Как степень умножить на число: Свойства степеней, действия со степенями

Умножение и деление степеней

Зачем уметь умножать и делить степени?

Умение умножать степени важно в математике, т.к. оно помогает быстро вычислять произведения и деления многих чисел со степенями, что может быть полезно в решении различных задач, таких как вычисление площади, объема или поверхности фигур, вычисление значений функций и т.д.

Умножение и деление степеней может использоваться в различных областях математики и науки, таких как:

• Алгебра: для умножения и деления многочленов, вычисления различных формул и выражений.
• Геометрия: для вычисления площади, объема или поверхности фигур, расчета расстояний и углов.
• Физика: для вычисления силы, энергии, давления и т.д.
• Информатика: для вычисления сложности алгоритмов, мощности вычислительных систем и т.д.
• Другие науки: в экономике, биологии, медицине и других областях умножение и деление степеней используется для вычисления различных показателей и метрик.

Кроме того, если вы любите поддерживать в тонусе свой мозг, вам тоже очень пригодится умение работать со степенями, потому что оно позволит решать намного больше интересных примеров и задач. Естественно, это навык крайне важен в школе и институте, ведь от него в большой степени зависит успеваемость учащегося.

Умение умножать и делить степени пригодится школьнику и студенту, а также любому человеку, чья деятельность связана с вычислениями. А прежде, чем учиться умножать и делить степени, важно усвоить несколько базовых основ.

Что такое степенные выражения?

Первое определение степени гласит, что степень n для числа a – это произведение множителей, равных величине a, взятой n раз.

Возьмем, например, aⁿ. Здесь a является основанием степени, а n определяет показатель этой степени.

Исходя из этого, можно получить формулу:

aⁿ = a × a × a … × a

А сама запись так и читается: a в степени n.

Можно сказать проще: степень (конкретно ее показатель) указывает на то, сколько раз нужно умножить основание степени само на себя.

Есть также и второе определение степени, согласно которому, степенное выражение – это выражение, в составе которого имеется степень.

В принципе, все просто, но перед освоением действий со степенными выражениями важно запомнить свойства степеней.

Свойства степеней

Если вы хотите грамотно и правильно работать со степенями, нужно раз и навсегда запомнить пять их свойств:

1. Произведение степеней. В случае, когда у степеней, которые нужно умножить, имеются одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатели степеней суммируются. К примеру, a ⁿ × a^m = a^{n + m}. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
2. Частное степеней. Если делятся степени, имеющие одинаковые основания, основание остается неизменным, а показатель степени делимого уменьшается на показатель степени делителя. К примеру, a^m/aⁿ = a^{m — n}. Основанием степени тут является a, а m и n являются показателями степени в виде натуральных чисел, и при этом m > n.
3. Возведение степени в степень. Если степень возводится в степень, основание остается неизменным, а показатели перемножаются. К примеру, (aⁿ)^m = a^nm. Основанием степени тут является a, а n и m являются показателями степени в виде натуральных чисел.
4. Степень произведения. Если требуется возвести в степень произведение, все множители возводятся в эту степень. Полученные результаты перемножаются. К примеру, (a × b)ⁿ = aⁿ х bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.
5. Степень частного. Если требуется возвести в степень частное, в эту степень нужно по отдельности возвести делимое и делитель. Первый полученный результат делится на второй. К примеру, (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ. Основаниями степени тут являются a и b, а n является показателем степени в виде натурального числа.

Запомнив эти правила, можно переходить к действиям со степенями.

Умножение степеней

Первое правило умножения степеней гласит, что при умножении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно умножить между собой их основания, а показатель остается неизменным.

Формула:

aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ

Пример:

a³ × b³ = (a × a × a)(b × b × b) = (a × b)³ = (ab)(ab)(ab) = (ab)³

3⁵ × 4⁴ = (3 × 4)⁵ = 12⁵ = 248832

16a² = 4² × a² = (4a)²

Второе правило умножения степеней гласит, что при поиске произведения степеней, обладающих одинаковыми основаниями, складываются показатели степеней.

Формула:

aⁿ × a^m = a^{n + m}

 Пример:

3⁵ × 3³ = 3^{5 + 3} = 3⁸ = 6561

2⁸ × 8¹ = 2⁸ × 2³ = 2¹¹ = 2048

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, и какое-либо одно основание не получается преобразовать в число со степенью, как у второго числа, нужно по отдельности возвести в степень каждое число, а затем сложить два результата. Например: 3⁴ х 4³ = 81 + 64 = 145.

Деление степеней

Первое правило деления степеней гласит, что при делении степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями нужно найти разность их показателей, а основание остается неизменным.

Формула:

a^m/aⁿ = a^{n– m} (не забывайте, что n > m)

Пример:

(11³ х 4⁴)/(11 х 4³) = 11^{3 – 1} х 4^{4 – 2}

= 11² х 4² = (11 х 4)² = 1936

2a⁴/2a³ = 2a^{4 – 3} = 2a

Второе правило деления степеней гласит, что при делении степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями нужно возвести результат частного имеющихся чисел в эту степень.

Формула:

aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Пример:

5¹²/3¹² = (5/3)¹²

Если числа отличаются и по основаниям, и по степеням, нужно возвести в степень каждое число, а после этого разделить результаты. Например: 3³/5² = 27/25 = 1,08.

Чтобы было проще усвоить умножение и деление степеней, вы также можете запомнить несколько важных теорем, касающихся все рассмотренных нами операций.

Основные теоремы

Всего есть пять теорем, которые требуют внимания:

• Теорема 1. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство a^{n ×} a^m = a^{n + m}. Умножая степени с одинаковыми основаниями, вы складываете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 2. Для любого числа a и любых натуральных чисел n и m (при этом n > m) будет справедливым равенство aⁿ/a^m = a^{n – m}. Деля степени с одинаковыми основаниями, вы отнимаете показатели, а основание оставляете без изменений.
• Теорема 3. Для любого числа a и натуральных чисел n и m будет справедливым равенство (aⁿ)^m = a^nm.

 

Имейте в виду, что эти три теоремы относятся к степеням с одинаковыми основаниями, а далее мы рассмотрим теоремы для степеней с одинаковыми показателями.

 

• Теорема 4. Для любых чисел a и b и любого натурального числа n будет справедливым равенство aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ. Перемножая степени с одинаковыми показателями, просто перемножьте их основания, а показатель оставьте без изменений.
• Теорема 5. Для любых чисел a и b (при условии, что b ≠ 0) и любого натурального числа n будет справедливым равенство aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ. Деля друг на друга степени с одинаковыми показателями, просто разделите одно основание на другое, а показатель оставьте без изменений.

Несложно увидеть, что расчеты со степенями не вызывают особых трудностей. Чтобы научиться умножать и делить степени, нужно лишь немного попрактиковаться и наработать навык. После этого подобные примеры и задания вы сможете щелкать, как орешки.

Вопросы и ответы

А также предлагаем вашему внимание ответы на часто задаваемые вопросы по умножению и делению степеней.

Что происходит при умножении степеней с одинаковыми основаниями?

При умножении степеней с одинаковыми основаниями степени суммируются.

Что происходит при делении степеней с одинаковыми основаниями?

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Можно ли упростить выражение a

^{n ×} a^m до одной степени?

Да, выражение a^{n ×} a^{mможно упростить до одной степени так: am + n.}

Чем отличается умножение степеней с одинаковыми основаниями от умножения степеней с разными основаниями?

Умножение степеней с одинаковыми основаниями приводит к сложению показателей, в то время как умножение степеней с разными основаниями не дает степень.

Можно ли умножать разные степени с разными основаниями?

Да, можно умножать разные степени с разными основаниями. В этом случае основания нужно по отдельности возвести в степень, а затем сложить результаты. 2 = 9
256 – 9 = 247

Если не закончить работу алгоритма, то в левом столбце будут сплошные нули, и поскольку 0 – чётное число, к нарастающей сумме добавлять ничего не будет нужно. Поэтому, как только мы получаем в левом столбце единицу, в третьем столбце появляется ответ.

Доказательство

Почему это работает? Можно сказать, что это обычное двоичное длинное умножение. Но мы приведём более длинное объяснение, которое будет заодно и более общим.

Обозначим число в левом столбце A, во втором – B, нарастающую сумму – R, а ответ – P. Следовательно

(A*B) + R = P

Тогда, если A чётное, то есть k, для которого A=2k. Перепишем уравнение:

(2k*B) + R = P

Или, что то же самое:

(k*2B) + R = P

Если мы заменим A половиной его значения, а B – удвоенным значением, и назовём их A’ и B’, то:

(A’*B’) + R = P

То есть, если A чётное, мы уполовиним первое число и удвоим второе, и наше уравнение верно. А если нечётное? Тогда A=2k+1

A*B + R = P

(2k+1)*B + R = P

2k*B + B + R = P

2k*B + (B+R) = P

K*2B + (B+R) = P

A’*B’ + (B+R) = P

И опять мы обозначили половину A через A’ и удвоенное B через B’.

Наше уравнение верно, если мы:

• добавили число из второго столбца к нарастающей сумме
• уполовинили первый столбец
• удвоили второй

Видно, что наше уравнение остаётся сбалансированным при выполнении шагов нашего алгоритма.

Когда мы доходим до нуля, то имеем:

0 * B + R = P

Или R=P. Наша нарастающая сумма равна нужному результату.

Обобщение 1: возведение в степень

Попробуем подсчитать 2¹³. При возведении в степень мы перемножаем числа, а не складываем, поэтому мы усовершенствуем наш алгоритм:

заменим сложение умножением
заменим удвоение возведением в квадрат

степень   база
======   ====
  13      2 ->     1
   6      4        2
   3     16 ->
   1    256 ->    32
   0  65546     8192
                ^^^^

Нарастающее произведение начинается с 1. 13 – нечётное, поэтому умножаем второй столбец на нарастающее произведение, получая 2. Теперь мы уполовиним 13 и возведём 2 в квадрат.

6 – чётное, не умножаем нарастающее произведение. Уполовиним 6 и возведём в квадрат 4, получим 16.

3 – нечётное, умножаем 16 на наше нарастающее произведение, получим 32. Уполовиним первый столбец и возведём в квадрат второй.

Последний шаг: 1 – нечётное, умножаем 256 на 32, получаем 8192, что и является ответом.

Доказательство этого алгоритма такое же, как и у прошлого, просто теперь наше уравнение выглядит так:

B^A*R=E

Обобщение 2: матрицы

Но этот алгоритм можно использовать не только для возведения чисел в степень – он работает и для матриц. Наше нарастающее произведение начинается с единичной матрицы, а во второй столбец пишется матрица, чью степень нам надо получить. И всё работает.

Далее идёт функция, написанная на языке Python. Она работает для любой неотрицательной степени, и «базы» любого типа, поддерживающего ассоциативное умножение. e, где e – неотрицательное целое. Начинаем с # нарастающего произведения I, так что эта функция будет # работать и с числами, и с матрицами result = I while e > 0: if is_odd(e): result *= b b *= b e = e / 2 return result

Этого даже не нужно понимать, достаточно знать, что она работает для матриц.

Ссылки

• www.google.co.uk/search?q=russian+peasant+multiplication
• www.google.co.uk/search?q=Ethiopian+multiplication
• www.google.co.uk/search?q=Ancient+Egyptian+multiplication
• en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication

Как умножать числа — пустышки

Чтобы умножать числа, вам нужно знать, как работать с разными знаками времени, а также со скобками. Если вы умножаете большие числа, вам также нужно знать, как складывать их в столбцы, чтобы с ними можно было работать.

Умножение часто называют своего рода сокращением для повторяющегося сложения. Например, когда вы умножаете 4 на 3, вы получаете , добавляя 4 к самому себе 3 раза по : 4 + 4 + 4 = 12.

Аналогично:

9 6 означает, что прибавит к себе 9 6 раз : 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54

100 2 означает добавить к себе 100 2 раза : 100 + 100 = 200

Хотя умножение не такое теплое и нечеткое, как сложение, оно значительно экономит время. Например, предположим, что вы тренируете бейсбольную команду Малой лиги и только что выиграли игру у самой сильной команды лиги. В награду вы пообещали купить по три хот-дога каждому из девяти игроков команды. Чтобы узнать, сколько хот-догов вам нужно, вы можете сложить 3 вместе 9.раз. Или вы можете сэкономить время, умножив 3 на 9, что даст вам 27. Следовательно, вам нужно 27 хот-догов (плюс много горчицы и квашеной капусты).

Когда вы умножаете два числа, два числа, которые вы умножаете, называются коэффициентами , а результатом является произведение .

При умножении первое число также называется множимым , а второе число — множителем . Но почти никто никогда не помнит этих слов.

Использование знаков и скобок при умножении

Когда вы впервые знакомитесь с умножением, вы используете знак умножения (). Однако в алгебре часто используется буква x , которая похожа на знак времени, поэтому люди часто предпочитают использовать другие символы умножения для ясности.

Имейте в виду, что в математике помимо арифметики символ · заменяет .

Например,

Вот и все. Просто используйте символ везде, где вы бы использовали стандартный знак времени ().

Помните, что в математике помимо арифметики использование круглых скобок без означает умножение. Скобки могут заключать первое число, второе число или оба числа. Например,

Однако обратите внимание, что когда вы помещаете другой оператор между числом и круглыми скобками, этот оператор берет верх. Например,

Примечание: В третьем примере вам не нужен , но и вреда от него нет.

Умножение больших чисел

Основная причина, по которой необходимо знать таблицу умножения, состоит в том, что вам будет легче умножать большие числа. Например, предположим, что вы хотите умножить 53 7. Начните с того, что наложите эти числа друг на друга, прочертив под ними черту, а затем умножьте 3 на 7. Поскольку 3 7 = 21, запишите 1 и перенесите 2:

Затем умножьте 7 на 5. На этот раз 5 7 равно 35. Но вам также нужно добавить 2, которые вы перенесли, что дает результат 37. Поскольку 5 и 7 являются последними числами для умножения, вы не можете придется нести, поэтому запишите 37 — вы обнаружите, что 53 7 = 371:

При умножении больших чисел принцип аналогичен. Например, предположим, что вы хотите умножить 53 на 47. (Первые несколько шагов — умножение на 7 в 47 — одинаковы, поэтому вы продолжаете на следующем шаге.) Теперь вы готовы умножить на 4 в 47. Но помните, что эта 4 находится в столбце десятков , так что на самом деле это означает 40. Итак, для начала поставьте 0 прямо под 1 в 371:

Этот 0 выступает в качестве заполнителя, чтобы эта строка располагалась правильно.

При умножении на большие числа с двумя или более цифрами используйте один замещающий ноль при умножении на разряд десятков, два замещающих нуля при умножении разряда сотен, три нуля при умножении разряда тысяч и т. д.

Теперь вы умножаете 3 на 4, чтобы получить 12, поэтому запишите 2 и перенесите 1:

Продолжая, умножьте 5 на 4, чтобы получить 20, а затем добавьте 1, которую вы перенесли, получив результат 21:

.

Чтобы закончить, сложите два произведения (результаты умножения):

Итак, 53 47 = 2491.

Как умножать числа с переменными

Энциклопедия>Алгебра>Основы алгебры>Введение в алгебру>Как умножать числа с переменными

Теперь вы узнаете, как умножать числа на выражения, содержащие переменные. Когда вы делаете это, вы перемножаете числа друг с другом, а затем появляются и переменные. Мы начнем с рассмотрения самого фундаментального способа, как это работает.

Самое простое выражение, включающее переменную, это x. Перед этим x стоит невидимая 1. Эта 1 сыграет важную роль в грядущем, так что будьте внимательны!

Умножение в приведенном ниже правиле может выглядеть немного странно. Когда я пишу x, это уже равно одному x. Также писать 1, чтобы указать, что есть только один x, не нужно.

Правило

Важно

1⋅x=1x=x

Когда вы знаете, что x=1x, вы можете перейти к следующему шагу.

Что значит умножить число на выражение с переменными? Возьмем, к примеру, выражение умножения 3⋅2x. Это выражение описывает, сколько раз у вас есть коэффициент 2x. Это можно проанализировать так:

3⋅2x=2x+2x+2x︸2x прибавлено три раза=6x

Однако этот метод несколько утомителен. Из-за этого, чтобы умножить число на выражение с переменными, вы просто умножаете число на число перед переменной. Помните, что когда перед x нет никакого числа, там все еще есть невидимая 1, и вы можете умножить свое число на 1.

Пример 1

1⋅x=x2⋅x=2⋅1x=2×5⋅x=5⋅1x=5x

Когда вы умножаете число на x, вы умножаете это число на невидимую 1 перед x. Вы можете увидеть, как это выглядит выше.

Давайте сделаем еще один шаг и посмотрим, что на самом деле происходит с выражениями, подобными приведенному выше.