Как решать уравнения с двумя неизвестными 7 класс: Линейное уравнение с двумя переменными и его график — урок. Алгебра, 7 класс.

Алгебра 7-9 классы. 9. Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Подробности
Категория: Алгебра 7-9 классы

 

 

 


УРАВНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ И ЕГО ГРАФИК

 

Пусть требуется найти два числа» разность которых равна 5. Если первое число обозначить буквой х, а второе буквой у, то соотношение между ними можно записать в виде равенства .

Равенство содержит две переменные. Такие равенства называют уравнениями с двумя переменными или уравнениями с двумя неизвестными.

При уравнение обращается в верное равенство 8 — 3 = 5. Говорят, что пара значений переменных является решением этого уравнения. Пара

х = 3, у = 8 не обращает уравнение в верное равенство, значит, не является его решением.

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений,переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Пару , являющуюся решением уравнения , можно записать так: (8; 3). При такой записи необходимо знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой — на втором. В записи решений уравнений с переменными х и у на первое место ставят значения х, а на второе место — значения у. Например, решениями уравнения служат также пары: (12; 7), (5,2; 0,2), ( — 2; —7), (3,8; -1,2).’

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной.

В уравнении слагаемые можно переносить из одной его части в другую, изменив знаки этих слагаемых; обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получаются уравнения, равносильные исходному. Чтобы найти решения уравнения

можно подставить в него вместо х произвольное число, например 3. Получим уравнение с одной переменной у: . Решив его, найдем, что у = —0,5. Пара (3; —0,5) — решение уравнения .

Для отыскания решений уравнения (1) удобно выразить одну переменную через другую. Выразим, например, переменную у через х. Для этого перенесем слагаемое Зх в правую часть уравнения, изменив его знак:

Разделив обе части этого уравнения на 2, получим:

Уравнение (3) равносильно уравнению (2), а уравнение (2) — уравнению (1). Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению(1).

По формуле можно найти сколько угодно решений уравнения . Например, если х = 2, то ;

если x = —0,4, то . Значит, уравнение (1) имеет бесконечно много решений.

Каждое решение вида, уравнения с двумя переменными можно изобразить в координатной плоскости точкой с координатами х и у. Все такие точки образуют график уравнения. На рисунке 55 показан график уравнения

Этот график — парабола. Действительно, уравнение равносильно уравнению , а формулой задается функция, графиком которой является парабола.

Графики уравнений весьма разнообразны. На рисунках 56 и 57 изображены графики уравнений

 

 

 

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

 


 Каждое из уравнений с двумя переменными , имеет вид , где а, b и с — некоторые числа. Такие уравнения называют линейными уравнениями с двумя переменными.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где х и у — переменные, а, b и с — числа.

Числа а и b называют коэффициентами при переменных, число ссвободным членом.

Выясним, что представляет собой график линейного уравнения.

Если в линейном уравнении коэффициент при

у не равен нулю, то из этого уравнения можно выразить у через х. Возьмем, например, уравнение. Имеем:

Формулой задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Та же самая прямая является и графиком уравнения , так как это уравнение равносильно уравнению

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, а коэффициент при х отличен от нуля, то графиком такого уравнения также является прямая. Рассмотрим, например, уравнение . Его решениями служат все пары чисел (х ; у), в которых x = 6, а у — любое число. Изобразив эти пары точками, получим прямую, параллельную оси ординат (рис. 59).

Итак, графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая

.

Уравнение , в котором а = О и b = 0, имеет вид . При с = 0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком — вся координатная плоскость. При уравнение не имеет решений, и его график не содержит ни одной точки.

Приведем примеры построения графиков линейных уравнений.

 

Пример 1. Построим график уравнения .

В линейном уравнении коэффициенты при переменных отличны от нуля. Поэтому его графиком является прямая. Прямая определяется двумя точками. Найдем координаты двух каких-либо точек прямой:

Отметим точки (0; —3) и (2; —1,5) и проведем через них прямую (рис. 60). Эта прямая — график уравнения

 

Пример 2. Построим график уравнения

х= — 3. Это уравнение можно записать в виде . графиком служит прямая, параллельная оси у (рис. 61).

 

Линейное уравнение с двумя переменными

Урок 39. Алгебра 7 класс

Вспомнив в начале урока, что мы называем линейным уравнением с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение, мы с помощью примера вводим понятие линейного уравнения с двумя переменными и даем ему определение. Также говорим, что называется решением уравнения с двумя переменными и какие уравнения называются равносильными.


Конспект урока «Линейное уравнение с двумя переменными»

Вопросы занятия:

·  повторить что такое линейное уравнение с одной переменной и сколько решений может иметь такое уравнение;

·  ввести понятия «линейное уравнение с двумя переменными», «решение уравнения с двумя переменными», «равносильные уравнения».

Материал урока

Ранее мы с вами рассматривали линейное уравнение с одной переменной.

Вспомним, что:

Сегодня на уроке мы познакомимся с линейным уравнением, но уже с двумя неизвестными.

Давайте рассмотрим ситуацию

Полученное равенство содержит две переменные. А поэтому такие равенства называют уравнениями с двумя переменными (или с двумя неизвестными).

Посмотрите на примеры уравнений с двумя переменными

Сформулируем определение:

Определение.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида:

Вернёмся к задаче

То есть пара значений переменных (x = 60, y = 110) является решением этого уравнения. Отметим, что эти корни были найдены методом подбора, причём это не единственная пара чисел, удовлетворяющих нашему уравнению.

Определение.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, которая обращает это уравнение в верное равенство.

Вспомним, что при изучении уравнений с одной переменной, мы говорили о равносильных уравнениях, то есть уравнениях, которые имеют одни и те же корни.

Аналогично можем сказать, что уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Причем уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также являются равносильными.

Равносильные уравнения обладают следующими свойствами:

Свойство 1.

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнения, равносильное данному;

Свойство 2.

Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Снова вернёмся к нашему уравнению

Но здесь важно знать, значение какой из переменных стоит на первом месте, а какой – на втором. Так в нашем случае сначала записано значение переменной x, а затем переменной y.

При этом пара чисел (150; — 25) являясь решением уравнения, не удовлетворяет условию задачи, так как скорость автомобиля не может быть отрицательной.

И давайте рассмотрим ещё одну задачу.

Пример.

Решение уравнений в целых числах, то есть когда надо найти только целые значения переменных, подробно рассматривал древнегреческий математик Диофант.

Поэтому уравнения с несколькими переменными, которые надо решить в целых числах, называют диофантовыми уравнениями. То есть уравнение, составленное в предыдущей задаче, является диофантовым, так как для него мы отыскивали только натуральные решения.

И давайте рассмотрим примеры.

Пример.

И ещё пример.

Пример.

Итоги урока

Итак, на этом уроке мы рассмотрели линейное уравнение с двумя переменными и один из способов решения таких уравнений.

 

Предыдущий урок 38 Применение различных способов для разложения на множители

Следующий урок 40 График линейного уравнения с двумя переменными


Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 7 класс

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Все математические ресурсы GMAT

22 диагностических теста 693 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

GMAT Math Help » Вопросы решения проблем » Алгебра » Линейные уравнения, два неизвестных » Решение линейных уравнений с двумя неизвестными

Какое уравнение является линейным?

Возможные ответы:

ни один из них не является линейным

Правильный ответ: 90 005

Пояснение:

Давайте рассмотрим все варианты ответов.

1. :  и являются константами, поэтому уравнение на самом деле является линейным.

2. 5x + 7y — 8yz = 16: Это нелинейно из-за члена yz.

3. : можно преобразовать в y + 8 = (x + 6)(x — 2). Ясно, что когда это расширится, будет член, так что это нелинейно.

4. : Это тоже нелинейно, в том числе из-за терма.

Сообщить об ошибке

Решить.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Найдите в первом уравнении:


Подставьте во второе уравнение:

Решите для .

Сообщить об ошибке

Ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Решите первое уравнение, чтобы получить

Подставьте его во второе уравнение и получите

Решите уравнение, чтобы получить , затем подставьте его в первое уравнение, чтобы получить .

Подстановка этих двух значений в , дает

  

Сообщить об ошибке

Решите систему уравнений:

Возможные ответы:

Система не имеет решения.

Правильный ответ:

Система не имеет решения.

Объяснение:

Умножьте обе части первого уравнения на 12:

Теперь сложите обе части двух уравнений:

непротиворечива и, следовательно, не имеет решения.

Сообщить об ошибке

Дайте набор решений для .

Возможные ответы:

Недостаточно информации для ответа на вопрос.

Правильный ответ:

Пояснение:

Выражение на левых множителях как разность квадратов:

Так как, мы можем подставить:

Теперь мы надо решить систему линейных уравнений:

Сообщить об ошибке

Компания хочет отправить некоторые виджеты. Если вес коробки плюс один предмет равен 6 фунтам, а вес ящика плюс два предмета равен 10 фунтам, то каковы вес коробки и вес предмета? Поместите ответ в упорядоченную пару так, чтобы упорядоченная пара была (вес коробки, вес виджета).

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Пусть вес коробки будет представлен как , а вес виджета будет представлен как . Поскольку вес коробки плюс вес одного предмета составляет 6 фунтов, это можно представить уравнением

 

Поскольку вес коробки плюс два предмета составляет 10 фунтов, это можно представить уравнением

  

Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных, и теперь мы можем решить для  и . Для этого решаем первое уравнение для  и подставляем его во второе уравнение. Решая первое уравнение, мы получаем

 

. Подставляя это во второе уравнение, мы получаем

 

 

Используя и подставляя его в первое уравнение, мы получаем

. Таким образом, вес коробки 2 фунта и вес виджет 4 фунта. Это дает нам упорядоченную пару.

Сообщить об ошибке

Решить когда

 

 

 

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Подставьте заданное значение и затем изолируйте .

Сообщить об ошибке

Какое значение , когда:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Решить для:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Что такое ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Из второго уравнения:

Подставим в первое и решим:

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все математические ресурсы GMAT

22 Диагностические тесты 693 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Уравнения с переменными (Предварительная алгебра, Введение в алгебру) – Mathplanet

В этом разделе вы узнаете, как решать уравнения, содержащие неизвестные переменные. Вы научитесь решать уравнения в уме, используя таблицу умножения, а также узнаете, как найти решение уравнения с заданными числами, а также с помощью обратных операций.

Вы можете решить простое уравнение в уме, используя таблицу умножения.


Пример

$$\begin{array}{lcl} 8x=64 \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} 8\cdot x=64 \end{array }$$

На какое число нужно умножить 8, чтобы получить произведение 64? Используя таблицу умножения, мы знаем, что это число равно 8.

$$8\cdot 8=64$$

Когда мы решаем уравнение, мы выясняем, какое значение x (или любой другой переменной) делает утверждение верным (удовлетворяет уравнению).


Пример

Какое из следующих чисел является решением уравнения? х = 2, 7 или 8?

$$14-x=7$$

Здесь вам даны числа 2, 7 и 8. Одно из этих чисел будет удовлетворять уравнению. Если вы не знаете решение сразу, вы можете выяснить, какое из заданных чисел дает правильный ответ, подставив разные значения x.

$$\begin{matrix} x=2\Стрелка вправо & 14-2=12& {\color{red} {Неверно}}\: \: \\ x=7\Стрелка вправо & 14-7=7\: & {\color{green} {Верно}} \\ x=8\Rightarrow & 14-8=6\: & {\color{red} {Неправильно}}\: \: \end{matrix}$$

Ответ: x=7


Вы уже решали уравнения, решения которых довольно легко увидеть, используя мысленную арифметику или закономерности. Большинство уравнений решить сложнее, и вам придется упростить уравнение, прежде чем вы увидите решение. Один из способов сделать это — использовать обратные операции.

Операция — это, например, сложение, умножение, деление и вычитание. Обратная операция — это операция, которая обращает эффект другой операции. Сложение и вычитание обратны друг другу, так же как деление и умножение обратны друг другу.


Пример

С цифрами

$$18+4=22$$

$$18+4{\color{blue} \, -\, 4}=22{\color{blue} \, — \, 4}$$

$$18=18$$

С переменными и числами

$$x+4=22$$

$$x+4{\color{blue} \, -\, 4 }=22{\color{blue} \, -\, 4}$$

$$x=18$$

Вычитаем по 4 с обеих сторон.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *