Сравнение положительных и отрицательных чисел
Из этого урока вы научитесь сравнивать рациональные числа.
На координатном луче точка L с координатой 6 расположена правее точки К с координатой 1. Поэтому 6 > 1.
На рисунке точка А с координатой три расположена правее точки В с координатой -6. Поэтому 3 > (-6).
Следовательно, большим из двух чисел есть число, расположенное на координатной прямой правее.
Помни, что на координатной прямой любое отрицательное число расположено левее любого положительного числа. Поэтому любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Например, пять больше минус четыре; пять больше минус один; два больше минус четыре; два больше минус один.
На рисунке точка А с координатой минус один лежит правее (ближе нуля) от точки С с координатой минус четыре, поэтому минус один больше минус четыре.
Заметим, что модуль минус один меньше модуля минус четыре. Следовательно, из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
На координатной прямой число 0 расположено левее любого положительного числа и правее любого отрицательного числа.
Следовательно, любое положительное число больше нуля. Записывают в виде неравенства:
Модуль числа а
Если а – не отрицательное число (т.е. положительное или нуль), то пишут a ≥ 0. Читают: «а больше или равно нулю». Если а – не положительное число (т.е. отрицательное или ноль), то пишут а ≤ 0. Читают: «а меньше или равно нулю» Используя эти обозначения запишем свойство модуля числа а так: модуль «а» равен «а», если «а больше или равен нулю»; модуль «а» равен «-а», если «а меньше нуля».
Решаем задачи
Задание 1:
Какая из двух точек расположена справа от другой:- N с координатой три целых пять десятых или С с координатой минус один;
- D с координатой минус два или О с координатой нуль;
- С с координатой минус один или D с координатой минус два;
- B с координатой b или С с координатой минус один;
- А с координатой а или В с координатой b.
Решение:
- точка N с координатой три целых пять десятых расположена справа от С с координатой минус один. Следовательно, три целых пять десятых больше минус один;
- точка О с координатой нуль расположена справа от D с координатой минус два. Следовательно, ноль больше минус два;
- точка С с координатой минус один расположена справа (ближе к нулю) от В с координатой В. Следовательно, минус один больше В;
- точка А с координатой а расположена справа от В с координатой b. Следовательно, «а» больше «b».
Задание 2:
Запишите в виде неравенства утверждение:
- сорок три – положительное число;
- семь целых две десятых – отрицательное число;
- «М» – неотрицательное число;
- «С» – положительное число.
Решение:
любое положительное число больше нуля, следовательно, 43 > 0;
любое отрицательное число меньше нуля, следовательно, -7,2 < 0;
поскольку «М» – не отрицательное число, то «М» ≥ 0;
поскольку «С» – не положительное число, то «С» ≤ 0.
Задание 3:
Запишите числа -1,7; 0; -0,7; 0,2; 2; -2,85; 7,23; -2,84 в порядке убывания.
Решение:
По условию следует записать числа от наибольшего к наименьшему. Наибольшим из чисел, расположенным на координатной прямой справа, является число 7,23. Затем 2; 0,2; 0. Поскольку среди отрицательных чисел наибольшее число то, у которого модуль наименьший, поэтому сравним модули отрицательных чисел:
- |-0,7| = 0,7;
- |-1,7| = 1,7;
- |-2,84| = 2,84;
- |-2,85| = 2,85.
Итак, числа расположим в следующем порядке: -0,7; -1,7; -2,84; -2,85.
Ответ:
7,23; 2; 0,2; 0; -0,7; -1,7; -2,84; -2,85. Вы научились сравнивать рациональные числа. Для закрепления этого навыка выполните задания Онлайн тренажера Сравнение целых чисел
Алгебра.
Учебник для 6-8 классов Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 47. Равносильные уравнения. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 82. Решение задач. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
Объяснение урока: Сравнение и упорядочение целых чисел
В этом объяснении мы узнаем, как сравнивать и упорядочивать положительные и отрицательные целые числа, представленные либо в математической модели, либо в реальной ситуации.
Определение: Целые числа
Целые числа — это все целые числа, 0,1,2,3,4,5,6, и т.д., а также их аддитивные инверсии (или противоположности), которые являются отрицательными числами, −1, −2, −3, −4, −5, −6,.andsoon
Вы уже знаете, как расположить целые числа на числовой прямой. Помните, что целые числа
числа, которые можно записать без десятичной точки. Каждое положительное целое число находится справа
нуля, и мы можем думать о них как о удалении от нуля. Например, 3 — это
расстояние 3 от нуля в положительном направлении. Отрицательные числа появляются слева от
нуль.
Противоположное 3, что является отрицательным 3 или -3, является расстоянием 3 от
нуля в отрицательном направлении.
Вам также должно быть удобно сравнивать целые числа (целые положительные числа вместе с нуль). На числовой строке, показывающей целые числа, числа уменьшаются по мере продвижения справа влево и больше при движении слева направо.
Это также верно, когда мы расширяем числовую строку, чтобы включить отрицательные целые числа. Цифры по-прежнему становятся меньше, когда вы двигаетесь влево, и больше, когда вы двигаетесь вправо.
Итак, если мы хотим сравнить числа −8, −3, 3 и 8, мы могли бы нарисовать их всех на числовой прямой. Мы знаем, как найти 3 и 8, поэтому, чтобы найти их противоположностей (или аддитивных инверсий), мы должны найти числа, которые находятся на расстоянии 3 и 8 от нуля в обратном направлении.
Тогда мы знаем, что наименьшие числа находятся слева, а наибольшие числа — на
верно.
Итак, −8 — наименьшее из четырех чисел, 8 — наибольшее из
чисел, и мы можем написать следующие операторы сравнения между каждой парой чисел. −8−3−33388>33>−3−3>−8−83−388>−33−8−888>−8
Теперь рассмотрим пример сравнения двух отрицательных чисел.
Пример 1. Сравнение отрицательных целых чисел в числовой строке
В таблице показана средняя температура в двух городах зимой. Сравните два температуры с помощью .
| City | Temperature (∘F) |
|---|---|
| A | −5 |
| B | −2 |
Answer
To compare −5 and −2, we can plot числа на числовая строка.
Оба числа отрицательные, поэтому они будут слева от нуля. Номер −2 будет на том же расстоянии от нуля, что и 2, но в противоположном направление. Точно так же −5 будет на 5 единиц левее нуля.
Теперь, поскольку мы знаем, что числа увеличиваются при движении слева направо по числу.
линии, мы знаем, что -5 меньше, чем -2. Следовательно,
−5−2.
Далее мы увидим, как сравнивать положительное число и отрицательное число.
Пример 2. Сравнение положительных и отрицательных целых чисел
Что из следующего верно?
- −13697
- −136=97
- −136>97
Ответ
Здесь мы должны сравнить −136 и 97.
Для этого подумайте, где будут располагаться числа на числовой прямой.
Мы знаем, что 97 меньше 136 и что эти положительные числа расположены справа нуля на числовой прямой. Чтобы найти −136, мы должны посмотреть на негатив. числа слева от нуля. Число −136 расположено на том же расстоянии от нуля, что и 136, но в отрицательном направлении (слева от нуль).
Поскольку мы знаем, что числа увеличиваются при движении слева направо по числовой прямой, мы
известно, что −136 меньше 97. Следовательно,
−13697.
Наконец, мы будем использовать то, что мы знаем, чтобы упорядочить набор целых чисел по возрастанию (от наименьшего к наибольшему) или по убыванию (от большего к меньшему).
Пример 3: Упорядочивание целых чисел с использованием числовой строки
В таблице показаны игроки в карточной игре и их соответствующие очки. Заказать баллы по убыванию.
| Игрок | Счет |
|---|---|
| 1 | +16 |
| 2 | −11 |
| 3 | +2 |
| 4 | −8 |
| 5 | −2 |
| 6 | −19 |
| 7 | + 6 |
| 8 | +18 |
Ответ
Нам нужно упорядочить оценки от большего к меньшему. Мы можем сделать это, нанеся баллы на числовой строке.
При построении показателей учитывайте их расстояние от нуля и помните, что положительные числа
находятся справа от нуля, а отрицательные числа слева.
Итак, −2 и
+2 будет такое же расстояние от нуля, но в противоположных направлениях.
Как только вы нашли все числа в числовой строке, вы можете использовать эти числа для уменьшения при движении справа налево. Таким образом, в порядке убывания баллы 18,16,8,6,2,−2,−11,−19.
Пример 4. Сравнение сумм путем представления их целыми числами
На прошлой неделе Самех положил в свой банк 385 долларов. счет, потратил 95 долларов на обед и одолжил 70 долларов другу. Выразите каждую транзакцию в виде целого числа и затем расположите их в порядке возрастания.
Ответ
Во-первых, нам нужно представить каждую ситуацию целым числом. Помните, что позитив целые числа представляют прибыль или депозиты, а отрицательные целые числа представляют убытки или изъятия.
Таким образом, депозит в размере 385 долларов представляет собой увеличение
количество денег на его счету.
Мы можем представить этот выигрыш положительным числом:
депозит или всего 136 долларов ⟶ + 136 136.
Трата 95 долларов представляет собой уменьшение суммы денег в его аккаунте. Мы можем представить эту потерю отрицательным числом: потратив 9 долларов.5⟶−95.
Одолжение 70 долларов другу также представляет собой убыток от его счета, поэтому мы представляем его отрицательным числом: ссуда 70⟶−70 долларов.
Далее мы должны расположить 136, −95 и −70 по возрастанию заказ.
Нанесите числа на числовую прямую, помня, что отрицательные числа появляются слева нуля и находятся на том же расстоянии от нуля, что и их аддитивные обратные (или противоположные). Итак, −95 и 95 — это одинаковое расстояние от нуля в противоположных направлениях. Это означает, что −70 ближе всего к нулю, а +136 дальше от нуля.
Поскольку мы знаем, что числа увеличиваются при движении слева направо по числовой прямой, мы
известно, что −95 — наименьшее из трех чисел, а 136 — самое маленькое.
самый большой. Следовательно, порядок равен −95, −70 136.
Мы можем обобщить шаги, необходимые для сравнения целых чисел, следующим образом.
Практическое руководство. Сравнение и упорядочение целых чисел с помощью числовой строки
Чтобы сравнить целые числа, нанесите их на числовую прямую, запомнив следующие моменты:
- Положительные числа появляются справа от нуля, а отрицательные числа появляются слева.
- Положительное число (например, 2) совпадает расстояние от нуля как его аддитивное обратное или противоположное значение (например, −2).
- При просмотре числовой строки числа увеличиваются при перемещении слева направо.
Сравнение положительных и отрицательных чисел
Первое, что вы сможете сделать с новыми знаниями о положительных и отрицательных числах
, — это сравнить их, используя больше (>), меньше (), > 9.
0187 смешанных чисел,
дробей,
десятичных знаков, процентов и так далее. Теперь мы можем использовать те же знаки, чтобы
сравнивать положительные и отрицательные числа.
Положительные числа всегда будут больше отрицательных. Таким образом, если у вас была
проблема, которая выглядела так:
-5 ___ 3
Вы бы ответили меньше, чем () >
Однако вы должны быть осторожны при сравнении двух отрицательных чисел. Помните, что
чем больше у вас число, тем меньше у вас есть (когда числа отрицательные), поэтому
меньшее отрицательное число (например, -2) будет больше, чем большое отрицательное число (например,
-100). Мы дадим вам несколько примеров, чтобы убедиться, что вы понимаете.
Давайте пройдем через это. Сравните следующее:
-4 ___ -2
Обычно первым делом вам кажется, что 4 больше 2.
Однако, поскольку
— это отрицательные числа, вы должны думать о них по-другому. Помните,
отрицательных чисел измеряют, сколько у вас нет. Таким образом, если вы пропустили только
2, у вас больше, чем если бы вы пропустили 4. Вы также можете думать об этом как о том, какое число
ближе всего к нулю? Это большее число. Вы также можете визуализировать это как
:
Следовательно, в этом случае ваш ответ будет -4
. Теперь попробуем другой.
-18 ___ -20
Помните, что это снова отрицательные числа. Какое число ближе к нулю? Мы знаем, что
-18 ближе к нулю, чем -20, поэтому -18 больше. Таким образом, наш ответ
равен -18 > -20.
Викторина по сравнению положительных и отрицательных чисел
Проблемы
| 1. 3 ___ -5 | 2. |