Синус квадрат: Синус квадрат альфа разделить на 1 плюс косинус альфа

Содержание

ГДЗ(дүж) решения для учебника Геометрия Шыныбеков 8 класс 2018 KZGDZ.COM

Авторы: Шыныбеков А.Н., Шыныбеков Д.А., Жумабаев Р.Н.

Издательство: Атамұра

Год: 2018

Электронный учебник

В восьмом классе у школьников продолжается изучение выпуклых многоугольников и треугольников, их свойства, вводится теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс. Изучая и постигая новые дисциплины, ученик старается облегчить свою школьную жизнь. Часто приходится просить «дай скатать домашку». И если никто не даст — провален урок, мама расстроится из-за двойки в дневнике.

Не всё так страшно! С нашим решебником к учебнику: геометрия Шыныбеков 8-й класс, подготовка к предмету будет проходить в удо-вольствие. Все действия подробно расписаны, приведены правильные ответы. Можно просто списать, если нет времени, можно тщательно изучить тему, проанализировать алгоритм, применить подобное решение на смежной задаче, стать героем и выйти к доске с верно выполненным заданием.

Данное пособие ГДЗ также будет полезно родителям, репетиторам и преподавателям, желающих повысить свой навык интерпре-тации материала.

ПОВТОРЕНИЕ МАТЕРИАЛА ЗА 7 КЛАСС

0.10.20.30.40.50.60.70.80.90.100.110.120.130.140.150.160.170.180.190.200.210.220.230.240.25

Раздел 1. МНОГОУГОЛЬНИКИ. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

1.1. Многоугольник. Выпуклый многоугольник

1.11.21.31.41.51.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.181.191.201.211.221.231.241.25

1.2. Параллелограмм и его свойства

1.261.271.281.291.301.311.321.331.341.351.361.371.381.391.401.411.421.431.441.451.461.471.481.491.501.511.52

1.3. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства

1.531.541.551.561.571.581.591.601.611.621.631.641.651.661.671.681.691.701.711.721.731.74

1.751.761.771.781.791.801.811. 821.831.841.851.86

1.4. Построение четырехугольников по их элементам

1.871.881.891.901.911.921.931.941.951.961.971.981.991.1001.1011.102

1.5. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

1.1031.1041.1051.1061.1071.1081.1091.1101.1111.1121.1131.1151.1161.1171.1181.1191.1201.1211.1221.123

1.6. Трапеция и ее свойства

1.1241.1251.1261.1271.1281.1291.1301.1311.1321.1331.1341.1351.1361.1371.1381.1391.1401.1411.1421.1431.1441.1451.1461.1471.1481.1491.1501.1511.1521.1531.1551.1561.1571.1581.1591.160

1.7. Замечательные точки треугольника. Окружность, описанная около треугольника, и окружность, вписанная в треугольник

1.1611.1621.1631.1641.1651.1661.1671.1681.1691.1701.1711.1721.1731.1741.1751.176

1.1771.1781.1791.1801.1811.1821.1831.1841.186

1.8. Вписанные и описанные четырехугольники

1. 1871.1881.1891.1901.1911.1921.1931.1941.1951.1961.1971.1981.1991.2001.2011.2021.2031.204

Раздел 2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

2.1. Теорема о пропорциональных отрезках. Теорема Пифагора

2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.192.202.212.222.232.242.252.262.272.282.292.302.312.322.332.342.362.372.382.40

2.2. Синус, тангенс и котангенс острого угла

2.412.422.432.442.452.462.472.482.492.502.512.522.532.542.552.562.572.582.592.602.612.622.632.642.652.662.672.682.692.70

2.3. Решение прямоугольных треугольников

2.712.722.732.742.75

2.762.772.782.792.812.822.832.842.852.862.872.882.892.902.912.922.932.942.952.96

Раздел 3. ПЛОЩАДЬ

3.1. Площадь прямоугольника

3.13.23.33.43.53.63.73.83.93.103.113.123.133.143. 153.163.173.183.19

3.2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции

3.203.213.223.233.243.253.263.273.283.293.303.313.323.333.343.353.363.373.383.393.403.413.423.433.443.453.463.473.483.493.503.513.523.533.543.553.56

Раздел 4. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

4.1. Координаты точки. Расстояние между двумя точками

4.14.24.34.44.54.64.74.84.94.104.114.124.134.144.154.164.174.184.194.204.214.224.234.24

4.254.264.274.284.294.304.314.324.334.344.354.364.374.384.394.404.414.42

4.2. Уравнения прямой и окружности

4.434.444.454.464.474.484.494.504.514.524.534.544.564.574.584.59

Раздел 5*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ

4.2. Уравнения прямой и окружности

5.15.25.35.45.55.65.75.85.95.105.115.125.135.145.155.165.175.185.195.205.215.225.235. 245.255.265.275.285.295.305.315.325.335.345.355.36

Функция синус-квадрата — исчисление

Эта статья о конкретной функции из подмножества действительных чисел в действительные числа. В статье представлена информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию.
Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики

Содержание

1 Определение
2 Ключевые данные
3 личности
4 График
5 Дифференциация
- 5.1 Первая производная
- 5.2 Вторая производная
- 5.3 График функции с производной
6 Точки и интервалы интереса
- 6.1 Критические точки
- 6.2 Интервалы увеличения и уменьшения
- 6.3 Локальные экстремальные значения
- 6.4 Интервалы подбарабанья вверх и вниз
- 6.5 Точки перегиба
7 Интеграция
- 7.1 Первая первообразная
  - 7.1.1 Использование формулы косинуса двойного угла
  - 7.1.2 Использование интегрирования по частям
- 7. 2 График функции с первообразной
- 7.3 Определенные интегралы
- 7.4 Модифицированные версии
- 7.5 Высшие производные
8 Серия Power и серия Taylor
- 8.1 Расчет ряда мощностей
- 8.2 Полиномы Тейлора как аппроксимации
9 Предельные вычисления
- 9.1 Нулевой порядок
- 9.2 Пределы высшего порядка

Определение

Эта функция, обозначенная , определяется как композиция функции квадрата и функции синуса. В явном виде это карта:

Для краткости пишем как .

Ключевые данные

Элемент	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т. е. все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т. е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых кратных .
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных .
точки перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, то есть функция синуса двойного угла.
вторая производная
производная	раз выражение, которое равно или , в зависимости от остатка по модулю
первообразная
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из комбинации четной функции с нечетной функцией четной, функция квадрата четная, а функция синуса нечетная) в более общем смысле, зеркальная симметрия относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Также полуоборотная симметрия относительно всех точек формы .
Описание интервала на основе увеличения/уменьшения и вогнутости вверх/вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : возрастание и вогнутость вверх : возрастание и вогнутость вниз : уменьшение и вогнутость вниз, : уменьшение и вогнутость вверх
серия Power и серия Taylor	Степенной ряд около 0 (который, следовательно, также является рядом Тейлора) равен Это глобально сходящийся степенной ряд.

Личности

У нас есть следующие важные личности с участием:

, связывая это с функцией квадрата косинуса.
или эквивалентно .

График

Вот график на интервале , выполненный в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и . Пунктирная горизонтальная линия указывает среднее значение:

Точки с красными точками обозначают точки перегиба, а точки с черными точками обозначают локальные экстремальные значения.

Вот изображение, показывающее функцию (синяя) и функция квадрата косинуса (фиолетовая) с пунктирной линией. На картинке показано, что:

Дифференцирование

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного косинуса угла

У нас есть:

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференцирования, мы имеем:

По формуле двойного синуса угла это то же самое, что и .

В качестве альтернативы, используя формулу двойного косинуса угла, мы перепишем:

Дифференцируя, получаем:

Вторая производная

Снова продифференцировав производную, получим:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Рассмотрим . Как было подсчитано ранее, имеем:

Это равно нулю именно в точках, где , поэтому . Другими словами, критические точки возникают при целых кратных .

Интервалы возрастания и убывания

Функция положительна при , при и отрицательна при , при . Делим на 2, получаем:

возрастает на интервалах вида , .
убывает на интервалах вида , .

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах возрастания и убывания делаем вывод, что:

достигает своих локальных максимальных значений в точках вида , и все значения равны 1.
достигает своих локальных минимальных значений в точках вида , , и все значения равны 0.

Интервалы вогнутости вверх и вниз

Вторая производная есть функция . Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

вогнут на промежутках вида , с .
вогнуто вниз на интервалах вида , с .

Точки перегиба

Из определения интервалов, где вогнутость вверх и вогнутость вниз, мы обнаруживаем, что точками перегиба являются точки с -координатой, нечетно кратной .

Значение функции во всех этих точках равно .

В точках с функция переходит от вогнутости вверх (слева) к вогнутости вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интегрирование

Первая первообразная

ЧТО ИСПОЛЬЗУЕМ : формула косинуса двойного угла, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Используя формулу косинуса двойного угла интеграция:

Для интегрирования используем метод интегрирования линейного преобразования функции для получения . Подключив его, мы получим:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивной версии:

Теперь перепишем и получим:

Установив выбор первообразной таким образом, чтобы вышеприведенное выполнялось без каких-либо свободно плавающих констант, мы получаем:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равными, но это не обязательно вообще .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

На рисунке ниже мы изображаем (синий) и функцию (фиолетовый). Это уникальная первообразная, которая принимает значение 0 в 0. Остальные первообразные можно получить, сдвинув фиолетовый график по вертикали:

Черные точки соответствуют локальным экстремумам для , а красные точки соответствуют точкам перегиба первообразной. Как и следовало ожидать, каждая черная точка находится на той же вертикальной линии, что и красная точка, поскольку точки перегиба первообразной соответствуют локальным экстремальным значениям исходной функции. В дальнейшем:

Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , а это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Среднее значение для интервала длины, равного кратному периоду, равно . Таким образом, для очень больших интервалов среднее значение очень близко к 1/2, даже если оно не обязательно должно быть ровно 1/2. Конкретно:

Преобразованные версии

На основе интегрирования мы можем также интегрировать квадрат любой синусоидальной функции, используя интегрирование линейного преобразования функции:

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду. Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Можно проводить антидифференцировку более одного раза. Первообразная представляет собой сумму многочлена степени и тригонометрической функции с периодом .

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать идентификатор:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно:

Полиномы Тейлора как аппроксимации

Обратите внимание, что, поскольку это четная функция, все ее полиномы Тейлора также являются четными полиномами. На рисунке ниже мы рассматриваем графики и его второй, четвертой и шестой тейлоровских аппроксимаций.

Второй полином Тейлора , равный третьему полиному Тейлора , равен .
Четвертый полином Тейлора , который равен пятому полиному Тейлора , равен .
Шестой полином Тейлора , который равен седьмому полиному Тейлора , равен .

Предельные вычисления

Порядок нуля

Из степенного ряда получаем следующий предел:

Таким образом, порядок нуля в нуле равен 2, а остаток равен 1.

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Наименование метода расчета предела	Подробнее
Простая манипуляция с использованием
Использование правила Лопиталя
Использование серии Power	Имеем , значит получаем . Принимая предел как дает 1.

Пределы высшего порядка

У нас есть предел:

Этот лимит можно вычислить разными способами:

Наименование метода расчета предела	Подробнее
Использование и	У нас есть . Первый предел равен, а второй предел равен 2 из заданных данных. Получаем таким образом.
Использование правила Лопиталя	.
Использование серии Power	У нас есть , значит , значит предел равен 1/3.

Функция синус-квадрат — Исчисление

Эта статья о конкретной функции от подмножества действительных чисел до действительных чисел. В статье представлена информация о функции, включая ее домен, диапазон и ключевые данные, относящиеся к построению графиков, дифференцированию и интегрированию.
Посмотреть полный список конкретных функций на этой вики

Содержание

1 Определение
2 Ключевые данные
3 личности
4 График
5 Дифференциация
- 5.1 Первая производная
- 5.2 Вторая производная
- 5.3 График функции с производной
6 Точки и интервалы интереса
- 6. 1 Критические точки
- 6.2 Интервалы увеличения и уменьшения
- 6.3 Локальные экстремальные значения
- 6.4 Интервалы подбарабанья вверх и вниз
- 6.5 Точки перегиба
7 Интеграция
- 7.1 Первая первообразная
  - 7.1.1 Использование формулы косинуса двойного угла
  - 7.1.2 Использование интегрирования по частям
- 7.2 График функции с первообразной
- 7.3 Определенные интегралы
- 7.4 Модифицированные версии
- 7.5 Высшие первообразные
8 Серия Power и серия Taylor
- 8.1 Расчет ряда мощностей
- 8.2 Полиномы Тейлора как аппроксимации
9 Предельные вычисления
- 9.1 Нулевой порядок
- 9.2 Пределы высшего порядка

Определение

Для краткости пишем как .

Ключевые данные

9Серия Power 0097 и серия Taylor

Элемент	Значение
Домен по умолчанию	все действительные числа, т. е. все
диапазон	, то есть абсолютное максимальное значение: 1, абсолютное минимальное значение: 0
период	, т. е.
локальное максимальное значение и точки достижения	Все локальные максимальные значения равны 1 и достигаются при нечетных целых кратных .
локальное минимальное значение и точки достижения	Все локальные минимальные значения равны 0 и достигаются при целых кратных .
точек перегиба (обе координаты)	нечетных кратных , со значением 1/2 в каждой точке.
производная	, то есть функция синуса двойного угла.
вторая производная
производная	раз выражение, которое равно или , в зависимости от остатка по модулю
первообразная
среднее значение за период	1/2
выражение как синусоидальная функция плюс постоянная функция
важные симметрии	четная функция (следует из комбинации четной функции с нечетной функцией четной, функция квадрата четной, функция синуса нечетной) в более общем смысле, зеркальная симметрия относительно любой вертикальной линии формы , целое число. Также полуоборотная симметрия относительно всех точек формы .
Описание интервала на основе увеличения/уменьшения и вогнутости вверх/вниз	Для каждого целого числа интервал от до подразделяется на четыре части: : возрастание и вогнутость вверх : возрастание и вогнутость вниз : уменьшение и вогнутость вниз, : уменьшение и вогнутость вверх
Степенной ряд около 0 (который, следовательно, также является рядом Тейлора) равен Это глобально сходящийся степенной ряд.

Личности

У нас есть следующие важные личности с участием:

, связывая это с функцией квадрата косинуса.
или эквивалентно .

График

Вот график на интервале , выполненный в масштабе:

Вот увеличенный вид графика между и . Пунктирная горизонтальная линия указывает среднее значение:

Дифференциация

Первая производная

ЧТО МЫ ИСПОЛЬЗУЕМ : цепное правило для дифференцирования, правило дифференцирования для степенных функций, функция синуса # Первая производная, формула двойного косинуса угла

У нас есть:

Мы можем сделать это двумя способами.

Используя цепное правило для дифференцирования, мы имеем:

По формуле двойного синуса угла это то же самое, что и .

В качестве альтернативы, используя формулу двойного косинуса угла, мы перепишем:

Дифференцируя, получаем:

Вторая производная

Снова продифференцировав производную, получим:

График функции с производной

Заполните позже

Точки и интервалы интереса

Критические точки

Рассмотрим . Как было подсчитано ранее, имеем:

Интервалы возрастания и убывания

Функция положительна при , при и отрицательна при , при . Делим на 2, получаем:

возрастает на интервалах вида , .
убывает на интервалах вида , .

Локальные экстремальные значения

Из информации об интервалах возрастания и убывания делаем вывод, что:

достигает своих локальных максимальных значений в точках вида , и все значения равны 1.
достигает своих локальных минимальных значений в точках вида , , и все значения равны 0.

Интервалы вогнутости вверх и вниз

Вторая производная есть функция . Это положительно для и отрицательно для , где . Таким образом, мы получаем:

вогнут на промежутках вида , с .
вогнуто вниз на интервалах вида , с .

Точки перегиба

Из определения интервалов, где вогнутость вверх и вогнутость вниз, мы обнаруживаем, что точками перегиба являются точки с -координатой, нечетно кратной . Значение функции во всех этих точках равно .

В точках с функция переходит от вогнутости вверх (слева) к вогнутости вниз (справа).
В точках с функция переходит от вогнутой вниз (слева) к вогнутой вверх (справа).

Интегрирование

Первая первообразная

ЧТО ИСПОЛЬЗУЕМ : формула косинуса двойного угла, рекурсивная версия интегрирования по частям, интегрирование линейного преобразования функции

Использование формулы косинуса двойного угла

Теперь мы можем выполнить интеграцию:

Использование интегрирования по частям

Переписываем и используем интегрирование по частям в его рекурсивном варианте:

Теперь перепишем и получим:

Переставляя, получаем:

Это дает:

Итак, общая первообразная:

Используя формулу синуса двойного угла, мы можем убедиться, что это соответствует предыдущему ответу.

Для заданной непрерывной функции на связном множестве первообразные, полученные разными методами, должны отличаться на константу . В некоторых случаях первообразные могут быть точно равны, но это вообще не надо .
См. Нулевая производная подразумевает локальную постоянную

График функции с первообразной

Первообразная везде возрастает, потому что везде неотрицательна и равна нулю только в изолированных точках.
Первообразная вогнута на тех интервалах, где является возрастающей, т. е. на интервалах вида as изменяется по целым числам.
Первообразная вогнута вниз на тех интервалах, где убывающая, т. е. на интервалах вида as меняется по целым числам.

Определенные интегралы

Часть в первообразной означает, что линейная часть первообразной имеет наклон , и это связано с тем, что имеет среднее значение на любом интервале длины, равной периоду. На самом деле ясно, что функция является синусоидальной функцией относительно .

Итак, имеем:

где целое число.

Преобразованные версии

Таким образом, мы видим, что среднее значение этой функции также на любом интервале длины, кратной периоду . Также на достаточно большом интервале среднее значение близко к 1/2:

Высшие первообразные

Степенной ряд и ряд Тейлора

Расчет степенного ряда

Мы можем использовать тождество:

вместе со степенным рядом функции косинуса, чтобы найти степенной ряд для .

Степенной ряд функции косинуса везде сходится к функции и равен:

Серия мощности для:

Разделив на 2, получим степенной ряд для:

Вот еще одна формулировка, в которой первые несколько терминов написаны более явно: