Решение задач профильного ЕГЭ по теме Теория вероятности
1. Вероятность. Задачи профильного ЕГЭ по математике.
Подготовила учитель математикиМБОУ «Лицей №4» г. Рузаевка
Овчинникова Т.В.
2. Определение вероятности
Вероятностью события A называют отношениечисла m благоприятствующих этому событию
исходов к общему числу n всех равновозможных
несовместимых событий, которые могут произойти
в результате одного испытания или наблюдения:
m
Р=
n
Пусть k – количество бросков монеты, тогда
количество всевозможных исходов: n = 2k.
Пусть k – количество бросков кубика, тогда
количество всевозможных исходов: n = 6k.
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел
выпадет ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта: о; о
о; р
р; р
Благоприятных 2: о; р и р; о.
Вероятность равна 2/4 = 1/2 = 0,5.
Ответ: 0,5.
р; о.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.
Результат округлите до сотых.
Решение.
Игральные кости – это кубики с 6 гранями. На первом кубике
может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту
выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков
на втором кубике.
Т.е. всего различных вариантов 6×6 = 36.
Варианты (исходы эксперимента) будут такие:
1; 1 1; 2 1; 3 1; 4 1; 5 1; 6
2; 1 2; 2 2; 3 2; 4 2; 5 2; 6
и т.д. …………………………
6; 1 6; 2 6; 3 6; 4 6; 5 6; 6
Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма
очков двух кубиков равна 8.
2; 6 3; 5; 4; 4 5; 3 6; 2.
Всего 5 вариантов.
Найдем вероятность: 5/36 = 0,138 ≈ 0,14.
Ответ: 0,14.
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из
них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность
того, что в случайно выбранном на экзамене билете
школьнику достанется вопрос по ботанике.
Решение:
Вероятность того, что в случайно выбранном на
экзамене билете школьнику достанется вопрос по
ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из
России, 7 из США, остальные − из Китая. Порядок, в котором
выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите
вероятность того, что спортсменка, выступающая первой,
окажется из Китая.
Решение.
Всего участвует 20 спортсменок,
из которых 20 – 8 – 7 = 5 спортсменок из Китая.
Вероятность того, что спортсменка, выступающая
первой, окажется из Китая, равна 5/20 = 1/4 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего
запланировано 75 докладов − первые три дня по
17 докладов, остальные распределены поровну между
четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора
М. окажется запланированным на последний день
конференции?
Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М.
окажется запланированным на последний день
конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.
Ответ: 0,16.
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону
участников разбивают на игровые пары случайным
образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует
26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России,
в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в
первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо
бадминтонистом из России?
Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с какимлибо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов
тоже из России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов
будет играть с каким-либо бадминтонистом из России,
равна 9/25 = 36/100 = 0,36.
Ответ: 0,36.
Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее
выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при
первом броске выпало 2 очка.
Решение.
В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это
возможно, если будут следующие комбинации:
2
6
3
5
4
и
и
и
и
и
6
2
5
3
4
Всего 5 вариантов.
Подсчитаем количество исходов(вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.
Такой вариант 1.
Найдем вероятность: 1/5 = 0,2.
Ответ: 0,2.
В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно
разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике
вперемешку лежат карточки с номерами групп:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что
команда России окажется в третьей группе.
Решение:
Всего команд 20, групп – 5.
В каждой группе – 4 команды.
Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит,
вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.
Ответ: 0,2.
Две
фабрики
выпускают
одинаковые
стекла
для
автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих
стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3%
бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло окажется
бракованным.
Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой
фабрике и оно бракованное:
р1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй
фабрике и оно бракованное:
р2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность
того, что случайно купленное в магазине стекло
окажется бракованным равна
р = р1 + р2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.
Ответ: 0,019.
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у
гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет
черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3.
Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй
партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А.
выиграет оба раза.
Решение:
Возможность выиграть первую и вторую партию не
зависят друг от друга. Вероятность произведения
независимых событий равна произведению их
вероятностей:
р = 0,52 · 0,3 = 0,156.
Ответ: 0,156.
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням.
Вероятностьпопадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в
мишени, а последние два раза промахнулся. Результат
округлите до сотых.
Решение:
Результат каждого следующего выстрела не зависит от
предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле»,
«попал при втором выстреле» и т.д. независимы.
Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность
промаха равна 1 – 0,8 = 0,2.
1 выстрел: 0,8
2 выстрел: 0,8
3 выстрел: 0,8
4 выстрел: 0,2
5 выстрел: 0,2
По формуле умножения вероятностей независимых событий,
получаем, что искомая вероятность равна:
0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Ответ: 0,02.
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них
может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от
другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы
один автомат исправен.
Решение:
Найдем вероятность того, что неисправны оба
автомата.
Эти события независимые, вероятность их произведения
равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один
автомат, противоположное.
Следовательно, его вероятность равна
1 − 0,0025 = 0,9975.
Ответ: 0,9975.
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9,
если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон
стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в
муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из
них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене
муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и
стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон
промахнётся.
Решение:
Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит
пристрелянный револьвер равна:
0,4 · (1 − 0,9) = 0,04
Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит
непристрелянный револьвер равна:
0,6 · (1 − 0,2) = 0,48
Эти события несовместны, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий:
0,04 + 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52.
При артиллерийской стрельбе автоматическая система
делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система
делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор,
пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения
некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при
каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется
для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее
0,98?
Решение:
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность
уцелеть после ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24;
Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096;
Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4) · 0,4 = 0,01536.
Последняя вероятность меньше 0,02, поэтому достаточно пяти
выстрелов по мишени.
Ответ: 5.
В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и
Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13
человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и
Сергей окажутся в одной группе.
Решение:
Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.
Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся
одноклассников.
Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12
человек, равна
P = 12 : 25 = 0,48.
Ответ: 0,48.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке
«Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на
каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё
не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный,
определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение:
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с
вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу
D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их
произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению
вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к
выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.
Ответ: 0,0625.
Пример решения задач по теории вероятности из ЕГЭ
Математика – это довольно разносторонний предмет.
Сейчас предлагаем рассмотреть пример решения задач по теории вероятности, которая является одним из направлений математики. Оговорим сразу то, что умение решать подобные задания станет большим плюсом при сдаче единого государственного экзамена. Задачи на теорию вероятности ЕГЭ содержит в части В, которая, соответственно, оценивается выше, чем тестовые задания группы А.
Именно эта группа изучается данной наукой. Что такое случайное событие? При проведении любого опыта мы получаем результат. Есть такие испытания, которые имеют определенный результат с вероятностью сто или ноль процентов. Такие события называются достоверные и невозможные соответственно. Нас же интересуют те, которые могут произойти или нет, то есть случайные. Для нахождения вероятности события используют формулу Р=m/n, где m – это варианты, которые нас удовлетворяют, а n – все возможные исходы. Теперь рассмотрим пример решения задач по теории вероятности.
Комбинаторика. Задачи
Теория вероятности включает в себя и следующий раздел, задания данного типа часто встречаются на экзамене.
Условие: студенческая группа состоит из двадцати трех человек (десять мужчин и тринадцать девушек). Нужно выбрать двух человек. Сколько существует способов избрать двух парней или девушек? По условию, нам необходимо найти двух девушек или двух мужчин. Видим, что формулировка нам подсказывает верное решение:
- Находим количество способов выбрать мужчин.
- Затем девушек.
- Складываем полученные результаты.
Выполняем первое действие: = 45. Далее девушки: и получаем 78 способов. Последнее действие: 45+78=123. Получается, что существует 123 способа выбора однополой пары типа староста и заместитель, не важно девушек или мужчин.
Классические задачи
Мы рассмотрели пример из комбинаторики, переходим к следующему этапу. Рассмотрим пример решения задач по теории вероятности на нахождение классической вероятности происхождения события.
Условие: Перед вами стоит короб, внутри находятся шары разного цвета, а именно пятнадцать белых, пять красных и десять черных.
Вам предлагают вытащить один наугад. Какова вероятность того, что вы возьмете шар: 1) белый; 2) красный; 3) черный.
Наше преимущество – подсчет всех возможных вариантов, в данном примере у нас их тридцать. Сейчас мы нашли n. Обозначим буквой А извлеченный белый шар, у нас получается m равно пятнадцати – это благополучные исходы. Пользуясь основным правилом нахождения вероятности, находим: Р=15/30, то есть 1/2. С такой вероятностью нам попадется белый шарик.
Аналогичным способом находим В – красные шары и С – черные. Р(В) будет равняться 1/6, а вероятность события С=1/3. Чтобы проверить, верно ли решена задача, можно воспользоваться правилом суммы вероятностей. Наш комплекс состоит из событий А, В и С, в сумме они должны составлять единицу. В результате проверки, мы получили то самое искомое значение, а значит, задание решено верно. Ответ: 1) 0,5; 2) 0,17; 3) 0,33.
ЕГЭ
Рассмотрим пример решения задач по теории вероятности из билетов ЕГЭ. Часто встречаются примеры с бросанием монетки.
Предлагаем разобрать один из них. Монетку бросают трижды, какова вероятность того, что выпадет дважды орел и один раз решка. Переформулируем задание: бросаем три монеты одновременно. Для упрощения составляем таблицы. Для одной монеты все понятно:
орел или один | решка или два |
Две монеты:
Один | один |
Один | два |
Два | один |
Два | два |
С двумя монетами мы имеем уже четыре исхода, а вот с тремя немного задача усложняется, а исходов становится восемь.
1 | Орел | Орел | Орел |
2 | Орел | Орел | Решка |
3 | Орел | Решка | Орел |
4 | Решка | Орел | Орел |
5 | Орел | Решка | Решка |
6 | Решка | Орел | Решка |
7 | Решка | Решка | Орел |
8 | Решка | Решка | Решка |
Теперь посчитываем варианты, которые нас устраивают: 2; 3; 4.
Получаем, что три варианта из восьми нас удовлетворяют, то есть ответ 3/8.
Задания В6. Теория вероятности | Подготовка к ЕГЭ по математике
Теория для решения задач здесь
Задача 1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Внешние углы», равна Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
Решение:+ показать
Задача 2.При изготовлении подшипников диаметром мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на мм, равна Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем мм или больше чем мм.
Решение:+ показать
Задача 3. В тоговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
Решение: + показать
Задача 4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение:+ показать
Задача 5. Биатлонист раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна Найдите вероятность того, что биатлонист первые раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение: + показать
Задача 6. Вероятность того, что новый пылесос прослужит больше года, равна Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Решение: + показать
Задача 7. Вероятность того, что на тесте по математике учащийся У. верно решит больше задач, равна Вероятность того, что У. верно решит больше задач, равна Найдите вероятность того, что У.
Решение: + показать
Задача 8. Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Решение: + показать
Задача 9. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает % этих стекол, вторая – %. Первая фабрика выпускает % бракованных стекол, а вторая – %. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение:+ показать
Задача 10. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. % яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — % яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Решение: + показать
Задача 11. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью , если стреляет из пристрелянного револьвера.
Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью На столе лежит револьверов, из них только пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение: + показать
Задача 12. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает очков, в случае ничьей — очко, если проигрывает — очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны
Решение: + показать
Задача 13. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент А. получит не менее баллов по математике, равна , по русскому языку — , по иностранному языку — и по обществознанию — .
Найдите вероятность того, что А. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Решение:
Задача 14. На фабрике керамической посуды % произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется % дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Решение: + показать
Задача 15. В кармане у Пети было монеты по рублю и монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.
Решение: + показать
Задача 16. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день.
Известно, что с вероятностью погода завтра будет такой же, как и сегодня. 3 августа погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 августа в Волшебной стране будет отличная погода.
Решение: + показать
Задача 17. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
Решение: + показать
Задача 18. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ дает положительный результат с вероятностью Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью Известно, что у % пациентов с подозрением на гепатит анализ дает положительный результат.
Решение: + показать
Задача 19. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна , а при каждом последующем — . Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее ?
Решение: + показать
Задача 20. Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к пруду или фонтану.
Решение: + показать
Вы можете пройти Тест
Хитрости для решения вопросов вероятности
Применение или использование вероятности можно увидеть в количественных способностях, а также в повседневной жизни.
Необходимо изучить основное понятие вероятности. Мы рассмотрим основы, а также проблемы сложного уровня для всех уровней студентов для всех конкурсных экзаменов, особенно SBI PO, SBI CLERK, IBPS PO, IBPS CLERK, RRB PO, NICL AO, LIC AAO, SNAP, MAT, SSC CGL и т. д.
Необходимо изучить основное понятие вероятности. Мы рассмотрим основы, а также проблемы сложного уровня для всех уровней студентов для всех конкурсных экзаменов, особенно SBI PO, SBI CLERK, IBPS PO, IBPS CLERK, RRB PO, NICL AO, LIC AAO, SNAP, MAT, SSC CGL и т. д.Определение:
Вероятность означает возможность или вероятность того, что событие произойдет или произойдет.
Например, когда подбрасывается монета, мы либо выиграем, либо выиграем. Это состояние вероятности.
Вероятность наступления события равна отношению благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.
Представляется как
Число благоприятных исходов
= __________________________________________________
Общее количество возможных исходов
Пространство выборки:-
Это набор всех возможных исходов. Обозначается S.
Например,
Образцовое пространство игральной кости, S = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
Образцовое пространство монеты, S= [орел, решка]
Типы задаваемых вопросов В конкурсном экзамене:
1) на основе монет
2) на основе костей
3) на основе игровых карт
4) на основе мрамора или шаров
5 4) ) Разное
Важные вопросы:
1.
Вопрос
Монета подбрасывается два раза. Какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна решка?
A) 3/4
B) 1/4
C) 1/3
D) 2/3
E) Ни один из этих TT, TH, HT,HH]
Общее количество способов = 2 × 2 = 4.
Любимые случаи = 3
P (A) = 3/4
Уловки:-
P (получить хотя бы одну решку )
= 1 – P (без головы)⇒ 1 – 1/4 = 3/4
2. Вопрос
Какова вероятность получить номерную карту при извлечении из колоды из 52 карт?
A) 1/13
B) 1/9
C) 9/13
D) 13/11
E) Ничего из этого
Ответ :- C
Сол:
11 Всего карточек.
Пронумерованные карты = 9 (2,3,4,5,6,7,8,9,10) каждой масти
Пронумерованные карты четырех мастей = 4 × 9 = 36
P (E) = 36/52 = 9 /13
3.Вопрос
Есть 7 фиолетовых зажимов и 5 коричневых зажимов. Два клипа выбираются один за другим без замены.
Найти вероятность того, что первый будет коричневым, а второй фиолетовым.
A) 1/35
B) 35/132
C) 1/132
D) 35/144
E) Ничего из перечисленного × P (P) = (5/12) x (7/11) = 35/132
4.Вопрос
Найдите вероятность выпадения суммы 8 при бросании двух игральных костей?
A) 1/8
B) 1/5
C) 1/4
D) 1/6
E) 1/3
Ответ 😀
Sol:
Общее количество способов 6 = 36 способов.
Благоприятные случаи = (2 , 6) (6, 2) (3, 5) (5, 3) (4, 4) (4, 4) — 6 способов.
P (A) = 6/36 = 1/6
5.Вопрос
Найдите вероятность того, что карта чести будет вытащена случайным образом из колоды из 52 карт.
A) 4/13
B) 1/3
C) 5/12
D) 7/52
E) Ничего из перечисленного
Ответ:-A
Sol:
Карты чести = 4 (A, J, Q, K) в каждой масти
Карты чести в 4 масти = 4 × 4 = 16
P (карта чести) = 16 /52 = 4/13
6.
Вопрос
Какова вероятность того, что выпадет лицевая карта, если из колоды в 52 карты вытянута карта наугад?
A) 1/13
B) 2/13
C) 3/13
D) 4/13
E) 5/13
Ответ :-C
Решение: лицевые карты = 9001 ( J,Q,K) в каждой масти
Лицевые карты 4 мастей = 3 × 4 = 12 карт.
P (лицевая карта) = 12/52 = 3/13
7.Вопрос
Если два игральных кубика брошены вместе, то какова вероятность того, что выпадет хотя бы одна «тройка»?
A) 36.11
B) 1/12
C) 36.11
D) 25.13
E) 36.13
Ответ :- A 8 8 8 8 6 × 6 = 36. либо 3, либо 4. A) 1/2 Ответ:- B 9. A) 1/10 10. А) 5/21 Ответ:- A 11. A) 1/4 Кроме того, девочки, получившие пятерку = 4, и мальчики, получившие пятерку = 5 Вероятность выбора отличницы= 9/30 Теперь отличницей может быть девушка. Требуемая вероятность выбора девушки или отличницы
Sol:
Вероятность выпадения числа 3 хотя бы один раз
= 1 – (Вероятность не выпадения числа 4)
= 1 – (5/6) x (5/6)
= 1 – 25/36
= 11/36
B) 1/3
C) 1/4
D) 2/3
E) 1/6
Решение:-
Всего результатов = 6
Вероятность выпадения одного числа при броске игральной кости = 1/6
Итак, P(3) = 1/6 и P(4) = 1/6 4
= P(3)+P(4)
= 1/6 + 1/6
= 1/3
Вопрос
Контейнер содержит 1 красный, 3 черных, 2 розовых и 4 фиолетовых камня. Если из контейнера наугад выбран один драгоценный камень, то какова вероятность того, что он будет фиолетовым или черным?
B) 3/10
C) 7/10
D) 9/10
E) Ничего из этого 1 + 3 + 2 + 4 ) = 10
вероятность получить фиолетовый драгоценный камень = 4/10
Вероятность получить черный драгоценный камень = 3/10
теперь, P (фиолетовый или черный) = P (фиолетовый) + P (черный)
= 4/10 + 3/10
= 7/10
В банке 63 мяча ( 1,2,3,……., 63). Из банки наугад вынимают два шара один за другим без замены. какова вероятность того, что сумма вытащенных шаров четная?
Б) 3/23
В) 5/63
D) 19/63
E) Ни один из этих
Sol.
Всего шариков = 63
Всего четных шаров = 31 (2, 4, 6, ……., 62)
Теперь требуется вероятность
= ³¹C₂/63C₂
= (31!/2! 29!)/(63! /2!61!)
= (31×30/1×2)/(63×62/1×2)
= (31×30)/(63×62)
= 30/63×2
= 5 /21
Вопрос
В классе 30 учеников, 15 мальчиков и 15 девочек. На итоговом экзамене 5 мальчиков и 4 девочки получили пятерку. Если ученица выбрана случайным образом из класса, какова вероятность того, что она выберет девочку или отличницу?
B) 3/10
C) 1/3
D) 2/3
E) Ничего из этого количество мальчиков = 15 и общее количество девочек = 15
Вероятность выбора девочки = 15/30
Значит, вероятность его выбора = 4/30
= 15/30 + 9/30 – 4/30
= 1/2 + 3/10 – 2/15
= 2/3
Какова вероятность того, что из колоды из 52 карт наугад вытащена карта туз или трефа?
A) 2/13
B) 3/13
C) 4/13
D) 5/23
E) Ни один из этих
в колоде 13 клубных карт и 1 туз клубной карты.
Теперь вероятность получения туза = 4/52
Вероятность получения трефы = 13/52
Вероятность получения туза трефы = 1/52
Требуемая вероятность получения туза или трефы
= 4/52 + 13/52 – 1/52
= 16/52
= 4/13
13. Вопрос
Из колоды из 52 карт вынимается одна карта, хорошо перетасованная. Подсчитайте вероятность того, что карта не будет королем.
А) 13/12
Б) 13/3
В) 13/7
D) 5/23
E) Ни один из этих
Ответ:- A
Решение:
Хорошо перетасовка обеспечивает равновероятные результаты.
Общее количество королей колоды = 4
Количество благоприятных исходов F= 52 – 4 = 48
Количество возможных исходов = 52
Следовательно, искомая вероятность
= 48/52 = 12/13
14.Вопрос
Если P(A) = 7/13, P(B) = 9/13 и P(A∩B) = 4/13, найдите значение P(A|B).
A) 1/9
B) 2/9
C) 3/9
D) 4/9
E) Ничего из этого
Ответ :- D
Решение:
P(A|
Б) = Р(А∩В)/Р(В) = (4/13)/(9/13) = 4/9.
15. Вопрос
Монета в одну рупию и монета в две рупии подбрасываются по одному разу, затем вычисляется выборочное пространство.
A) [HH, HT, TH, TT]
B) [HH, TT]
C) [TH, HT]
D) [HH, TH, TT]
E) Ни один из этих
Ответ:- А
Решение:
Результатом является либо Орел (H), либо Решка (T).
Теперь решка на обеих монетах = (H,H) = HH
Решка на обеих монетах = ( T, T) = TT
Вероятность выпадения орла на монете в одну рупию и решки на монете в две рупии = (H, T) = HT
И решка на монете в одну рупию и решка на монете в две рупии = (T, H) = TH
Таким образом, выборочное пространство ,S = [HH, HT, TH, TT]
16 Вопрос
Есть 20 билетов с номерами от 1 до 20. Эти билеты перемешиваются, а затем случайным образом вытягивается билет. Найти вероятность того, что номер вытянутого билета кратен 4 или 5?
A) 1/4
B) 2/13
C) 8/15
D) 9/20
E) Ничего из этого {1, 2, 3, 4, ….
, 19, 20} = 20
Пусть E = событие получения кратного 4 или 5 = {4, 8 , 12, 16, 20, 5, 10, 15, 20} = 9
Требуемая вероятность
= благоприятные исходы/общее число исходов
= 9/20
Направление ( 17 – 19):-
В школе общее количество учеников 300, 95 студентов любят только курицу, 120 студентов любят только рыбу, 80 студентов любят только баранину и 5 студентов не любят ничего из вышеперечисленного. Если случайным образом выбран один студент, найдите вероятность того, что
17) Студент любит баранину.
18 ) он любит курицу или баранину
19 ) он не любит ни рыбу, ни баранину.
Решение( 17-19):-
Общее количество благоприятных исходов = 300 (Так как всего 300 учеников).
Сколько раз выбирался любитель курицы = 95 (Поскольку 95 студентов любят курицу).
Количество раз, когда выбирался любитель рыбы = 120.
Количество раз, когда выбирался любитель баранины = 80.
Количество раз, когда выбирался студент, которому не нравится ни один из этих вариантов = 5.
17 Вопрос
Найдите вероятность того, что учащемуся понравится баранина?
A) 3/10
B) 4/15
C) 1/10
D) 1/15
E) Ни один из этих
Ответ:- B
Решение:-
Следовательно, вероятность того, что учащийся любит баранину
= 80/300
= 4/15
18. Вопрос
Какова вероятность того, что учащийся любит курицу или баранину?
A) 7/12
B) 5/12
C) 3/4
D) 1/12
E) Ничего из этого
Ответ:- A
получить ученика, который любит курицу или баранину
= (95+80)/300
= 175/300
= 7/12
19. Вопрос
Найдите вероятность того, что учащийся не любит ни рыбу, ни баранину.
A) 1/2
B) 1/5
C) 1/3
D) 1/4
E) 1/6
Ответ:- C
Решение:-
Вероятность попадания студент, который не любит ни рыбу, ни баранину
= (300–120−80)/300
= 100/300
= 1/3
Направление ( 20-22):-
В коробке 90 номерных знаков с номерами 1 до 90.
Если из ящика наугад вынуть один номерной знак, найти вероятность того, что
20) Число двузначное
21) Число представляет собой полный квадрат
22) Число кратно 5
20. Вопрос
Найдите вероятность того, что это число равно двойке -цифровое число.
A) 1/9
B) 1/10
C) 9/10
D) 7/10
E) Ничего из этого
Ответ:-C
Решение:
Количество благоприятных исходов
= 90 – 9 = 81 ( здесь, кроме 1–9, другие числа являются двузначными числами.)
Таким образом, требуемая вероятность
= количество благоприятных исходов /общее количество возможных исходов
= 81/90
= 9/ 10.
21. Вопрос
Какова вероятность того, что число является полным квадратом?
A) 1/9
B) 1/10
C) 9/10
D) 1/7
E) Ни один из этих
Ответ:- B
Решение:-
90,
Число благоприятных исходов = 9 [здесь 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и 81 — правильные квадраты]
Таким образом, искомая вероятность = 9/90 =1/10 .
Вопрос
Найти вероятность того, что число кратно 5.
A) 1/5
B) 1/6
C) 1/10
D) 1/8
E) 9/10
Ответ:- A
Решение:-
Всего возможных исходов = 90.
Количество благоприятных исходов = 18 (здесь 5 × 1, 5 × 2, 5 × 3, …., 5 × 18 кратны 5 ).
Таким образом, требуемая вероятность = 18/90 = 1/5
Венн. Диаграммы и вероятность вероятности
Новые видео: видео № 1 и #2 о вероятности экзамена 1/p
. диаграмма Венна.Иногда люди думают, что при решении вероятностных задач всегда нужно полагаться на причудливые обозначения и формулы. Однако это
, а не . Иногда наглядных материалов, таких как диаграммы Венна, достаточно, чтобы помочь вам получить правильные ответы. Эти диаграммы также могут дать интуитивное представление о характере проблем. В видеороликах № 1 и № 2 из моей новой серии видеороликов о решении задач на тему «Вероятность для актуарного экзамена 1 (экзамен P)» я подчеркиваю это двумя задачами, решения которых лучше всего разрабатывать, думая о диаграммах Венна.
На самом деле, в видео № 2 проблему можно решить очень быстро, используя лишь немного логики и арифметики в уме.
Однако ближе к концу видео № 2 я также подчеркиваю, что « обозначение события » и « обозначение вероятности » будут использоваться в будущих видеороликах и полезны для решения более сложных задач. Еще одна вещь, которую я подчеркиваю, это то, что может быть полезно думать о вероятностях с точки зрения относительных областей событий на диаграмме Венна. Это будет особенно важно при решении задач на условную вероятность, которая может оказаться непростой темой при первом столкновении.
Видео с диаграммами Венна Эти два видео встроены ниже. В первом видео решается задача №1 из онлайн-списка вопросов P Общества актуариев (SOA). Ее решение предполагает использование диаграммы Венна с тремя кругами (событиями). Во втором видео выполняется задача №2 из того же списка. На самом деле это немного проще решить, потому что в нем участвуют только два круга (события).
Вопросы P, задача № 2. Обозначение событий и вероятностей Для видео выше буквы, которыми обозначены круги, являются сокращениями для «событий». В случайном эксперименте событие можно неформально рассматривать как то, что может случиться .
В первом видео случайный эксперимент состоит из случайного выбора человека из группы людей и опроса, какие спортивные события они смотрели в прошлом году из списка из трех вариантов: гимнастика, бейсбол и футбол (т. , футбола во всех странах, кроме США). Буквы G , B и S обозначают события, которые человек смотрел, занимаясь гимнастикой, бейсболом и футболом в прошлом году соответственно.
Во втором видео случайный эксперимент состоит в том, чтобы выбрать человека, который посетил кабинет врача первичной медицинской помощи, и выяснить, был ли он направлен к специалисту и/или выполнялись ли ему лабораторные исследования (или ни то, ни другое). Для обозначения этих событий использовались буквы 
Во втором видео затем подчеркивается, что математики используют либо обозначение
, либо обозначают вероятность события L, происходящего . По сути, это обозначение функции: « P » представляет имя функции , а « L » представляет вход . Полное выражение (или ) затем представляет выход функции, который является действительным числом. В качестве вероятности можно сказать, что для любого события L .
Установить пересечение как сокращение для «И»Неформальное представление о событии как о «чем-то, что может произойти» не очень полезно для математического моделирования. В конечном счете, для нас будет лучше думать о событиях как о устанавливает : более конкретно, как подмножества объекта, известного как выборочное пространство . Из-за этого мы обнаружим, что операции над множествами будут полезны.
Оператор пересечения множеств
, который берет два множества и формирует новый набор их общих элементов, является конкретным примером этого.
Однако в неформальной обстановке выше мы можем просто думать об этом как о сокращении слова « и ». Легче всего запомнить это по тому, что символ выглядит как закругленная цифра «9».0657 А » (сокращение от « А »), но без горизонтальной полосы.
Следовательно, вероятность того, что произойдут оба события S и L , будет обозначаться
Союз как сокращение для «ИЛИ»
Опять же, в видео № 2 я очень быстро нашел ответ с некоторой интуитивной логикой, основанной на диаграмме. Однако мы можем представить метод, использованный в видео, в символической форме, основанной на некоторых важных формулах.
Оператор объединения множеств
, который берет два набора и формирует новый набор их объединенных элементов, может использоваться для представления одной важной части информации: Причина в том, что вероятность ни того, ни другого не происходит, равна 0,35, подразумевая, что вероятность того или иного события или (или обоих) равна.
Другими словами, оператор объединения множеств можно рассматривать как сокращение слова (включительно) «или».
Наконец, поскольку нам дано
и мы можем сказать, что окончательный ответ равен
Эта последняя строка может быть получена из так называемого общего правила сложения:
Установить дополнение как сокращение для «Не»Уравнение
из предыдущего раздела также иногда записывается как В общем, для события символ представляет событие, которое произошло , а не .
В теории множеств символ
представляет собой дополнение множества Мы всегда берем дополнения по отношению к некоторому большему множеству (в данном случае пространство выборки), которое визуально представлено в виде ограничивающей рамки на диаграмме Венна. Общее соотношение, представленное в уравнениях предыдущего абзаца, иногда записывается.
Также обратите внимание, что
Мы заканчиваем этот пост, отмечая существование одного из законов Де Моргана:
(обратите внимание на тот факт, что существуют различные обозначения для наборов дополнений, которые вы найдете в Интернете и в учебниках). Поэтому мы также можем написать, например,
Вас может заинтересовать задача-вызов: докажите этот закон Де Моргана самостоятельно.
5 вероятностных вопросов для проверки ваших навыков | по mlearnere
Наряду с разбивкой о том, как их решить и решения.
Photo by Krissia Cruz on Unsplash Поскольку многие из вас претендуют на должности в Data Science, ожидается, что во время технического аспекта процесса собеседования вам будут задавать различные вопросы о вероятности. В этом посте я постараюсь охватить 5 различных вероятностных вопросов (с возрастающей сложностью), которые, как я считаю, служат хорошим одеялом для различных типов вопросов, которые вы ожидаете получить в процессе собеседования.
Очевидно, что эта статья не претендует на завершение практики, а скорее призвана помочь вам проверить ваше знакомство с некоторыми типичными типами вероятностных вопросов.
Итак, начнем!
Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что их сумма больше 4?
Ответ:Во-первых, мы должны найти пространство выборки. Если мы бросим один кубик, каждый результат (числа от 1 до 6) будет иметь одинаковую вероятность 1/6. Однако, поскольку мы бросаем два кубика, каждый результат равен 1/36. Это означает, что наше выборочное пространство равно 36,9.0004
Теперь есть два способа решить проблему. Мы могли бы сначала найти количество всех сумм, которые больше 4, и разделить на 36, или мы могли бы найти суммы, которые меньше или равны 4, и найти их дополнение. Мы будем делать последнее, так как это займет меньше времени.
Во-первых, мы находим количество способов, при которых результат нашего кубика имеет сумму 4 или меньше.
Это даст:
Также обратите внимание, что, поскольку броски каждой кости независимы, порядок результатов имеет значение, т.е. (1,2) отличается от (2,1) и так далее.
Как мы видим выше, у нас есть 6 возможных исходов, где сумма равна 4 или меньше. Это дает вероятность 6/36 или 1/6. Поскольку вопрос требует сумм, превышающих 4, теперь нам нужно найти дополнение вероятности, которую мы получили выше. Следовательно, вероятность того, что выпадет два кубика, сумма которых больше 4, равна 5/6.
В банке 12 шариков: 4 красных, 5 синих и 3 оранжевых. Если вытащить 3 шарика без замены , какова вероятность получить все три цвета в следующем порядке: синий, оранжевый, красный? Какова вероятность получить все оранжевые?
Ответ:
Сначала мы должны отметить без замены — это означает, что когда мы вытаскиваем шарик, мы НЕ кладем его обратно в банку.
Это означает, что пространство выборки уменьшается на 1 при каждом вытягивании, начиная с 12.
В первом вопросе мы хотим найти вероятность того, что шарики будут вытащены в следующем порядке: синий, оранжевый и красный. Сначала нам нужно найти вероятность вытянуть синюю, которая равна 5/12.
Теперь, поскольку мы не кладем шарик обратно в банку, у нас осталось 11 шариков. Вероятность вытащить оранжевый шарик теперь составляет 3/11, а не 3/12.
Теперь у нас осталось 10 шариков. Это означает, что вероятность вытащить красный шарик равна 4/10. Чтобы найти вероятность, мы теперь умножаем три события.
Для второго вопроса мы хотим найти вероятность вытащить все оранжевые шарики, также без замены. Мы будем следовать той же процедуре, что и выше, только и пространство выборки, и количество оранжевых шариков будут уменьшаться.
При первом вытягивании вероятность вытащить первый оранжевый шарик равна 3/12. При втором вытягивании вероятность вытащить второй оранжевый шарик равна 2/11.
Наконец, для последнего рывка вероятность вытащить третий оранжевый шарик равна 1/10. Перемножаем эти результаты и получаем ответ.
Samsung, Panasonic и LG производят одноплатные компьютеры (SBC) для любителей. SBC от Samsung занимают 40% рынка, SBC от Panasonic — 25% рынка, а SBC от LG — остальное. 1% всех SBC Samsung и Panasonic неисправен, тогда как 2% всех SBC LG дефектны. Если купленный вами одноплатный компьютер был дефектным, какова вероятность того, что это одноплатный компьютер Panasonic?
Ответ:
Прежде чем мы приступим к решению этой задачи, давайте напишем, что мы знаем. Мы будем использовать S для обозначения Samsung, P для обозначения Panasonic, L для обозначения LG и D для обозначения неисправного компьютера.
Чтобы найти вероятность LG SBC при условии, что плата неисправна, мы должны использовать теорему Байеса. В контексте задачи это означает, что:
Этот вопрос также известен как «Задача дня рождения».
Какова вероятность того, что в комнате, полной 50 человек, по крайней мере у двух человек дни рождения совпадают? Предположим, что все дни рождения равновероятны (равномерное распределение) и в году 365 дней.
Ответ:
Как и в вопросе 1, есть два способа решить этот вопрос — один из них быстрее другого.
Чтобы эффективно решить этот вопрос, мы сначала найдем вероятность того, что никакие два человека не имеют одинаковых дней рождения, и найдем ее комплементарную. Поскольку вопрос задается по крайней мере два человека имеют один и тот же день рождения, его комплимент подразумевает, что нет двух людей с одинаковым днем рождения, что легче найти.
Нахождение вероятности того, что все 50 человек имеют разные дни рождения, выглядит следующим образом:
Таким образом, вероятность того, что по крайней мере два человека имеют один и тот же день рождения, является дополнением вышеприведенного, что приблизительно равно 97% .
Вы играете в покер и получаете тройку. Это означает, что из 5 карт в вашей руке три однотипные (Дама, Туз, 10 и т. д.) разных мастей, а две другие — случайные карты из колоды. Какова вероятность того, что выпадет эта рука?
Ответ:
Прежде всего, нам нужно вспомнить биномиальные коэффициенты, также известные как nCr. Уравнение выглядит следующим образом:
Это уравнение важно, так как оно позволяет нам очень легко находить комбинации, связанные с нашей покерной рукой. Мы будем использовать определенные примеры, так как вероятность не будет меняться от руки к руке, тройка всегда приводит к одной и той же вероятности.
Предположим, у нас есть 3 дамы, 2 червей и 5 пик. Есть 13 типов карт — туз, 2, 3, …, король — и по 4 каждого типа в зависимости от масти карты.
Если у нас в руке 3 дамы, то это 3 из 4 мастей 1 из 13 типов. Наши другие 2 карты будут взяты из других 12 типов, так как мы должны быть уверены, что не вытянем четвертую даму, и эти два типа должны быть разными.