Как решать радикалы математика – Задачи и уравнения с радикалами. Рабочие материалы

Содержание

Задачи и уравнения с радикалами. Рабочие материалы

Дополнительные сочинения

На данном уроке мы продолжим решать типовые задачи и преобразовывать различные выражения, содержащие радикалы.

1. Повторение теоретических фактов

Ключом к решению всех типов задач, рассматриваемых в данной теме, является определение арифметического корня и его свойства.

Еще раз напомним основное определение.

Определение:

Корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает число а.

Приведем математическую запись определения:

Например: , т. к. ; , т. к. ,

2. Решение примеров на упрощение и вычисление

Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1 – упростить выражение:

Обоснование:

Вспомним основные свойства арифметических корней:

, при (теорема 1)

, при (теорема 2)

, при (теорема 3)

, при (теорема 4)

при (теорема 5)

Пример 2 – вычислить:

Чтобы выполнить вычисление, нужно преобразовать числитель, для этого во второй скобке представим составные числа в виде простых:

Получаем:

Разложим скобку на множители способом группировки:

После преобразований получаем дробь:

Имеем право сократить:

Несложно заметить в полученном выражении формулу разности квадратов, свернем ее:

Пример 3 – вычислить:

Сначала вычислим внутренний корень:

После преобразования получили выражение:

Пример 4 – упростить выражение:

Важно заметить в подкоренном выражении полный квадрат:

Получаем:

Комментарий: для выделения полного квадрата имеем право представить а как , т. к. в заданном выражении присутствует , значит, а принимает неотрицательные значения.

Пример 5 – упростить выражение:

Выделяем полный квадрат:

Получаем:

Комментарий: число отрицательное, имеем право раскрыть модуль.

3. Уравнения с радикалами, типы, примеры решения

Важно уметь решать уравнения с радикалами, рассмотрим первый тип таких уравнений.

Чтобы не потерять при решении корни и не приобрести новых корней, следует наложить некоторые ограничения. В первую очередь ОДЗ: . Далее:

       

Заметим, что при выполнении второго условия ОДЗ соблюдается автоматически, поэтому его отдельно можно не указывать.

Мы получили смешанную систему, в ней присутствуют уравнение и неравенство. Отметим, что неравенство решать не обязательно, достаточно решить уравнение и полученные корни подставить в неравенство – выполнить проверку, т. к. очень часто неравенство очень сложно или невозможно решить.

Второй тип уравнений:

Укажем область определения. ОДЗ:

Чтобы решить заданное уравнение, нужно возвести его в квадрат, получим:

Чтобы упростить нахождение области определения, можно оставить только одно из двух неравенств, т. к. два числа равны друг другу и если одно из них больше нуля, то и второе тоже. Получаем системы для решения уравнения:

или

Аналогично первому типу получена смешанная система, можем решить уравнение и выполнить проверку, не решая полностью неравенство.

Рассмотрим конкретные примеры уравнений.

Пример 6:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Решаем полученную систему:

Ответ:

Данный пример можно решать другим способом. Рассмотрим две функции – выражения стоящие в правой и левой части заданного уравнения:

Первая функция монотонно убывает (т. к. под корнем стоит линейная убывающая функция, ее угловой коэффициент меньше нуля), вторая монотонно возрастает.

Проиллюстрируем сказанное:

Рис. 1. Графики функций и

Поскольку одна из функций монотонно убывает, а вторая монотонно возрастает, то уравнение имеет единственное решение, если решение вообще существует. Таким образом, если мы найдем один корень заданного уравнения, это будет обоснованный ответ к задаче.

Корень существует, по рисунку мы видим, что это , чтобы убедиться в этом, подставим найденный корень в исходное уравнение. Получаем верное числовое равенство.

Пример 7:

Имеем эквивалентную систему:

Решаем полученную систему:

Ответ:

Пример 8:

В данном случае удобно выполнить замену переменных.

Обозначим , возведем в квадрат, получаем:

Получаем уравнение:

Не теряем при этом ограничение:

Решаем полученное квадратное уравнение любым способом, находим корни:

или

Лишний корень отбрасываем, остается

Таким образом,

Итак, мы рассмотрели решение задач и уравнений, содержащих радикалы. В следующем уроке мы обобщим понятие о показателе степени.

Список литературы

Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина. Муравин Г. К., Муравина О. В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Yaklass. ru . Nado5.ru . School. xvatit. com .

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 418–421;

2. Упростите выражение:

3. Решите уравнение:

dp-adilet.kz

Урок алгебры по теме «Двойной радикал». 8-й класс

Разделы: Математика


Цели урока:

Учебная:

  1. Углубить знания учащихся по теме квадратные корни и обобщить учебный материал.
  2. Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
  3. Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения.
  4. Научить учащихся использовать формулу двойного радикала.
  5. Развивать умения и навыки работы с иррациональными выражениями.

Развивающая:

  1. Развитие внимания учащихся.
  2. Развитие умения добиваться результатов труда.
  3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

Воспитывающая:

  1. Воспитание чувства коллективизма.
  2. Формирование чувства ответственности за результат работы.
  3. Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.

В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.

В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:

С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.

Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?

На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторение ранее изученного материала

1) Свойства квадратного корня

Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.

Вспомним эти свойства:

1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство

3) Если a≥0 и n – натуральное число, то

4) При любом a справедливо тождество

Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.

2) Способы преобразования радикалов

Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.

Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.

Второе интересное преобразование радикалов называется преобразованием двойного радикала .

4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.

Выражения вида  и называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикалэто значит избавиться от внешнего радикала.

Справедливы тождества

 =

При каждое подкоренное выражение неотрицательно.

Докажем эти равенства(доказывает ученик):

Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.

Возведем в квадрат левую часть:

 =

Возведем в квадрат правую часть:

=  = =  =  = =  =  =

Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение представляет полный квадрат.

5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.

1 способ:

Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.

Примеры:

 =  =  =  = =  =

 =  =  =  = = =

 =  =  =  = =  =

2 способ

Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.

Примеры:

  1.  =  =  = =  =  =  =
  2.  =  =  = =  =
  3.  =  =  =  = =

Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.

Попробуем решить

НЕ УДАЕТСЯ!!!

3 способ

В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала

 =

Примеры:

  1.  =  =  =  =  = =  =
  2.  =  =  =  = =  =
  3.  =  =  =  = =  =

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:

7 этап работы. Вывод урока.

Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:

  1. выполняя в выражении, содержащем двойные радикалы, алгебраические действия, применив свойства квадратных корней;
  2. приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
  3. используя формулы сложного радикала.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).

Урок окончен. Спасибо за урок!

13.08.2014

Поделиться страницей:

urok.1sept.ru

Радикал, в математике — это… Что такое Радикал, в математике? 💯 ✅


Радикал, в математике
Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, nпоказателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a = r(cosφ + isinφ), где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

,

где k = 0, 1, 2,…, n—1. В правой части положительное число, n-ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х5хv = 0 не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Ganss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

  • Радикал
  • Радикал, в химии

Смотреть что такое «Радикал, в математике» в других словарях:

  • РАДИКАЛ (в математике) — РАДИКАЛ, математический знак (измененное латинское r), которым обозначают действие извлечения корня, а также результат извлечения корня, т. е. число вида …   Энциклопедический словарь

  • Радикал в математике — Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р.… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • РАДИКАЛ — (лат., radix, radicis корень). 1) Политик, стремящийся к коренным преобразованиям в управлении страны. 2) английские социалисты носят также название радикалов. 3) В органической химии сложные вещества, способные соединяться с другими веществами… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • радикал — РАДИКАЛ, а, муж. 1. Сторонник радикализма (в 1 знач.), член радикальной партии. 2. Приверженец крайних, решительных действий, взглядов. | прил. радикалистский, ая, ое. II. РАДИКАЛ, а, муж. 1. В математике: знак, (Ц) обозначающий извлечение корня… …   Толковый словарь Ожегова

  • РАДИКАЛ — (от лат. radicalis коренной) многозначный термин, используемый в разных науках (напр., в химии и математике) и практиках. 1, Сторонник радикальных (крайних, решительных) взглядов и действий, партий, движений. Бескомпромиссный человек. Склонность… …   Большая психологическая энциклопедия

  • Радикал — В Викисловаре есть статья «радикал» Радикал (буквально: «коренной» от лат. radix  …   Википедия

  • РАДИКАЛ — Основное значение имеющий отношение к корню. Таким образом: 1. В математике знак (V), выражающий операцию разложения числа, стоящего под ним, на его корни. 2. В социальных/политических терминах описание любой точки зрения или предложения, в… …   Толковый словарь по психологии

  • Центр (в математике) — Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп. Курсив обозначает ссылку на этот словарь. # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У …   Википедия

  • Вербицкий, Михаил Сергеевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Вербицкий. Михаил Вербицкий …   Википедия

  • Абель Нильс Хенрик — (Abel) (1802 1829), норвежский математик. Доказал, что алгебраические уравнения степени выше 4 й в общем случае неразрешимы в радикалах. Изучал интегралы от алгебраических функций (абелевы интегралы). Один из создателей теории эллиптических… …   Энциклопедический словарь

dic.academic.ru

Радикал, в математике

Значение слова «Радикал, в математике» в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона

Радикал, в математике
Радикал, в математике

— Один из корней двучленного уравнения xn = а называется радикалом и обозначается Здесь а называется подкоренным числом, n показателем корня. Р. называется иногда корнем. В начальной алгебре подкоренное число предполагается положительным и под Р. подразумевается число положительное. Алгебраическое выражение, содержащее Р., может подвергаться преобразованиям при помощи формул:

Если данное выражение имеет вид дроби, знаменатель которой содержит Р., то, помножая числитель и знаменатель на выражение, надлежащим образом подобранное, можно удалить все Р. из знаменателя. При помощи средств начальной алгебры можно выполнить это преобразование только в простейших случаях. В высшей алгебре подкоренное число a предполагается комплексным (см. Мнимые величины) и представляется под видом

a
= r(cos φ + isin φ), где r > 0.

Для n значений Р. получается выражение

,

где k = 0, 1, 2,…, n— 1. В правой части положительное число, n -ая степень которого равна r. При помощи Р. можно выразить корни каких угодно уравнений второй, третьей и четвертой степени. Решать же уравнения высших степеней при помощи Р. возможно только в исключительных случаях, как это выяснилось благодаря исследованиям Абеля и Галуа. В соч. Д. Селиванова «Об уравнениях пятой степени с целыми коэффициентами» (СПб. 1889) приведены примеры уравнений, нерешаемых алгебраически. Оказывается, что напр. уравнение х 5хv = 0 не решается в Р., если v не делится на 15. Если в алгебраическом решении уравнения все показатели Р. равны двум, то корни можно построить при помощи циркуля и линейки. На этом основании Гаусс в своем сочинении «Disquisitiones arithmeticae» (в «Ganss Werke», т. I) указал, какие правильные многоугольники можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. К числу таких многоугольников принадлежит семнадцатиугольник.

Д. Селиванов.

Статья про слово «Радикал, в математике» в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона была прочитана 8727 раз

be.sci-lib.com

Методы решения иррациональных уравнений

Разделы: Математика


Я бы почувствовал настоящее
удовлетворение лишь в том случае,
если бы смог передать ученику гибкость ума,
которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной переменной называют иррациональным, если хотя бы одна из функций или содержит переменную под знаком радикала.

При решении иррациональных уравнений необходимо установить область допустимых значений переменных, исходя из условия, что все радикалы, входящие в уравнение, должны быть арифметическими.

1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом положении: “Если функция возрастает в области определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому сначала найдем область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не существует ни при одном значении неизвестного . Таким образом, вопрос о решении уравнения снимается – ведь нельзя же осуществить операцию сложения в левой части уравнения, так как не существует сама сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь решений, так как левая часть не существует ни при одном значении неизвестного .

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно возрастающей.

Для эта функция будет принимать наименьшее значение при , а далее только возрастать.. Число 5 принадлежит области значения, следовательно, согласно утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в натуральную степень , то уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое равенство , то по свойствам степени выполняется равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Если , то справедливо и обратная теорема. В этом случае уравнения (1) и (2) равносильны.

Если , равенство справедливо, если выполняется хотя бы одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом случае не равносильны. Поэтому, если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли появиться посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки можно избежать, введя дополнительное требование . В этом случае уравнение равносильно системе . В системе отсутствует требование , обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то их можно последовательно исключать с помощью возведения в квадрат, получая в итоге уравнение вида При этом полезно учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Пример 2. 

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще всего в качестве новой переменной используют входящий в уравнение радикал. При этом уравнение становится рациональным относительно новой переменной.

Пример1. 

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

, корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.

Ответ:

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи , находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

6. Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда подкоренные выражения представляют собой квадратный трехчлен, не раскладывающийся на линейные множители. Поэтому целесообразно оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех значениях, не больших 5, следовательно, уравнение будет иметь решение, если обе части уравнения одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая система:

Корнем второго уравнения системы является число

Проверим, является ли это число корнем второго уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя обе части этого уравнения в степень . Полученное уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при четном является нго следствием, аналогично рассмотренному выше случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень часто пользуются следующим приемом.

Если то

В последнем равенстве заменяют на и получают

Далее легко избавиться от кубической иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам неизвестно ни одно значение , при котором это уравнение превращается в верное числовое равенство. Возможно, таких решений нет вообще. Допуская в практических действиях такую замену, мы фактически расширяем возможное множество решений. Поэтому все найденные решения следует проверять и только те, которые превращают исходное уравнение в верное равенство, следует записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток задач, умнее и сообразительнее он не станет, Результат обучения оценивается не количеством сообщаемой информации, а качеством ее усвоения. Это качество будет выше, если на один и тот же пример посмотреть с разных сторон. Решение задач разными способами способствует развитию активного мышления учащихся. Хорошую почву для этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную переменную, а несколько, сводя исходное уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной переменной сводит исходное уравнение к однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная обращается в нуль, не является решением исходного уравнения ( в чем можно убедиться подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

8.02.2006

urok.1sept.ru

Действия над радикалами — АЛГЕБРА — Уроки для 10 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

УРОК 36

Тема. Действия над радикалами

 

Цель урокую Познакомить учащихся с действиями над радикалами: сложение и вычитание, умножение и деление; подъем радикала в степень; извлечение корней из радикалов; сведение к рациональному виду членов дробных иррациональных выражений.

 

И. Проверка домашнего задания

1. Три ученика воспроизводятся решение упражнений № 22, 26 и 38 на доске.

2. В это время класс сравнивает (устно) выражения, представленные в таблице 15.

Таблица 15

 

 

3. Ответы на вопросы учащихся, возникшие в процессе выполнения домашнего задания.

 

II. Восприятие и осознание нового материала

1. Сложение и вычитание радикалов выполняется так же, как и сложение и вычитание рациональных одночлен (многочленов).

Примеры:

3 – 5 + 12 = 3·2 – 5·3 + 12·5 = 6 – 15 + 60 = 51;

– (2 – 3) = 4 – 2·3 + 3·2 = 4 – 6 + 6 = 4.

 

2. При умножении (делении) радикалов с различными показателями сначала их надо привести к одному показателю, а затем перемножить (поделить) підкореневі выражения и записать произведение (долю) под знак корня с тем же показателем.

Примеры:


· = · = = ; .

Выполнение упражнений № 54 (1, 2), 55 (1, 2)

3. При возвышении в степень радикала, можно преподнести к этому степень подкоренное выражение, оставив тот же показатель корня.

Например: .

4. Чтобы добыть корень с радикала, можно из подкоренного выражения добыть корень с показателем, который равен произведению двух данных показателей.

Например: .

5. В некоторых задачах полезно избавляться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби — это значит превратить дробь, знаменатель которого содержит корни, до нового дроби, тождественно равному данному, знаменатель которого корней не содержит.

Если знаменатель дроби представляет собой радикал или произведение радикала на рациональный множитель, то следует числитель и знаменатель дроби умножить на такую степень корня того самого показателя, чтобы получить степень с показателем, равную показателю корня.

Например: ; .

Если знаменатель дроби есть сумма (или разность) квадратных радикалов, то дробь можно привести к рациональному виду, умножив числитель и знаменатель на разность (или сумму) тех самых радикалов.

Например: ; если a 0, a ≠ 1.

Если знаменатель дроби есть сумма (разница) кубических радикалов, то, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат разности (суммы) тех самых радикалов.

Например: .

Выполнение упражнений № 57 (2, 6), 58 (4, 5).

 

III. Подведение итогов урока

 

IV. Домашнее задание

Раздел III § 1 (5). Вопросы и задания для повторения раздела III № 38-46. Упражнения № 19 (5), 40, 57 (1, 5), 58 (1).

schooled.ru

Исследовательская работа на тему «Радикал»

МБОУ «Западнодвинская СОШ №1»

Исследовательская работа.

Что такое радикал?

Выполнила ученица 9 «Б» класса

Насырова Ирина

Руководитель:

Сергеева Нина Александровна.

г. Западная Двина

2013г.

  • Цель первая: узнать, что означает радикал, его области применения.

  • Цель вторая: определить, насколько популярно его значение в наше время.

  • Задачи: рассмотреть применение корня на практике; сделать опрос и выводы на тему актуальности радикала.

  • Методы:

— изучение литературы по данной теме;

— опрос людей и анализ полученных результатов;

— решение задач.

Содержание.

Введение…………………………………………3

Основная часть…….……………………………….4-10

  1. Понятия. Области применения…….………4

  2. Политика и общество…………….…………5

  3. Интернет…….………………….…………….6

  4. Математика…………………….…………….7

  5. Лингвистика……………..……………………8

  6. Химия, биология, медицина…..……………9

  7. Названия объектов инфраструктуры………10

Практическая часть………………………………11-19

  1. Применение арифметического корня в

математике и физике при решении задач……………………………………………….11-18

  1. Использование повсеместно. Опрос……….19

Заключение…………………………………….…20

Введение

Изучая на уроке математики тему «радикал», мне стало интересно, что же означает это слово? В науке математике я поняла, что это корень квадратный. Но тут же вспомнила, что похожее слово я слышала на уроке истории. Да нет же! Это и есть слово радикал, участник какой-либо радикальной партии. У меня закрадываются сомнения, тут что-то не ладно.…Придя домой, я немедленно включила интернет, и в поисковой строке набрала «радикал». Моему удивлению не было предела.… Оказывается, радикал внёс свой маленький вклад в каждую науку! Как интересно было читать и узнавать, что в каждой системе, в каждой отрасли нашли его применение. Тогда я решила исследовать, насколько его значение знакомо не только учёным, профессорам, но и нам, только вставшим на путь развития, школьникам. Ведь само слово радикал не часто услышишь в устной разговорной речи.

Моя цель стала — узнать, что означает радикал, его области применения; определить, насколько популярно его значение в наше время и познакомить вас с ним. Для закрепления изученного я поставила задачи: применить математический радикал на практике; сделать опрос и выводы на тему актуальности радикала.

II. Основная часть.

  1. Понятия. Области применения.

Значение радикала и его применение обширно. Допустим, знакомимся мы с наукой математикой. Научились извлекать корень квадратный, и мы уже с лёгкостью можем решать задачи как по математике, так и по физике (с формулами, при вычислении которых необходим радикал). Если же мы решим познакомиться с химией, мы узнаем о реакциях взаимодействия свободных радикалов не только на природу (Биохимия), но и на организмы человека и животных (Медицина). Остановимся на каждом понятии подробнее.

  1. Политика и общество.

В политике радикалом принято называть человека, который стремится к коренным преобразованиям в существующей государственной системе. Это сторонник решительных мер без компромиссов, отстаивающий свои политические идеи, не считаясь с иными мнениями. Как правило, радикальные движения возникают на волне кризисов государственности, когда становится реальной угроза размеренному существованию общества. Радикалы, как правило, требуют проведения реформ.


В современном российском обществе широкое распространение получили так называемые «ультраправые» радикалы, чьи идеи и лозунги по сути являются националистическими и призывают к непарламентским методам борьбы для изменения конституционного строя. Зачастую радикалы разделяют экстремистские взгляды, что делает их персонами нон — грата в государственном политическом раскладе, однако привлекает в их ряды бунтующую молодежь. Среди сегодняшних радикалов в России можно назвать национал — большевиков, этнонационалистов (сюда относятся язычники), православных фундаменталистов, неофашистов, а также монархистов.
Широким массам радикалы известны проведением публичных мероприятий, таких как ежегодный «Русский марш», который проходит во многих городах страны.


Наряду с политическими радикалами существуют и радикалы в религии и философии.

  1. Интернет.

Фотохостинг (англ. photo hosting) — сайт, на котором можно создать свой фотоальбом, публиковать любые фотографии и изображения в Интернете. Любой человек, имеющий доступ к Интернету, может использовать фотохостинги для размещения, хранения и показа изображений другим пользователям сети. Основное преимущество, которое предоставляет фотохостинг пользователям — удобство демонстрации фотографий. При размещении на фотохостинге каждому фото присваивается уникальный адрес — URL. Иногда такой сервис требует регистрации пользователя, предлагая взамен увеличение максимального размера загружаемого файла, а также предоставляя различные платные медиа услуги (печать фотографий и пр.). Практически на любом фотохостинге можно бесплатно создать фотоальбом, просто одни из них совсем бесплатные, а другие наряду с бесплатными функциями, дают дополнительные платные. В США, например, первым фотохостингом был Flickr. Интерес к фотохостингу был вызван расцветом интернет — аукционов.

Время не стоит на месте, развиваются технологии, и вот, выпускаются МФУ, оснащённые функцией вывода на печать файлов с фотохостингов напрямую без подключения к ПК.

Радикал-Фото ShellExtension – программа для обработки и загрузки фотографий на сайт www.radikal.ru. Программа добавляет в контекстное меню «Проводника» пункт, с помощью которого можно быстро вызывать форму для обработки и загрузки Ваших изображений на сайт.

  1. Математика.

Радикал в математике — знак извлечения арифметического корня.

  • Впервые обозначение √ ввёл немецкий математик Кристоф Рудольф в 1125 году.

  • Рене Декарт (1596-1650) ввёл черту вместо скобок V(a+b). Затем знак V и черта слились. Соединил эти знаки уже Рене Декарт в 1637 году.

  • Знак радикала использовал и Франсуа Виет (1540-1603). Его считают творцом алгебраических формул и называют «творцом алгебры».

  • предложил метод приближённого вычисления значения корня Герон Александрийский (I век н.э.).

  1. Лингвистика.

Радикал — простой иероглиф китайской письменности, из которых состоят сложные иероглифы.

  1. Китайский ученый знает 20 000 иероглифов. Для того, чтобы читать китайскую литературу, достаточно знать 1000. Знание 200 иероглифов позволят вам понимать 40% литературы, дорожные знаки, меню в ресторане, интернет-сайты или газеты.

  2. Не существует точно определенного или общепринятого количества радикалов.

  3. В различных словарях, количество и набор радикалов может слегка варьироваться (на 10-20 радикалов).

  4. Некоторые радикалы могут быть разбиты на более простые радикалы. Однако они используются в качестве радикалов по традиции или для удобства классификации и поиска в словарях.

  5. Один иероглиф может быть найден в словаре и классифицирован по различным радикалам.

  6. Разбиение на категории используется здесь исключительно для простоты запоминания радикалов и не представляет собой строгую или общепринятую систему.

  1. Химия, биология, медицина.

В 1956 году советский академик Николай Николаевич Семёнов

получает Нобелевскую премию за открытие свободных радикалов,

чем открывает новую страницу в химии, физике и медицине.

Свободными радикалами называют нестабильные молекулы или атомы, оказывающие вредное воздействие на организм человека. Причина нестабильности свободного радикала кроется в наличии неспаренного электрона. Из курса химии известно, что такие вещества обладают высокой химической активностью и называются положительно заряженными ионами. Свободные радикалы, стремясь получить недостающий электрон, вступают в реакцию с ближайшей молекулой и отрывают от неё свободный электрон. А пострадавшая молекула, потеряв электрон, становится свободным радикалом со всеми вытекающими последствиями. Развиваясь, такая реакция способна разрушить клетки и ткани живого организма.

Основные факторы, стимулирующие образование свободных радикалов в человеческом организме: плохая экология, стресс, солнечная радиация, курение, лекарственные препараты, радиационное излучение.

Воздействие на организм человека. С каждым годом обнаруживаются новые заболевания, причиной которых является воздействие свободных радикалов. Уничтожая клетки организма, свободные радикалы нарушают правильное функционирование тканей и органов организма, провоцируют воспалительные процессы и разрушают иммунную систему человека. Свободные радикалы считают одной из главных причин возникновения таких заболеваний как: депрессии, катаракта, артриты, астма, варикозное расширение вен, атеросклероз, болезнь Паркинсона, рак и многие другие.

  1. Названия объектов инфраструктуры.

Название, содержащее в себе столь значений, особенно, когда людям неизвестно ни одно значение, вызывает любопытство. Именно поэтому необыкновенные названия впечатляют и вдохновляют предпринимателей. Так, например, в 1951 году в Киеве был создан огромнейший химический завод «Радикал». На этом химическом гиганте изготавливали поролон, удобрения и каустическую соду на весь СССР и на пол-Европы. В своё время завод был расположен за окраиной, но в итоге оказался в населённом месте. В середине 90-х его признали банкротом, а на его территории оставалось более 120 тонн ртути. Хорошо, что все события на «Радикале» прошли тихо и незаметно для киевлян, хотя по масштабам экологической катастрофы его можно назвать «ртутным Чернобылем». Другой пример: не так давно, в 2009 году, в Киеве создан банк Радикал. Банк предоставляет различные финансовые услуги частным клиентам, малому и среднему бизнесу, а также корпоративным клиентам. По мнению прессы, прогноз ПАО «Радикал Банк» является «позитивным».

III. Практическая часть.

  1. Применение арифметического корня в математике, физике при решении задач.

Задача 1.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к боковой стороне, равна h и образует угол α с другой боковой стороной. Найдите длину основания.

Задача 2.

Основания трапеции равны 16см и 44см, а боковые стороны – 17см и 25см. Определите площадь трапеции.

Задача 3.

Докажите, что значение выражения рациональное число:

Задача 4.

Решите неравенствo:

Задача 5.

Решите систему иррациональных уравнений:

Задача 6.

Постройте график функции:

Y=

Задача 7.

Математический маятник длиной 2,45м совершил 100 полных колебаний за 314c. Определите период колебания маятника и ускорение свободного падения.

Задача 8.

На участке дороги, где установлен дорожный знак, изображённый на рис.1, водитель применил аварийное торможение. Инспектор ГИБДД обнаружил по следу колёс, что тормозной путь равен 12м. Нарушил ли водитель правила движения, если коэффициент трения (резина по сухому асфальту) равен 0,6?

  1. Использование повсеместно. Опрос.

Для того, чтобы узнать, насколько популярны значения радикала в обществе, было решено провести опрос. Цель и задача опроса были узнать у людей и сделать выводы, насколько актуален радикал в наше время.

Гражданам России был задан вопрос: «Что Вам известно о слове радикал?»

Результаты опроса представлены в виде диаграммы.

По данным диаграммы мы можем судить, что из числа опрошенных (250 человек ), самый популярный ответ был — политическая партия или её участник. Конечно, мы чаще всего слушаем новости, изучаем просторы интернета, чем интересуемся науками. Но радикал необходим и в наше время, т.к. без него невозможно представить точных наук.

Заключение.

Таким образом, узнав значение радикала в нашей жизни, можно сделать вывод: радикал – неотъемлемая часть нашей жизни. Даже если мы о нём не знаем, это не значит, что его не существует. Он несёт для нас огромное значение, т.к. затрагивает все сферы нашей жизни. Я считаю, что его актуальность не знает границ, и людям надо знакомиться с ним как можно ближе. Было интересно узнать, насколько людям известно о нашей жизни.

Несмотря на то, что вопрос мы задавали «Что такое радикал», следовал ответ на вопрос «кто такой радикал?»

Эту исследовательскую работу можно применять учителям математики на внеклассных мероприятиях по математике.

Используемая литература:

  • Советская энциклопедический словарь, Москва «Советская энциклопедия» 1987г.

  • С.И.Ожегов. Словарь Русского языка, Москва «Советская энциклопедия» 1964г.

  • Философский энциклопедический словарь, Москва «Советская энциклопедия» 1989г.

  • Математика Учебное пособие, Москва Бридж 1994г.

  • Учебное пособие «Сборник задач по физике», Москва «Дрофа» 2000г.

Ссылки в интернете:

infourok.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.