Как сложить число и матрицу: Как сложить или вычесть матрицы

alexxlab / / Разное

Содержание

09. Матрицы и их использование

Статистические, производственные показатели, а также расчеты, производимые на основе полученной информации, часто требуют сохранения результатов для их дальнейшего использовния. В этом случае создаются числовые таблицы, в которых информация в той или иной степени упорядочена. В таблицу могут быть внесены характеристики элементов какого-либо множества, параметры состояния системы и порядок применения операций, так как и операции могут являться элементами определенных множеств (в теории групп симметрии). Экономические и финансовые расчеты, которые являются наиболее широко используемыми во всех сферах деятельности человека (от семейного бюджета до бюджета государства), также должны быть упорядочены. Одной из форм такого упорядоченного состояния любой системы является наличие множества таблиц с определенной информацией. Возникает проблема оптимального использования таблиц, то есть проблема операций (действий) с таблицами данных. Рассмотрим конкретные примеры.

Пусть, в простейшем случае, ежемесячные затраты из семейного бюджета Y складываются из трех основных видов товара (Q1, Q2, Q3), приобретаемых в трех различных магазинах (МJ) по различным ценам (разного сорта). Количество товаров QЯ, купленных в январе и QФ, купленных в феврале, составят таблицы следующего вида:

.

Численное значение в каждой таблице, то есть ее элемент Qij, определяется двумя параметрами – индексами при Qi и Mj. Так, например, из первой таблицы Q12 = 15, а из второй таблицы Q22 = 4. Если количество индексов в строке таблицы или в столбце будет более десяти, то между индексами придется писать запятую. В общем виде каждая из таблиц может быть представлена следующим образом:

. (26)

Таблица элементов Qij, расписанных по M строкам и N столбцам, называется Матрицей. Если число строк и столбцов совпадают (

M = N), то матрица называется Квадратной. Наибольшее число строк (или столбцов) в квадратной матрице определяют ее порядок.

Матрица товаров (26) является, таким образом, квадратной матрицей третьего порядка. Рассмотрим действия (операции), которые можно производить с матрицами.

Имея матрицы закупок товаров за каждый месяц, легко подсчитать количество товаров, приобретенных за два месяца. Для этого, действуя по смыслу, необходимо сложить числа в соответствующих местах обеих матриц. В результате получаем общую матрицу товаров.

.

Таким образом, матрицы Можно складывать по правилу: Qij = Qij(Я) +Qij(Ф). Очевидно, что если матрицы закупок за каждый месяц одинаковы, то при поиске общего количества товаров за k месяцев, каждый элемент матрицы необходимо сложить k раз, то есть умножить на k. В общем виде это записывается следующим образом:

Q = KQЯ. Поэтому матрицы Можно умножать На одно и то же число.

Пусть теперь нас интересуют ежедневные затраты, производимые за три дня покупок товаров трех сортов в трех различных магазинах, то есть, в общем случае, по разной цене. Теперь мы имеем две матрицы: матрицу закупок товаров Q = {Qij} за три дня и матрицу цен P = {Pij} Товаров различного сорта в трех магазинах. Очевидно, что произведение количества товаров на соответствующие им цены, позволит определить произведенные затраты Y.

В таблицах закупок товара и цен использованы следующие обозначения: Д – дни ; С – сорт товара; М – номер магазина. Теперь опишем матрицу

Y = {Yij}, которая получилась в результате расчетов. Для этого выберем произвольный элемент, например

Y23 , и рассмотрим процедуру его вычисления. Индексы при элементе указывают, что речь идет о затратах второго дня при покупке товаров всех сортов в третьем по номеру магазине. Для того, чтобы получить соответствующее число, необходимо выбрать из матрицы товара за второй день товары первого сорта (Q21) и умножить это количество на цену товаров первого сорта по ценам третьего магазина (P13). Затем сюда прибавить затраты на закупку во второй день товаров второго сорта (Q22) по ценам третьего магазина (P23) и, наконец, сложить с затратами за второй день по закупке товаров третьего сорта (Q23) по ценам третьего магазина (P33). В итоге получаем: Y23 = Q21· P13+ Q22·
P23+ Q23· P33 . Можно заметить, что при сложении первый и последний индексы не изменяются, а суммирование производится по промежуточному индексу, стоящему между первым и последним. Поэтому для произвольного элемента матрицы затрат следует (по смыслу) составить равенство: , (27)

Где N – порядок матрицы Y. Таким образом, матрицы Можно умножать и правилом умножения является равенство (27).

 

(?): Как следует интерпретировать следующее равенство (28), в котором появляются матрицы – столбцы {Pij} и {Yij}? Заметим только, что второй индекс у элементов этих матриц можно опустить, так как он везде одинаковый.

(28)

Правило умножения матриц было в неявной форме использовано нами раньше (§2) при решении вопросов, связанных с поиском равновесия на рынке. Еще раз представим систему линейных уравнений (3) из этого параграфа: , которую перепишем следующим образом:

, (29)

где произведена замена: A1 = a11, b1 = a12, A2 = a21, b2 = a22, x = x1, y = x2, c1 = y1, c2 = y2. При этом смысл системы уравнений не изменился, а запись получила новую интерпретацию в матричной форме. Действительно, по правилу умножения матриц, будем иметь:.(30)

Теперь очевидно, что записано равенство типа (28), в котором использованы квадратная матрица второго порядка А = {АIj} и две матрицы – столбцы – для переменных (X1,X2) и (Y1,Y2). Первую из них обозначим Х = {ХI}, а вторую Y = {Yj}. Тогда вместо системы уравнений (29) будем иметь матричное уравнение: AX = Y.

Рассмотрим пример не связанный напрямую с рассмотренными выше экономическими проблемами. Речь пойдет о симметрии и ее описании с помощью преобразований систем координат.

Несмотря на то, что с реальными объектами всегда происходят какие-либо изменения (преобразования), существуют такие характеристики объекта, которые в результате этих преобразований остаются неизменными, т. е. сохраняются. Например, при изменении положения какой-либо фигуры можно заметить, что соответствующие этим изменениям преобразования системы координат (перенос, поворот) оставляют сохраняющимися (инвариантными) такие характеристики геометрической фигуры, как расстояние между его точками, углы между прямыми, площадь поверхности и т. п. (рис. 23).

Рис. 23. Движение фигуры (а) и соответствующее преобразование

системы координат (б)

Направленный отрезок 0А на рис.23а называется

Вектором точки А и определяется координатами точки А (x1,x2), а направленный отрезок 0А’ называется Вектором точки А’(x’1,x’2).

Словами «расстояние АВ» или «расстояние АС» характеризуется то, как «относится А к В или А к С», т. е. задается Отношение. Можно представить себе, что точка пространства в заданной системе координат, как-то «относится» ко всем остальным точкам этого пространства. Существуют такие же отношения и для других точек пространства. Если у каждой точки «отношение» к остальным точкам такое же, как и у других точек, то пространство из всех точек «выглядит» одинаково и такое пространство можно охарактеризовать как Однородное.

Можно представить себе другой вариант, когда условие равноправности свойств точек пространства, связанных с сохранением расстояний, углов и т. п. не выполняется, т. е. пространство неодинаково «выглядит» из разных точек, тогда его следует охарактеризовать как

Неоднородное.

Проверка пространства на однородность каких-либо характеристик, например, тех же расстояний и углов, осуществляется простым переходом от одной системы координат к другой и расчетом соответствующих характеристик. Параллельный перенос системы координат проверяет однородность по отношению к расстояниям, а поворот проверяет однородность по отношению к углам (последний тип однородности называют Изотропностью).

Будем понимать под Симметрией свойство объектов Сохранять определенные характеристики при преобразованиях. В свою очередь, преобразования, сохраняющие определенные свойства или характеристики пространства, объектов, структур, систем и т. п., будем считать Симметрическими преобразованиями. Так как при некоторых преобразованиях сохраняются расстояния и углы геометрических объектов, можно говорить о том, что

Однородность и Изотропность есть Симметрические свойства пространства.

Очевидные соотношения, приведенные во многих справочниках по математике, связывают старую и новую Системы координат: или, в общем виде: . Более коротко обе системы уравнений можно записать следующим образом: , где матрица называется матрицей преобразований вращения.

Под R Можно понимать также определенную симметрическую операцию. Если после перехода из системы координат к системе координат какая-либо величина, зависящая от координат, не меняется, т. е. сохраняется, то можно говорить о «законе сохранения» этой величины.

В рассмотренном примере важно отметить, что преобразования симметрии записываются в матричной форме так же, как и в примерах экономических, связанных с расчетом затрат. Матрицы – столбцы, которые в последнем примере оказались геометрически связаны с определением вектора, получили обобщение при описании любой матрицы.

Всякая строка в произвольной матрице называется Вектор – строка, а всякий столбец называется Вектор – столбец.

Определение симметрии с помощью матричного уравнения, в котором векторы после симметрических преобразований остаются прежними, можно записать следующим образом: АХ = Х. На рис. 24 представлен пример мозаики, которая совмещается сама с собой после операции вращения на угол φ = 360о/5 = 72о. Этот тип симметрии называют симметрией 5 –го порядка.

 

(?): Каким преобразованием можно продолжить эту мозаику, чтобы в результате она занимала все большую и большую площадь? Мозаика становится фрактальной, так как эту процедуру можно продолжать, переходя как к бесконечно большим, так и бесконечно малым размерам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 24. Пример фрактальной мозаики с симметрией 5 – го порядка

Понятие симметрии явно или неявно играет ключевую роль при обсуждении вопросов Устойчивого развития региона или его экономики. Достаточно представить себе процесс развития периодическим (это тип трансляционной симметрии), секториальным с самоподобием (как в приведенной мозаике) или даже нелинейным, Устойчивая Тенденция роста всегда Носит упорядоченный (а следовательно, симметричный) Характер. Именно так решается проблема устойчивого роста в природе. Если Вам удалось понять, каким образом происходит расширение мозаики (рис. 24), то несложно получить формулу увеличения количества элементов мозаики (пятиугольников) после каждого преобразования:

Sn = 5(6N) = 5Qn, а сумма представляет собой геометрическую прогрессию Sn = Aq0 + Aq1 + Aq2 + …. + Aqn , с которой мы уже имели дело в §5 при анализе накоплений в пенсионный фонд. Поэтому можно говорить о том, что приведенная мозаика является геометрической моделью накоплений.

Возвращаясь к системе уравнений (3) в §2, можно заметить, что при поиске координат точки равновесия полученное решение (4) и (5) содержит в знаменателе дробей одну и ту же «конструкцию» (а1B2 – A2B1), составленную из элементов матрицы преобразований. В соответствии с матричным уравнением (30) эту разность представим в виде:

(A11A22 – A12A21). Полученное выражение ставит в соответствие всем элементам матрицы Определенное число, которое называется Определителем матрицы. Определитель (детерминант) матрицы обозначается символом Δ или D = det(A). Если в матрице выбрать элемент Aij и вычеркнуть строку и столбец, которым он принадлежит, то оставшиеся элементы составят новую матрицу с определителем Dij. Этот определитель с соответствующим знаком, зависящим от индекса элемента Ij, определяет число Aij, которое называется Алгебраическим дополнением элемента Aij: Aij = (-1)i+jDij. (31)

Лапласом доказана Теорема о том, что Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. На основе этой теоремы можно, последовательно вычисляя произведения элементов на их дополнения, получить определитель квадратной матрицы любого порядка. Важность операции вычисления определителя связана с упрощением поиска решения системы из большого количества уравнений с соответствующим количеством неизвестных.

Применение теоремы Лапласа рассмотрим на примере поиска определителя матрицы третьего порядка. При поиске определителя матрицу будем записывать, используя вместо скобок вертикальные линии.

.

Конкретные примеры на запись матричного уравнения по заданной системе и вычисление соответствующих определителей матриц приведены в Приложении I.

< Предыдущая   Следующая >

Что такое Матрица судьбы и как она поможет тебе найти свое предназначение

Фото
lao.draw / Shutterstock

В попытках узнать судьбу человека был найден уникальный способ анализа личности — Матрица судьбы. Это система самопознания и метод составления психологического портрета. Считается самым прогрессивным и продвинутым, поскольку сочетает в себе техники сразу двух древнейших философских учений.  

Если говорить простыми словами, Матрица судьбы — схема расчета важных аспектов жизни по дате рождения (предназначение, отношения, финансы, здоровье, успех и другие). Каждое полученное число имеет свое обозначение. В зависимости от расположения на схеме, эти числа соответствуют той или иной энергии — личной программе человека в определенной сфере жизни.

Фото
Shutterstock/Fotodom.ru

Что означают цифры в Матрице?

Цифры в Матрице судьбы — это Арканы, 22 Аркана, 22 Старшие карты Таро, еще их называют 22 Энергиями. Число 22 используется неслучайно: Высший аркан означает переход на новый уровень или же полное обнуление и полный разворот.

Матрица судьбы — это нумерология или нет?

Несмотря на то, что нумерология и Матрица судьбы имеют много общего, к примеру, расчеты и взаимодействие с числами, они считаются разными методиками.

Главная разница между ними заключается в том, что нумерология сосредотачивается на числах, связывая их с повседневной жизнью человека. Для Матрицы судьбы числа лишь инструмент для подсчета энергий. Матрица является самостоятельным учением, пересекающимся со многими другими эзотерическими течениями, из-за чего ее часто путают с астрологией, Таро и той же нумерологией.

Фото
Shutterstock/Fotodom.ru

На какие вопросы отвечает Матрица судьбы?

Методика помогает научиться понимать свое предназначение. Она рассказывает об энергиях, которые властвуют над человеком. На основании этого Матрица судьбы отвечает на самые сложные и неоднозначные вопросы:

  • Зачем я пришла в этот мир?

  • Каковы мои таланты, умения?

  • Какой у меня психологический портрет?

  • Как я могу воспользоваться знаниями и ресурсами рода?

  • Какие слабые места моего здоровья?

  • Каковы мои взаимоотношения с деньгами и материальной сферой?

  • Что учесть при построении отношений с партнером?

  • В чем особенности моих отношений с родителями?

  • Каково мое предназначение в личной жизни, в обществе и в духовной сфере?

  • Как найти свое место в жизни?

  • Какие события могут произойти в ближайшем будущем?

Как ее рассчитать?

Составить Матрицу очень просто, достаточно понять принцип расчета. Все, что нужно знать — это дата рождения. Числа более 22 складываются между собой. Например, если ты родилась с 23 по 31 числа, то следует сложить две рядом стоящие цифры, чтобы получить конечную энергию (2+3=5; 2+4=6 и так далее). Если меньше 22, оставляем как есть.

Строим Матрицу судьбы
Тебе понадобится карандаш или ручка и лист бумаги.

  1. Нарисуй прямой квадрат;

  2. Нарисуй поверх него диагональный квадрат;

  3. Проведи диагональные линии как показано на рисунке 3.

Прямой квадрат в Матрице (рис. 1) — это родовой квадрат человека. В нем заложена информация о наших предках по роду, какие задачи по роду мы несем, как влияли на нас наши предки и что нам передали в энергетическое наследство.

Диагональный квадрат (рис. 2) — это личностный квадрат. В нем заложены все личностные качества обладателя Матрицы.

Пример расчета Матрицы судьбы

Теперь перейдем к расчетам. Для примера возьмем дату рождения Мэрилин Монро: 01.06.1926.

Ты можешь параллельно считать по своей дате рождения 🙂

Шаг 1. Считаем углы диагонального квадрата

Первое число — это день рождения, в нашем примере — 1.
Второе число — месяц рождения. В нашем примере это — 6.

Первые два числа являются «визитной карточкой» человека. Это то, что мы хотим или любим делать, от чего нам хорошо. Это основной набор качеств, присущих нам от рождения, это то, как воспринимают нас другие люди. 

Третье число — это год рождения. Для этого мы складываем рядом стоящие цифры (не пары цифр, а все цифры года):

1+9+2+6=18

Далее мы рассчитываем нижнее число нашей Матрицы. Оно называется кармическим числом. Чтобы получить это число, мы складываем известные нам числа:

1+6+18=25=2+5=7. Кармическое число Мэрилин Монро — 7. 

Кармическое число — это то, что наша душа не успела отработать в прошлом воплощении, и в этой жизни нам дается эта энергия для отработки. Это наша главная задача души на это воплощение.

Шаг 2. Считаем центр Матрицы

Далее мы рассчитаем центр Матрицы — точку душевного комфорта. Это та энергия, к которой стремится душа человека. Если она в минусе, то человек мечется с ощущением, что ему чего-то не хватает.

Чтобы получить точку комфорта, нужно сложить все известные числа:

1+6+18+7=32=3+2=5. 

Шаг 3. Считаем прямой квадрат

Чтобы построить целостную Матрицу, нужно рассчитать еще и родовой квадрат. Для этого мы рассчитаем углы прямого квадрата. А чтобы получить верхнюю левую энергию, нужно сложить известные крайние энергии от нее. То есть энергию дня рождения и энергию месяца рождения.
В нашем примере это: 1+6=7. Следующие углы рассчитываются по такому же принципу.

Значение чисел в Матрице судьбы

Все числа в Матрице судьбы — это энергии, которые интерпретируются на основе 22 Старших арканов Таро. 

1 Энергия — Энергия Мага, Волшебника, Чудотворца, Первооткрывателя
2 Энергия — Энергия Единства, Равенства и Гармонии
3 Энергия — Энергия Императрицы (Мать, Жена, Хозяйка)
4 Энергия — Энергия Императора, Хозяина
5 Энергия — Энергия Учителя, Ученика, Энергия закона и порядка
6 Энергия — Энергия Любви и Отношений, Энергия Выбора
7 Энергия — Энергия Воина, Победителя, Колесницы
8 Энергия — Энергия Справедливости и Равновесия
9 Энергия — Энергия Мудреца и Отшельника
10 Энергия — Энергия Колеса Фортуны и Удачи
11 Энергия — Энергия Силы и Потенциала
12 Энергия — Энергия Служения и Нового видения
13 Энергия — Энергия Духовного перерождения и Трансформации
14 Энергия — Энергия Души, Искусства, Умеренности
15 Энергия — Энергия Искушения, Земных удовольствий, Проявления
16 Энергия — Энергия Духовного пробуждения, Строителя
17 Энергия — Энергия Звезды и Творчества
18 Энергия — Энергия Луны, Притяжения
19 Энергия — Энергия Солнца и Процветания
20 Энергия — Энергия Благовещения, Семьи, Суда
21 Энергия — Энергия Расширения, Мира, Вселенной
22 Энергия — Энергия Духовной свободы

Алина Соткина, Алиса Карпенко

Теги

  • Астро

Программа Python для сложения двух матриц

Имея две матрицы X и Y, задача состоит в том, чтобы вычислить сумму двух матриц, а затем распечатать ее в Python.

Примеры:  

  Ввод: 
 Х= [[1,2,3],
    [4 ,5,6],
    [7 ,8,9]]
 
Y = [[9,8,7],
    [6,5,4],
    [3,2,1]]
 
  Выход : 
 результат= [[10,10,10],
         [10,10,10],
         [10,10,10]]

Рекомендуется: попробуйте свой подход на {IDE} , прежде чем переходить к решению.

В Python мы можем выполнить сложение матриц следующими способами.   

Method1: Using for loop :  

Below is the implementation:

Python

 

X = [[ 1 , 2 , 3 ],

     [ 4 , 5 , 6 ],

     [ 7 , 8 , 9 ]]

 

Y = [[ 9 , 8 , 7 ],

     [ 6 , 5 , 4 ],

     [ 3 , 2 , 1 ]]

 

 

result = [[ 0 , 0 , 0 ],

         [ 0 , 0 , 0 ],

         [ 0 , 0 , 0 ]]

 

for i in range ( len (X)):  

     for j in range ( len (X[ 0 ])):

         result[i][j] = X[i][j] + Y[i][j]

 

for r in result :

     печать (r)

Вывод

101,008 [] [10, 10, 10] [10, 10, 10]

Временная сложность: O(len(X) * len(X[0])) , так как мы используем вложенный цикл для обхода матрицы.
Вспомогательное пространство: O(len(X) * len(X[0])) , так как мы используем результирующую матрицу, которая является дополнительным пространством.

Метод 2:

  1. Объяснение :-  В этой программе мы использовали вложенные циклы for для перебора каждой строки и каждого столбца. В каждой точке мы добавляем соответствующие элементы в две матрицы и сохраняем результат.
  2. Использование вложенного понимания списка : В Python мы можем реализовать матрицу как вложенный список (список внутри списка). Мы можем рассматривать каждый элемент как строку матрицы.

Below is the implementation:

Python

   

X = [[ 1 , 2 , 3 ],

     [ 4 , 5 , 6 ],

     [ 7 , 8 , 9 ]]

   

Y = [[ 9 , 8 , 7 ],

     [ 6 , 5 , 4 ],

     [ 3 , 2 , 1 ]]

 

result = [[X[i][j] + Y[i][j]  for j in range

( len (X[ 0 ]))] for i in range ( len (X))]

   

для р в Результат:

Печать (R)

Выход 

 [10, 10, 10]
[10, 10, 10]
[10, 10, 10]

Временная сложность: O(len(X) * len(X[0])) , так как мы используем вложенный цикл для обхода матрицы.
Вспомогательное пространство: O(len(X) * len(X[0])) , так как мы используем результирующую матрицу, которая является дополнительным пространством.

Метод 3:
  1. Объяснение:- 
    Вывод этой программы такой же, как и выше. Мы использовали понимание вложенных списков для перебора каждого элемента в матрице. Понимание списков позволяет нам писать краткие коды, и мы должны стараться часто использовать их в Python. Они очень полезны.
  2. Использование zip() и сумма  

Ниже приведена реализация:

Python

   

X = [[ 1 , 2 , 3 ],

     [ 4 , 5 , 6 ],

     [ 7 , 8 , 9 ]]

   

Y = [[ 9 , 8 , 7 ],

     [ 6 , 5 , 4 ],

     [ 3 , 2 , 1 ]]

 

result = [ map ( sum , zip ( * t)) for t in zip (X, Y)]

   

print (результат)

Вывод 

 [[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10, время 90: 10]]  9001 (len(X) * len(X[0]))  , так как мы используем функцию zip.  
  Вспомогательное пространство:   O(len(X) * len(X[0]))  , так как мы используем дополнительное пространство. 
 
  Объяснение:-   Функция zip принимает итератор i каждого элемента (списка) матрицы, сопоставляет их, добавляет с помощью sum() и сохраняет в виде карты. 
 
 
 Метод 4:   
 Библиотека  numpy    имеет встроенную перегрузку оператора  +  , что позволяет выполнять сложение матриц. 
 
 Ниже приведена реализация: 
  
 Python3 
   
    
    
   
  
   import    numpy as np   
  
        
  
   X     =    [[    1    ,    2    ,    3  ],  
 
    [  4  ,   5  ,   6  ],  
 
   ]. 0045 ,    8    ,    9    ]]   
  
        
  
   Y     =    [[    9    ,    8    ,    7    ],   
  
           [    6    ,    5    ,    4    ],   
  
           [    3    ,    2    ,    1    ]]   
  
   
  
   result     =    np.array(X)     +    np.array(Y)   
  
   
  
   print    (result)   
  		 
  
 
  Вывод:  
 
 [[10 10 10]
[10 10 10]
[10 10 10]] 
  Временная сложность:  O(len(X) * len(X[0])) 
  Вспомогательное пространство:  O(len(X) * len(X[0]))
 Метод 5: 
 Чтобы добавить матрицы с помощью библиотеки, вы можете использовать класс Matrix, предоставленный в библиотеке SymPy.
 Here's an example of how to use it:
 Python3 
9999 2929295 
92929292929295 
. 2) время и пространство.
 Обратите внимание, что класс Matrix является частью библиотеки SymPy, поэтому вам потребуется установить его и импортировать в свой код, чтобы использовать. Вы можете установить его с помощью pip:
 pip install sympy 
 Эта статья предоставлена ​​ ajay0007  . Если вам нравится GeeksforGeeks и вы хотите внести свой вклад, вы также можете написать статью с помощью write.geeksforgeeks.org или отправить ее по адресу [email protected]. Посмотрите, как ваша статья появится на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам.

 Объяснение урока: Матричное представление комплексных чисел 
 В этом объяснении мы узнаем, как представить комплексное число в виде матрицы линейного преобразования и использовать это для определения произведения двух комплексных чисел.
 Когда мы впервые начинаем изучать матрицы, мы часто связываем их с операциями в
 более знакомые действительные числа, чтобы помочь понять новые концепции. Вскоре мы обнаруживаем, что существуют
 множество свойств матриц, не имеющих аналогов в действительных числах. Например,
 умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно. То есть для двух матриц
 𝐴 и 𝐵, 𝐴𝐵≠𝐵𝐴 в целом. Тем не менее, есть полезные аналоги с реальными числами, которые дают нам проницательную информацию.
 интуиция о матрицах. Одним из самых стойких аналогов с вещественными числами является
 соответствие между единичной матрицей 𝐼 и мультипликативной
 тождество в действительных числах: 1.
 Многие знакомые свойства мультипликативного тождества переносятся непосредственно на матрицу
 алгебра; например, 𝐼𝐴=𝐴𝐼=𝐴, 𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐼 и 𝐼=𝐼. На самом деле существует прямое
 соответствие между множеством всех матриц вида 𝑐𝐼 для
 константа 𝑐∈ℝ и действительные числа настолько, что
 математически мы можем считать их эквивалентными или, точнее, изоморфными. Однако,
 даже когда дело доходит до аналога между единичной матрицей и мультипликативной идентичностью в
 реалы, есть отличия. В этом объяснении мы рассмотрим последствия одного
 такая разница в случае матриц 2 на 2.
 Начнем с рассмотрения квадрата матрицы 𝑀=0−110.
 Используя матричное умножение, мы имеем )(1)(0)+(0)(1)(1)(−1)+(0)(0)=−100−1.
 Интересно, что это равно отрицательной единичной матрице . Следовательно, 𝑀=−𝐼. Мы показали, что существует матрица, квадрат которой отрицателен.
 личность. Это явно то место, где соответствие реальным цифрам не соответствует действительности.
 так как не существует действительного числа 𝑎 такого, что 𝑎=−1. Однако есть
 комплексное число 𝑖, обладающее этим свойством. Это приводит нас к вопросу о
 можем ли мы найти некоторое соответствие между комплексными числами и матрицами 2 на 2. С тех пор, как мы
 можно считать, что матрица 𝑀 соответствует 𝑖, это делает
 в том смысле, что мнимые числа будут соответствовать постоянным кратным
 𝑀. Кроме того, поскольку существует прямое соответствие между реальным
 числа и постоянные кратные тождества, естественное предположение о соответствии
 между матрицами и комплексными числами есть множество всех матриц вида 𝑎𝐼+𝑏𝑀, где 𝑎,𝑏∈ℝ.
 Вместо того, чтобы использовать представление 𝑎𝐼+𝑏𝑀, мы можем переписать это как
 следующим образом: номер 𝑎+𝑏𝑖.
 Матричное представление комплексных чисел 
 Мы можем представить комплексное число 𝑎+𝑏𝑖 как матрицу
 𝑎−𝑏𝑏𝑎.
 В нашем первом примере мы исследуем это соответствие в связи с добавлением сложных
 числа.
 Пример 1: Сложение комплексных чисел, представленных в виде матриц 
 Предположим, мы возьмем матрицу
 𝑀=5−775 к
 представляют собой комплексное число 𝑧=5+7𝑖 и матрицу
 𝑁=18−81 к
 представлять комплексное число 𝑧=1−8𝑖.
  1.  Чему равна сумма 𝑀+𝑁?
  2.  Что это представляет с точки зрения комплексных чисел 𝑧
 и 𝑧?
 Ответ 
  Часть 1 
 Мы можем использовать определение сложения матриц, чтобы найти, что
 𝑀+𝑁=5−775+18−81=5+1−7+87−85+1=61−16.
  Часть 2 
 Поскольку 𝑧+𝑧=6−𝑖, мы видим, что 𝑀+𝑁 — это
 матричное представление 𝑧+𝑧.
 Пример 2. Умножение комплексных чисел, представленных в виде матриц 
 Предположим, мы возьмем матрицу
 𝑁=34−43 к
 представляют собой комплексное число 3−4𝑖 и матрицу
 𝑀=2−552 к
 представлять комплексное число 2+5𝑖.
  1.  Что такое продукт 𝑀𝑁?
  2.  Что это означает?
 Ответ 
  Часть 1 
 Мы можем использовать определение умножения матриц, чтобы найти, что
 𝑀𝑁=2−55234−43=(2)(3)+(−5)(−4)(2)(4)+(−5)(3)(5)(3)+ (2)(−4)(5)(4)+(2)(3)=26−7726.
  Часть 2 
 Сначала рассмотрим произведение двух комплексных чисел
 (3−4𝑖)(2+5𝑖)=6+15𝑖−8𝑖−20𝑖=26+7𝑖.
 Таким образом, мы видим, что 𝑀𝑁 является матричным представлением произведения
 (3−4𝑖)(2+5𝑖).
 Предыдущий пример показывает, что соответствие между комплексными числами и
 эти типы матриц включают умножение. Однако, поскольку мы в общем случае знаем, что матрица
 умножение некоммутативно, мы должны проверить, что умножение матриц этого типа
 является коммутативным.
 Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа
 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 и 𝑀 представление
 𝑧=𝑐+𝑑𝑖.
 Теперь мы можем рассмотреть произведение 𝑀𝑀 матричных представлений
 следующее:
 𝑀𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎𝑐−𝑑𝑑𝑐=𝑎𝑐−𝑏𝑑−𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑎𝑑+𝑏𝑐𝑎𝑐−𝑏𝑐−𝑏.0003
 Аналогично рассмотрим произведение 𝑀𝑀:
 .
 Отсюда видно, что умножение матриц этого вида коммутативно. Более того,
 мы можем видеть, что умножение матричных представлений комплексных чисел непосредственно соответствует
 умножение самих комплексных чисел.
 В этот момент мы могли бы задаться вопросом, как другие операции над комплексными числами, такие как сопряжение
 можно понять с точки зрения их матричного представления. В качестве альтернативы мы можем спросить
 наоборот: что представляет определитель матрицы с точки зрения
 комплексные числа? В следующем примере мы рассмотрим этот вопрос.
 Пример 3: Интерпретация комплексного сопряжения в терминах матриц 
 Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖.
  1.  Выразите матричное представление 𝑧∗ через
 𝑀.
  2.  Чему соответствует det𝑀 по отношению к
 𝑧?
  3.  Чему соответствует 𝑀 с точки зрения
 𝑧?
 Ответ 
  Часть 1 
 Матричное представление 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 задается формулой
 𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎.
 Комплексное сопряжение 𝑧 задается 𝑧=𝑎−𝑏𝑖∗. Мы можем представить это в виде матрицы:
 𝑎𝑏−𝑏𝑎.
 Представляет транспонирование матрицы 𝑀. Следовательно, матрица
 представление 𝑧∗ есть 𝑀T.
  Часть 2 
 Напомним, что определитель матрицы 2 на 2
 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑
 определяется как det𝐴=𝑎𝑑−𝑏𝑐. Следовательно,
 det𝑀=𝑎−−𝑏=𝑎+𝑏.
 Это соответствует сумме квадратов действительной и мнимой частей
 𝑧. Напомним, что модуль 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 равен
 определяется как |𝑧|=√𝑎+𝑏.
 Следовательно, det𝑀 соответствует |𝑧|.
  Часть 3 
 Начнем с вычисления обратной величины 𝑀. Напомним, что инверсия
 матрица два на два
 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 определяется выражением
 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎.
 Следовательно,
 𝑀=1𝑎+𝑏𝑎𝑏−𝑏𝑎.
 Это соответствует комплексному числу
 𝑎𝑎+𝑏−𝑏𝑎+𝑏𝑖, что
 1𝑧. Следовательно, 𝑀 соответствует
 комплекс №1𝑧.
 Пример 4. Интерпретация обратной матрицы в терминах комплексных чисел 
 Пусть 𝑀 будет матричным представлением комплексного числа 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Каково соответствующее комплексное числовое тождество для
 матричная идентичность
 𝑀=1𝑀𝐶,detT
 где 𝐶 - матрица кофакторов 𝑀?
 Ответ 
 Начнем с того, что вспомним некоторые соответствия между комплексными числами и их
 матричное представление:
  •  Определитель матричного представления комплексного числа соответствует
 квадрат его модуля.
  •  Транспонирование матричного представления комплексного числа соответствует
 сложное сопряжение.
  •  Обратное матричное представление комплексного числа соответствует
 обратное комплексному числу.
 Этих фактов, однако, недостаточно, чтобы переписать выражение в виде комплексного числа
 личность. Нам нужно рассмотреть, чему соответствует матрица кофакторов. Напомним, что
 матрица кофактора матрицы два на два
 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 определяется выражением
 𝐶=𝑑−𝑐−𝑏𝑎.
 Поскольку 𝑀 представляет 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, мы имеем, что 𝑀=𝑎−𝑏𝑏𝑎. Следовательно, его
 матрица кофакторов определяется выражением
 𝐶=𝑎−𝑏𝑏𝑎.
 Следовательно, матрица кофакторов 𝑀 такая же, как 𝑀;
 то есть 𝐶=𝑀. Теперь мы можем использовать все эти результаты, чтобы получить
 соответствующее комплексное числовое выражение для
 𝑀=1𝑀𝐶.detT
 Поскольку инверсия матрицы соответствует обратному обращению комплексного числа, левая часть
 сторона соответствует 1𝑧. Что касается правой стороны, то
 определитель соответствует квадрату модуля 𝑧, |𝑧|, и, поскольку матрица кофакторов такая же, как
 𝑀, это соответствует 𝑧 и его транспонирование соответствует
 к сопряжению. Следовательно, соответствующее комплексное числовое тождество для
 𝑀=1𝑀𝐶detT равно
 1𝑧=𝑧|𝑧|.∗
 Теперь мы знаем, что обратная величина комплексного числа соответствует обратной его матрице
 представления, мы можем видеть, что комплексное деление может быть представлено как умножение матрицы
 представление числителя обратной матрицей знаменателя.
 Пример 5: Деление комплексных чисел, представленных в виде матриц 
 Пусть 𝑀=711−117
 — матричное представление комплексного числа 𝑧 и
 𝑀=4−114
 матричное представление 𝑧. Определите матричное представление
 из 𝑧𝑧.
 Ответ 
 Есть два способа вычислить это. Мы можем либо использовать матричные представления
 утверждая, что эквивалентное матричное выражение для 𝑧𝑧
 равно 𝑀𝑀, или мы можем преобразовать матрицы в их эквивалент
 комплексные числа, а затем выполнить комплексное деление и преобразовать наш ответ обратно в
 его матричное представление в конце. Мы продемонстрируем первый из этих методов и
 затем используйте второй, чтобы проверить наш ответ.
 Начнем с вычисления обратной матрицы 𝑀. Напомним, что
 обратная матрица два на два
 𝐴=𝑎𝑏𝑐𝑑 дано
 на 𝐴=1𝑎𝑑−𝑏𝑐𝑑−𝑏−𝑐𝑎.
 Следовательно, 𝑀=14+141−14=11741−14.3 9000 𝑀. Напомним, что нам не нужно беспокоиться
 о том, делаем ли мы левое или правое умножение, поскольку матрицы, с которыми мы имеем дело
 с проездом. Следовательно,
 𝑀𝑀=117711−11741−14=1177×4+11×(−1)7×1+11×4(−11)×4+7×(−1)(−11) ×1+4×7=1171751−5117=13−31.
 Проверим наш ответ комплексным делением. Комплексное число
 𝑧 какая матрица
 𝑀=711−117
 представляет собой 𝑧=7−11𝑖; по аналогии,
 𝑀=4−114 равно
 представляющий 𝑧=4+𝑖. Теперь мы можем вычислить частное
 𝑧𝑧=7−11𝑖4+𝑖.
 Умножение числителя и знаменателя на комплексное сопряжение знаменателя
 дает
 𝑧𝑧=(7−11𝑖)(4−𝑖)(4+𝑖)(4−𝑖)=28−7𝑖−44𝑖+11𝑖4+1=17−51𝑖17=1−3𝑖. 
 Это представлен матрицей
 13−31, как и ожидалось.
 Альтернативным способом получения соответствия между комплексными числами и матрицами является
 с учетом преобразований.
 Существует прямое соответствие между линейными картами и матрицами: все линейные карты могут быть
 представлены в виде матриц, и все матрицы можно интерпретировать как представляющие некоторую линейную карту. Аналогичным образом мы можем рассматривать умножение комплексных чисел как линейное преобразование
 сложная плоскость. Для демонстрации соответствия рассмотрим множество матриц
 представляющие вращения вокруг начала координат. Рассмотрим вращение против часовой стрелки вокруг
 начало через угол 𝜃.
 Рассмотрим влияние преобразования на два базисных вектора (1,0) и (0,1). В качестве
 мы можем видеть на диаграмме, (1,0) отображается в (𝜃,𝜃) косинус,
 тогда как (0,1) отображается в (−𝜃,𝜃) sincos. Поэтому мы можем
 выразить матрицу этого преобразования как
 𝑅=𝜃1001+𝜃0−110. cossin
 Это имеет поразительное сходство с формулой Эйлера:
 𝑒=𝜃+𝑖𝜃.косинус
 В частности, мы знаем, что умножение на 𝑒 представляет собой
 поворот на угол 𝜃 вокруг начала координат, как и матрица
 𝑅. Следовательно, мы можем считать 𝑅
 матрица, представляющая это преобразование. Мы можем дополнительно обобщить это, включив
 умножение на общее комплексное число в форме 𝑟𝑒 на
 найти матричное представление, которое мы можем записать как
 𝑟𝜃−𝑟𝜃𝑟𝜃𝑟𝜃cossinsincos, что эквивалентно
 к матричному представлению, которое мы уже рассмотрели:
 𝑎−𝑏𝑏𝑎.
 Таким образом, мы можем видеть, что все матрицы вида
 𝑎−𝑏𝑏𝑎 представляют
 преобразования, состоящие из поворота на некоторый угол 𝜃 и
 расширение в 𝑟 раз.
 Пример 6. Преобразование комплексных числовых выражений в матричные выражения 
 Пусть комплексные числа 𝑧, 𝑧 и
 𝑧 представлена ​​матрицами 𝑀,
 𝑀 и 𝑀. Перепишите следующий комплекс
 расчет как матричный расчет:
 (𝑧+𝑧)𝑧.∗
 Ответ 
 Взятие комплексных сопряжений соответствует транспонированию матричного представления. Добавление
 комплексных чисел соответствует сложению их матричных представлений. С
 умножение комплексных чисел соответствует умножению их матрицы
 представлений, возведение в степень будет соответствовать возведению в эквивалентную степень. Наконец, деление соответствует умножению на обратную матрицу. Следовательно
 сложный расчет (𝑧+𝑧)𝑧∗
 можно представить в виде матричного расчета следующим образом:
 𝑀+𝑀𝑀.T
 Ключевые точки 
  from   sympy   import   Matrix 
  
  X   =   [[   1   ,   2   ,   3   ], 
          [   4   ,   5   ,   6   ], 
          [   7   ,   8   ,   9   ]] 
  
  Y   =   [[   9   ,   8   ,   7   ], 
          [   6   ,   5   ,   4   ], 
          [   3   ,   2   ,   1   ]] 
  
  matrix_x   =   Matrix(X) 
  matrix_y   =   Matrix(Y) 
  
  Результат   =   MATRIX_X   +   MATRIX_Y 
  Печать   (результат)