Как считать натуральный логарифм: Натуральный логарифм

11.4.4. Натуральный логарифм.

Главная » 11 класс. Алгебра. » 11.4.4. Натуральный логарифм

На чтение 2 мин. Просмотров 5.3k.

Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

ln7=log_e7,          ln7 – натуральный логарифм числа 7.

Вычислить, используя определение логарифма.

1) lne².  По определению натуральный логарифм числа e² — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2.

 lne²=2.

2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е — это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число -1, так как е^-1=1/е.

ln (1/e)=-1.

3) lne³+lne⁴=3+4=7.

4) lne-ln (1/e²)=1- (-2)=1+2=3.

Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: 

и формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m.

1)    e^ln24=24.

2)    e^2ln11=(e^ln11)²=11²=121.

3)    e^-ln20=(e^ln20)^-1=20^-1=1/20=0,05.

4)    (e⁴)^ln5=(e^ln5)⁴=5⁴=625.

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m ;

формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями:  a^m∙aⁿ=a^m+n и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ.

1)    e^ln4+2=e^ln4∙e²=4∙e²=4e².

2)    e^1+ln3=e¹∙e^ln3=e∙3=3e.

3)    (e^4+ln5)²=(e⁴∙e^ln5)²=(e⁴∙5)²=e^4∙2∙5²=e⁸∙25=25e⁸.

4)    (e^ln2+3)⁴=(e^ln2∙e³)⁴=(2∙e³)⁴=2⁴∙e^3∙4=16e¹².

Упростить, применив основное логарифмическое тождество: 

 формулу возведения степени в степень: (a^m)ⁿ=a^mn=(aⁿ)^m ; 

формулу частного степеней с одинаковыми основаниями:  a^m:aⁿ=a^m-n  и 

формулу возведения в степень произведения: (a∙b)ⁿ=aⁿ∙bⁿ.

1)    e^2-ln3=e²:e^ln3=e²:3=e²/3.

2)    e^1-ln5=e¹:e^ln5=e:5=e/5=0,2e.

3)    (e^5-ln10)³=(e⁵:e^ln10)³=(e⁵:10)³=(0,1e⁵)³=0,1³∙e^5∙3=0,001e¹⁵_.

4)    (e^3-ln2)⁴=(e³:e^ln2)⁴=(e³:2)⁴=(0,5e³)⁴=(0,5)⁴∙(e³)⁴=0,0625e¹².

 

вычисление lna натуральный логарифм

( 2 оценки, среднее 5 из 5 )

Что такое логарифмы и зачем они нужны — Журнал «Код»

Для многих логарифм — это самая странная часть в математике: непонятно, как их считать, где применять и как они могут пригодиться в жизни. Сегодня ответим на все эти вопросы.

Если интересно, как в математике работают остальные функции и символы, вот что у нас уже есть:

Что такое логарифм

Задача логарифма — ответить на такой вопрос:

В какую степень нужно возвести одно число, чтобы получилось другое?

На языке математики это будет выглядеть вот так:

Теперь сделаем то же самое, но уже с числами. Например, нам нужно узнать, в какую степень нужно возвести число 2, чтобы получить 8. Если вспомнить степени двойки, то будет ясно, что 2³ = 8, а значит, ответ будет «в третью степень». Мы только что нашли логарифм числа 8 по основанию 2.

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число A, которое возводят в какую-то степень, называется основанием логарифма. Самые популярные у математиков логарифмы — десятичный и натуральный.

Десятичный логарифм — это когда в основании логарифма стоит число 10. Наша задача в этом случае — найти, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить желаемое число. Обозначается так — lg: 

Натуральный логарифм устроен похоже, только вместо десятки в основании логарифма стоит число e, которое примерно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число e играет такую же важную роль, как в геометрии — число пи, поэтому логарифм по основанию e часто встречается во многих математических выкладках и доказательствах.

Обозначается натуральный логарифм так — ln:

Логарифмическая шкала

Если мы возьмём линию и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то мы получим арифметическую шкалу. Арифметическую — потому что каждая новая отметка считается арифметическим действием — сложением шага и предыдущего значения:

Но если мы вместо сложения возьмём логарифм, например, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Это выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно применяется в экономике и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости товара. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одной и той же — 1 пункт. 

Но при этом в первом случае цена выросла в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае — всего лишь на 10%. С логарифмической шкалой рост цены будет выглядеть логичнее:

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в быту мы встречаем гораздо больше логарифмов, чем кажется. Вот несколько примеров.

Децибелы, в которых измеряется относительная громкость любых звуков, считаются по десятичному логарифму. Относительная — потому что она считается от минимального порога громкости, которую только может расслышать человек. Например, если громкость звука равна 20 децибел, то это значит, что это громче самого тихого в 100 раз, а если 30 децибел — то в 1000 раз.

В химии активность водородных ионов тоже считается по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже меняются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определённое число раз.

В ракетостроении для вычисления скорости ракеты используется уравнение Циолковского. В основе этого уравнения — логарифмическая зависимость от массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы захотим построить график этого уравнения, то он будет выглядеть так:

Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнечнике и капусте. С капустой ещё связана другая интересная тема — фракталы, но про них поговорим в другой раз.

Даже рога у горных козлов закручиваются по логарифмической спирали:

Что дальше

Теперь мы знаем про логарифмы достаточно, чтобы понять, как они работают. В следующей статье напишем простую программу из двух циклов, которая посчитает нам практически любой логарифм по любому основанию.

Текст:

Михаил Полянин

Редактор:

Максим Ильяхов

Художник:

Даня Берковский

Корректор:

Ирина Михеева

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Соцсети:

Алина Грызлова

Как вычислить натуральный логарифм

••• Jupiterimages/BananaStock/Getty Images

Обновлено 25 апреля 2017 г. , где е — число примерно равно 2,71828183. Математики используют обозначение Ln(x) для обозначения натурального логарифма положительного числа x. Большинство калькуляторов имеют кнопки для Ln и Log, которые обозначают логарифм по основанию 10, поэтому вы можете вычислять логарифмы по основанию e или 10 одним щелчком мыши. Если на вашем калькуляторе есть кнопка Log, но нет кнопки Ln, вы все равно можете вычислить натуральный логарифм. Вам нужно будет использовать формулу изменения основания, которая преобразует логарифм по основанию 10 в основание e.

Вычисление натурального логарифма с помощью кнопки Ln

Введите число, натуральный логарифм которого вы хотите вычислить. Для получения точных результатов следует вводить полное число и избегать округления. Например, если вы рассчитываете натуральный логарифм 3,777, введите точно 3,777. Не вводите 3,8 или 3,78

Нажмите кнопку с надписью «Ln» на вашем калькуляторе. В зависимости от модели вашего устройства на кнопке может быть надпись «LN» или «ln».

Запишите число, которое появляется на экране. Это натуральный логарифм введенного вами числа. Вам может понадобиться округлить это число для удобства, если после запятой много цифр. Например, натуральный логарифм числа 3,777 равен примерно 1,3289.3 при округлении.

Вычисление натурального логарифма с помощью кнопки Log

Введите число, логарифм которого необходимо вычислить, и не округляйте число. Например, если вам нужно вычислить натуральный логарифм числа 3,777, введите 3,777 на калькуляторе.

Нажмите кнопку «Журнал», чтобы вычислить логарифм числа по основанию 10. На некоторых устройствах кнопка может быть помечена как «LOG» или «log». Например, после того, как вы нажмете кнопку «Журнал», ваш калькулятор отобразит 0,5771469.848 как логарифм по основанию 10 числа 3,777.

Разделите число, которое появляется на вашем экране, на 0,4342944819, чтобы получить натуральный логарифм. Число 0,4342944819 является логарифмом e по основанию 10. Деление на это число изменяет основание логарифма с 10 на e. Например, если вы разделите 0,5771469848 на 0,4342944819, вы получите около 1,32893. Это натуральный логарифм 3,777

• . Общая формула для вычисления Ln(x) с помощью функции Log: Ln(x) = Log(x)/Log(e), или, что то же самое, Ln(x) = Log(x) /0,4342944819.

Статьи по теме

Ссылки

• Университет Северной Каролины в Уилмингтоне: свойства логарифмов
• Технологический университет им. ТУРАЛЬНЫЕ ЛОГАРИФМЫ

Подсказки

• Общая формула для вычислений Ln(x) с функцией Log равен Ln(x) = Log(x)/Log(e) или, что то же самое, Ln(x) = Log(x)/0,4342944819.

Об авторе

Нукрейша Лэнгдон профессионально пишет с 19 лет.91. Она написала более 20 романтических романов в жанре фэнтези, а ее научно-популярные работы появились в «Gainesville Sun» и «Austin Chronicle». Лэнгдон имеет степень бакалавра наук по математике и степень бакалавра искусств по английскому языку Университета Флориды.

Photo Credits

Jupiterimages/BananaStock/Getty Images

Natural Log Calculator

Создано Мирославом Джерковичем, доктором философии обновлено: 02 февраля 2023 г.

Содержание:

• Как пользоваться калькулятором натурального логарифма
• Другие способы обозначения натурального логарифма
• Что такого естественного в натуральном логарифме?
• График натурального логарифма
• Откуда взялось число e
• Как заработать e сумму денег
• Значение ln 2 и других натуральных логарифмов в реальном мире
• Другие применения натурального логарифма
• Ссылки 900 33

Калькулятор натурального логарифма (или просто калькулятор ln) определяет логарифм по основанию известной математической константы , e , иррационального числа с приблизительным значением e = 2,71828 . Другими словами, он вычисляет натуральный логарифм.

Но, чему равен натуральный логарифм , ln x, данного числа x? Это степень, в которую нужно возвести число e, чтобы получить заданное число x.

Как пользоваться калькулятором натуральных логарифмов

Как и все другие логарифмы, натуральный логарифм x возвращает степень или показатель степени, в которую входит данное основание 9.0093 e нужно увеличить, чтобы вернуть число x. Легче понять это понятие, когда основание представляет собой целое число, например 2 или 3:

log₂ 16 = 4 , так как 2⁴ = 16

log₃ 81 = 4 , так как 3⁴ = 81

В случае натурального логарифма это несколько менее интуитивно понятно, поскольку его основание e не является целым числом. Но, поскольку значение e находится между 2 и 3, мы понимаем, что e ⁴ должно быть где-то между 2⁴ = 16 и 3⁴ = 81,9.0003

Получается, что e ⁴ = 54,498 . Это равенство можно выразить в виде натурального логарифма следующим образом, который можно проверить с помощью калькулятора ln:

ln 54,498 = 4

Вот некоторые примеры натурального логарифма

:

• 9 0089 ln 1 = 0 , так как e ⁰ = 1
• ln 10 = 2,3026 с e ^2,3026 = 10
• ln 20 = 2,996 с e ^2,996 = 20
• ln 50 = 3,912 с e ^3,912 = 50
• ln 100 = 4,605 ​​ с e ^{4,605 ​​} = 100

Вы можете проверить правильность приведенных выше результатов, используя наш калькулятор натурального логарифма и калькулятор степени. Кроме того, чтобы лучше понять взаимодействие между экспоненциальной и логарифмической функциями , вы можете проверить калькулятор экспоненты вместе с калькулятором журнала.

Другие способы обозначения натурального логарифма

Один из способов обозначения натурального логарифма: log _e . Это то же самое, как когда мы записываем логарифм по основанию два как log₂.

Но более распространенным способом записи натурального логарифма является ln , что является аббревиатурой латинского выражения logarithmus naturalis, название натурального логарифма, которое было дано, когда латинский язык был еще девятым.0093 lingua franca науки.

Существует также третий способ записи натурального логарифма: log . Однако эта запись несколько проблематична, так как ее часто ошибочно принимают за логарифм по основанию 10. Однако этот синтаксис используется во многих программных реализациях натурального логарифма, поэтому будьте осторожны!

Что такого естественного в натуральном логарифме?

Почему именно ln x заслуживает того, чтобы называться натуральным ? Возможно, наиболее важным свойством натурального логарифма является то, что он равен 9. 0089 обратная функция экспоненциальной функции eˣ , единственная функция, скорость изменения которой, или производная , точно равна самой себе: ( eˣ )’ = eˣ .

Проще говоря, экспоненциальная функция eˣ управляет своей собственной скоростью изменения, что в некотором смысле делает ее самодостаточной и независимой от какой-либо другой функции для определения способа ее изменения. Именно это свойство делает как eˣ , так и обратную ему функцию ln x естественный выбор, когда описывает многие явления реального мира .

График натурального логарифма

Еще одним интересным свойством натурального логарифма является то, как он меняет свои значения при увеличении аргумента x. Один из способов выразить это — сказать, что производная натурального логарифма обратно пропорциональна его значению х, которое можно записать как (ln x )’ = 1/ x .

Вы также можете увидеть это свойство, взглянув на график натурального логарифма . Хотя он увеличивается по мере увеличения значения x, скорость роста становится все меньше и меньше по мере того, как x приближается к все более и более высоким значениям:

График натурального логарифма . Источник: Википедия Атрибуция: Elmextube (общественное достояние).

Откуда взялось число е

На первый взгляд, вы бы не сказали, что число е имеет какое-то значение для деятельности человека или природы. Но это не так! Бывает, что этот номер одна из самых важных констант в математике, настолько, что заслуживает собственного имени. Его называют либо числом Эйлера , либо константой Непера , в зависимости от того, кому из этих двух великих математиков хотят приписать его открытие.

Тем не менее, кажется, что Леонард Эйлер (1707 — 1783) действительно получил больше признания, основываясь на том факте, что та самая буква, которую Эйлер использовал для обозначения этой константы, — это то, как мы обозначаем ее сегодня. Хотя Эйлер был первым, кто вычислил e со значительным числом знаков после запятой, он не был первым, кто обнаружил это : подробнее об этом читайте в следующем абзаце.

Леонард Эйлер . Источник: Википедия Атрибуция: Якоб Эмануэль Хандманн (общественное достояние).

Как заработать e сумму денег

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654 — 1705) наткнулся на существование числа e при решении проблемы сложных процентов . Давайте сначала поймем идею простых процентов. Для данной первоначальной суммы денег, скажем, 1 доллар США, вы хотите знать, сколько у вас будет по прошествии одного года, если проценты в размере 100% будут зачислены только один раз и в конце года. Ответ прост: 2 долларов США (можно проверить с помощью калькулятора простых процентов).

Якоб Бернулли . Источник: Википедия Атрибуция: Никлаус Бернулли (1662-1716) (Общественное достояние)

Но со сложными процентами все становится немного сложнее. Например, если один и тот же процент в размере 100 % теперь разделить на две равные части по 50 % и кредитовать дважды: 50 % в конце первых шести месяцев и еще 50 % в конце года, то окончательная доходность получается по формуле

1 × (1 + 1/2)² = 2,25 доллара США
(узнайте почему с помощью нашего калькулятора сложных процентов).

Кроме того, если проценты в размере 100% разделить на недельные суммы, вы получите окончательный доход

1 × (1 + 1/52)⁵² = 2,692 доллара США.

Бернулли задал простой вопрос: что произойдет, если начисление процентов будет непрерывным ? Другими словами, какова будет конечная доходность, если процентная ставка в 100% будет разделена на бесконечные части, каждая из которых будет кредитоваться в конце бесконечно короткого периода времени?

Эта проблема непрерывных сложных процентов, сформулированная математически, сводится к задаче вычислить предел из (1 + 1/ n ) ⁿ , когда n приближается к бесконечности. Оказывается, в результате получается именно число e ! Кроме того, приведенное выше выражение может использоваться как способ определения e . Чтобы ответить на вопрос Бернулли: при непрерывном начислении процентов первоначальный доллар принесет ровно e = 2,718281828 долларов США на конец года!

Реальное значение ln 2 и других натуральных логарифмов

Простейшие натуральные логарифмы для вычисления: 295 пер. и = 1 с e ¹ = e.

Но, предположительно, самым важным натуральным логарифмом является тот, который вычисляет значение числа между 1 и e, которое оказывается числом 2. Используя калькулятор натурального логарифма, мы получаем

ln 2 = 0,6931 .

Оказывается, что ln 2 также равно знакопеременной сумме обратных чисел всех натуральных чисел :

ln 2 = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/ 6 + . ..

На первый взгляд, это число не имеет особого значения. Но п. 2, каким бы неясным это ни казалось, фигурирует в некоторых довольно значительных и, на первый взгляд, не связанных с реальным миром задачах.

Например, он играет роль в формуле периода полураспада радиоактивно распадающееся вещество , как показано в нашем калькуляторе периода полураспада. Он также присутствует при расчете времени, необходимого для удвоения первоначальной суммы денег, если фиксированная ставка применяется в течение определенного времени.

Итак, если у вас есть 1000 долларов США на вашем банковском счете, и банк предоставляет процентную ставку r = 7% годовых, вы можете спросить себя , сколько времени потребуется, чтобы удвоить мою первоначальную сумму. Ну, здесь в игру вступает ln 2: формула натурального логарифма, которая вычисляет необходимое время, равна (100 * ln 2)/r, что можно упростить до приблизительного значения 70/r.

Таким образом, в случае r = 7% вы получите 70/7 = 10 лет как приблизительное время, необходимое для удвоения первоначальной суммы денег. Точно так же можно получить аналогичные формулы для времени, необходимого для того, чтобы начальная величина увеличилась втрое, вчетверо или в n раз при заданной фиксированной скорости роста с течением времени.

Другие применения натурального логарифма

Из предыдущего абзаца мы можем заключить, что натуральные логарифмы встречаются в каждом процессе с постоянным ростом или затуханием некоторого измеряемого явления в зависимости от периода.

Помимо уже упомянутых примеров радиоактивного распада и проблемы выхода с фиксированной процентной ставкой, натуральные логарифмы появляются при расчете роста и распада любой популяции бактерий, животных и растений , скорости распада заряженный конденсатор или изменение температуры объекта.

Ссылки

• Демистификация натурального логарифма
• Что такого «естественного» в основании натуральных логарифмов?
• Что плохого в математической константе e?
• Дэвид С.

  No related posts.