Как решать квадратные уравнения — 6 способов — ЕГЭ/ОГЭ
- Вынесение за скобки
- Группировка
- Формулы сокращенного умножения {ФСУ}
- Дискриминант
- Теорема Виете
- Метод переброски
Вынесение за скобки
Данный метод используется когда в квадратном уравнении 2 члена
Ax2+ Bx = 0
x•(Ax+B) = 0
x=0 ; x= –B/A
Группировка
Данный метод используется когда в многочлене 4 слагаемых
Члены группируются по 2 слагаемых и применяется вынесение
Ax3+Bx2 + Cx+D = 0
Пример:
x3
x2 (x+2) –9(x+2) = 0
(x+2) • (x2–9) = 0
(x+2) • (x–3) • (x+3) = 0
x = –2 ; x = –3 ; x = 3
Формулы сокращенного умножения {ФСУ}
Самый распространенный вид : x2 – С = 0
Такое решается по разности квадратов
Данные формулы необходимо научиться сразу определять в примере
Разность квадратов — самое частое
a2 – b2 = (a – b)•(a + b)
Пример: x2 – 9 = 0
(x – 3)(x + 3) = 0
x = 3
x = –3
Ответ: –3;3
Квадрат разности
(a – b)2= a2 – 2ab + b2
Квадрат суммы
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
Разность кубов
a3 – b3 = (a – b) • (a2 + ab + b2
Сумма кубов
a3 + b3 = (a + b) • (a2 – ab + b2)
Куб разности
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Куб суммы
(a + b)3 = a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
Дискриминант
Самый долгий метод для решения квадратных уравнений, но зато надежный как швейцарские часы.
Тайные знания дискриминанта
Количество корней можно определить только по дискриминанту
Теорема Виете
Работает только если «A» = 1
Алгоритм
1) Смотрим на С и разбиваем на 2 множителя {не забывая знак!}
2) Складываем множители
3) Должны получить -b
Пример решения
x2 + 4x – 5 = 0
–5 1
Проверяем –5+1 = –4
Получили -4 , а b = 4, значит выбранные множители –5 и 1 являются корнями уравнения
Ответ: x1 = –5; x2 = 1
Метод переброски
Так как Т.Виетте работает только, когда A = 1, нам нужен еще 1 метод, который сможет нам помочь!
Алгоритм
1) Переносим(перебрасываем) A в С умножением и меняем неизвестное {например X на Y}
2) Находим корни нового уравнения y1 y2 по Т.
Виетте
3) Разделим корни на A и получим искомые корни x1 и x2
Пример решения
2x2 + 3x – 5 = 01) y2 + 3y – 10 = 0
2) y1 = –5 ; y2 = 2
3) x1 = –2,5 ; x2 = 1
Ответ: x1 = –2,5 ; x2 = 1
| ГОСТы, СНиПы Карта сайта TehTab.ru Поиск по сайту TehTab.ru | Навигация по справочнику TehTab.
| ||||||||||||||||||||||||||||||
Нашли ошибку? Есть дополнения? Напишите нам об этом, указав ссылку на страницу. | |||||||||||||||||||||||||||||||
TehTab.ru Реклама на сайте | Обращаем ваше внимание на то, что данный интернет-сайт носит исключительно информационный характер. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Все риски за использование информаци с сайта посетители берут на себя. Проект TehTab.ru является некоммерческим, не поддерживается никакими политическими партиями и иностранными организациями. | ||||||||||||||||||||||||||||||
ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Решение уравнений. Квадратные и биквадратные уравнения. Формулы. Методы. / / Решение уравнений. Формулы приведения для полиномов. Разность квадратов, квадрат разности, квадрат суммы, разность и сумма кубов, куб разности и суммы. Они же «формулы сокращенного умножения».
Разность квадратов:
Куб суммы:Использование квадратных и кубических корней
Ключевые понятия
1. Решение уравнений с использованием идеальных квадратов
2. Решение уравнений с использованием идеальных кубов
3. Решение уравнений с использованием несовершенных квадратов и квадратных кубов
Решения уравнений и кубов Корни
Введение :- В этой главе мы научимся решать уравнения с полными квадратами и кубами.
- Решить уравнения с несовершенными квадратами и несовершенными кубами.
Квадратный корень:
Квадратный корень из числа — это число, которое умножается само на себя, чтобы получить произведение.
Квадратный корень из 9 равен 3, потому что при умножении 3 на себя получается 9.
Совершенные квадраты:
Совершенные квадраты — это числа, квадратные корни которых — целые числа.
Схематическое изображение идеальных квадратов:
Что такое кубический корень?Кубический корень числа — это специальное значение, которое при возведении в куб дает исходное число.
Это называется 3 в кубе, т. е. 3 × 3 × 3.
Итак, кубический корень из 27 равен 3.
5 — кубический корень из 125.
Поскольку 5 — целое число, 27 называется совершенным кубом.
1.5 Решение уравнений с использованием квадратных и кубических корней:1.5.1 Решить уравнения с идеальными квадратами
Джордж хочет построить квадратный внутренний дворик. У него достаточно бетона, чтобы замостить площадь в 225 квадратных футов. Используйте формулу s =√A, чтобы найти длину каждой стороны патио.
Шаг 1: Прочтите задачу. Нарисуйте фигуру квадратного патио и подпишите ее с помощью данной информации.
A = 225 квадратных футов
Шаг 2: Определите, что вы ищете.
Длина стороны квадратного патио.
Шаг 3: Назовите то, что вы ищете, выбрав переменную для ее представления.
Пусть с = длина стороны.
Шаг 4: Преобразуйте в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для данной ситуации.
Заменить указанную информацию.
A = S 2 и A = 225
225 = S 2
√225 = √ S 2
Шаг 5: Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
25 = с
Шаг 6: Ответьте на вопрос полным предложением.
Каждая сторона патио должна быть 25 футов.
1.5.2 Решение уравнений с использованием идеальных кубов
Джордж построил кубический резервуар для воды с площадью основания 49 м 2 и
13
водой.
Найдем количество воды, которое он может вместить.
У куба все три стороны равны.
Let the side be a
so base area = a 2 = 49
a = 7m
So, volume of water it can hold = a × a × a
= 7 × 7 × 7
= 343 м 3
1313
бак уже заполнен. Итак, оставшаяся часть бака
2323
343 ×
2323
= 228,6
1M 3 = 1000L
Таким образом, количество воды, которое она может удерживать = 228,6 × 1000 = 228600 л
1.5.3 Решающие уравнения с участием дефектных квадратов и
В уравнении x 2 = 27
Шаг1: Применить корень на обе стороны для упрощения
√ x 2 = √27
: Спротно0005
x = √27
x = +√27 или -,27
Давайте решаем для x в уравнении x 3 =
Шаг: 3 =
: .
Обе стороны для упрощения
3√ x 3 = 3√11
Шаг 2: Упростить уравнение
x = 3√11
Упражнение:
1. Найдите квадрат следующие номера.
(i) 32 (ii) 35 (iii) 86
(iv) 93 (v) 71 (vi) 46
2. Найдите, какое из следующих чисел является идеальными квадратами?
(i) 225 (ii) 189 (iii) 441
(iv) 729 (v) 1575 (iv) 900
3. Какие из следующих чисел не являются совершенными кубами?
(i) 216 (ii) 128 (iii) 1000 (iv) 100 (v) 46656
4. Что из следующего является идеальным кубиком?
(i) 400 (ii) 3375 (iii) 8000 (iv) 15625
(v) 9000 (vi) 6859(vii) 2025 (viii) 10648
5. Является ли число 392 идеальным кубом? Если нет, найдите наименьшее натуральное число, на которое нужно умножить 392, чтобы произведение было полным кубом.
6. Найдите наименьшее число, на которое нужно умножить каждое из следующих чисел, чтобы получить идеальный куб.
(i) 243 (ii) 256 (iii) 72 (iv) 675 (v) 100
7. Найдите наименьшее число, на которое нужно разделить каждое из следующих чисел, чтобы получить идеальный куб.
(i) 81 (ii) 128 (iii) 135 (iv) 192 (v) 704
8. Парикшит делает кубоид пластитина с сторон 5 см, 2 см, 5 см. Сколько таких прямоугольных параллелепипедов ему понадобится, чтобы составить куб?
9. Найдите кубический корень каждого из следующих чисел методом простой факторизации.
(i) 64 (ii) 512 (iii) 10648 (iv) 27000
10. Учащиеся класса VIII школы пожертвовали всего 2401 доллара для фонда помощи циклону. Каждый ученик пожертвовал столько долларов, сколько учеников в классе. Найдите количество учеников в классе.
Чему мы научились:
• Квадратные и кубические корни.
• Совершенные квадраты и совершенные кубы.
• Как использовать идеальные квадраты и идеальные кубы для решения уравнений.
• Как использовать несовершенные квадраты и несовершенные кубы для решения уравнений.
Концептуальная карта:
8.EE.A.2 Рабочие листы — Common Core Math
Квадратные и кубические корни
Рабочий лист
Квадратные корни и кубические корни
Учащиеся тренируются находить квадратные корни из полных квадратов и кубические корни из полных кубов на этом листе по математике для восьмого класса!
8 класс
Математика
Рабочий лист
Оценка кубических корней
Рабочий лист
Оценка кубических корней
Испытайте учащиеся в понимании важного математического понятия с помощью этого практического листа по кубическим корням!
8 класс
Математика
Рабочий лист
Вычисление квадратного корня
Рабочий лист
Оценка квадратных корней
Помогите учащимся отточить свое понимание квадратных корней с помощью этого рабочего листа, который позволяет учащимся практиковаться в нахождении квадратных корней из полных квадратов
8 класс
Математика
Рабочий лист
Квадратные корни идеальных квадратов
Рабочий лист
Квадратные корни из идеальных квадратов
Помогите своим ученикам-математикам восьмого класса развить беглость речи, практикуясь в нахождении квадратных корней из обычных полных квадратов.
8 класс
Математика
Рабочий лист
Кубические корни идеальных кубов
Рабочий лист
Кубические корни идеальных кубов
Испытайте учащиеся в понимании важного математического понятия с помощью этого практического рабочего листа, посвященного кубическим корням!
8 класс
Математика
Рабочий лист
Решение уравнений с квадратными корнями
Рабочий лист
Решение уравнений с квадратными корнямиВ этом математическом листе для восьмого класса ученики учатся решать уравнения с квадратными переменными!
8 класс
Математика
Рабочий лист
Решение уравнений с кубическими корнями
Рабочий лист
Решение уравнений с кубическими корнями
В этом математическом листе для восьмого класса ученики учатся решать уравнения с кубическими переменными!
8 класс
Математика
Рабочий лист
Аппроксимация квадратных корней
Рабочий лист
Аппроксимация квадратных корней
В этом математическом задании для восьмого класса учащиеся будут аппроксимировать квадратные корни неполных квадратов, находя два целых числа, между которыми находится квадратный корень.