|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
gr1 (Ответ: x = –2.149. по учебнику )
Выполните График — Метки…Графическое решение квадратных уравнений — презентация
Слайд №1
Графическоерешение
квадратных
уравнений
Алгебра 8 класс
Слайд №2
Немного историиЕще в древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский,
Аль- Хорезми
.
Евклид Омар Хайям
Решали уравнения
геометрическими и
графическими способами
Слайд №3
Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:Для графического решения квадратного уравнения представьте его в одном из видов:
ax2 + bx +c = 0
ax2 = -bx – c
ax2 + c = — bx
a(x + b/2a)2 = ( 4ac — b2 )/4a
Квадратное уравнение имеет вид ax2 + bx + c = 0
Слайд №4
Алгоритм графического решения квадратных уравненийВвести функцию f(x), равную левой части и g(x) , равную правой части
Построить графики функций y=f(x) и y=g(x) на одной координатной плоскости
Найти абсциссы точек пересечения, сформировать ответ
Слайд №5
Способы графического решения квадратного уравненияах² + bх + с = 0
Способ поcтрое-
ния параболы y=ах² +bx+c
Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx+c и параболы у = ах²
Способ поcтрое-
ния прямой
у= bx и параболы у = ах²+с
Способ выделе-ния полного квадрата
I
II
III
(a)
(b)
Способ поcтрое-
ния прямой
у= с и параболы у = ах²+ bx
(в)
Слайд №6
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.
Слайд №7
Графическое решение квадратного уравненияИллюстрация на одном примере
Слайд №8
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 1
Построить график функции y=ax2+bx+c
Найти точки пересечения графика с осью абсцисс
Слайд №9
Решить уравнение1 способ
Построим график функции у =
График-парабола, а=1>0,ветви вверх.
Вершина ( )
=-
Х ο = 1
(1; -4)-вершина
3. Ось параболы
4. Дополнительные точки:
х
у
1
-4
0
-1
2
3
0
-3
-3
0Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения графика с осью х, т.
е. где у=0.
Значит, корни уравнения -1 и 3. Проверка устно. Ответ: -1; 3.
-1
1
-1
3
х
3
о
у
Слайд №10
Алгоритм построения параболынайти координаты вершины; провести ось параболы;
отметить на оси абсцисс две точки, симметричные относительно оси параболы; найти значения функции в этих точках;
провести параболу через полученные точки.
Слайд №11
Примеры графического решения квадратных уравненийПусть f(x)= x2 – 2x -3 и g(x) =0
а = 1>0, ветви вверх
Координаты вершины x۪۪ ο =-b/2a; x۪۪ ο =1 .
y ο = 1² — 2 – 3 = -4; y ο = -4; ( 1; -4)
Найти точки абсциссы которых симметричны относительно х=1
Построить по таблице график y=x2 -2x -3
x
0
2
-1
3
y
-3
-3
0
0
3
-1
Решение уравнения x2-2x –3=0
Корни уравнения равны абсциссам точек пересечения параболы с осью ОХ
у=x2 – 2x -3
Слайд №12
Графический способ решения квадратных уравненийПарабола и
прямая
касаются
Парабола и прямая
пересекаются
Квадратное уравнение имеет два равных корня
Квадратное уравнение не имеет корней
Квадратное уравнение имеет два различных корня
Парабола и прямая не
пересекаются и не касаются
Слайд №13
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(а)
Построить графики функции y=ax2 и у = bx+ с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.
Слайд №14
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 = 2x +3Пусть f(x)=x2 и g(x)=2x +3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 иy= 2x + 3
3
-1
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
Слайд №15
2 способПреобразуем уравнение
к виду
Построим в одной системе координат графики функций
-это парабола
-это прямая
х
у
0
1
3
5
3
-1
3
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
Корнями уравнения являются
абсциссы точек пересечения: -1 и 3
Слайд №16
4 x2 – 4x + 1 =0
Представим в виде 4×2 = 4x -11). Построим графики функций:
у = 4 x2 , у = 4x — 1
2). Строим параболу у = 4 x2
а = 4, ветви вверх
хο = — ; хο= 0; ; уο= 0.
По шаблону строим параболу
3).
Строим прямую у = 4x — 1
x
0
1
y
-1
3
-1
0
1
3
1
0,5
Корнем уравнения является
абсцисса точки пересечения: 0,5
-1
-1
у
х
Слайд №17
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2 (b)
Преобразовать уравнение к виду
ax2+с = bx
Построить:
параболу y = ax2+с и прямую y = bx
Найти абсциссы точек пересечения
графиков функции.
Слайд №18
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 –3 = 2xПусть f(x)=x2 –3 и g(x)=2x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 –3 и y =2x
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=x2 –3
y =2x
Слайд №19
x2 – 4x + 5 =0
Представим в виде x2 +5 = 4xПусть f(x)=x2 +5 и g(x)=4x
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y=x2 +5 и y =4x
Точек пересечения параболы с прямой нет
Ответ: корней нет
y=x2 +5
y =4x
y
x
о
Слайд №20
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 2(в)
Построить графики функции
y=ax2 + bx и у = с
Найти абсциссы точек пересечения графиков.
Слайд №21
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде x2 – 2x = 3Пусть f(x)= х² — 2х и g(x)=3
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= х² — 2х и y=3
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=3
y= х² — 2х
y
х
о
2
-1
3
Слайд №22
Алгоритм решения квадратного уравнения графическим способомСпособ 3
(выделение полного квадрата)
Преобразовать уравнение к виду
a(x+l)2 = m
Построить:
параболу y = a(x+l)2 и прямую y = m
Найти абсциссы точек пересечения графиков функций.
Слайд №23
Выделение квадрата двучлена.x2 – 2x + 1 = 3 + 1
( x –1)2=4.
x2 – 2x = 3
( x –1)2 — 4 = 0
( x –1)2 — 2² = 0
( x –1 – 2) ( x –1 + 2 ) = 0
( x –3 ) ( x + 1 ) = 0
x –3 = 0
x + 1 = 0
x = 3
x = — 1
Слайд №24
x2 – 2x – 3 =0
Представим в виде (x –1)2=4Пусть f(x)= (x – 1)2 и g(x)=4
Построим на одной координатной плоскости графики функций
y= (x –1)2 и y=4
-1
3
Корни уравнения абсциссы точек пересечения параболы с прямой
y=4
y= (x –1)2
Слайд №25
Решите графически уравнениеГруппа А
Бычев Андрей
Ерофеева Ксения
Каминская Света
Лобов Егор
Лукьяненко Вероника
Осипов Павел
Циорба Влад
Группа С
Григорьева Катя
Соловьев Илья
Группа В
Баличев Илья
Помигуев Павел
Фролов Саша
х² + 2х – 8= 0
4х² — 8х + 3= 0
3х² + 2х – 1= 0
Слайд №26
Сколько нам открытий чудных готовит просвещения дух?
Слайд №27
Решить графически уравнение
Слайд №28
Как решить уравнение?Построить график квадратичной функции и абсциссы точек пересечения параболы с осью x будут являться корнями уравнения.
Выполнить преобразование уравнения, рассмотреть функции, построить графики этих функций, установить точки пересечения графиков функций, абсциссы которых и будут являться корнями уравнения.
Слайд №29
Решить графически уравнение
Слайд №30
Построить график функции
Слайд №31
Построить график функции
Слайд №32
Корни уравнения: абсциссы точек пересечения графиков функций
Слайд №33
Построить график функцииКорни уравнения:
точки пересечения
параболы с осью ОХ
Слайд №34
Решить графически уравнениеКорни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
Слайд №35
Решить графически уравнениеКорни уравнения:
точки пересечения
параболы и прямой
Слайд №36
ИтогПознакомились:
с графическим методом решения квадратных уравнений;
с различными способами графического решения квадратных уравнений.
закрепили знания по построению графиков различных функций.
Слайд №37
Заключительное слово учителя:«Чем больше и глубже вам удастся усвоить азы математики и научиться пользоваться ее методами, тем дальше и быстрее вы сумеете продвинуться в использовании математических средств в той области деятельности, которой займетесь после школы»
Слайд №38
Желаю удачи !
- Автор: Маргарита
- Распечатать
Оцените статью:
(0 голосов, среднее: 0 из 5)
Поделитесь с друзьями!
Объяснение урока: графическое решение систем уравнений
В этом объяснении мы научимся решать систему из двух линейных уравнений или одного линейного и одного квадратного уравнения, рассматривая
их графики и определение точки пересечения.
Когда мы изображаем любую функцию, скажем, 𝑦=𝑓(𝑥), 𝑥-координата любой точки на графике сообщает нам входное значение функции, а 𝑦-координата сообщает нам соответствующий результат. Другими словами, каждая точка на графике имеет вид (𝑥,𝑓(𝑥)). Точно так же, если мы нарисуем график уравнения, то координаты любой точки на графике удовлетворяют уравнению.
Мы можем использовать эту идею для решения систем уравнений, используя их графики. Если мы нарисуем графики двух уравнений на одной и той же паре осей координат, то любая точка, лежащая на обоих графиках уравнений, будет удовлетворять обоим уравнениям; это будет решением система.
Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений: 𝑦=3𝑥+2,𝑦=−4𝑥+16.
Мы можем решить эту систему, начертив обе линии на одной и той же паре координатных осей и найдя координаты точки
пересечение. У нас есть несколько способов нарисовать прямую линию; например, один из способов — найти координаты двух
точки на нем и соедините их вместе, продолжая линию вперед с обеих сторон.
Подставляем 𝑥=0 и
𝑥=1 в каждое уравнение, чтобы найти две точки на каждой прямой:
𝑦=3(0)+2=2,𝑦=3(1)+2=5,𝑦=−4(0)+16=16,𝑦=−4(1)+16=12.
Таким образом, первая линия соединяет точки (0,2) и (1,5), а вторая линия соединяет точки (0,16) и (1,12). Мы можем нарисовать эти линии как следует.
Видим, что есть единственная точка пересечения линий с координатами (2,8). С он лежит на графиках обоих уравнений, 𝑥=2 и 𝑦=8 должны быть решениями обоих уравнений. Следовательно, это решение системы уравнений.
Стоит отметить, что каждое решение системы уравнений является точкой пересечения на графиках. Это означает, что, поскольку есть только одна точка пересечения, есть только одно решение системы.
В нашем первом примере мы идентифицируем решение системы уравнений, используя их графики.
Пример 1. Определение решений системы уравнений по их графикам
Используйте показанный график для решения заданных одновременных уравнений
𝑦=4𝑥−2,𝑦=−𝑥+3.
Ответ
Когда мы изображаем функцию, 𝑥- и 𝑦-координаты любой точки на графике уравнения сообщите нам значения 𝑥 и 𝑦, которые решают это уравнение. Поэтому любая точка, лежащая на обоих графики уравнений будут удовлетворять обоим уравнениям; это будет решением системы. Мы видим, что есть только одна точка пересечения, и мы можем прочитать координаты из графика.
Мы видим, что точка пересечения (1,2). Таким образом, 𝑥=1 и 𝑦=2 является решением обоих уравнений (поскольку точка лежит на обеих прямых).
Следовательно, 𝑥=1 и 𝑦=2 является решением системы уравнений.
В нашем следующем примере мы найдем решение системы линейных уравнений, нарисовав графики обоих уравнений и найдя точка пересечения.
Пример 2: построение линейной системы уравнений и ее решение
Построив графики 𝑦=𝑥−1 и 𝑦=5𝑥+7, найдите точку, которая оба уравнения одновременно.
Ответ
Если конкретная пара значений 𝑥 и 𝑦 удовлетворяет обоим уравнениям, то мы можем отметить, что
точка с этими координатами должна лежать на пересечении обоих графиков.
Это потому, что мы строим графики, строя
значения 𝑥 и 𝑦, которые удовлетворяют уравнению, поэтому точка пересечения удовлетворяет
оба уравнения.
Существует множество способов построения графиков прямых линий. Например, мы могли бы использовать тот факт, что обе строки даны в форме наклона-перехвата 𝑦=𝑚𝑥+𝑐. Итак, наклон каждой линии равен 𝑚, а 𝑦-перехват равен 𝑐.
Кроме того, мы можем начертить любую прямую линию, найдя координаты двух точек на линии, а затем соединив эти точки прямой линией. Заметим, что 𝑦-перехват 𝑦=𝑥−1 равен (0,−1), и мы можем подставить 𝑥=1 в уравнение, чтобы получить 𝑦=1−1=0.
Таким образом, график 𝑦=𝑥−1 проходит через (0,−1) и (1,0), поэтому мы можем соединить эти точки прямой линией, чтобы нарисовать ее график.
Проделываем тот же процесс для 𝑦=5𝑥+7. Заметим, что его 𝑦-перехват находится в точке
(0,7), и мы подставляем 𝑥=1 в уравнение, чтобы получить
𝑦=5(1)+7=12.
Таким образом, график 𝑦=5𝑥+7 проходит через (0,7) и (1,12), и мы можем соединить эти точки прямой линией, чтобы нарисовать ее график.
В нашем эскизе мы видим, что точка пересечения линий имеет координаты (−2,−3). Поскольку это только набросок, рекомендуется проверить, что эти значения удовлетворяют обоим уравнениям. Мы можем сделать это, заменив 𝑥=−2 и 𝑦=−3 в оба уравнения.
Для первого уравнения имеем 𝑦=𝑥−1−3=−2−1=−3, а для второго уравнения имеем 𝑦=5𝑥+7−3=5(−2)+7=−3.
Таким образом, 𝑥=−2 и 𝑦=−3 удовлетворяют обоим уравнениям. Следовательно, (−2,−3) является точкой пересечения линий.
Мы можем применять этот процесс до тех пор, пока мы можем построить уравнения. В нашем следующем примере мы определим решения для линейно-квадратичную систему уравнений с использованием их заданных графиков.
Пример 3. Определение решений системы уравнений по их графикам
Используйте показанный график для решения одновременных уравнений
𝑦=−2𝑥+1,𝑦=−𝑥−2𝑥+1.
Ответ
Нам дали графики обоих уравнений и попросили использовать эти графики для решения одновременных уравнений. Мы можем сделать это вспомнив, что решение системы одновременных уравнений задается координатами точки пересечения между графиками уравнений.
На данном графике мы видим, что есть единственная точка пересечения в (0,1).
Поскольку каждое решение системы уравнений задается точками пересечения, мы можем заключить, что это единственное решение. Мы можем проверить это решение, подставив 𝑥=0 и 𝑦=1 в оба уравнения, чтобы проверить, что они удовлетворяют каждому уравнению.
Следовательно, единственным решением системы является 𝑥=0 и 𝑦=1.
В предыдущем примере мы видели, что данная линейно-квадратичная система уравнений имеет только одно решение. Мы можем доказать это вспомнив, что знак дискриминанта квадратичной функции говорит нам о количестве корней квадратичной функции.
Мы можем решить систему уравнений алгебраически, приравняв два выражения для 𝑦:
−2𝑥+1=−𝑥−2𝑥+1.
Затем мы можем переставить и собрать подобные члены: −2𝑥+1+𝑥+2𝑥−1=−𝑥−2𝑥+1+𝑥+2𝑥−1𝑥+(−2+2)𝑥+(1−1)=0,
После этого мы можем определить количество решений квадратного уравнения вида 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 учитывая знак дискриминанта 𝑏−4𝑎𝑐. Имеем 𝑎=1, 𝑏=0, и 𝑐=0, поэтому 𝑏−4𝑎𝑐=(0)−4(1)(0)=0.
Поскольку дискриминант равен 0, мы можем заключить, что существует только 1 корень квадратного. Следовательно, существует только один решение системы уравнений.
В общем случае, если мы имеем линейно-квадратичную систему уравнений вида 𝑦=𝑝𝑥+𝑞,𝑦=𝑎𝑥+𝑠𝑥+𝑡, тогда мы можем установить выражения для 𝑦 равными друг другу, чтобы получить 𝑝𝑥+𝑞=𝑎𝑥+𝑠𝑥+𝑡.
Затем мы можем переставить, чтобы получить 𝑎𝑥+(𝑠−𝑝)𝑥+(𝑡−𝑞)=0.
Если мы перенумеруем коэффициенты, то увидим, что имеем 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0.
Предполагая, что 𝑎 не равно нулю, мы можем затем проверить знак дискриминанта, чтобы определить количество корней этого уравнения и, следовательно, количество решений системы уравнений:
- Если 𝑏−4𝑎𝑐>0, то система имеет 2 решения.
- Если 𝑏−4𝑎𝑐=0, то система имеет 1 решение.
- Если 𝑏−4𝑎𝑐0, то система не имеет действительных решений.
Мы можем увидеть каждый из этих случаев, рассмотрев, как мы можем набрасывать квадратные числа и прямые на плоскости.
Есть две точки пересечения, 𝑏−4𝑎𝑐>0; Итак, есть два реальных решения.
Имеется одна точка пересечения, 𝑏−4𝑎𝑐=0; Итак, есть одно реальное решение.
Нет точек пересечения, 𝑏−4𝑎𝑐0; так что реальных решений нет.
Это дает нам следующее свойство систем уравнений.
Свойство: число решений линейно-квадратичной системы
- Если мы можем преобразовать линейно-квадратичную систему уравнений в форму 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0,
где 𝑎≠0, то
- если 𝑏−4𝑎𝑐>0, то система имеет 2 решения;
- если 𝑏−4𝑎𝑐=0, то система имеет 1 решение;
- если 𝑏−4𝑎𝑐0, то система не имеет действительных решений.
В нашем следующем примере мы будем идентифицировать решения линейно-квадратичной системы уравнений, используя их заданные графики.
Пример 4. Определение решений системы уравнений по их графикам
Используйте показанный график, чтобы найти решения одновременных уравнений 𝑦=3𝑥−1,𝑦=3𝑥+2𝑥+1.
Ответ
Нам дали графики обоих уравнений и попросили использовать эти графики для решения одновременных уравнений. Мы можем сделать это вспомнив, что решения системы одновременных уравнений задаются координатами точки пересечения между графиками уравнений.
Из приведенной схемы видно, что графики двух уравнений не пересекаются. Мы можем сделать вывод, что поскольку существует нет точек пересечения, системы уравнений не имеют решений.
Стоит отметить, что мы можем показать, почему это так, рассмотрев алгебраический метод решения системы. Мы устанавливаем выражения для 𝑦 должны быть равны друг другу, чтобы получить 3𝑥−1=3𝑥+2𝑥+1.
Вычтем 3𝑥−1 из обеих частей уравнения, чтобы получить 0=3𝑥−𝑥+2.
Затем мы можем определить количество решений системы, найдя знак дискриминанта
𝑏−4𝑎𝑐 этого квадратичного уравнения.
У нас есть
(−1)−4(3)(2)=−23,
Так как дискриминант отрицателен, мы можем заключить, что квадратичная система не имеет действительных решений.
В нашем следующем примере мы найдем решения линейно-квадратичной системы уравнений, нарисовав график каждое уравнение и нахождение координат точек пересечения.
Пример 5. Нахождение множества точек пересечения двух графов
Нахождение множества точек пересечения графов 𝑥+𝑦=8 и 𝑥+𝑦=50.
Ответ
Сначала напомним, что точки пересечения двух графиков будут даны решением системы обоих уравнений: 𝑥+𝑦=8,𝑥+𝑦=50.
Эту систему можно решить двумя способами. Во-первых, можно вспомнить, что точки пересечения их графиков дадут решения к системе. Мы можем изобразить оба уравнения, используя графическое программное обеспечение.
На самом деле мы можем заметить, что уравнение 𝑥+𝑦=50 дает окружность радиуса √50 с центром
по происхождению; видим, что есть две точки пересечения: (1,7) и
(7,1).
Мы также можем решить систему алгебраически, чтобы найти точки пересечения. Сначала найдем выражение для 𝑦 вычитанием 𝑥 из обеих частей первого уравнения. Это дает нам 𝑦=8−𝑥.
Теперь подставим это во второе уравнение, чтобы получить 𝑥+(8−𝑥)=50.
Раскрывая скобки и упрощая выходы, получаем 𝑥+64−16𝑥+𝑥=502𝑥−16𝑥+14=0.
Мы можем заметить, что все три члена имеют общий коэффициент 2, поэтому мы можем разделить уравнение на 2, чтобы получить 𝑥−8𝑥+7=0,
Теперь мы можем решить это уравнение, разложив его на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно 7, а сумма -8. Мы можем обратите внимание, что эти числа равны -1 и -7, поэтому мы можем разложить квадратное число как (𝑥−1)(𝑥−7)=0.
Таким образом, решения 𝑥=1 и 𝑥=7. Это 𝑥-координаты двух точки пересечения графиков.
Мы можем подставить эти значения в уравнение для 𝑦, чтобы определить 𝑦-координаты этих
два пункта:
𝑦=8−1=7,𝑦=8−7=1.
Отсюда мы нашли, что (7,1) и (1,7) — координаты точек пересечения.
Мы можем убедиться в этом, подставив координаты любой точки в уравнения обоих графиков. Например, давайте проверьте, что (7,1) является решением, подставив 𝑥=7 и 𝑦=1 в оба уравнения. Для первого уравнения имеем 𝑥+𝑦=87+1=8.
Для второго уравнения имеем 𝑥+𝑦=507+1=5049+1=50.
Поскольку выполняются оба уравнения, мы можем заключить, что (7,1) является точкой пересечения.
Следовательно, множество точек пересечения графиков равно {(7,1),(1,7)}.
В нашем следующем примере мы решим линейно-квадратичную систему уравнений, построив оба уравнения в виде графика.
Пример 6: графическое решение системы линейно-квадратичных уравнений
- Что из следующего показывает график 𝑦=−𝑥+7 и 𝑦=𝑥+3𝑥+2?
- Найдите решения системы уравнений 𝑦=−𝑥+7 и 𝑦=𝑥+3𝑥+2.
Ответ
Часть 1
Чтобы начертить линию 𝑦=−𝑥+7, мы можем найти координаты двух точек на линии и соединить их
прямая линия.
Подстановкой можно найти две точки на прямой.
Когда 𝑥=0, мы имеем 𝑦=−0+7=7.
Когда 𝑥=3, мы имеем 𝑦=−3+7=4.
Таким образом, прямая 𝑦=−𝑥+7 проходит через (0,7) и (3,4).
Чтобы нарисовать квадратное выражение 𝑦=𝑥+3𝑥+2, мы можем начать с факторизации правой части уравнения. Мы хотим найти два числа, которые при сложении дают 3 и при умножении дают 2, и мы находим, что это 1 и 2. Таким образом, 𝑥+3𝑥+2=(𝑥+1)(𝑥+2).
Следовательно, 𝑥-пересечения этого квадратного числа равны −1 и −2. Это квадратичным с положительным старшим коэффициентом, поэтому форма графика будет параболой, обращенной вверх. Мы можем найти 𝑦-перехват, подставив 𝑥=0 в уравнение. У нас есть 𝑦=0+3(0)+2=2.
Итак, нам нужно нарисовать параболу, выходящую вверх с 𝑥-пересечениями в точках −1 и −2 и 𝑦-перехват на 2.
Мы видим, что это соответствует ответу C.
Часть 2
Если конкретная пара значений 𝑥 и 𝑦 удовлетворяет обоим уравнениям, то можно заметить, что
точка с этими координатами должна лежать на пересечении обоих графиков.
Следовательно, мы можем решить уравнения
нахождение координат точек пересечения. Мы видим, что это точки (−5,12)
и (1,6).
Следовательно, решениями системы уравнений являются 𝑥=−5, 𝑦=12 и 𝑥=1, 𝑦=6.
В нашем последнем примере мы решаем реальную задачу, набрасывая систему уравнений для поиска решений.
Пример 7. Решение реальной задачи с использованием системы уравнений
Строитель хочет построить треугольную балку с основанием длины 𝑥 м и высота длины 𝑥−2 м. Площадь этого треугольника определяется выражением 12𝑥(𝑥−2) м 2 . Если Строитель хочет, чтобы площадь балки была в три раза больше длины основания, найдите длину основания.
Ответ
Если мы назовем площадь треугольной балки 𝑎, то заметим, что площадь треугольника определяется уравнением
𝑎=12𝑥(𝑥−2). Однако мы также хотим, чтобы площадь в три раза превышала длину
основание, поэтому 𝑎=3𝑥.
Мы можем решить эту задачу, начертив оба графика и найдя координаты точек пересечения. Сначала мы известно, что график 𝑎=3𝑥 будет прямой линией, проходящей через начало координат с наклоном 3. Мы можем нарисуйте линию, проведя линию через начало координат и точку (1,3).
Мы можем нарисовать график 𝑎=12𝑥(𝑥−2), заметив, что это парабола с положительный ведущий коэффициент, поэтому он открывается вверх. Квадратное число факторизуется, поэтому мы можем решить каждый множитель, равный нулю, чтобы найти 𝑥-перехваты. 𝑥-перехваты находятся в 𝑥=0 и 𝑥=2, и мы также можем отметить, что это означает, что 𝑦-перехват также находится в 0,
Проводя эти графики по одной и той же паре координатных осей, находим, что координаты точек пересечения равны (0,0) и (8,24). У нас не может быть треугольника с основанием длины 0, поэтому только точка (8,24) является допустимым решением для нашего треугольника.
Мы можем проверить это решение, подставив 𝑥=8 в систему уравнений.
У нас есть
𝑎=12𝑥(𝑥−2)𝑎=12(8)(8−2)=24,𝑎=3𝑥𝑎=3(8)=24.
Поскольку оба значения площади равны, мы убедились, что 𝑥=8 является решением задачи.
Следовательно, строителю нужно будет сделать основание треугольной балки 8 метров в длину.
Давайте закончим повторением некоторых важных моментов из этого объяснения.
Ключевые точки
- Мы можем решать системы одновременных уравнений, находя координаты точек пересечения на графиках уравнений. В частности, любая точка на всех графиках удовлетворяет всем уравнениям и любому решению задачи. система будет точкой пересечения графиков.
- Если мы можем преобразовать линейно-квадратичную систему уравнений в форму 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0,
где 𝑎≠0, то
- если 𝑏−4𝑎𝑐>0, то система имеет 2 решения;
- если 𝑏−4𝑎𝑐=0, то система имеет 1 решение;
- если 𝑏−4𝑎𝑐0, то система не имеет действительных решений.
- Мы можем подставить наши решения обратно в систему, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями системы.
5.1: Решение систем уравнений с помощью графика
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 15151
- OpenStax
- OpenStax
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете:
- Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
- Решите систему линейных уравнений, построив график
- Определить количество решений линейной системы
- Решение приложений систем уравнений с помощью графика
Примечание
Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.
- Для уравнения \(y=\frac{2}{3}x−4\)
ⓐ является (6,0) решением? ⓑ является (−3,−2) решением?
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 2.1.1. - Найдите наклон и точку пересечения с осью y линии 3x−y=12.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 4.5.7. - Найдите точки пересечения x и y прямой 2x−3y=12.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите упражнение 4.3.7.
Определить, является ли упорядоченная пара решением системы уравнений
В разделе «Решение линейных уравнений и неравенств» мы научились решать линейные уравнения с одной переменной. Помните, что решение уравнения — это значение переменной, которая дает истинное утверждение при подстановке в уравнение. Теперь будем работать с системы линейных уравнений , два или более линейных уравнения, сгруппированные вместе.
Определение: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Когда два или более линейных уравнения группируются вместе, они образуют систему линейных уравнений.
Здесь мы сосредоточим нашу работу на системах двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Позже вы сможете решать более крупные системы уравнений.
Ниже показан пример системы двух линейных уравнений. Мы используем фигурную скобку, чтобы показать, что два уравнения сгруппированы вместе, чтобы сформировать систему уравнений.
\[\begin{cases}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{cases}\]
Линейное уравнение с двумя переменными, например 2 x + y = 7, имеет бесконечное число решений. Его график представляет собой линию. Помните, что каждая точка на прямой — это решение уравнения, а каждое решение уравнения — это точка на прямой.
Чтобы решить систему двух линейных уравнений, мы хотим найти значения переменных, являющихся решениями обоих уравнений. Другими словами, мы ищем упорядоченные пары ( x , y ), что делает оба уравнения верными.
Они называются решениями системы уравнений .
Определение: РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Решениями системы уравнений являются значения переменных, которые делают все уравнения верными. Решение системы двух линейных уравнений представлено упорядоченной парой ( x , y ).
Чтобы определить, является ли упорядоченная пара решением системы двух уравнений, мы подставляем значения переменных в каждое уравнение. Если упорядоченная пара делает оба уравнения верными, это решение системы.
Рассмотрим следующую систему:
\[\begin{cases}{3x−y=7} \\ {x−2y=4}\end{cases}\]
Упорядоченная пара (2,− 1) решение?
Упорядоченная пара (2, −1) сделала оба уравнения верными. Поэтому (2, −1) является решением этой системы.
Попробуем другую заказанную пару. Является ли упорядоченная пара (3, 2) решением?
Упорядоченная пара (3, 2) сделала одно уравнение истинным, но другое уравнение сделало ложным.
Так как это не решение оба уравнения , это не решение этой системы.
Упражнение \(\PageIndex{1}\)
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \(\begin{cases}{x−y=−1} \\ {2x−y=−5 }\end{case}\)
- (−2,−1)
- (-4,-3)
- Ответить
1.
(−2, −1) не делает оба уравнения верными. (−2, −1) не является решением.2.
(−4, −3) не делает оба уравнения верными. (−4, −3) является решением.
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \(\begin{cases}{3x+y=0} \\ {x+2y=−5} \end{case}\)
- (1,−3)
- (0,0)
- Ответить
- да
- нет
Упражнение \(\PageIndex{3}\)
Определите, является ли упорядоченная пара решением системы: \(\begin{cases}{x−3y=−8} \\ {−3x−y=4 }\конец{случаи}\)
- (2,−2)
- (−2,2)
- Ответить
- нет
- да
Решение системы линейных уравнений с помощью графика
В этой главе мы будем использовать три метода для решения системы линейных уравнений.
Первый метод, который мы будем использовать, — это построение графика. График линейного уравнения представляет собой прямую. Каждая точка на прямой является решением уравнения. Для системы двух уравнений мы начертим две линии. Тогда мы сможем увидеть все точки, являющиеся решениями каждого уравнения. И, найдя, что общего у линий, мы найдем решение системы.
Большинство линейных уравнений с одной переменной имеют одно решение, но мы видели, что некоторые уравнения, называемые противоречиями , не имеют решений, а для других уравнений, называемых тождествами, решениями являются все числа. Точно так же, когда мы решаем систему двух линейных уравнений, представленную графиком из двух линий на одной плоскости, возможны три случая, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\):
Рисунок \(\PageIndex{ 1}\) В качестве первого примера решения системы линейных уравнений в этом разделе и в следующих двух разделах мы будем решать одну и ту же систему из двух линейных уравнений.
Но мы будем использовать другой метод в каждом разделе. Увидев третий метод, вы решите, какой метод был наиболее удобным для решения этой системы.
Упражнение \(\PageIndex{4}\): Как решить систему линейных уравнений с помощью графика
Решите систему с помощью графика: \(\begin{cases}{2x+y=7} \\ {x− 2y=6}\end{case}\)
- Ответ
Упражнение \(\PageIndex{5}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{x−3y=−3} \\ {x+y=5}\end{cases}\ )
- Ответить
(3,2)
Упражнение \(\PageIndex{6}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{−x+y=1} \\ {3x+2y=12}\end{cases}\ )
- Ответить
(2,3)
Шаги, необходимые для решения системы линейных уравнений с помощью графика, показаны ниже.
ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ГРАФИКА.
- Нарисуйте первое уравнение.
- Постройте график второго уравнения в той же прямоугольной системе координат.
- Определите, пересекаются ли линии, параллельны или являются одной и той же линией.
- Определите решение системы.
- Если линии пересекаются, определите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
- Если прямые параллельны, система не имеет решения.
- Если линии одинаковые, система имеет бесконечное число решений.
Упражнение \(\PageIndex{7}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=2x+1} \\ {y=4x−1}\end{cases}\)
- Ответить
Оба уравнения в этой системе представлены в форме наклона и пересечения, поэтому мы будем использовать их наклоны и y -пересечения для их построения.
\(\begin{cases}{y=2x+1} \\ {y=4x−1}\end{cases}\)
” «>Найдите наклон и y -пересечение первого уравнения
.Найдите наклон и y -пересечение первого уравнения
.Нарисуйте две линии. Определите точку пересечения. Линии пересекаются в (1, 3). Проверьте решение обоих уравнений. \(\begin{array}{l}{y=2 x+1} & {y = 4x — 1}\\{3\stackrel{?}{=}2 \cdot 1+1} &{3\ stackrel{?}{=}4 \cdot 1-1} \\ {3=3 \checkmark}&{3=3 \checkmark} \end{массив}\) Решение (1, 3).
\(\begin{cases}{y=2x+1} \\ {y=4x−1}\end{cases}\)
Упражнение \(\PageIndex{8}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=2x+2} \\ {y=-x−4}\end{cases}\ )
- Ответить
(-2,-2)
Упражнение \(\PageIndex{9}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=3x+3} \\ {y=-x+7}\end{cases} \)
- Ответить
(1,6)
Оба уравнения в упражнении \(\PageIndex{7}\) были даны в форме наклона и пересечения. Это упростило нам быстрое графическое построение линий. В следующем примере мы сначала перепишем уравнения в форме наклона и пересечения.
Упражнение \(\PageIndex{10}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{3x+y=−1} \\ {2x+y=0}\end{cases}\ )
- Ответить
Мы решим оба этих уравнения относительно yy, чтобы мы могли легко построить их графики, используя их наклоны и y -перехваты.
\(\begin{cases}{3x+y=−1} \\ {2x+y=0}\end{cases}\)
” The first equation shows 3x + y = -1. Then 3(-1) + 2 = -1. And then -1 = -1. The second equation shows 2x + y = 0. Then 2(-1) + 2 = 0. Then 0 = 0. The figure then says, “The solution is (-1, 2).”»>Решите первое уравнение для y . Найдите наклон и y -перехват.
Решите второе уравнение для y .
Найти наклон и у -пересечение.
\(\begin{align} 3 x+y &=-1 \\ y &=-3 x-1 \\ m &=-3 \\ b &=-1 \\ 2 x+y &=0 \ \ y &=-2 x \\ b &=0 \end{выровнено}\) Нарисуйте линии. Определите точку пересечения. Линии пересекаются в точке (−1, 2). Проверьте решение обоих уравнений. \(\begin{array}{rllrll}{3x+y}&{=}&{-1} & {2x +y}&{=}&{0}\\{3(-1)+ 2} &{\stackrel{?}{=}}&{-1} &{2(-1)+2}&{\stackrel{?}{=}}&{0} \\ {-1}&{= }&{-1 \checkmark}&{0}&{=}&{0 \checkmark} \end{массив}\) Решение (−1, 2).
\(\begin{cases}{3x+y=−1} \\ {2x+y=0}\end{cases}\)
Упражнение \(\PageIndex{11}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{−x+y=1} \\ {2x+y=10}\end{cases}\ )
- Ответить
(3,4)
Упражнение \(\PageIndex{12}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{ 2x+y=6} \\ {x+y=1}\end{cases}\)
- Ответить
(5,−4)
Обычно, когда уравнения представлены в стандартной форме, наиболее удобным способом их графического отображения является использование точек пересечения.
Мы сделаем это в упражнении \(\PageIndex{13}\).
Упражнение \(\PageIndex{13}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{x+y=2} \\ {x−y=4}\end{cases}\)
- Ответить
Мы найдем точки пересечения x и y обоих уравнений и используем их для построения линий.
In the next row down, it reads, “Find the intercepts, let x = 0 then let y = 0.” The middle column shows x — y = 4. Then x — y = 4 and x — y = 4. Below this it shows 0 — y = 4, -y = 4, and y = negative 4. Then it shows x — 0 = 4, and x = 4. There is a table to the right with the columns labeled “x” and “y.” Under “x” are the number 0 and 4. Under “y” are the numbers -4 and 0. Below this there is a graph that shows two lines intersecting at point (3, -1) on an x y-coordinate plane.»>Чтобы найти точки пересечения, пусть x = 0 и решить
для y , затем пусть y = 0 и решить для x .\(\begin{align} x+y &=2 \quad x+y=2 \\ 0+y &=2 \quad x+0=2 \\ y &=2 \quad x=2 \end{ выровнено}\) Чтобы найти точки пересечения, пусть
x = 0, затем пусть y = 0.\begin{array}{rlr}{xy} & {=4} &{xy} &{= 4} \\ {0-y} & {=4} & {x-0} & {=4} \ \{-y} & {=4} & {x}&{=4}\\ {y} & {=-4}\end{массив} Нарисуйте линию. Определите точку пересечения. Линии пересекаются в точке (3, −1). Проверьте решение обоих уравнений. \(\ begin{array}{rllrll}{x+y}&{=}&{2} & {xy}&{=}&{4}\\{3+(-1)}&{\stackrel {?}{=}}&{2} &{3 — (-1)}&{\stackrel{?}{=}}&{4} \\ {2}&{=}&{2 \checkmark} &{4}&{=}&{4 \checkmark} \end{массив}\)
Решение (3, −1).
Упражнение \(\PageIndex{14}\)
Решите каждую систему графически: \(\begin{cases}{x+y=6} \\ {x−y=2}\end{cases}\)
- Ответ
(4,2)
Упражнение \(\PageIndex{15}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{x+y=2} \\ {x−y=-8}\end{cases}\ )
- Ответить
(5,−3)
Вы помните, как построить линейное уравнение с одной переменной? Это будет либо вертикальная, либо горизонтальная линия.
Упражнение \(\PageIndex{16}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=6} \\ {2x+3y=12}\end{cases}\)
- Ответить
” Then is shows that y = 6. It then says, “The second equation is most conveniently graphed using intercepts.” Then it shows 2x plus 3y = 12. Then it reads, “To find the intercepts, let x = 0 and then y = 0.” There is a graph with the columns labeled “x” and “y.” Under “x” are the numbers 0 and 6. Under “y” are the numbers 4 and 0. Then it reads, “Graph the lines.” The two lines are graphed on an x y-coordinate plane. The lines intersect at point (negative 3, 6). The figure then reads, “Determine the point of intersection. The lines intersect at (negative 3, 6).” The figure then shows that y = 6, then 6 = 6, and 2 = 2. It also shows that 2x +3y = 12. Then, 2 times negative 3, in parentheses, plus 3 times 6 = 12. Then negative 6 plus 18 = 12, and 12 = 12. The figure then indicates, “The solution is (negative 3, 6).”»>Мы знаем, что первое уравнение представляет собой горизонтальную линию
, точка пересечения и которой равна 6.Второе уравнение удобнее изобразить в виде графика
с использованием перехватов.Чтобы найти точки пересечения, пусть x = 0, а затем y = 0. Нарисуйте линии. Определите точку пересечения. Линии пересекаются в (−3, 6). Проверьте решение обоих уравнений. \(\begin{array}{rllrll}{y}&{=}&{6} & {2x+3y}&{=}&{12}\\{6}&{\stackrel{?}{= }}&{6} &{2(-3) + 3(6)}&{\stackrel{?}{=}}&{12} \\ {6}&{=}&{6 \checkmark} & {-6+18}&{\stackrel{?}{=}}&{12} \\ {}&{}&{}&{12}&{=}&{12 \checkmark} \end{array} \) Решение (−3, 6).
Упражнение \(\PageIndex{17}\)
Решите каждую систему графически: \(\begin{cases}{y=−1} \\ {x+3y=6}\end{cases}\)
- Ответ
(9,−1)
Упражнение \(\PageIndex{18}\)
Решите каждую систему с помощью графика: \(\begin{cases}{x=4} \\ {3x−2y=24}\end{cases}\)
- Ответить
(4,−6)
Пока что во всех системах линейных уравнений линии пересекались, а решением была одна точка. В следующих двух примерах мы рассмотрим систему уравнений, не имеющую решения, и систему уравнений, имеющую бесконечное число решений.
Упражнение \(\PageIndex{19}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−3} \\ {x−2y=4 }\end{case}\)
- Ответ
It then indicates, “To graph the first equation, we will use the slope and y-intercept.” The figure then shows that y = one half “x” minus 3 in which m = one half and b = negative 3. The next line down reads, “To graph the second equation, we will use the intercepts.” Next to this is the equation x minus 2y = 4 which is followed by a table with two columns labeled “x” and “y.” Under “x” are the numbers 0 and 4. Under “y” are the numbers negative 2 and 0. The figure then says, “Graph the lines.” The two lines are then graphed on an x y-coordinate plane. The two lines appear to be parallel. The figure then reads, “Determine the point of intersection. The lines are parallel. Since no point is on both lines, there is no ordered pair that makes both equations true. There is no solution to this system.”»>Чтобы построить график первого уравнения, мы будем
использовать его наклон и y — точку пересечения.Чтобы построить график второго уравнения,
, мы будем использовать точки пересечения.Нарисуйте линии. Определите точку пересечения. Линии параллельны. Поскольку на обеих линиях нет точек, не существует упорядоченной пары
, которая делает оба уравнения верными. Для
этой системы нет решения.
Упражнение \(\PageIndex{20}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{y=-\frac{1}{4}x+2} \\ {x+4y= -8}\end{case}\)
- Ответ
нет решения
Упражнение \(\PageIndex{21}\)
Решите каждую систему графически: \(\begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y=6}\end{cases}\)
- Ответ
нет решения
Упражнение \(\PageIndex{22}\)
Решите систему, построив график: \(\begin{cases}{y=2x−3} \\ {−6x+3y=−9}\end{cases} \)
- Ответить
The next line down reads, “Find the slope and y-intercept of the first equation.” It then shows that y = 2x -3 where m = 2 and b = negative 3. I also shows negative 6x plus 3y = negative 9. It then reads, “Find the intercepts of the second equation.” There is a table with two columns labeled “x” and “y.” Under “x” are the numbers 0 and three over two. Under “y” are the numbers negative 3 and 0. The figure then reads, “Graph the lines.” There appears to be only one line graphed on the x y coordinate plane. The figure then reads, “Determine the point of intersection. The lines are the same! Since every point on the line makes both equations true, there are infinitely many ordered pairs that make both equations true. There are infinitely many solutions to this system.»>Найдите наклон и y -пересечение первого уравнения
.Найдите точки пересечения второго уравнения. Нарисуйте линии. Определите точку пересечения. Линии одинаковые! Поскольку каждая точка на прямой делает оба уравнения
верными, существует бесконечно много упорядоченных пар, которые делают
оба уравнения верными.У этой системы бесконечно много решений.
Упражнение \(\PageIndex{23}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{y=−3x−6} \\ {6x+2y=−12}\end{cases} \)
- Ответить
бесконечно много решений
Упражнение \(\PageIndex{24}\)
Решите каждую систему, построив график: \(\begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−4} \\ {2x−4y=16 }\end{case}\)
- Ответ
бесконечно много решений
Если вы запишете второе уравнение в упражнении \(\PageIndex{22}\) в форме наклона и пересечения, вы увидите, что уравнения имеют один и тот же наклон и одинаковые г -перехват.
Когда мы рисовали вторую линию в последнем примере, мы нарисовали ее прямо над первой линией. Мы говорим, что две прямые совпадают. Совпадающие прямые имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения и .
СОВПАДАЮЩИЕ ЛИНИИ
Совпадающие прямые имеют одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения и .
Определение количества решений линейной системы
Бывают случаи, когда нам нужно знать, сколько решений будет у системы линейных уравнений, но на самом деле нам может не понадобиться находить решение. Будет полезно определить это без графика.
Мы видели, что две прямые в одной плоскости должны либо пересекаться, либо быть параллельными. Все системы уравнений от Упражнения \(\PageIndex{4}\) до Упражнения \(\PageIndex{16}\) состояли из двух пересекающихся линий. Каждая система имела одно решение.
Система с параллельными линиями, такая как Упражнение \(\PageIndex{19}\), не имеет решения.
Что произошло в упражнении \(\PageIndex{22}\)? У уравнений совпадающих прямых , поэтому система имеет бесконечно много решений.
Мы упорядочим эти результаты на рисунке \(\PageIndex{2}\) ниже:
Рисунок \(\PageIndex{2}\)Параллельные линии имеют одинаковый наклон, но разные y точки пересечения. Итак, если мы запишем оба уравнения в виде системы линейных уравнений в форме наклон-пересечение, мы увидим, сколько будет решений без построения графика! Посмотрите на систему, которую мы решили в упражнении \(\PageIndex{19}\).
\(\begin{array} {cc} & \begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−3} \\ {x−2y=4}\end{cases}\\ \ text{Первая строка представлена в виде наклона и точки пересечения.} &\text { Если мы решим второе уравнение относительно } y, \text { мы получим } \\ &x-2 y =4 \\ y = \frac{1} {2}x -3& x-2 y =-x+4 \\ &y =\frac{1}{2} x-2 \\ m=\frac{1}{2}, b=-3&m=\frac {1}{2}, b=-2 \end{массив}\)
Две линии имеют одинаковый наклон, но разные и -пересечения.
Это параллельные линии.
На рисунке \(\PageIndex{3}\) показано, как определить количество решений линейной системы, глядя на наклоны и точки пересечения.
Рисунок \(\PageIndex{3}\)Давайте еще раз взглянем на наши уравнения в упражнении \(\PageIndex{19}\), которые дали нам параллельные линии.
\[\begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−3} \\ {x−2y=4}\end{cases}\)]
Когда обе линии были наклонно- Форма перехвата у нас была:
\[y=\frac{1}{2} x-3 \quad y=\frac{1}{2} x-2\]
Вы признаете, что невозможно иметь одну упорядоченную пару ( x, y), который является решением обоих этих уравнений?
Мы называем такую систему уравнений противоречивой системой . У него нет решения.
Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется согласованной системой .
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ И НЕСООТВЕТСТВУЮЩИЕ СИСТЕМЫ
Последовательная система уравнений — это система уравнений, имеющая хотя бы одно решение.
Несовместимая система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.
Мы также классифицируем уравнения в системе уравнений, называя уравнения независимыми или зависимыми . Если два уравнения представляют собой независимых уравнений , каждое из них имеет собственный набор решений. Пересекающиеся прямые и параллельные прямые независимы.
Если два уравнения являются зависимыми, то все решения одного уравнения являются также решениями другого уравнения. Когда мы рисуем два зависимых уравнений получаем совпадающие прямые.
НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ УРАВНЕНИЯ
Два уравнения являются независимыми , если они имеют разные решения.
Два уравнения являются зависимыми , если все решения одного уравнения являются также решениями другого уравнения.
Подведем итоги, взглянув на графики трех типов систем.
См. рисунок \(\PageIndex{4}\) и рисунок \(\PageIndex{5}\).
Упражнение \(\PageIndex{25}\)
Без построения графика определите количество решений и затем классифицируйте систему уравнений: \(\begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y= 12}\end{case}\)
- Ответить
\(\begin{array}{lrrl} \text{Мы будем сравнивать наклоны и пересечения} & \begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y=12}\end{cases} \ \ \text{двух строк.} \\ \text{Первое уравнение уже задано} \\ \text{форма пересечения наклона.} \\ & {y = 3x — 1}\\ \text{Запишите второе уравнение в} \\ \text{форма наклона–отрезка.} \\ & 6x-2y &=&12 \\ & -2y &=& -6x — 12 \\ &\frac{-2y}{-2} & =& \frac{-6x + 12}{-2}\\ &y&=&3x-6\\\\ \text{Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.} & y = 3x-1 & y=3x-6 \\ &m = 3 & m = 3 \\&b=-1 &b=-6 \\ \text{Поскольку наклоны одинаковы и y-пересечения} \\ \text{различны, прямые параллельны.}\end {массив}\)
Система уравнений, графики которой представляют собой параллельные прямые, не имеет решения, является противоречивой и независимой.
Упражнение \(\PageIndex{26}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{case}{y=−2x−4} \\ {4x+2y=9}\end{case}\)
- Ответ
нет решения, противоречиво, независимо
Упражнение \(\PageIndex{27}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{case}{y=\frac{1}{3}x−5} \\ {x-3y=6}\end{cases}\)
- Ответ
нет решения, противоречиво, независимо
Упражнение \(\PageIndex{28}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений: \(\begin{cases}{2x+y=−3} \\ {x− 5y=5}\end{случаи}\)
- Ответить
\(\begin{array}{lrrlrl} \text{Мы будем сравнивать наклоны и пересечения} & \begin{cases}{2x+y=-3} \\ {x−5y=5}\end{cases} \\ \text{двух прямых.
} \\ \text{Второе уравнение запишите} \\ \text{форма наклона–отрезка.} \\ &2x+y&=&-3 & x−5y&=&5\\ & y &=& -2x -3 & -5y &=&-x+5 \\ &&&&\frac{-5y}{-5} &=& \frac{-x + 5}{-5}\\ &&&&y& =&\frac{1}{5}x-1\\\\ \text{Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.} & y &=& -2x-3 & y&=&\frac{1}{5 }x-1 \\ &m &=& -2 & m &=& \frac{1}{5} \\&b&=&-3 &b&=&-1 \\ \text{Поскольку наклоны одинаковы и y- перехваты} \\ \text{различны, линии параллельны.}\end{массив}\)Система уравнений, графики которой пересекаются, имеет 1 решение, непротиворечива и независима.
} \\ \text{Второе уравнение запишите} \\ \text{форма наклона–отрезка.} \\ &2x+y&=&-3 & x−5y&=&5\\ & y &=& -2x -3 & -5y &=&-x+5 \\ &&&&\frac{-5y}{-5} &=& \frac{-x + 5}{-5}\\ &&&&y& =&\frac{1}{5}x-1\\\\ \text{Найдите наклон и точку пересечения каждой линии.} & y &=& -2x-3 & y&=&\frac{1}{5 }x-1 \\ &m &=& -2 & m &=& \frac{1}{5} \\&b&=&-3 &b&=&-1 \\ \text{Поскольку наклоны одинаковы и y- перехваты} \\ \text{различны, линии параллельны.}\end{массив}\)Упражнение \(\PageIndex{29}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{case}{3x+2y=2} \\ {2x+y=1}\end{case}\)
- Ответ
одно решение, согласованное, независимое
Упражнение \(\PageIndex{30}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{case}{x+4y=12} \\ {−x+y=3}\end{case}\)
- Ответ
одно решение, согласованное, независимое
Упражнение \(\PageIndex{31}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений. \(\begin{cases}{3x−2y=4} \\ {y=\frac{3}{2}x−2}\end{cases}\)
- Ответить
\(\begin{array}{lrrlrl} \text{Мы сравним наклоны и точки пересечения двух прямых.}& \begin{cases}{3x−2y} &=&{4} \\ {y}& =&{\frac{3}{2}x−2}\end{cases} \\ \text{Запишите второе уравнение в форме} \\ \text{наклон–отрезок.} \\ &3x-2y&=&4 \ \ & -2y &=& -3x +4 \\ &\frac{-2y}{-2} &=& \frac{-3x + 4}{-2}\\ &y&=&\frac{3}{ 2}x-2\\\\ \text{Найдите наклон и точку пересечения каждой прямой.} &y&=&\frac{3}{2}x-2\\ \text{Поскольку уравнения одинаковы, они имеют одинаковый наклон} \\ \text{и одинаковый-перехват, поэтому строки совпадают.}\end{массив}\)
Система уравнений, графики которой представляют собой совпадающие прямые, имеет бесконечно много решений, непротиворечива и зависима.
Упражнение \(\PageIndex{32}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{cases}{4x−5y=20} \\ {y=\frac{4}{5}x−4}\end{cases}\)
- Ответ
бесконечно много решений, непротиворечивых, зависимых
Упражнение \(\PageIndex{33}\)
Без построения графика определите количество решений, а затем классифицируйте систему уравнений.
\(\begin{case}{ −2x−4y=8} \\ {y=−\frac{1}{2}x−2}\end{cases}\)
- Ответ
бесконечно много решений, непротиворечивых, зависимых
Решение приложений систем уравнений с помощью графика
Мы будем использовать ту же стратегию решения задач, что и в Математические модели для настройки и решения приложений систем линейных уравнений. Здесь мы немного изменим стратегию, чтобы она подходила для систем уравнений.
ИСПОЛЬЗУЙТЕ СТРАТЕГИЮ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
- Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
- Определите , что мы ищем.
- Имя то что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
- Переведите число в систему уравнений.
- Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
- Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
На шаге 5 мы будем использовать метод, представленный в этом разделе. Составим графики уравнений и найдем решение.
Упражнение \(\PageIndex{34}\)
Сондра готовит 10 литров пунша из фруктового сока и содовой. Количество литров фруктового сока в 4 раза превышает количество литров газировки. Сколько литров фруктового сока и сколько литров газированной воды нужно Сондре?
- Ответить
Шаг 1.
Прочтите проблему.Шаг 2. Определите , что мы ищем.
Мы ищем количество литров фруктового сока и количество литров газированной воды, которые понадобятся Сондре.
Шаг 3. Назовите то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
Пусть f= количество литров фруктового сока.
c= количество литров газированной водыШаг 4. Переведите в систему уравнений.
Теперь у нас есть система. \(\begin{cases}{f+c=10} \\ {f=4c}\end{cases}\)
Шаг 5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
Точка пересечения (2, 8) и есть решение. Это означает, что Сондре нужно 2 литра газированной воды и 8 литров фруктового сока.
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Имеет ли это смысл в задаче?
Да, количество литров фруктового сока, 8, в 4 раза превышает количество литров газированной воды, 2.
Да, 10 литров пунша — это 8 литров фруктового сока плюс 2 литра содовой.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.
Сондре нужно 8 литров фруктового сока и 2 литра содовой.
Прочтите проблему.
Упражнение \(\PageIndex{35}\)
Мэнни готовит 12 литров апельсинового сока из концентрата и воды. Количество литров воды в 3 раза превышает количество литров концентрата. Сколько литров концентрата и сколько литров воды нужно Мэнни?
- Ответить
Мэнни нужно 3 литра концентрата сока и 9 литров воды.
Упражнение \(\PageIndex{36}\)
Алиша готовит кофейный напиток на 18 унций из заваренного кофе и молока. Количество унций сваренного кофе в 5 раз превышает количество унций молока. Сколько унций кофе и сколько унций молока нужно Алише?
- Ответить
Алише нужно 15 унций кофе и 3 унции молока.
Примечание
Получите доступ к этим онлайн-ресурсам для получения дополнительных инструкций и практики решения систем уравнений с помощью графиков.
- Учебное видео по решению линейных систем с помощью графика
- Обучающее видео Решение с помощью графика
Ключевые понятия
- Решить систему линейных уравнений с помощью графика
- Нарисуйте первое уравнение.
- Постройте график второго уравнения в той же прямоугольной системе координат.
- Определите, пересекаются ли линии, параллельны или являются одной и той же линией.
- Определите решение системы.
Если линии пересекаются, определите точку пересечения. Убедитесь, что это решение обоих уравнений. Это решение системы.
Если прямые параллельны, система не имеет решения.
Если линии одинаковые, система имеет бесконечное число решений. - Проверьте решение обоих уравнений.
- Определить количество решений по графу линейной системы
- Определите количество решений линейной системы, глядя на наклоны и точки пересечения
- Определить количество решений и классифицировать систему уравнений
- Стратегия решения задач для систем линейных уравнений
- Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
- Определите , что мы ищем.
- Имя то что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
- Переведите число в систему уравнений.
- Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
- Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
- Ответьте на вопрос полным предложением.
Глоссарий
- совпадающие строки
- Совпадающие линии — это линии, имеющие одинаковый наклон и одинаковую точку пересечения и .
- последовательная система
- Непротиворечивая система уравнений — это система уравнений, имеющая хотя бы одно решение.
- зависимые уравнения
- Два уравнения являются зависимыми, если все решения одного уравнения являются также решениями другого уравнения.
- несогласованная система
- Несовместимая система уравнений — это система уравнений, не имеющая решения.
- независимые уравнения
- Два уравнения независимы, если они имеют разные решения.
- решения системы уравнений
- Решениями системы уравнений являются значения переменных, при которых все уравнения верны. Решение системы двух линейных уравнений представлено упорядоченной парой ( x , y ).
Решение системы двух линейных уравнений представлено упорядоченной парой ( x , y ).- система линейных уравнений
- Когда два или более линейных уравнения группируются вместе, они образуют систему линейных уравнений.
Эта страница под названием 5.1: Решение систем уравнений с помощью графика распространяется под лицензией CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax с помощью исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- ОпенСтакс
- Лицензия
- СС BY
- Версия лицензии
- 4,0
- Показать страницу Содержание
- нет
- Метки
- Решения системы уравнений
- источник@https://openstax. org/details/books/elementary-алгебра-2e
- источник@https://openstax.org/details/books/intermediate-алгебра-2e
org/details/books/elementary-алгебра-2eРешение одновременных уравнений в графическом виде — математика GCSE
Введение
Что такое графическое решение одновременных уравнений?
Графическое решение линейных одновременных уравнений
Графическое решение квадратных уравнений
Как решать одновременные уравнения графически
Графическое решение одновременных уравнений, рабочий лист
Распространенные заблуждения
Практика решения одновременных уравнений графически вопросы
Графическое решение одновременных уравнений Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4
Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE
Подробнее
Введение
Что такое графическое решение одновременных уравнений?
Графическое решение линейных одновременных уравнений
Графическое решение квадратных уравнений
Как решать одновременные уравнения графически
Графический лист решения одновременных уравнений
Распространенные заблуждения
Практика решения одновременных уравнений графически вопросы
Графическое решение одновременных уравнений Вопросы GCSE
Контрольный список обучения
Следующие уроки
Все еще застряли?
Здесь мы узнаем, как решать одновременные уравнения графически, включая линейные и квадратные одновременные уравнения.
Существуют также графические рабочие листы для решения одновременных уравнений, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
Что такое графическое решение одновременных уравнений?
Графическое решение одновременных уравнений — это процесс, позволяющий решить два или более алгебраических уравнения с общими переменными путем построения их графиков.
Точка (или точки) пересечения дают решение(я) уравнений.
Это потому, что в точке пересечения два уравнения равны друг другу и, следовательно, значения переменных одинаковы для обоих уравнений.
Что такое графическое решение одновременных уравнений?
Решение линейных одновременных уравнений графически
Напр. Решите пару одновременных уравнений
\[\begin{aligned} х + у &= 6\\ -3x +y &=2\\ \end{aligned}\]
Когда мы рисуем графики этих двух уравнений,
мы видим, что они пересекаются в (1, 5).
Таким образом, решение одновременных уравнений:
x = 1 и y = 5
Мы можем доказать, что это решение, подставив значения в исходные уравнения:
x = 1, y = 5
\[\begin{aligned} х+у&=6\\ 1+5&=6\\ \end{выровнено}\]
\[\begin{выровнено} -3x+y&=2\\ -3(1)+5=2\\ -2+5=2\\ \end{aligned}\]
Графическое решение одновременных квадратных уравнений
Одно из ключевых отличий одновременных уравнений, содержащих квадратный элемент, заключается в том, что мы можем ожидать несколько ответов. Это связано с тем, что линейные и нелинейные функции могут пересекаться. 9{2}+4x-2 \\ \end{aligned}\]
На графике эти два уравнения пересекаются в двух точках ( − 6, 10) и (1, 3)
Таким образом, одновременные уравнения имеют два действительных решения
Таким образом, решения уравнения одновременные уравнения:
\[x = -6, y = 10\]
And
\[x =1, y = 3\]
Мы можем доказать, что это решения одновременных уравнений путем подстановки значений в исходные уравнения: 92+4(1)-2\\ 3&=1+4-2\\ \end{aligned}\]
Графическое решение одновременных уравнений является частью нашей серии уроков, посвященных пересмотру одновременных уравнений .
Возможно, вам будет полезно начать с основного урока по одновременным уравнениям, чтобы получить общее представление о том, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения более подробной информации по отдельным темам. Другие уроки этой серии включают:
- Синхронные уравнения
- Квадратные уравнения
Как решать одновременные уравнения графически
Чтобы решать одновременные уравнения графически:
- Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными (или другими нелинейными)
- Нарисуйте каждое уравнение на одном и том же наборе оси
- Найдите координаты пересечения линий
- Укажите значения переменной в месте пересечения линий и четко сформулируйте свой ответ (если у вас несколько значений переменной, убедитесь, что вы сопоставили правильную пару)
Как решать одновременные уравнения графически
Решение одновременных уравнений в графическом виде
Получите бесплатно графическое решение одновременных уравнений, содержащее более 20 вопросов и ответов.
Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКОРО
ИксРешение одновременных уравнений в графическом виде
Получите бесплатное решение одновременных уравнений в графическом виде, содержащее более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
СКОРО
Примеры графического решения одновременных уравнений
Пример 1: решение линейных одновременных уравнений, где y является предметом формулы
Решите эту пару одновременных уравнений графически:
\[\begin{aligned} у&=2х+1\\ у&=4x+3 \end{aligned}\]
- Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными
Оба уравнения являются линейными .
Это означает, что вы будете рисовать две прямые линии, которые будут пересекаться только в одной точке.
2 Нарисуйте каждое уравнение на одном и том же наборе o оси f
3 Найдите координаты пересечения линий
Линии пересекаются (пересекаются) в точке с координатой (−1, −1)
4 Укажите значения переменной в месте пересечения линий и четко укажите ваш ответ (если у вас несколько значений переменной, убедитесь, что вы соответствуете правильной паре)
\[\begin{aligned} х&=-1\\ у&=-1 \конец{выровнено}\]
Пример 2: решение линейных одновременных уравнений, где «y» не является предметом формулы
Решите эту пару одновременных уравнений графически:
\[\begin{aligned} 2х+4у&=14\\ 4x-4y&=4 \end{aligned}\]
Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными
Оба уравнения являются линейными .
Это означает, что вы будете рисовать две прямые линии, которые будут пересекаться только в одной точке.
Нарисуйте каждое уравнение на одном наборе осей
Найдите координаты пересечения линий
Линии пересекаются (пересекаются) в точке с координатой (3, 2) иметь несколько значений переменной, чтобы убедиться, что вы соответствуете правильной паре)
\[\begin{aligned} х&=3\\ у&=2 \end{aligned}\]
Пример 3: решение линейных одновременных уравнений, где «y» не является предметом формулы
Решите эту пару одновременных уравнений графически:
\[\begin{aligned} 3x+2y&=8\\ 2x+5y&=-2 \end{aligned}\]
Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными
Оба уравнения являются линейными .
Это означает, что вы будете рисовать две прямые линии, которые будут пересекаться только в одной точке.
Нарисуйте каждое уравнение на одном и том же наборе осей
Найдите координаты пересечения линий
Линии пересекаются (пересекаются) в точке с координатой (-4, −2)
Укажите значения переменной в месте пересечения линий и четко сформулируйте свой ответ (если у вас несколько значений переменной, убедитесь, что вы совпадаете правильная пара)
\[\begin{align} х&=-4\\ у&=-2 \end{aligned}\]
Пример 4: решение одновременных уравнений (одного линейного и одного квадратного), где «y» является предметом формулы
Решите эту пару одновременных уравнений графически: 92+5х-2 \end{aligned}\]
Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными
Первое уравнение здесь линейное .
Следовательно, это будет нарисовано как прямая линия на наборе осей.
Второе уравнение квадратичное .
Таким образом, это будет нарисовано как парабола на наборе осей.
Если рассмотреть прямую и параболу, то есть три возможных способа их пересечения.
Примечание:
Большинство ответов на GCSE имеют две точки пересечения.
Функция с квадратичным элементом более чем одной переменной может создавать другие кривые графики, например. x 2 +y 2 =4 даст круг .
Нарисуйте каждое уравнение на одном и том же наборе осей
Найдите координаты пересечения линий
Вы заметите, что две функции пересекаются в двух точках.
Линии пересекаются (пересекаются) в точках с координатами (−5, −2) и (1, 4).
Укажите значения переменной в месте пересечения линий и четко сформулируйте свой ответ (если у вас несколько значений переменной, убедитесь, что вы соответствуете правильной паре)
\[x= -5, y= -2 \]
Или
\[x= 1, y= 4 \]
Обратите внимание на использование слова or.
Это потому, что любой ответ является допустимым решением одновременных уравнений. 92&=29\\
х+7&=у\\
\end{aligned}\]
Определите, являются ли уравнения линейными или квадратными
Первое уравнение здесь линейное .
Следовательно, это будет нарисовано как прямая линия на наборе осей.
Второе уравнение имеет квадратичных элементов по обеим переменным.
Содержит квадрат переменных x и y.
Таким образом, получится круг .
Нарисуйте каждое уравнение на одном наборе осей
Найдите координаты пересечения линий
Вы заметите, что две функции пересекаются в двух точках.
Линии пересекаются (пересекаются) в координатах (−5, 2) и (−2, −5) .
Укажите значения переменной в месте пересечения линий и четко сформулируйте свой ответ (если у вас несколько значений переменной, убедитесь, что вы соответствуете правильной паре)
\[x= -5, y=2 \ ]
или
\[x= -2, y= 5\]
Распространенные заблуждения
- Неправильное построение графиков
Распространенной ошибкой является неправильное построение графиков.
Может быть полезно:
- Заполнить таблицу значений уравнения
- Сделать y предметом формулы (особенно для линейных функций)
- Рассмотреть градиент графика (для линейных функций)
- Рассмотреть, где график пересекает оси x и y
- Несколько точек пересечения
Помните, что линейные и нелинейные функции могут пересекаться в 0, 1 или 2 точках. Если линии имеют несколько точек пересечения, убедитесь, что совпадают правильные значения x и y.
Потренируйтесь решать одновременные уравнения графически вопросы
Иногда
Нужна дополнительная информация
Две линейные функции не могут пересекаться в двух точках. Если они пересекаются друг с другом, то только в одной точке.
Всегда
Иногда
Нужна дополнительная информация
Парабола и линия могут пересечь 2 очка, но они также могут пересечь в 1 точке или 0 баллов
Параллель
Perpendiculd
FOAD AWAY FOAN AWAOTH FOAN AWAY FOAN AWAOT друг от друга
Неправильно проведено
Две линии, которые никогда не встречаются (никогда не пересекаются), параллельны друг другу.
х= -2,5, у=-11
х= 2,5, у= -11
х=2,5 , у=11
х=11 , у=2,5 =9
x= 4 , y= 9
x= -4 , y= -9
x= -5 , y= -1
х= -5, у= -2
или
х= 1, у=4
х= 1, у=4
х= -5, у= 4
или
х= 1, у= -2
Решение одновременных уравнений графически Вопросы GCSE
1. Графики прямых с уравнениями
\begin{выровнено} 3у+2х&=12\\ у&=х+4\\ \end{выровнено}
нанесены на сетку ниже:
Используйте графики для решения уравнений
\begin{выровнено} 3у+2х&=12\\ у&=х+4\\ \end{выровнено}
(2 балла)
Показать ответ
x=0
(1)
у=4
(1)
2.
Графики прямых с уравнениями
\begin{выровнено} 4у-2х&=8\\ у&=х\\ \end{выровнено}
нанесены на сетку ниже:
Используйте графики для решения одновременных уравнений
\begin{выровнено} 4у-2х&=8\\ у&=х\\ \end{выровнено}
(2 балла)
Показать ответ
x=4
(1)
у=4
(1)
3. Графики прямых с уравнениями
\begin{выровнено} y&=\frac{x}{2}+2\\ 2у+3х&=12\\ \end{выровнено}
были нанесены на сетку ниже:
Используйте графики для решения одновременных уравнений
\begin{выровнено} y&=\frac{x}{2}+2\\ 2у+3х&=12\\ \end{выровнено}
(2 балла)
Показать ответ
x=2
(1)
у=3
(1)
4.