$$f(x_0 + h) = f(x_0) + \color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h) + \bar{\bar{o}} \left(\left| \left| h\right|\right|\right),$$
где $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — дифференциал функции $f$: линейное отображение из мира $x$-ов в мир значений $f$. Грубо говоря, он превращает «малое приращение $h=\Delta x$» в «малое приращение $\Delta f$» («малые» в том смысле, что на о-малое можно плюнуть):
$$f(x_0 + h) — f(x_0)\approx\color{#348FEA}{\left[D_{x_0} f \right]} (h)$$
Отметим, что дифференциал зависит от точки $x_0$, в которой он берётся: $\color{#348FEA}{\left[D_{\color{red}{x_0}} f \right]} (h)$. Под $\vert\vert h\vert\vert$ подразумевается норма вектора $h$, например корень из суммы квадратов координат (обычная евклидова длина).
Давайте рассмотрим несколько примеров и заодно разберёмся, какой вид может принимать выражение $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h)$ в зависимости от формы $x$.
Можно заметить, что здесь, по аналогии с примерами, где $x$ — скаляр и где $x$ — вектор (и $f(x)$ — скалярная функция), получилось на самом деле скалярное произведение градиента функции $f$ по переменным $X_{ij}$ и приращения. Этот градиент мы записали для удобства в виде матрицы с теми же размерами, что матрица $X$.
В примерах выше нам дважды пришлось столкнуться с давним знакомцем из матанализа: градиентом скалярной функции (у нескалярных функций градиента не бывает). Напомним, что градиент $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}$ функции в точке $x_0$ состоит из частных производных этой функции по всем координатам аргумента. При этом его обычно упаковывают в ту же форму, что и сам аргумент: если $x$ — вектор-строка, то и градиент записывается вектор-строкой, а если $x$ — матрица, то и градиент тоже будет матрицей того же размера. Это важно, потому что для осуществления градиентного спуска мы должны уметь прибавлять градиент к точке, в которой он посчитан.
Как мы уже имели возможность убедиться, для градиента скалярной функции $f$ выполнено равенство
$$ \left[D_{x_0} f \right] (x-x_0) = \langle\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f}, x-x_0\rangle, $$
где скалярное произведение — это сумма попарных произведений соответствующих координат (да-да, самое обыкновенное).
Посмотрим теперь, как выглядит дифференцирование для функций, которые на выходе выдают не скаляр, а что-то более сложное.
Примеры конкретных форм $\big[D_{x_0} f\big] (h)$, где $f$ — это вектор или матрица$f(x) = \begin{pmatrix} f(x_1)\ \vdots\ f(x_m) \end{pmatrix}$, $x$ — вектор. Тогда
$$ f(x_0 + h) — f(x_0) = \begin{pmatrix} f(x_{01} + h_1) — f(x_{01})\ \vdots \ f(x_{0m} + h_m) — f(x_{0m}) \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} f'(x_{01}) h_1\ \vdots \ f'(x_{0m}) h_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f'(x_{01}) \ \vdots \ f'(x_{0m}) \end{pmatrix} \odot h. $$
В последнем выражении происходит покомпонентное умножение:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} (h) = f'(x_0) \odot h = h \odot f'(x_0)$$
$f(X) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы.
Тогда$$f(X_0 + H) — f(X_0) = (X_0 + H) W — X_0 W = H W,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{X_0} f\big]} (H) = H W$$
$f(W) = XW$, где $X$ и $W$ — матрицы. Тогда
$$f(W_0 + H) — f(W_0) = X(W_0 + H) — XW_0 = X H,$$
то есть
$$\color{#348FEA}{\big[D_{W_0} f\big]} (H) = X H$$
$f(x) = (f_1(x),\ldots,f_K(x))$ — вектор-строка, $x = (x_1,\ldots,x_D)$ — вектор-строка. Тогда
$$ \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}(h) = \left(\sum_j \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j, \ldots, \sum_j \left. \frac{\partial f_K}{\partial y_j} \right|_{y=x_0}h_j \right) = \\ = h \cdot \begin{pmatrix} \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left. \frac{\partial f_k}{\partial y_1} \right|_{y=x_0} \\ \vdots & & \vdots \\ \left. \frac{\partial f_1}{\partial y_D} \right|_{y=x_0} & \ldots & \left.
\frac{\partial f_k}{\partial y_D} \right|_{y=x_0}\\ \end{pmatrix} = h \cdot \left. \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y = x_0} $$Матрица, выписанная в предпоследней выкладке, — это знакомая вам из курса матанализа матрица Якоби.
Тогда
Простые примеры и свойства матричного дифференцирования
Производная константы. Пусть $f(x) = a$. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = 0,$$
то есть $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$ — это нулевое отображение. А если $f$ — скалярная функция, то и $\color{#FFC100}{\nabla_{x_0} f} = 0.$
Производная линейного отображения. Пусть $f(x)$ — линейное отображение. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = f(x_0) + f(h) — f(x_0) = f(h)$$
Поскольку справа линейное отображение, то по определению оно и является дифференциалом $\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]}$. Мы уже видели примеры таких ситуаций выше, когда рассматривали отображения умножения на матрицу слева или справа.
Если $f$ — (скалярная) линейная функция, то она представляется в виде $\langle a, v\rangle$ для некоторого вектора $a$ — он и будет градиентом $f$.Линейность производной. Пусть $f(x) = \lambda u(x) + \mu v(x)$, где $\lambda, \mu$ — скаляры, а $u, v$ — некоторые отображения, тогда
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
Попробуйте доказать сами, прежде чем смотреть доказательство.$$f(x_0 + h) — f(x_0) = (\lambda u(x_0 + h) + \mu v(x_0 + h)) — (\lambda u(x_0) + \mu v(x_0)) =$$
$$ = \lambda(u(x_0 + h) — u(x_0)) + \mu(v(x_0 + h) — v(x_0)) \approx $$
$$\approx \lambda \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) + \mu \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
Производная произведения. Пусть $f(x) = u(x) v(x)$, где $u, v$ — некоторые отображения, тогда
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} f\big]} = \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]} \cdot v(x_0) + u(x_0) \cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}$$
Попробуйте доказать сами, прежде чем смотреть доказательство.Обозначим для краткости $x = x_0 + h$. Тогда
$$u(x)v(x) — u(x_0)v(x_0) = u(x)v(x) — u(x_0)v(x) + u(x_0)v(x) — u(x_0)v(x_0) =$$
$$ (u(x) — u(x_0))v(x) + u(x_0)(v(x) — v(x_0))\approx $$
$$\approx \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) + u(x_0)\cdot \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h)$$
И всё бы хорошо, да в первом слагаемом $v(x)$ вместо $v(x_0)$. Придётся разложить ещё разок:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x) \approx $$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot \left(v(x_0) + \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}(h) + o(\vert\vert h\vert\vert)\right) =$$
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}(h) \cdot v(x_0) + \bar{\bar{o}}\left(\vert\vert h\vert\vert\right)$$
Это же правило сработает и для скалярного произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle u, v\rangle\big]} = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} u\big]}, v\rangle + \langle u, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} v\big]}\rangle$$
В этом нетрудно убедиться, повторив доказательство или заметив, что в доказательстве мы пользовались лишь дистрибутивностью (= билинейностью) умножения.
Производная сложной функции. Пусть $f(x) = u(v(x))$. Тогда
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = u(v(x_0 + h)) — u(v(x_0)) \approx $$
$$\approx\left[D_{v(x_0)} u \right] (v(x_0 + h) — v(x_0)) \approx \left[D_{v(x_0)} u \right] \left( \left[D_{x_0} v\right] (h)\right)$$
Здесь $D_{v(x_0)} u$ — дифференциал $u$ в точке $v(x_0)$, а $\left[D_{v(x_0)} u \right]\left(\ldots\right)$ — это применение отображения $\left[D_{v(x_0)} u \right]$ к тому, что в скобках. Итого получаем:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{u} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{\left[D_{v(x_0)} u \right]} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Важный частный случай: дифференцирование перестановочно с линейным отображением. Пусть $f(x) = L(v(x))$, где $L$ — линейное отображение. Тогда $\left[D_{v(x_0)} L \right]$ совпадает с самим $L$ и формула упрощается:
$$\left[D_{x_0} \color{#5002A7}{L} \circ \color{#4CB9C0}{v} \right](h) = \color{#5002A7}{L} \left( \color{#4CB9C0}{\left[D_{x_0} v\right]} (h)\right)$$
Если $f$ — (скалярная) линейная функция, то она представляется в виде $\langle a, v\rangle$ для некоторого вектора $a$ — он и будет градиентом $f$.
Простые примеры вычисления производной
Вычислим дифференциал и градиент функции $f(x) = \langle a, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $a$ — постоянный вектор.
Попробуйте вычислить сами, прежде чем смотреть решение.Вычислить производную можно непосредственно:
$$f(x_0 + h) — f(x_0) = \langle a, x_0 + h\rangle — \langle a, x_0\rangle = \langle a, h\rangle$$
Но можно и воспользоваться формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle a, x\rangle\big]} (h) = $$
$$ =\langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} a\big]}(h), x\rangle + \langle a, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle 0, x\rangle + \langle a, h\rangle = \langle a, h\rangle$$
Сразу видно, что градиент функции равен $a$.
Вычислим производную и градиент $f(x) = \langle Ax, x\rangle$, где $x$ — вектор-столбец, $A$ — постоянная матрица.
Попробуйте вычислить сами, прежде чем смотреть решение.Снова воспользуемся формулой дифференциала произведения:
$$\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} \langle Ax, x\rangle\big]}(h) = $$
$$ = \langle\color{#348FEA}{\big[D_{x_0} Ax\big]}(h), x_0\rangle + \langle Ax_0, \color{#348FEA}{\big[D_{x_0} x\big]}(h)\rangle$$
$$= \langle Ah, x_0\rangle + \langle Ax_0, h\rangle$$
Чтобы найти градиент, нам надо это выражение представить в виде $\langle ?, h\rangle$.
что, конечно, меньше нуля для любой ненулевой $H$.
Геометрический смысл производной
Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!
ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?
Александр | 2012-10-09
Геометрический смысл производной. Задачи на экзамене связанные данной темой у выпускников вызывают некоторые затруднения. Большинство же из них, на самом деле, очень просты. В этой статье разберём задания, в которых требуется найти производную при заданном графике функции и касательной к графику в определённой точке
*При чём в этих задачах на эскизе явно отмечены как минимум две точки, через которые эта касательная проходит. Что нужно знать для решения?
Геометрический смысл производной
Построим произвольный график некой функции y = f (x) на координатной плоскости, построим касательную в точке xо, обозначим угол между прямой о осью ox как α (альфа)
Из курса алгебры известно, что уравнение прямой имеет вид:
То есть производная функции y = f(x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной:
А угловой коэффициент в свою очередь равен тангенсу угла α (альфа), то есть:
Угол α (альфа) может быть меньше, больше 90 градусов или равен нулю.
Проиллюстрируем, два случая:
1. Угол наклона касательной больше 90 градусов (тупой угол).
2. Угол наклона касательной равен нулю градусов (касательная параллельна оси ох).
То есть задачи, в которых дан график функции, касательная к этому графику в определённой точке, и требуется найти производную в точке касания, сводятся к нахождению углового коэффициента касательной (либо тангенса угла наклона касательной, что одно и тоже).
Ниже рассмотрим решение таких задач через нахождение тангенса угла между касательной и осью абсцисс (осью ох), ещё один способ решения (нахождение производной через угловой коэффициент) рассмотрим в недалёком будущем. Также будем рассматривать задачи, где требуется знание свойств производной для чтения графика функции. Не пропустите!
Обратите внимание, что на координатной плоскости обозначены две точки через которые проходит касательная – это очень важный момент (можно сказать ключевой в этих задачах).
Что ещё потребуется — это знание формулы приведения для тангенса тупого угла.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Для того, чтобы найти тангенс этого угла, построим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой, а катеты параллельны осям. В данной задаче это точки (–5; –4), (1; 5).
Напомню: тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Катеты определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу BAC, так как катет АС параллелен оси ох.
Значит
Ответ: 1,5
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.
Задача аналогична предыдущей. Так же строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–5; –7), (3; 3).
Катеты также определяем по числу клеток.
Угол наклона касательной к оси абсцисс равен углу ВАС, так как катет АС параллелен оси ох. Значит
Ответ: 1,25
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.
Строим прямоугольный треугольник, где отрезок ограниченный двумя точками на графике, будет являться гипотенузой. В данной задаче это точки (–3; 3) и (5; 11). Из точки (5;11) построим продолжение катета так, чтобы получился внешний угол.
Так как CD параллельна оси ох, то угол ABD равен углу наклона касательной к оси ох. Таким образом, мы будем вычислять тангенс угла ABD. Отметим, что он больше 90 градусов, поэтому здесь необходимо воспользоваться формулой приведения для тангенса:
Значит
*Длины катетов считаем по количеству клеток.
Ответ: -1,75
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x0.
Решите задачу самостоятельно.
Ответ: -1,75
На рисунке изображен график функции y = f(x).
Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 10. Найдите значение производной функции в точке х0 = 10.
Построим касательную, проходящую через начало координат и точку графика с абсциссой равной 10. Обозначим угол наклона касательной как альфа, а смежный с ним угол как бета.
Значение производной в точке х0 = 10 равно тангенсу угла наклона касательной к оси абсцисс. То есть, для нахождения производной достаточно вычислить тангенс угла альфа. Воспользуемся формулой приведения:
Тангенс угла бета можем найти из прямоугольного треугольника, катеты которого равны 6 и 10:
Ответ: — 0,6
На первый взгляд задачи, связанные с использованием производной входящие в ЕГЭ по математике, довольно разнообразны. Но на самом деле для их решения нужно изучить совсем небольшой «кусочек» теории. На этом всё. Второй способ решения представленных задач обязательно разберем.
Надеюсь, статья была полезна.
На этом всё! Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Категория: Производная Графики | ЕГЭ-№7Производная
НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!
ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!
Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!
Замучили боль и скованность в мышцах спины?
*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.
Как построить производные единицы из базовых единиц
Авторы: Крис Хрен и Питер Дж. Микулеки и
Обновлено: 16 марта 2018 г.
Книга для изучения Купить на Amazon Вот несколько примеров: , а площадь имеет квадратную единицу длины (например, квадратные метры или м 2 ). Поскольку длина, ширина и высота являются единицами длины, в итоге получается или длина в кубе (например, кубические метры или м³). Единицами силы и площади в СИ являются ньютоны (Н) и квадратные метры (м²), поэтому единица давления в СИ, паскаль (Па), может быть выражена как Н/м². Ответ: 0,02 г/см³. В килограмме содержится 1000 (10³) граммов, поэтому 20 кг равняются 20 000 г. Итак, 100 см = 1 м; следовательно, (100 см)³= (1 м)³. Другими словами, имеется 100³ (или 10 6 ) кубических сантиметров в 1 кубическом метре. Выполнение деления дает вам 0,02 г/см³. Вы можете записать преобразование следующим образом: Кристофер Хрен — школьный учитель химии и бывший трекист. Что такое производные единицы? Производные единицы – это те, которые являются производными от базовых или фундаментальных единиц. Это единицы измерения, которые получаются путем умножения или деления основных единиц системы. Единицы, используемые для производных величин, известны как производные единицы. Метр в секунду (расстояние), моль на кубический метр (концентрация материала) и удельный объем являются примерами производных единиц (кубический метр на килограмм). Во избежание недоразумений с единицами, единица СИ представляет собой международную систему мер, которая используется на международном уровне в технических и научных исследованиях. Единицы СИ важны, потому что они общепризнаны людьми во всем мире, позволяя людям из разных стран легко общаться о торговле и науке. Он систематически использует префиксы, что упрощает выражение очень больших или малых чисел. Названия производных единиц записываются строчными буквами. Большинство названий представляют собой просто базовые комбинации единиц измерения, однако существует 22 производных единицы измерения с уникальными именами. Радиан (rad) и стерадиан (sr) безразмерных производных единиц входят в число 22 производных единиц с уникальными именами. С другой стороны, более 100 других производных единиц указаны в терминах их основных единиц. Зачем выводить единицу скорости в СИ? Термин «скорость» означает «расстояние, которое вы проходите за заданный промежуток времени». Фундаментальными величинами пространства и времени являются метры и секунды, причем метры и секунды являются их основными единицами. Поскольку скорость представляет собой комбинацию пространства и времени, ее единицы — «м/с» — «производны» от единиц пространства и времени. Получается из килограмма, основной единицы СИ для массы, и метра, основной единицы СИ для длины. Масса, умноженная на ускорение, равна силе. В итоге получаем силу, равную килограммам умножить на метры разделить на секунды в квадрате, заменив в формуле основные единицы. Ньютон — производная единица силы, и его знак — Н. Итак, ньютон равен одному килограмму, деленному на секунды в квадрате. Паскаль (Па) — это единица измерения давления в системе СИ, эквивалентная одному ньютону на квадратный метр (Н/м2 или кг/м1с2). Паскаль — это согласованная производная единица, имеющая уникальное имя и символ в системе СИ. Единицы давления называются производными единицами, потому что они получены из базовой единицы расстояния и производной единицы силы, которая получена из ускорения, которое также является производной единицей, и массы, которая является базовой единицей. Это основная единица энергии в метрической системе или Международная система единиц в более широкой формулировке (СИ). В конце концов, он измеряется в метрах, килограммах и секундах. Скорость передачи или преобразования энергии измеряется в мощности (P). В результате мощность (P = Вт/т) равна работе, деленной на время. Ватт (Вт) — единица мощности в системе СИ, названная в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта (1736–1819 гг.).). Поскольку производных единиц так много, можно подумать, что любой мог бы изобрести одну из них, если бы он использовал базовые единицы в качестве отправной точки. С другой стороны, единица не существует, пока она не опубликована в Международной системе единиц (СИ). Международная система единиц (СИ или метрическая система) находится в ведении Генеральной конференции по мерам и весам (CGPM), которая также дает рекомендации Международному комитету мер и весов (CIPM). Международное бюро мер и весов (BIPM) регулярно меняет перечень единиц и определения. Единицы СИ скорости, единицы СИ плотности, СИ работы, энергии и т. д. — все это неотъемлемые части физики. Стоит отметить, что в некоторых производных единицах отсутствуют специальные символы. При определении единиц и переводе их в другие используйте размерный анализ. Когда вы возводите в квадрат или куб единицы, такие как площадь и объем, вы также возводите в квадрат коэффициенты преобразования. Мы не можем изучать время и пространство по отдельности, если хотим их понять. Распространенным заблуждением является то, что время и пространство обладают неотъемлемыми качествами. Мы не можем сказать, сколько времени прошло или как далеко мы продвинулись, если мы не движемся. Рабочая тетрадь по химии для чайников с онлайн-практикой
Наоборот, химия часто имеет дело с рассчитанными количествами. Эти виды величин выражаются с помощью 9Производные единицы 0018, , которые построены из комбинаций основных единиц.
Эта статья из книги:
Об авторах книги:
и футбольный тренер. Питер Дж. Микулецкий, доктор философии, преподает биологию и химию в Fusion Learning Center и Fusion Academy. Эту статью можно найти в категории:
Приведите несколько примеров производных единиц
Крайне важно иметь стандартную систему единиц, поскольку она позволяет людям во всем мире интерпретировать измерения в единой системе.
Названия производных единиц и символы 
Заглавная буква предшествует символам единиц, названных в честь людей.
Масса на единицу объема называется плотностью. Кубические метры — производная единица измерения объема в системе СИ. В результате единицей плотности в СИ является кгм3.
Работа определяется как произведение силы на расстояние. В результате работа является производной единицей.
