Как решить систему уравнений в R (3 примера)
Чтобы решить систему уравнений в R, мы можем использовать встроенную функциюsolve() .
В следующих примерах показано, как использовать эти функции для решения нескольких различных систем уравнений в R.
Пример 1. Решение системы уравнений с двумя переменнымиПредположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x и y:
5х + 4у = 35
2х + 6у = 36
В следующем коде показано, как использовать функциюsolve() в R для поиска значений x и y:
#define left-hand side of equations left_matrix <- matrix(c(5, 2, 4, 6), nrow= 2 ) left_matrix [,1] [,2] [1,] 5 4 [2,] 2 6 #define right-hand side of equations right_matrix <- matrix(c(35, 36), nrow= 2 ) right_matrix [,1] [1,] 35 [2,] 36 #solve for x and y solve(left_matrix, right_matrix) [,1] [1,] 3 [2,] 5
Это говорит нам о том, что значение x равно 3 , а значение y равно 5 .
Предположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения x, y и z:
4х + 2у + 1з = 34
3x + 5y – 2z = 41
2х + 2у + 4з = 30
В следующем коде показано, как использовать функциюsolve() в R для решения значений x, y и z:
#define left-hand side of equations left_matrix <- matrix(c(4, 3, 2, 2, 5, 2, 1, -2, 4), nrow= 3 ) left_matrix [,1] [,2] [,3] [1,] 4 2 1 [2,] 3 5 -2 [3,] 2 2 4 #define right-hand side of equations right_matrix <- matrix(c(34, 41, 30), nrow= 3 ) right_matrix [,1] [1,] 34 [2,] 41 [3,] 30 #solve for x, y, and z solve(left_matrix, right_matrix) [,1] [1,] 5 [2,] 6 [3,] 2
Это говорит нам о том, что значение x равно 5 , значение y равно 6 , а значение z равно 2 .
Пример 3. Решение системы уравнений с четырьмя переменнымиПредположим, у нас есть следующая система уравнений, и мы хотели бы найти значения w, x, y и z:
6ш + 2х + 2у + 1з = 37
2ш + 1х + 1у + 0з = 14
3ш + 2х + 2у + 4з = 28
2ш + 0х + 5у + 5з = 28
В следующем коде показано, как использовать функциюsolve() в R для поиска значений w, x, y и z:
#define left-hand side of equations left_matrix <- matrix(c(6, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 0, 2, 1, 2, 5, 1, 0, 4, 5), nrow= 4 ) left_matrix [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 6 2 2 1 [2,] 2 1 1 0 [3,] 3 2 2 4 [4,] 2 0 5 5 #define right-hand side of equations right_matrix <- matrix(c(37, 14, 28, 28), nrow= 4 ) right_matrix [,1] [1,] 37 [2,] 14 [3,] 28 [4,] 28 #solve for w, x, y and z solve(left_matrix, right_matrix) [,1] [1,] 4 [2,] 3 [3,] 3 [4,] 1
Это говорит нам о том, что значение w равно 4 , x равно 3 , y равно 3 и z равно 1 .
В следующих руководствах объясняется, как выполнять другие распространенные операции в R:
Как рассчитать сводку из пяти чисел в R
Как создать сводные таблицы в R
Как рассчитать Z-значения в R
Системы уравнений
На этой странице вы узнаете:
- Что такое система уравнений?
- Как решать системы уравнений методом сложения?
- Как решать системы уравнений методом подстановки?
- Почему не стоит решать систему уравнений графическим методом?
Система уравнений – это совокупность двух и более уравнений с одной или несколькими переменными, объединённые фигурной скобкой.
Переменная – это неизвестное число, обозначенное буквой
То есть, это уравнения, состоящие из одной и более переменных и выполняющиеся одновременно. Чтобы решить такую систему уравнений, нужно найти все её решения или доказать, что их нет. Решениями называют комбинации значений переменных, при которых все уравнения системы становятся верными
Рассмотрим примеры таких систем:{2x+3y = 13 x*y = 5 система уравнений с двумя переменными
{x+y+z = 12 z+3*y = 13x*y = 6 система уравнений с тремя переменными
Существует три метода решения систем уравнений:
— графический метод
— метод сложения
— метод подстановки
Методы решения системГрафический метод решения систем уравнений заключается в построении графика для каждого уравнения, решения будут точки пересечения графиков, на практике такой метод очень неточный и удобен только для нахождения количества решений
Чтобы решить систему методом сложения, нужно умножить обе стороны одного или нескольких уравнений на число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными друг другу числами, далее нужно сложить уравнения системы и записать новую систему с использованием полученного уравнения и одного из более легких уравнений изначальной системы
Давайте рассмотрим на примере:
{6x-2y = 4x2-4x+10 = y
Перенесём у в левую часть уравнения
{6x-2y = 4x2-4x+10-y = 0
Умножим обе части первого уравнения на — 12
{-3x+y = -2x2-4x+10-y = 0
Сложим первое и второе уравнения и составим систему из нового уравнения и первого
{x2-7x+12 = 0-3x+y = -2
Решим первое уравнение по теореме Виета и получим корни х = 3 и х = 4, рассмотрим случаи для каждого из корней и решим второе уравнение
{x = 3-9+y = -2 или {x = 4 -12+y = -2
Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)
Можно решить систему уравнений методом подстановки, для этого нужно выразить одну переменную из любого уравнения системы и подставить в другое, в новую систему нужно записать получившееся уравнение и более легкое в решении уравнение изначальной системы
Давайте рассмотрим на примере того же уравнения:
{6x-2y = 4 x2-4x+10 = y
Во втором уравнение уже выражена переменная y, подставим её в первое уравнение и запишем систему из нового уравнения с одной переменной и первого уравнения с двумя переменными
{6x-2(x2-4x+10)= 4 6x-2y = 4
Раскроем скобки у первого уравнения и приведём подобные слагаемые
{-2×2+14x-24 = 0 6x-2y = 4
Разделим обе стороны первого уравнения на -2 и найдём корни по теореме Виета, х = 3 и х = 4 , рассмотрим случаи для каждого из этих корней и решим второе уравнение
{x = 3 18-2y = 4 или {x = 4 24-2y = 4
Получим у = 7 и у = 10 , полученные решения запишем в виде координат(x; y): (3; 7), (4; 10)
К решению систем уравнений, состоящих из большего количества уравнений тоже можно применять эти методы
ФактчекСистемой уравнений являются несколько уравнений с одной и более переменными, выполняющиеся одновременно.
Для решения систем уравнений используют три метода: графический, метод сложения и метод подстановки. Графический метод очень неточный, поэтому он удобен только для нахождения количества решений.
Метод сложения заключается в сложении двух уравнений так, чтобы получить одно из уравнений в системе с одной переменной и второе уравнение перенести из прошлой системы.
Для метода подстановки нужно выразить из любого уравнения одну неизвестную, подставить ее значение вместо этой переменной в другое уравнение и аналогично составить систему из нового уравнения и одного из уравнений начальной системы
Проверь себяЗадание 1.
Решить систему уравнений {x2+y=5 6x-y=2
- (-7; -44), (1; 4)
- (8; 15), (4; 1)
- (11; -4), (1; 2)
- (-7; -4), (3; 4)
Задание 2.
Решить систему уравнений {xy+x=0 x-y=7
- (7; -2), (6; -1)
- (0; -2), (5; -11)
- (-7; 0), (6; 0)
- (0; -7), (6; -1)
Задание 3.
Решить систему уравнений {x+xy2=0 x-y=5
- (2; 3)
- (0; -8)
- (0; -5)
- (2; -5)
Задание 4.
Решить систему уравнений {x+3y=16 xy=5
- (15;1)
- (10;2)
- (8;2)
- (15;2)
Задание 5.
Решить систему уравнений {x-yx+y=0 x+y2=2
- (-2; -3), (1; 1), (1; 0), (-2; 2)
- (-2; -2), (-1; 1), (1; -1), (2; 2)
- (-1; -2), (1; 2), (1; 0), (-1; 2)
- (-2; -2), (1; 1), (1; -1), (-2; 2)
Ответы: 1. — 1; 2. — 4; 3. — 3; 4. — 2; 5. — 4.
Решение систем уравнений тремя способами: замена, исключение и построение графика — Криста Кинг Математика
Всегда есть три способа решения системы уравнений
Есть три способа решения системы линейных уравнений: подстановка, исключение и построение графика.
Давайте рассмотрим шаги для каждого метода.
Получить переменную саму по себе в одном из уравнений.
Возьмите выражение, которое вы получили для переменной на шаге 1, и подставьте его (замените скобками) в другое уравнение.
Решите уравнение шага 2 для оставшейся переменной.
Используйте результат шага 3 и подставьте его в уравнение из шага 1.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
ИсключениеПри необходимости переставьте оба уравнения так, чтобы сначала были члены ???x???, затем члены ???y???, знак равенства и постоянный член (в этой последовательности). Если уравнение не имеет постоянного члена, это означает, что постоянный член равен ???0???.
Умножить одно (или оба) уравнения на константу, которая позволит сократить либо ???x???-члены, либо ???y???-члены при сложении или вычитании уравнений (когда их левая и правая части складываются отдельно или когда их левая и правая части вычитаются отдельно).
Сложите или вычтите уравнения.
Найдите оставшуюся переменную.
Подставьте результат шага 4 в одно из исходных уравнений и найдите другую переменную.
Решить для ???y??? в каждом уравнении.
Постройте график обоих уравнений в одной и той же декартовой системе координат.
Найти точку пересечения линий (точка пересечения линий).
Решение той же системы с подстановкой, затем с исключением, затем с построением графика
Пройти курс
Хотите узнать больше об Алгебре 1? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Определение того, какой метод лучше всего подходит для решения системы: замена, исключение или построение графика
Теперь давайте рассмотрим несколько примеров, в которых нам нужно решить, какой из этих трех методов использовать.
Пример
Какой метод вы бы использовали для решения следующей задачи? Объясните, почему вы выбрали именно этот метод.
???х=у+2???
???3y-2x=15???
Самый простой способ решить эту систему — использовать подстановку, поскольку ???x??? уже изолирован в первом уравнении. Всякий раз, когда одно уравнение уже решено для переменной, подстановка будет самым быстрым и простым методом.
Несмотря на то, что вас не просят решить, вот шаги для решения системы:
Замените ???y+2??? за ???х??? во втором уравнении.
???3y-2(y+2)=15???
Раздать ???-2??? а затем объединить подобные термины.
???3y-2y-4=15???
???y-4=15???
Добавить ???4??? в обе стороны.
???y-4+4=15+4???
???y=19???
Заглушка ???19??? для тебя??? в первое уравнение.
???х=у+2???
???х=19+2???
???х=21???
Единственное решение ???(21,19)???.
Существует три способа решения систем линейных уравнений: замена, исключение и построение графика.
Как решить систему с помощью метода исключения
Пример
Чтобы решить систему методом исключения, что было бы полезным первым шагом?
???x+3y=12???
???2x-y=5???
Когда мы используем исключение для решения системы, это означает, что мы собираемся избавиться (устранить) от одной из переменных. Таким образом, мы должны иметь возможность складывать уравнения или вычитать одно из другого, и при этом отменять либо ???x???-члены, либо ???y???-члены.
Любая из следующих опций была бы полезной в качестве первого шага:
Умножить первое уравнение на ???-2??? или???2???. Это даст нам ???2x??? или ???-2x??? в обоих уравнениях, что приведет к тому, что ???x???-члены будут сокращаться, когда мы складываем или вычитаем.
Умножить второе уравнение на ???3??? или ???-3???. Это даст нам ???3г??? или ???-3г??? в обоих уравнениях, что приведет к сокращению членов ???y???, когда мы складываем или вычитаем.
Разделите второе уравнение на ???2???. Это даст нам ???x??? или ???-х??? в обоих уравнениях, что приведет к тому, что ???x???-члены будут сокращаться, когда мы складываем или вычитаем.
Разделите первое уравнение на ???3???. Это даст нам ???y??? или ???-у??? в обоих уравнениях, что приведет к сокращению членов ???y???, когда мы складываем или вычитаем.
Повторим последний пример, но вместо метода исключения воспользуемся графом для поиска решения.
Решение системы путем построения графика обоих уравнений и поиска точек пересечения
Пример
Начертите оба уравнения, чтобы найти решение системы.
???х+3у=12???
???2x-y=5???
Чтобы изобразить эти уравнения в виде графика, давайте представим их оба в форме пересечения наклона. Получаем
???x+3y=12???
???3y=-x+12???
???y=-\frac13x+4???
и
???2x-y=5???
???-y=-2x+5???
???y=2x-5???
Строка ???y=-(1/3)x+4??? пересекает ось ???y??? в точке ???4???, а затем имеет наклон ???-1/3???, поэтому его график равен
Строка ???y=2x-5??? пересекает ось ???y??? в точке ???-5???, а затем имеет наклон ???2???, поэтому, если добавить его график к графику ???y= -(1/3)x+4???, получится
Глядя на точку пересечения, кажется, что решение приблизительно равно ???(3.
Получить доступ к полному курсу Алгебра 1
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, алгебра, алгебра 1, алгебра i, алгебра 2, алгебра ii, решение систем, решение линейных систем, системы уравнений, системы линейных уравнений , подстановка, решение с подстановкой, исключение, решение с исключением, построение графика, решение с помощью графика, решение систем с подстановкой, решение систем с исключением, решение систем с помощью графика, метод подстановки, метод исключения
0 лайковНулевые решения: у «=» − 2 Икс + 4 у «=» − 2 Икс − 3 | |
Одно решение: у «=» 0,5 Икс + 2 у «=» − 2 Икс − 3 | |
Бесконечное множество решений: у «=» − 2 Икс − 4 у + 4 «=» − 2 Икс | Существует несколько различных методов решения систем линейных уравнений:
См. второй график выше. Решение находится там, где две линии пересекаются, точка ( − 2 , 1 ) . Пример 1: Решите систему { 3 Икс + 2 у «=» 16 7 Икс + у «=» 19 Решите второе уравнение для у . у «=» 19 − 7 Икс Заменять
19
−
7
Икс
для
у
в первом уравнении и решить
Икс
. 3 Икс + 2 ( 19 − 7 Икс ) «=» 16 3 Икс + 38 − 14 Икс «=» 16 − 11 Икс «=» − 22 Икс «=» 2 Заменять
2
для
Икс
в
у
«=»
19
−
7
Икс
и решить для
у
. у «=» 19− 7 ( 2 ) у «=» 5 Решение ( 2 , 5 ) .Пример 2: Решите систему { 4 Икс + 3 у «=» − 2 8 Икс − 2 у «=» 12 Умножьте первое уравнение на
−
2
и добавьте результат ко второму уравнению. − 8 Икс − 6 у «=» 4 8 Икс − 2 у «=» 12 _ − 8 у «=» 16 Решить для
у
. у «=» − 2 Замена для у в любом из исходных уравнений и решить для Икс . 4 Икс + 3 ( − 2 ) «=» − 2 4 Икс − 6 «=» − 2 4 Икс «=» 4 Икс «=» 1 Решение
(
1
,
−
2
)
. |
Это полезно, когда вам просто нужен грубый ответ, или вы уверены, что пересечение происходит в целочисленных координатах. Просто нарисуйте две линии и посмотрите, где они пересекаются!
(Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для
Икс
с точки зрения
у
, тоже – такая же разница!)
Затем решите для
Икс
(или
у
, в зависимости от того, что осталось) и подставьте обратно, чтобы получить другую координату.
