади треугольников и четырехугольников
200. Площадь параллелограмма.
201. Площадь треугольника.
202. Площадь трапеции.
Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
203. Пропорциональные отрезки.
204. Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника.
§ 2. Подобное преобразование фигур (гомотетия)
205. Определение гомотетичных фигур.
206. Свойства преобразования подобия.
§ 3. Общее подобное соответствие фигур
207. Подобные фигуры.
208. Периметры и площади подобных треугольников.
209. Применение подобия к решению задач на построение.
Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ
210. Углы с вершиной на окружности.
211. Углы с вершиной внутри и вне круга.
212. Угол, под которым виден данный отрезок.
213. Четырехугольники, вписанные в окружность.
214. Пропорциональные отрезки в круге.
215. Задачи на построение.
§ 2. Метрические соотношения в треугольнике
216. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
217. Квадрат стороны, лежащей против острого или тупого утла и треугольнике. Теорема косинусов.
218. Теорема синусов. Формула Герона.
219. Радиусы вписанной и описанной окружностей.
§ 3. Решение треугольников
220. Таблицы функций.
221. Решение треугольников. Сводка основных формул.
222. Решение прямоугольных треугольников.
223. Решение косоугольных треугольников.
Глава XVIII. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА
224. Выпуклые многоугольники.
225. Правильные многоугольники.
226. Соотношения между стороной, радиусом и апофемой.
227. Периметр и площадь правильного n-угольника.
228. Удвоение числа сторон правильного многоугольника.
§ 2. Длина окружности. Площадь круга и его частей
229. Длина окружности.
230. Площадь круга и его частей.
Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
231. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
232. Взаимное расположение прямой линии и плоскости.
233. Взаимное расположение двух плоскостей.
234. Свойства параллельных прямых и плоскостей.
235. Построения в стереометрии.
§ 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей
236. Перпендикуляр к плоскости.
237. Перпендикуляр и наклонные.
238. Угол между прямой и плоскостью.
239. Связь между перпендикулярностью и параллельностью прямых и плоскостей.
240. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
§ 3. Двугранные и многогранные углы
241. Двугранный угол.
242. Взаимно перпендикулярные плоскости.
243. Трехгранные углы.
244. Многогранные углы.
§ 4. Многогранники
245. Многогранники.
246. Правильные многогранники.
Глава XX. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА
247. Цилиндры и призмы.
248. Параллелепипеды.
249. Объемы призм и цилиндров.
250. Площадь боковой поверхности призмы.
251. Площадь поверхности цилиндра.
§ 2. Пирамида. Конус
252. Свойства пирамиды и конуса. {2}-4ac}}{2a}.

z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 4\times 28}}{2\times 4}

Возведите -23 в квадрат.

z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-16\times 28}}{2\times 4}

Умножьте -4 на 4.

z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-448}}{2\times 4}

Умножьте -16 на 28.

z=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}

Прибавьте 529 к -448.

z=\frac{-\left(-23\right)±9}{2\times 4}

Извлеките квадратный корень из 81.

z=\frac{23±9}{2\times 4}

Число, противоположное -23, равно 23.

z=\frac{23±9}{8}

Умножьте 2 на 4.

z=\frac{32}{8}

Решите уравнение z=\frac{23±9}{8} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 23 к 9.

z=4

Разделите 32 на 8.

z=\frac{14}{8}

Решите уравнение z=\frac{23±9}{8} при условии, что ± — минус. Вычтите 9 из 23.

z=\frac{7}{4}

Привести дробь \frac{14}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

z=4 z=\frac{7}{4}

Уравнение решено.

4z^{2}-12z+9=11z-19

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(2z-3\right)^{2}. {2}+bx+c=0\). 9{2}\) член, равный \(\text{1}\) путем деления всего уравнения на \(a\).

  • Возьмите половину коэффициента при члене \(x\) и возведите его в квадрат; затем добавьте и вычтите его из уравнения так, чтобы уравнение остается математически правильным. В приведенном выше примере мы добавили \(\text{1}\) для завершения квадрат, а затем вычесть \(\text{1}\), чтобы уравнение осталось верным.

  • Запишите левую часть как разность двух квадратов. 92 &= 0 \\ \влево[\влево(x-5\вправо) + 6\вправо] \влево[\влево(x-5\вправо) — 6\вправо] &= 0 \конец{выравнивание*}

    Упростить и решить для \(x\)

    \начать{выравнивать*} (х+1)(х-11) &= 0 \\ \поэтому x = -1 \text{ или } x &= 11 \конец{выравнивание*}

    Напишите окончательный ответ

    \[х = -1 \текст{ или } х = 11\]

    Обратите внимание, что оба метода дают один и тот же ответ. Эти корни рациональны, потому что \(\text{36}\) является совершенным квадрат. 92 &= \фракция{29}{4} \\ x — \ frac {3} {2} & = \ pm \ sqrt {\ frac {29} {4}} \конец{выравнивание*}

    Помните: При извлечении квадратного корня есть положительный и отрицательный ответ.

    Найдите \(x\)

    \начать{выравнивать*} x — \frac{3}{2} &= \pm \sqrt{\frac{29}{4}} \\ х &= \ frac {3} {2} \ pm \ frac {\ sqrt {29}} {2} \\ &= \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \конец{выравнивание*}

    Метод 2: Факторизация уравнения как разность двух квадратов 92 &= 0\\ \left( x — \ frac {3} {2} — \ sqrt {\ frac {29} {4}} \ right) \ left ( x — \ frac {3} {2} + \ sqrt {\ frac {29 {4}} \справа) &= 0 \конец{выравнивание*}

    Найдите \(х\)

    \начать{выравнивать*} \left( x — \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{29}}{2} \right) \left( x — \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29 }}{2} \справа) &= 0 \\ \text{Поэтому } x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{29}}{2} &\text{ или } x = \frac{3}{2} — \frac{\sqrt {29}}{2} \конец{выравнивание*} 9{2} — 4пр}}{2п} \конец{выравнивание*}

    Решение квадратного уравнения путем завершения квадрата — Концепция

    Решение квадратного уравнения может быть трудным. Завершение квадрата — один из методов решения квадратного уравнения. Квадратное уравнение также можно решить с помощью факторизации, используя квадратные корни или квадратную формулу. Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата всегда будет работать при решении квадратных уравнений, и это хороший инструмент, который нужно иметь в вашем поясе математических инструментов.

    свойство квадратного корня завершение квадрата плюс-минус

    Решение квадратного уравнения путем завершения квадрата. Итак, мы уже знаем, как использовать эти свойства квадратного корня для решения квадратного уравнения. Так что, если нам когда-либо дадут уравнение с чем-то уже возведенным в квадрат, все, что мы хотим сделать, это изолировать этот член, так что в этом случае х-3 в квадрате равно 5. Возьмите квадратный корень из обеих частей. Таким образом, мы получаем, что x-3 равно плюс или минус корню из 5. Помните, что всякий раз, когда вы используете квадратный корень в качестве инструмента, мы должны включать плюс или минус. Затем решим для x мы просто прибавим 3 к обеим сторонам, в результате чего x будет равно 3 плюс или минус корень 5, хорошо.
    Итак, свойство квадратного корня очень удобно, когда мы что-то возводим в квадрат, хорошо? Проблема в том, что у нас не всегда есть что-то в квадрате, понятно? Итак, мы собираемся перейти к другому примеру, где мы собираемся использовать это завершение квадрата, чтобы получить его в этой форме. Хорошо.
    Так что мы тоже хотим превратить эту проблему во что-то квадратное, хорошо? Первый шаг, который мы хотим сделать, это изолировать все наши x термины вместе. Итак, что мы хотим сделать, это вычесть 10 из x в квадрате плюс 8x равно -10. Хорошо. Итак, теперь я хочу превратить этот кусок во что-то прямоугольное, хорошо? X в квадрате и 8x фиксированы. Я не могу их изменить. Хорошо? Я оставил немного места в конце, потому что мы можем добавить что-то к обеим сторонам, и наша задача не изменится.
    Итак, что мы хотим сделать, так это выяснить, что мы можем добавить туда, чтобы сделать идеальный квадрат, включая это 8x, хорошо. Так что я знаю, что это должно быть х, и это должно быть плюсом. Хорошо? Этот средний член положителен, так что это говорит нам о том, что это должен быть положительный знак. Но что мы хотим сделать, так это каким-то образом выяснить, что мы можем поставить здесь, чтобы получить 8 и наш средний срок, если мы помешаем этому, хорошо? И хитрость в том, что вы берете этот средний член и делите его на 2. Хорошо? Итак, в данном случае 8 разделить на 2 равно 4. Вот что здесь будет. Хорошо? И что произойдет, если мы сорвем это, то в итоге получим х в квадрате плюс 8 х плюс 16.
    Итак, что я на самом деле сделал, так это включив сюда эти 4, я добавил 16 к своему исходному уравнению. Итак, я добавил 16 к этой стороне, я также должен добавить 16 к этой стороне, чтобы сохранить баланс. Что бы мы ни делали с одной стороной, мы должны делать и с другой. Хорошо? Итак, что у нас есть в этом случае, так это то, что количество x+4 в квадрате равно 6.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта