I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Глава I Элементы линейной алгебры > I.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
|
7)
8)
9)Найти решение системы линейных уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом
Для решения системы линейных алгебраических уравнений ее записывают в матричной форме
где -матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных; — столбец неизвестных; — столбец свободных членов.
После того, если для матрицы существует обратная матрица ( ) то система линейных уравнений имеет единственное решение и он находится за формулой
Поскольку перемножить матрицу на вектор столбец не складывает особенных трудностей, то большая проблема при вычислениях — найти обратную матрицу
В нахождении решения за приведенной формулой и заключается суть матричного метода.
Рассмотрим несколько примеров из сборника задач Дубовика В.П., Юрика І.І. «Высшая математика»
————————————
Задача.
Решить систему линейных алгебраических уравнений.
1) (1. 183)
2) (4. 182)
Решение.
1) Запишем систему трех линейных уравнений в матричной форме
Найдем обратную матрицу. Напомним, что
где — определитель матрицы , а — транспонированная матрица алгебраических дополнений элементов определителя матрицы.
Вычислим определитель матрицы
Матрица алгебраических дополнений состоит из элементов , которые вычисляются через миноры по правилу
Миноры — это определители на порядок меньшие от определителя , которые образуются вычеркиванием в нем -й строки и — го столбца.
На первый взгляд звучит слишком запутано, но при вычислениях все станет понятно и просто.
Найдем алгебраические дополнения к определителю
Запишем найденную матрицу алгебраических дополнений
и протранспонируем ее
Находим обратную матрицу
С помощью обратной матрицы находим решение системы линейных уравнений
На етом решения примера завешено. Как видите никаких сложных вычислений в етом задании мы не делали.
2) Запишем систему линейных уравнений четвертого порядка в матричной форме
Поскольку все коэффициенты ненулевые то вычислять ее будет трудно. Выполним над системой линейных уравнений элементарные превращения чтобы превратить в нуль некоторые из коэффициентов.
От второй строки отнимем первую и последнюю строки
От третьей строки отнимем сумму первой и четвертой строки начальной системы
От четвертой строки отнимем первый
Из последней строки уже можем сказать что но будем придерживаться правил чтобы научиться решать большие системы уравнений.
Поскольку матрица стала разреженной то вычисление определителя и матрицы алгебраических дополнений упростятся. Найдем определитель матрицы, разложив его за четвертой строкой
Найдем матрицу алгебраических дополнений, раскладывая искомые детерминанты за строками и столбцами которые содержат больше всего нулей. Для самопроверки выпишу Вам вычисление только первой строки. Остальные попробуйте вычислить самостоятельно
После нахождения всех значений получим следующую матрицу дополнений
Поскольку определитель равен единице то обратная матрица с транспонированной матрицей дополнений совпадают
Подставим в матричную запись и найдем решение
При вычислениях систем линейных алгебраических уравнений третьего, четвертого порядка матричным методом придется находить большое количество алгебраических дополнений , которые собой являют определители второго и третьего порядка соответственно. Именно ошибки при их вычислении чаще всего становятся причиной неверного решения.
Для избежания таких ситуаций нужно хорошо знать правила нахождения определителей второго, третьего порядка, а также правила чередования знаков возле миноров.
Изучайте их и получайте лишь верные решения !
———————————————-
Посмотреть материалы:
- Матричный метод решения системы линейных уравнений
- Метод Гаусса
- Метод Крамера
- Решение методом Крамера СЛАУ 3-4-го порядка
- Решение методом Гаусса СЛАУ 3-5-ого порядка
Решение системы с помощью обратной задачи
Результаты обучения
- Решить систему 2×2 с помощью обратной задачи.
- Решите систему 3×3, используя обратную.
- Решите систему с помощью калькулятора.
Решение системы линейных уравнений с использованием обратной матрицы требует определения двух новых матриц: [latex]X[/latex] — это матрица, представляющая переменные системы, и [latex]B[/latex] — это матрица, представляющая константы.
Чтобы решить систему линейных уравнений с использованием обратной матрицы , пусть [latex ]A[/latex] — матрица коэффициентов , пусть [latex]X[/latex] — переменная матрица, а [latex]B[/latex] — постоянная матрица. Таким образом, мы хотим решить систему [latex]AX=B[/latex]. Например, посмотрите на следующую систему уравнений.
[латекс]\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{2}x+{b}_ {2}y={c}_{2}\end{array}[/latex]
Из этой системы матрица коэффициентов равна
[latex]A=\left[\begin{array}{cc}{ a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right][/latex]
Матрица переменных равна
[latex]X=\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right][/latex]
И постоянная матрица
[latex]B=\left[ \begin{массив}{c}{c}_{1}\\ {c}_{2}\end{массив}\right][/latex] 9{-1}\right)b\end{array}[/latex]
Единственная разница между решением линейного уравнения и системы уравнений , записанной в матричной форме, заключается в том, что найти обратную матрицу сложнее, а умножение матриц — более длительный процесс.
Однако цель та же — изолировать переменную.
Мы подробно изучим эту идею, но лучше начать с системы [латекс]2\х 2[/латекс], а затем перейти к системе [латекс]3\х3[/латекс]. 9{-1}\right)B\end{array}[/latex]
Вопросы и ответы
Если матрица коэффициентов не имеет обратной, означает ли это, что система не имеет решения?
Нет, если матрица коэффициентов необратима, система может быть несовместной и не иметь решений или быть зависимой и иметь бесконечно много решений.
Пример: Решение системы 2 × 2 с помощью обратной матрицы
Решите данную систему уравнений с помощью обратной матрицы. 9{-1}[/latex] находился слева от [latex]A[/latex] с левой стороны и слева от [latex]B[/latex] с правой стороны. Поскольку умножение матриц не является коммутативным, порядок имеет значение.
Пример. Решение системы 3 × 3 с помощью обратной матрицы
Решите следующую систему, используя обратную матрицу.
[латекс]\begin{array}{r}\hfill 5x+15y+56z=35\\ \hfill -4x — 11y — 41z=-26\\ \hfill -x — 3y — 11z=-7\end {array}[/latex]
Показать решениеПопробуйте
Решите систему, используя обратную матрицу коэффициентов.
[латекс]\begin{array}{l}\text{ }2x — 17y+11z=0\hfill \\ \text{ }-x+11y — 7z=8\hfill \\ \text{ }3y — 2z=-2\hfill \end{array}[/latex]
Показать решениеКак сделать: Решите систему уравнений с обратной матрицей с помощью калькулятора [латекс]\влево[B\вправо][/латекс].
Пример: использование калькулятора для решения системы уравнений с обратными матрицами
Решите систему уравнений с обратными матрицами с помощью калькулятора
[латекс]\begin{array}{l}2x+3y+z=32\ hfill \\ 3x+3y+z=-27\hfill \\ 2x+4y+z=-2\hfill \end{массив}[/latex]
Показать решениеУ вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Метод обратной матрицы
Метод обратной матрицы ОБРАТНЫЙ МАТРИЧНЫЙ МЕТОДдля решения системы уравнений См.
аналогичное обсуждение в нашем тексте, Рольф, на страницах 165-167 ; следующее продолжает предыдущее обсуждение.
|
|
На тестах проф. М c Фарланда вас бы спросили для решения вышеуказанной проблемы
«методом обратной матрицы» в три отдельных шага, как показано ниже :
| [1] |
|
Следовательно
приведенное выше уравнение является матричным уравнением.
Обратите внимание, как элементы матрицы соответствуют
числа в исходной системе 3 уравнения| [2] |
| |
