Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными
- Подробности
- Категория: Алгебра 7-9 классы
УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК
Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .
Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.
При уравнение обращается в верное равенство 8 — 3 = 5.
Говорят, что пара значений переменных является решением этого уравнения. Пара
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Пару , являющуюся решением уравнения , можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).’
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.
можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения .
Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:
Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:
Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).
По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения . Например, если х = 2, то ;
если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.
Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения
Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению , а формулой задается функция, графиком которой является парабола.
Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Каждое из уравнений с двумя переменными , имеет вид , где а, b и с — некоторые числа.
Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.
Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число с — свободным членом.
Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.
Если в линейном уравнении коэффициент при
Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения , так как это уравнение равносильно уравнению
Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая.
Рассмотрим, например, уравнение . Его решениями служат все пары чисел (х ; у), в которых x = 6, а у — любое число. Изобразив эти пары точками, получим прямую, параллельную оси ординат (рис. 59).
Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая
.Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.
Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.
Пример 1. Построим график уравнения .
В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками.
Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:
Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения
Пример 2. Построим график уравнения
Линейное уравнение с двумя переменными
Урок 39. Алгебра 7 класс
Вспомнив в начале урока, что мы называем линейным уравнением с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение, мы с помощью примера вводим понятие линейного уравнения с двумя переменными и даем ему определение. Также говорим, что называется решением уравнения с двумя переменными и какие уравнения называются равносильными.
Конспект урока «Линейное уравнение с двумя переменными»
Вопросы занятия:
· повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;
·
ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с
двумя переменными», «равносильные уравнения».
Материал урока
Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.
Вспомним, что:
Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.
Давайте рассмотрим ситуацию
Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или с двумя неизвестными).
Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными
Сформулируем определение:
Определение.
Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:
Вернёмся к задаче
То есть пара значений переменных (x = 60, y = 110) является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему уравнению.
Определение.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.
Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.
Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.
Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:
Свойство 1.
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;
Свойство 2.
Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Снова вернёмся к нашему уравнению
Но
здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой
– на втором.
Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.
При этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.
И давайте рассмотрим ещё одну задачу.
Пример.
Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.
Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.
И давайте рассмотрим примеры.
Пример.
И ещё пример.
Пример.
Итоги урока
Итак,
на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из
способов решения таких уравнений.
Предыдущий урок 38 Применение различных способов для разложения на множители
Следующий урок 40 График линейного уравнения с двумя переменными
Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 7 класс
Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт
Решение линейных уравнений с двумя неизвестными
Все математические ресурсы GMAT
22 диагностических теста 693 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
GMAT Math Help » Вопросы решения проблем » Алгебра » Линейные уравнения, два неизвестных » Решение линейных уравнений с двумя неизвестными
Какое уравнение является линейным?
Возможные ответы:ни один из них не является линейным
Правильный ответ: 90 005 Пояснение: Давайте рассмотрим все варианты ответов.
1. : и являются константами, поэтому уравнение на самом деле является линейным.
2. 5x + 7y — 8yz = 16: Это нелинейно из-за члена yz.
3. : можно преобразовать в y + 8 = (x + 6)(x — 2). Ясно, что когда это расширится, будет член, так что это нелинейно.
4. : Это тоже нелинейно, в том числе из-за терма.
Сообщить об ошибке
Решить.
Возможные ответы: Правильный ответ: Пояснение:Найдите в первом уравнении:
Подставьте во второе уравнение:
Решите для .
Сообщить об ошибке
Ответы:
Правильный ответ: Объяснение:Решите первое уравнение, чтобы получить
Подставьте его во второе уравнение и получите
Решите уравнение, чтобы получить , затем подставьте его в первое уравнение, чтобы получить .
Подстановка этих двух значений в , дает
Сообщить об ошибке
Решите систему уравнений:
Возможные ответы:Система не имеет решения.
Правильный ответ:Система не имеет решения.
Объяснение:Умножьте обе части первого уравнения на 12:
Теперь сложите обе части двух уравнений:
непротиворечива и, следовательно, не имеет решения.
Сообщить об ошибке
Дайте набор решений для .
Возможные ответы:Недостаточно информации для ответа на вопрос.
Правильный ответ: Пояснение:Выражение на левых множителях как разность квадратов:
Так как, мы можем подставить:
Теперь мы надо решить систему линейных уравнений:
Сообщить об ошибке
Компания хочет отправить некоторые виджеты.
Если вес коробки плюс один предмет равен 6 фунтам, а вес ящика плюс два предмета равен 10 фунтам, то каковы вес коробки и вес предмета? Поместите ответ в упорядоченную пару так, чтобы упорядоченная пара была (вес коробки, вес виджета).
Пусть вес коробки будет представлен как , а вес виджета будет представлен как . Поскольку вес коробки плюс вес одного предмета составляет 6 фунтов, это можно представить уравнением
Поскольку вес коробки плюс два предмета составляет 10 фунтов, это можно представить уравнением
Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных, и теперь мы можем решить для и . Для этого решаем первое уравнение для и подставляем его во второе уравнение. Решая первое уравнение, мы получаем
. Подставляя это во второе уравнение, мы получаем
Используя и подставляя его в первое уравнение, мы получаем
.
Таким образом, вес коробки 2 фунта и вес виджет 4 фунта. Это дает нам упорядоченную пару.
Сообщить об ошибке
Решить когда
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:
Подставьте заданное значение и затем изолируйте .
Сообщить об ошибке
Какое значение , когда:
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Сообщить об ошибке
Решить для:
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Сообщить об ошибке
Что такое ?
Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение:Из второго уравнения:
Подставим в первое и решим:
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы GMAT
22 Диагностические тесты 693 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Уравнения с переменными (Предварительная алгебра, Введение в алгебру) – Mathplanet
В этом разделе вы узнаете, как решать уравнения, содержащие неизвестные переменные.
Вы научитесь решать уравнения в уме, используя таблицу умножения, а также узнаете, как найти решение уравнения с заданными числами, а также с помощью обратных операций.
Вы можете решить простое уравнение в уме, используя таблицу умножения.
Пример
$$\begin{array}{lcl} 8x=64 \end{array}$$
$$\begin{array}{lcl} 8\cdot x=64 \end{array }$$
На какое число нужно умножить 8, чтобы получить произведение 64? Используя таблицу умножения, мы знаем, что это число равно 8.
$$8\cdot 8=64$$
Когда мы решаем уравнение, мы выясняем, какое значение x (или любой другой переменной) делает утверждение верным (удовлетворяет уравнению).
Пример
Какое из следующих чисел является решением уравнения? х = 2, 7 или 8?
$$14-x=7$$
Здесь вам даны числа 2, 7 и 8. Одно из этих чисел будет удовлетворять уравнению. Если вы не знаете решение сразу, вы можете выяснить, какое из заданных чисел дает правильный ответ, подставив разные значения x.
$$\begin{matrix} x=2\Стрелка вправо & 14-2=12& {\color{red} {Неверно}}\: \: \\ x=7\Стрелка вправо & 14-7=7\: & {\color{green} {Верно}} \\ x=8\Rightarrow & 14-8=6\: & {\color{red} {Неправильно}}\: \: \end{matrix}$$
Ответ: x=7
Вы уже решали уравнения, решения которых довольно легко увидеть, используя мысленную арифметику или закономерности. Большинство уравнений решить сложнее, и вам придется упростить уравнение, прежде чем вы увидите решение. Один из способов сделать это — использовать обратные операции.
Операция — это, например, сложение, умножение, деление и вычитание. Обратная операция — это операция, которая обращает эффект другой операции. Сложение и вычитание обратны друг другу, так же как деление и умножение обратны друг другу.
Пример
С цифрами
$$18+4=22$$
$$18+4{\color{blue} \, -\, 4}=22{\color{blue} \, — \, 4}$$
$$18=18$$
С переменными и числами
$$x+4=22$$
$$x+4{\color{blue} \, -\, 4 }=22{\color{blue} \, -\, 4}$$
$$x=18$$
Вычитаем по 4 с обеих сторон.