3 общие задачи на предельные значения, которые необходимо знать, как решать — Matheno.com
У вас возникают проблемы с решением задач на предельные значения исчисления, хотя вы понимаете концепцию? В этом посте мы объясним три подхода, которые вы будете использовать снова и снова, особенно в задачах, где вы изначально получаете «0/0».
Обновление: По состоянию на сентябрь 2022 года у нас есть гораздо дополнительных интерактивных способов узнать об основополагающей концепции пределов, активно используя графические калькуляторы Desmos. Пожалуйста, посетите нашу Главу Ограничений до 92 – 16}{x-4}$ не определено при $x = 4$ именно по этой причине. Однако нам все еще нужно найти этот предел, который говорит нам, к какому значению приближается функция по мере того, как мы все ближе и ближе приближаемся к $x = 4$, так и не достигнув 4.
[collapse]
Когда вы получите $\ dfrac{«0»}{0}$, первое, что вы должны попробовать, это разложить на множители числитель или знаменатель.
2 – 16}{x-4} &= \lim_{x \ до 4}\dfrac{(x+4)(x-4)}{x-4} \\ \\
&= \lim_{x \to 4}\dfrac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{\cancel{x-4}} \\ \\
&= \lim_{x \ to 4}[x + 4] \\ \\
&= 8 \quad \cmark
\end{align*}
Мы гарантируем , что если вы можете разложить числитель или знаменатель на множители, проблемный «0» член в знаменателе сократится, как здесь. В этот момент вы можете просто подключить x и все.
Откройте, чтобы увидеть еще два примера задач, использующих факторинг.
1. В этом вы делите знаменатель. 92 – 4x – 5}{x – 5} &= \text{ ?} \\ \\
&= \lim_{x \to 5}\dfrac{(x-5)(x+1)}{x – 5} \\ \\
&= \lim_{x \to 5}\dfrac{\cancel{(x-5)}(x+1)}{\cancel{x – 5}} \\ \\
& = \lim_{x \to 5}[x + 1] \\ \\
&= 6 \quad \cmark\end{align*}
[свернуть]
Результат: Фактор всякий раз, когда вы можете.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
- Наша глава о пределах (все, что вам нужно знать, с интерактивными компонентами, которые помогут вам разработать почувствуйте пределы и многие тактики решения проблем, которые вы можете практиковать)
- «Пределы в бесконечности: что вам нужно знать»
II.
Разверните полином У вас, вероятно, есть проблемы, которые выглядят как
$$\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{штучки в числителе}}{h} = ?$$
Опять же, если вы просто подключите $h = 0$, вы получаете этот проблематичный «0» в знаменателе.
Обычно в этих задачах нельзя разложить числитель на множители. Вместо этого, вероятно, есть многочлен, который вы можете разложить. 92 – 10h}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0}\dfrac{h(h – 10)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cancel{h}(h-10)}{\cancel{h}} \\ \\
&= \lim_{h \to 0}[h – 10] \\ \\
&= -10 \quad \cmark
\end{align*}
[collapse]
Результат: Разверните полином.
(Пока что. Позже в курсе мы увидим, как эти $\lim_{h \to 0}$ проблемы напрямую связаны с определением производной, и в этот момент вы можете использовать сокращение — но не сейчас. Вы должен знать, как решить их, используя подход здесь в первую очередь. . .
и правда, это просто алгебра.)
III. Рационализировать
Есть ли в вашей проблеме какие-то квадратные корни, как здесь?
$$\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} = ?$$
Затем рационализируйте выражение, как вы практиковали в алгебре: умножьте обе числитель и знаменатель сопряженными $\sqrt{x+5} + \sqrt{5}$.
\begin{align*}
\lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} &= \lim_{x \to 0}\dfrac{\ sqrt{x+5} – \sqrt{5}}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{x+5}\sqrt{x+5} + \sqrt{x+5}\sqrt{5} — \sqrt{5}\sqrt{ x+5} -\sqrt{5}\sqrt{5}}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\ dfrac{(x+5) – 5}{x[\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{x}{x [\sqrt{x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{\cancel{x}}{\cancel{x}[\sqrt{ x+5} + \sqrt{5}]} \\ \\
&= \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{\sqrt{x+5} + \sqrt{5}} \\ \ \
&= \dfrac{1}{2\sqrt{5}} \quad \cmark
\end{align*}
Мы гарантируем , что если вы рационализируете выражение, проблематичный член «0» в знаменателе сократится, как здесь.
В этот момент вы можете просто подключить x и все.
Кстати, обратите внимание, что при переходе от первой строки выше ко второй мы умножили члены в числителях, чтобы избавиться от радикалов. Но мы не умножали члены в знаменателе, потому что исходные x в знаменателе красиво сократились несколькими шагами позже.
Результат: Если у вас есть радикалы, рационализируйте.
Конечно вам нужно потренироваться.
Конечно, недостаточно прочитать наши решения. Вместо этого вам нужно попрактиковаться и сделать несколько ошибок для себя, чтобы все это стало для вас рутиной, когда вы будете сдавать экзамен. У нас есть много задач, которые вы можете попробовать, все с полными решениями одним щелчком мыши, чтобы вы могли быстро проверить свою работу (или избавиться от зависаний) без хлопот.
А пока мы приглашаем вас сообщить нам об этом на форуме:
- Какими советами вы можете поделиться о решении проблем с ограничениями?
- Как мы можем сделать сообщения, подобные этому, более полезными для вас?
Пожалуйста, посетите и разместите!
Вы можете поддержать нашу работу чашечкой кофе
Мы — небольшая самофинансируемая команда, задача которой — предоставить высококачественные полезные материалы всем, кто хочет хорошо изучить исчисление.
Мы предоставляем этому сайту без рекламы (!), и мы не продаем ваши данные никому. Мы потратили тысячи часов на создание всего, что здесь есть, и с вашей помощью мы можем продолжать расти и предлагать больше!
Если мы сэкономили вам время или вы нашли наши материалы полезными, рассмотрите возможность предоставления любой суммы, которую вы считаете подходящей. Это может занять менее 60 секунд, и все, что вы дадите, поможет . . . и если вы можете внести немного больше, это позволит нам продолжать обеспечивать тех, у кого меньше.
Мы заранее благодарим вас за все, что вы решите дать.
Да, верну через PayPal!
Другие способы оплаты
(включая Google Pay и Apple Pay)
Платежная информация полностью защищена и никогда не касается наших серверов.
Спасибо! ❤️
Как решить неопределенные пределы
Если предел рациональной функции дает форму $$\frac{0}{0}$$…
- факторизовать числитель и знаменатель,
- разделить общий(е) множитель(и), 92+8(-3)+15} = \color{red}{ \frac 0 0}$$
Поскольку $$\frac{0}{0}$$ — неопределенная форма, предел может (а может и не существовать) существовать.
2+16x} & = \lim_{x\to4}\frac{{\color{blue}(x- 4)}(2x+1)}{x{\color{синий}(x-4)}(x-4)} \\
%
& = \lim_{x\to4}\frac{2x+1}{x(x-4)}
\конец{выравнивание*}
$$
92-4} & = \lim_{x\to2} \frac{(x+7){\color{blue}(x-2)}}{(x+2){\color{blue}(x-2) )}} \\
%
& = \lim_{x\to2} \frac{x+7}{x+2}
\конец{выравнивание*}
$$Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$\displaystyle \lim_{x\to2} \frac{x+7}{x+2} = \frac{2+7}{2+2} = \frac 92+10x+9} & = \lim_{x\to-1} \frac{(x-5){\color{blue}(x+1)}}{(x+9){\color{blue} (х+1)}} \\ % & = \lim_{x\to-1} \frac{x-5}{x+9} \\ \конец{выравнивание*} $$
Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$\displaystyle \lim_{x\to-1} \frac{x-5}{x+9} = \frac{-1-5}{-1+92+5x-2} & = \lim_{x\to\frac 1 3} \frac{{\color{blue}(3x-1)}(x-2)}{{\color{blue}(3x- 1)}(х+2)} \\ % & = \lim_{x\to\frac 1 3} \frac{x-2}{x+2} \конец{выравнивание*} $$
Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$ $ \ displaystyle \ lim_ {x \ to \ frac 1 3} \ frac {x-2} {x + 2} = \ frac {\ frac 1 3 — 2} {\ frac 1 3 + 2} = \ frac { -\frac 5 3}{\frac 7 3} = -\frac 5 7$$. 92+15x-8} & = \lim_{x\to-8} \frac{{\color{blue}(x+8)}(2x+3)}{{\color{blue}(x+8) }(2x-1)} \\ % & = \lim_{x\to-8} \frac{2x+3}{2x-1} \конец{выравнивание*} $$
Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$\displaystyle \lim_{x\to-8} \frac{2x+3}{2x-1} = \frac{2(-8)+3}{2(-8)-1} = \frac{ -13}{-17} = \frac{13}{17}$$. 92-12x+36} & = \lim_{x\to6} \frac{(x+3){\color{blue}(x-6)}}{{\color{blue}(x-6)}( х-6)}\\ % & = \lim_{x\to6} \frac{x+3}{x-6} \конец{выравнивание*} $$
Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$\displaystyle \lim_{x\to6} \frac{x+3}{x-6} = \frac{6 + 3}{6 -6} = \frac 92+25(-5)}% \\[6pt] % & = \frac{50 — 65 + 15}{-125 + 250 — 125}% \\[6pt] % & = \ гидроразрыв 0 0 \конец{выравнивание*} $$
Шаг 2
Найдите и разделите любые общие множители.
92+25x}%
%
& = \lim_{x\to-5}\,%
\ гидроразрыв {%
\синий{(х+5)}(2х+3)%
}
{%
х \ синий {(х + 5)} (х + 5)%
}
\\[6pt]
%
& = \lim_{x\to-5}\,%
\фракция{2x+3}
{х(х+5)}%
\конец{выравнивание*}
$$Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$ \displaystyle\lim_{x\to-5}\,% \ гидроразрыва {2x+3}{x(x+5)}% % = \frac{2(-5) + 3}{-5(-5+5)}% % = \фракция{-7} 0 $$.
92 + 20\влево(-\фракция 2 5\вправо) + 4
}
\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв {%
15\left(-\frac 8 {125}\right)+\frac 4 {25}+\frac 4 5%
}
{%
25\влево(\frac 4 {25}\вправо) — 8 + 4
}
\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв {%
3\left(-\frac 8 {25}\right)+\frac 4 {25}+\frac{20}{25}%
}
{%
4 — 8 + 4
}\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв 0 0
\конец{выравнивание*}
$$
92 + 20x + 4}%
%
& = \lim_{x\to -\frac 2 5}\,%
\ гидроразрыв {%
х\синий{(5x+2)}(3x-1)%
}
{%
\ синий {(5x+2)}(5x+2)%
}
\\[6pt]
%
& = \lim_{x\to -\frac 2 5}\,%
\ гидроразрыв {%
х(3х-1)%
}
{%
5х+2%
}
\конец{выравнивание*}
$$Шаг 3
Вычислить более простой предел.
$$ \begin{выравнивание*}% \lim_{x\to -\frac 2 5}\,% \ гидроразрыв { х (3x-1)} {5x+2}% % & = \ гидроразрыв {% -\фракция 2 5\влево(% 3\влево(-\фракция 2 5\вправо) — 1% \верно) } {% 5\влево(-\фракция 2 5\вправо) + 2 } \\[6pt] % & = \ гидроразрыв {% -\фракция 2 5\влево(% -\frac 6 5 — \frac 5 5% \верно) } {% -2 + 2 } \\[6pt] % & = \фракция{22/25} 0 \конец{выравнивание*} $$.
2+16x} & = \lim_{x\to4}\frac{{\color{blue}(x- 4)}(2x+1)}{x{\color{синий}(x-4)}(x-4)} \\
%
& = \lim_{x\to4}\frac{2x+1}{x(x-4)}
\конец{выравнивание*}
$$
92-4} & = \lim_{x\to2} \frac{(x+7){\color{blue}(x-2)}}{(x+2){\color{blue}(x-2) )}} \\
%
& = \lim_{x\to2} \frac{x+7}{x+2}
\конец{выравнивание*}
$$
92+25x}%
%
& = \lim_{x\to-5}\,%
\ гидроразрыв {%
\синий{(х+5)}(2х+3)%
}
{%
х \ синий {(х + 5)} (х + 5)%
}
\\[6pt]
%
& = \lim_{x\to-5}\,%
\фракция{2x+3}
{х(х+5)}%
\конец{выравнивание*}
$$
92 + 20\влево(-\фракция 2 5\вправо) + 4
}
\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв {%
15\left(-\frac 8 {125}\right)+\frac 4 {25}+\frac 4 5%
}
{%
25\влево(\frac 4 {25}\вправо) — 8 + 4
}
\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв {%
3\left(-\frac 8 {25}\right)+\frac 4 {25}+\frac{20}{25}%
}
{%
4 — 8 + 4
}\\[6pt]
%
& = \ гидроразрыв 0 0
\конец{выравнивание*}
$$
92 + 20x + 4}%
%
& = \lim_{x\to -\frac 2 5}\,%
\ гидроразрыв {%
х\синий{(5x+2)}(3x-1)%
}
{%
\ синий {(5x+2)}(5x+2)%
}
\\[6pt]
%
& = \lim_{x\to -\frac 2 5}\,%
\ гидроразрыв {%
х(3х-1)%
}
{%
5х+2%
}
\конец{выравнивание*}
$$
