Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Определение 1Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Пример 2Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени.
Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Пример 3Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Пример 4Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари.
Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Пример 5Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Определение 1Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0.
Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Пример 2Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Пример 3Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Пример 4Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики.
Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Решение уравнений четвертой степени
Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.
Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.
Решение двучленного уравнения четвертой степени
Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.
Определение 1Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:
Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0
Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.
Пример 1Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.
Решение
Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:
4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)
Теперь найдем корни квадратных трехчленов.
Первого:
2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i
Второго:
2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i
Мы получили четыре комплексных корня.
Ответ: x=12±i и x=-12±i.
Решение возвратного уравнения четвертой степени
Определение 2Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0
х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:
Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0
Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:
Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0
Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.
Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.
Решение
Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:
2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0
Проведем группировку:
2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0
Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2
2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0
Решим полученное квадратное уравнение:
D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3
Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.
Решим первое уравнение:
x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144
Решим второе уравнение:
x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12
Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.
Решение биквадратного уравнения
Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0.
Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.
Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.
Решение
Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:
2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3
Следовательно, x2=12 или x2=-3.
Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.
Ответ: x=±12 и x=±i·3.
Пример 4Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.
Решение
Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:
16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9
Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.
Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.
Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями
Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».
Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари
Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.
Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.
Пример 5Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.
Решение
Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.
Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0
Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.
Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0
x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0
x2+2x+3=0 или x2+x-2=0
Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.
Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Решатель уравнения четвертой степени
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
06.2006 
07.2001 
12.2001 
10.2003 
10.2001 
08.2001
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
comМасштабный коэффициент помощника по домашней работе | Рабочие листы простых уравнений по алгебре | задачи на дроби для 5-летних | год 8 рабочих листов по математике скачать бесплатно | «Сложение и вычитание отрицательных чисел» |
Основные задачи по алгебре | средний тест по алгебре | преобразовать целые числа в десятичные | вычислить частичные дроби | журнал 10 ti 89 |
калькулятор коэффициента полинома | математика для чайников | Практика сложения и вычитания целых чисел | объяснение математического масштабного коэффициента | квадратичная формула для калькулятора Ti-84 |
тригонометрическая модель из повседневной жизни | скачать бесплатно решатель комбинации алгебры | Квадратичный 3-й порядок | Формула наименьших кратных | алгебраизатор скачать бесплатно математика |
наибольший общий делитель 32 и 48 | самых сложных математических вопроса | преобразование десятичной дроби в дробь на калькуляторе | Рабочие листы с одношаговыми уравнениями | таблицы переменных и уравнений |
формула для уклона на графическом калькуляторе | холт физика раздел 13-2 концептуальный обзор ответы | как решить ОДУ второго порядка в MATLAB | Калькулятор умножения радикалов | Написать квадратное уравнение с заданными корнями «калькулятор» |
упрощение переменных | решить функцию оды 2-го порядка Matlab | Рабочая тетрадь по биологии glencoe ответы | научи меня тригонометрии | Практическая рабочая тетрадь Glencoe Mathematics Pre-Algebra Answer Sheet |
скачать бесплатно решения для учета затрат | школьные пробные экзамены для 11 класса | выпустил тесты по математике для 6-го класса | решение полиномиальных шаблонов | ввод дробных страниц mac |
LЛинейно-квадратичный онлайн-калькулятор | бесплатный онлайн калькулятор t1 83 | как сдать алгебру 2 | пошаговые решения задач по алгебре | какое свойство квадратного корня |
калькулятор логарифмов онлайн | что такое шкала по математике | Рабочий лист простого вычитания чисел со знаком | «Одновременные уравнения» Решатель excel | программные коды для TI-84 плюс |
переставить калькулятор алгебры | Рабочие листы для деления дроби для детей | факторинговый инструмент онлайн | преобразовать десятичный квадратный корень в дробь | Рабочий лист факторинговых биномов |
решение нелинейного дифференциального уравнения | квадратичная формула для 4-го порядка | бесплатные рабочие листы по алгебре 6 класс | как решить алгебраическое выражение | Как построить график наклона на графическом калькуляторе |
КАК НАЙТИ МАСШТАБНЫЙ ФАКТОР | Решатель радикальных выражений | элементарные правила сложения и вычитания целых чисел | научный онлайн-калькулятор с круговой шкалой | программы по алгебре |
десятичные записи математический лист деньги | записать уравнения в вершинной форме | степень дроби | как перевести десятичную дробь в дробь на калькуляторе ТИ-84? | Упрощение радикалов рабочий лист ключ ответа |
онлайн-факторизация | свободное десятичное число в дробь-дробное число в десятичные рабочие листы | математический исследовательский проект | дроби и десятичные дроби на научном калькуляторепримеры | Рабочий лист по алгебре дистрибутивных законов |
Справочник по алгебре Структура и метод: Книга 1, глава 4 | вычитание 5 цифр | Prentice Hall Mathematics: Algebra 1 скачать | бесплатный онлайн калькулятор дробей для девяток 9 класса0056 | калькулятор упрощенных подкоренных выражений |
учебник по математике подготовительный 2 издание алгебра | ответы на любые проблемы с пошаговыми инструкциями, как это сделать | Калькулятор сложения дробной степени | алгебра два ответа по математике | бумага для проверки способностей для компании-разработчика программного обеспечения |
руководство по решению физических задач pdf | рабочих листа по математике (8 стандартных) | Рабочий лист «Понимание алгебраических выражений» | Полином 3-го порядка | листы сложения и вычитания научных обозначений |
рабочий лист коэффициентов записи | онлайн калькуляторы логарифмов | план урока с отсутствующим фактором 3-й класс | алгебра 1 книга ответов искра | упростить корни и корни |
линейное программирование со словесными задачами по алгебре 2 | ответа на Prentice Hall Концептуальная физика | САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ НАЙТИ LCM | калькулятор, который может вычислять рациональные выражения | как мне канкулировать куб или другой корень на ти-89 |
как преобразовать смешанные числа в десятичные | детские игры для решения алгебры | Бесплатное решение задач по алгебре | задачи/ответы на дроби до алгебры | упростить вычисление линейного уравнения |
простая рабочая тетрадь по алгебре | математические конические мелочи | Решатель дифференциальных уравнений второго порядка | Преобразователь квадратного уравнения | рабочие листы координатной плоскости с картинками |
Преобразование десятичной дроби в калькулятор дробей | Алгебра 2 с тригонометрией Алгебра 2 с тригонометрией Помощь с домашним заданием Prentice Hall | как сделать квадратный корень в кубе | рабочие листы квадратного корня | Элементарное бесплатное ассоциативное свойство умножения PowerPoint |
проблемы с мышлением по алгебре | Рабочие листы по алгебре вероятностей | уравнения в процентах | Алгебра 1 книга ответов | калькулятор, который умеет вычислять квадратный корень и возводить в квадрат |
Самый простой способ деления десятичных дробей | книга теней по математике 6 класс ответ | онлайн калькулятор рациональных выражений | Подстановка в алгебре | упрощенная радикальная форма |
Алгебра Холта 2 рабочие тетради | учебник по химии для учеников, оранжевый | алгебра упрости калькулятор | расширенное объяснение алгебры | КАКОВА ВАЖНОСТЬ АЛГЕБРЫ? |
макдугал литтел биология ответы | вычитание целых чисел ИНТЕРАКТИВНЫЕ УРОКИ | калькулятор алгебры | бесплатные ответы по алгебре гленко | алгебраические уравнения |
Факторинг и решение полиномиальных уравнений онлайн-калькулятор | Элементарная рабочая тетрадь «Математика со вкусом» 5-й | самый простой способ выучить алгебру | примеры задач на диаграмму Венна по алгебре в колледже | как решать дроби деления |
Уравнение второго класса с отрицательным дискриминантом | Генератор трехчленов факторинга | В чем разница между оценкой и упрощением выражения? | матлаб 4 детей | бесплатные рабочие листы kumon |
игра с добавлением вычитания, умножения и деления дробей | бесплатных листа для инженерно-подготовительного курса | программное обеспечение | помогите с алгебраическим сложением | чем отличается 2 квадрата |
практический текст по алгебре | Растворитель свободных радикалов | макдугал литтел ответы алгебра 2 | Перестановка формул GCSE PowerPoint | сложное рациональное выражение |
правила квадратного корня | решатель корней | ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКЗАМЕН ДВА | МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРАКТИКА В 9 КЛАССЕ | решить дерево квадратного корня |
физик101 эму | glencoe бухгалтерский учет глава 10 ответ | заданий, использующих линейные уравнения и неравенства | ti89 преобразовать базу | Рабочие листы по сравнению дробей — 7 класс |
решение системы уравнений методом сложения или вычитания рабочий лист | вопросы о способностях и решения | Прентис Холл Концептуальная физика ответы | Как найти длину квадрата, зная площадь, дети | Калькулятор записи квадратного уравнения с заданными корнями |
оптимизация подгонки уравнения линейной системы | практика работы с частичными суммами | уравнения умножения и деления | математические мелочи для первокурсников | математический масштабный коэффициент |
Рабочие листы по языку для 6-го класса | как поставить программу фактор на ти 83 плюс | полиномиальная оценка ti89 | математические задачи на ум | читы кульминационный мост к предварительной алгебре |
алгебраизатор скачать бесплатно | решение комплексного квадратного уравнения | уравнение процентов | журнал графика ti83 | решатель домашних заданий по математике |
как решать формулы с заданной переменной | что такое третий корень? | решение уравнений с комплексной переменной в Matlab | наименьшие общие кратные переменные | дробные показатели и решение уравнений с рациональными выражениями |
примера математических стихов | смешанное число до десятичной | Триномиальный факторинг с графическим калькулятором с комплексными числами | рабочий лист по сложению и вычитанию дробей | деление многочленов на биномиальные листы для печати |
онлайн калькулятор второй производной | АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ СПИСОК КУБОВ | сочетание корней и корней решить и дать ответы | Калькулятор квадратичных полиномов | ответа на реальную лабораторию mcdougal littell science |
Онлайн-калькулятор деления рациональных выражений | преобразование линейного в логарифмическое java | как рассчитать уравнение полинома в калькуляторе t1-83 plus | pde неоднородный | концептуальная физика третье издание ответы |
Обман рабочих листов справочника по языку четвертого курса | показать задачи по алгебре на Ти-30 | целых игр | рабочие листы с уравнениями простого сложения и вычитания | как вы складываете дробь со знаком |
решение дифференциального уравнения второго порядка | бесплатная загрузка вопросов о способностях | Калькулятор формул клен | решатель корней | Онлайн-книга «Алгебра Прентиса Холла 1» |
Рабочие листы с пиктограммами для третьего класса | преобразовать десятичное число в целое в R | Вопрос о способностях в области ИТ | образец теста по математике для 7-го класса штата Нью-Йорк | Решить мою задачу по алгебре |
самый сложный вопрос по алгебре | неоднородные нелинейные дифференциальные уравнения | множественные радикальные уравнения | порядок операций и бесплатные рабочие листы | ti 84 калькулятор онлайн |
десятичные задачи | рабочих листа уравнений с дробями | Онлайн-книга по предварительной алгебре МакГроу-Хилла | TI-83 Plus руководство для печати | решить переменные функции Matlab |
математика онлайн 8 лет | Рабочие листы для поиска склонов | вопросы по математике ks3 | неоднородный pde первого порядка | САМЫЙ ПРОСТОЙ СПОСОБ УПРОЩЕНИЯ РАДИКАЛОВ |
репетитор по алгебре | дроби техасских инструментов | основание 2 калькулятор десятичных дробей | рабочих листа по смешанной алгебре | экзаменационных вопроса по алгебраическим дробям и факторизации |
МАКДУГАЛ ЛИТТЕЛ ВСЕМИРНАЯ ИСТОРИЯ ПО ГЛАВЕ 10 ВИКТОРИНА | листы с дробями | как сделать масштабный факторинг | WWW. | квадратный корень как показатель степени |
БЕСПЛАТНЫЕ РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ ПЕЧАТИ | умножение и деление десятичных дробей для 6 класса | наибольший общий делитель 63 и 147 | Экзаменационные работы по математике онлайн | десятичных знака по основанию 8 |
листа для изучения математики для 7-летнего ребенка | БЕСПЛАТНЫЕ рабочие листы по алгебре для 4-го класса | Калькуляторы одновременных уравнений | квадратичные уравнения факторов | тест по математике, который можно пройти онлайн бесплатно за 8 лет |
1-шаговые уравнения с использованием листов алгебры | как решить математическую задачу периметр и многочлены | как решать функции третьей степени | решение системы второго порядка Matlab | «подобные термины» «правильный порядок» |
рабочие листы по наименьшим общим кратным 7 класс | завершение квадрата многочлена двух переменных | калькулятор радикалов | бесплатных рабочих листа на сложение и вычитание целых чисел | решать уравнения с помощью калькулятора исключения |
периметр найти отсутствующую сторону рабочий лист | решить уравнения два радикала умножить на сопряженное | сайтов для понимания алгебры | скачать бесплатное программное обеспечение для решения алгебры | Лист умножения и деления целых чисел |
как победить зеленые шарики | алгебра для теста колледжа | Программа графического калькулятора наклона ti-83 | Решатель уравнений предметной области | Мастер математики 6-й |
бесплатные электронные книги по бухгалтерскому учету скачать | примеры формул алгебры | дроби и распределительное имущество | Рабочий лист свободной вероятности | Вопросы по алгебре для детей 8 класса |
онлайн тест полиномов по математике для 9 класса | образец сложных уравнений баланса колледжа | бесплатные онлайн-решатели домашних заданий по предварительному исчислению | Апплет для решения уравнений третьего класса | рабочий лист с ответом на книгу Макгроу-Хилла «Всемирная история» |
Лист ответов на тест по главе 2 по алгебре 2 | калькулятор эквалайзера дифференциала | T1 83 Графический онлайн-калькулятор | алгебра с рабочими листами | метод подстановки в алгебре |
Рабочий лист комбинированной экспоненты | перехода по алгебре 10 класс | Калькулятор наименьшего общего множителя | glencoe mac 2 уравнения | Проблема масштабного коэффициента |
КЛАСС 1 СКАЧАТЬ РАБОЧИЙ ТАБЛИЦ | заполните квадрат, чтобы получить вершину, затем нарисуйте неравенство | Рабочий лист смешанных форм решения квадратичных уравнений | предварительные алгебраические тесты | как разложить квадратные уравнения на множители |
Glencoe McGraw-Hill Графические системы уравнения | программа калькулятор систем уравнений | рабочие листы по алгебре | стихи координатной плоскости | умножение/деление с рабочим листом экспоненциального представления |
+»линейное уравнение» +»скорость изменения» | кубический корень на ti-83 | ks2 разделительные листы бесплатно онлайн | дополнительных рабочих листа по саксонской алгебре 1 | Алгебра 10 класс |
полезный графический онлайн-калькулятор | вычисление выражений квадратного корня | Флорида учебники по математике для шестого класса | БЕСПЛАТНЫЙ И ПРОСТОЙ СПОСОБ УЧИТЬ Дроби | сравнение калькулятора порядковых долей |
шкала по математике | бесплатные рабочие листы по физике и химическим реакциям для 9-го класса | решение уравнений с переменными на каждой стороне рабочих листов | Рабочий лист для печати простейшей радикальной формы | преобразовать проценты в рабочие листы дробей |
Игра сложения и вычитания целых чисел | распечатываемые математические графики | изобретатель математического наклона | год8 | компьютеризированные системы бухгалтерского учета в прошлом papars скачать бесплатно |
решатель алгебраических дробей | сколько раз добавить вычесть разделить | ответить на вопросы по алгебре | Учебник Matlab по дифференциальным уравнениям второго порядка | онлайн калькулятор для нахождения пределов |
ФОЛЬГИРОВАНИЕ с экспонентами | корни алгебры II | шпаргалка по тригонометрии, алгебре и статистике | вопросы по факторингу онлайн | Расчет приложений ti-89 стал проще |
математические мелочи третий год | образцы листов задач на дроби | факторинг калькулятор трехчленов бесплатно | Математический тест lcm и gcf для 5-го класса | решение для упорядоченных троек |
вопросы по алгебре для начинающих | Калькулятор обратного преобразования Лапласа | Как преобразовать смешанное число в десятичное | бесплатные рабочие листы по математике, учитывающие специальные продукты | Рабочие листы истории DC |
Гленко отвечает | Рабочие листы для задач по наклону | glencoe алгебра 2 ответы на 5-7 | уравнение вкладыша | графическое отображение неравенств с 2 переменными на рабочем листе |
равенство и неравенство в сложении и вычитании ppt. | умножить сердце | Калькулятор уравнения квадратного корня | алгебраическая формула геометрические узоры | алгебра для чайников онлайн |
Учебное пособие по вычислению интеграла путем подстановки | преобразование десятичной шкалы в дроби | Бесплатный калькулятор отношения алгебры | математические формулы проценты | бесплатные калькуляторы алгебры |
мне нужно разделить рациональные выражения, включающие многочлены | решение радикалов, включая переменные | лист математического перевода | базовая математика | рабочий лист биологии Холта отвечает на мейоз |
бесплатная распечатка по математике для первого класса | биномиальный коэффициент на ti 84 | найти калькулятор уклона онлайн | метод характеристик + уравнения в частных производных первого порядка | лист добавления отрицательных десятичных знаков |
графический калькулятор логарифмов | шагов алгебры | как изменить символы неравенства в графическом калькуляторе ТИ-84 | Калькулятор умножения радикалов | онлайн-учебник по алгебре с добавлением радикала |
Java-код для делимости числа | Порядок выполнения операций 5-го класса для печати Без показателей | форма перехвата и решение проблемы формы вершины бесплатно | Линейные уравнения Холта ppt | Предалгебра Ларсона текст онлайн\ |
Умножение и деление рациональных выражений стоимость обучения | математический факторинг «алмазные задачи» | как правильно представить десятичную дробь? | www. | алгебра холла ученика 1 вопросы |
рабочие листы по алгебраическим функциям | алгебраическая формула | отрицательный кубический корень с | тригономические тождества | как решить вершинную форму квадратного уравнения |
как найти базу логов с ti 89 | преобразовать десятичные дроби в рабочие листы | Экзаменационные работы IB Бесплатно онлайн | примера задачи алгебры предметной области и диапазона | бесплатное обучение для экзаменов 10 класса |
как решить для LCM | преобразование десятичных дробей в калькулятор смешанных чисел | план занятий для экспонентов | как умножать выражения, содержащие многочлены | Программа полиномиального факторинга для ti 84 plus |
ti-84 плюс хранение формул | логарифмическое выражение расчет | сколько 3/12 преобразуется в десятичную дробь? | Matlab решает дифференциальное уравнение второго порядка | онлайн калькулятор ТИ-84 |
Алгебра Холта 1 книга ответы | Рабочий лист точек построения | Макдугал Литтел Алгебра 1 рабочая тетрадь | ти-89 решить | вида игр по математике |
степени умножения и деления | как найти наименьший общий знаменатель | рабочих листа с отрицательными и положительными числами | Тест главы «IMPACT Mathematics» | бесплатно онлайн алгебра для 10 класса |
Рабочий лист с несколькими вариантами целых чисел | Математика для 5 класса+ЖК | как решить энный член | что такое logbase(функция для на TI-89 | теста умственных способностей и ответ |
математическое уравнение серебро | mcdougal littell учебник онлайн | математические задачи масштабной модели | Программное обеспечение для T. | Альгерба 2 учебник |
перестановки и комбинации практических вопросов gre | как учить уклон в алгебре | анализ задачи на вычитание чисел | решение матриц с помощью matlab.pdf | как изобразить угол рефлекса на круговой диаграмме |
Наименьшее общее кратное с показателями | ТАБЛИЦЫ ПО АЛГЕБРЕ НАЙТИ ПРАВИЛО | Алгебра 1 рабочие листы и ответы | Mathcad, нелинейные уравнения, химическая технология | калькулятор для уравнений факторинга |
написать программу для дроби в java | алгебра b помощь бесплатно | рабочий лист от наименьшего до наибольшего десятичного числа | Калькулятор наименьшего общего знаменателя | калькулятор линейного программирования онлайн |
рабочий лист suare root | канадских экзамена по математике для младших школьников | инструмент наименьшего общего знаменателя | Решатель нелинейных уравнений | комбинации математический решатель |
Умножающий трехчленный решатель | Калькулятор ТИ-84 скачать | математический решатель, упрощающий многочлены | , где механика жидкости выходит за рамки бумажного решения. | Математические мелочи Викторины по геометрии |
бесплатных рабочих листа по математике масштабные модели | редакция год 9 листов с возможностью печати бесплатно | Касио FX-92 по модулю | бесплатных урока математики 8 год | рабочие листы glencoe pdf |
Исследуйте различные веб-сайты, чтобы найти учебные пособия или объяснения построения графиков линейных уравнений. | Бесплатная математическая работа | решение преобразований Лапласа на TI-92 | Алгебра 9 класс 1 ответ | математика PowerPoint |
бесплатные онлайн-инструкции для начинающих по алгебре | целочисленный рабочий лист | ti эмулятор графического калькулятора | aptitude вопросов и ответов с решениями | упрощение деления квадратного корня |
ti 89 найти x=n | как переписать деление как умножение | график системы уравнений | Флорида Прентис Холл Математика Алгебра 2 ежедневные рабочие тетради по навыкам и практике | бесплатных рабочих листа для 7 класса по неравенствам |
| Рабочий лист с объединением одинаковых терминов | калькулятор алгебры | рабочие листы с простыми и сложными процентами | решение уравнений третьего порядка | ответы к рабочей тетради по математике Glencoe по алгебре 1 |
решить алегбра | Математика коэффициента масштабирования | решить нелинейное дифференциальное уравнение | 11+ бесплатных экзаменационных работ | бесплатная математика для чайников |
phoenix бесплатный калькулятор скачать | glencoe mcgraw-hill алгебра 1 6-3 практика навыков | упростить практические задачи на квадратный корень | квадратный корень из линейного уравнения | выражения умножения |
возведение квадратных корней в скобках | бесплатных учебника по диаграммам Венна | онлайн калькулятор фольги | ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ОТНОШЕНИЙ | алгебра Холта один |
Выпущены тесты по алгебре 7 класса | ТИ ПЗУ | учебное пособие по добавлению дробей | Физика: принципы и задачи Ответы на вопросы Maker (PC/Mac) | рабочих листа по наклону и пересечению Y |
онлайн-калькулятор кратных дробей | Новая Зеландия Глобальная алгебра, 8-й год, тест-2008 | онлайн-калькулятор упрощенных дробей | :\Разложение — MSN Encarta. | как делить с обоими радикалами |
Практический лист по многоступенчатым уравнениям | Алгебраические выражения 4 класс | добавление калькулятора отрицательных десятичных знаков | Напишите программу Matlab для создания таблицы логарифмов по основанию 10 | алгебра гленко ответы |
круговая диаграмма отвечает на aptitude | показатель степени бесплатные рабочие листы 7 класс | mcdougal littell рабочая тетрадь по алгебре ответы | математика с наименьшим общим делителем | задачи по фундаментальной математике и ответы на них |
смешанные числа в виде десятичных дробей | шаг к химическому уравнению | символьный метод | прентис холл алгебра 2 учителя дополнение | узнайте, как делать алгебру бесплатно |
«Веб-сайты для решения уравнений» | Преобразование дроби или смешанного числа в десятичное число | решение квадратных многочленов | онлайн-калькулятор дробных чисел предварительная алгебра | awnsers ко всей математике 7 класса(онлайн калькулятор) |
задачи по алгебре и ответы | программная перестановка и комбинация | Калькулятор уравнения коэффициента | преобразование квадратичной формулы в вершинную | ответы на домашнее задание по математике |
бесплатный формуляр по физике 7 класс | Математика для учеников 7 класса | математические решения бесплатно | примера математических мелочей | Учебники по алгебре для 3 класса |
Вопросы о способностях C | Калькулятор уравнений с подстановкой | разложение трехчленов на множители с 3 переменными | вавилонский квадрат vba | обучающая программа по алгебре |
Решатель трех одновременных уравнений | уравнение факторизации онлайн калькулятор | ti 84 читы на физику | Алгебра Холта 1 Техас ответы | бесплатные простые вопросы по алгебре для печати |
тренировочные листы по сложению и вычитанию целых чисел | программа для алгебры | как вычислить наименьший общий знаменатель | как решать уравнения третьего порядка | «Решение домашней работы по абстрактной алгебре» |
термина против множителей в алгебре | калькулятор для факторинга | Делительный калькулятор | преобразователь смешанных чисел | рабочие листы по математике для механики |
Руководство по ресурсам для инструктора в формате pdf (приложения по дискретной математике) | LCM . |
ТЕХАС ТУТЕР MATH.COM
freework Sheets .com
I. калькулятор
htm