Как упрощать корни: Выражения с квадратными корнями — урок. Алгебра, 8 класс.

2

Преобразование выражений, содержащих знак корня

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные понятия, связанные с квадратными корнями;

·  вспомнить свойства арифметического квадратного корня;

· рассмотреть, какие преобразования можно выполнять в выражениях, содержащих знак корня.

Материал урока

Стоит напомнить, что квадратным корнем из числа 𝑎 называют такое число 𝑏, квадрат которого равен 𝑎 ().

Например, числа 8 и –8 квадратные корни из числа 64, так как  и .

Из любого неотрицательного действительного числа существует квадратный корень.

Квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Если  – квадратный корень из числа а, то  также является квадратным корнем из числа а, и других квадратных корней из числа а нет.

Также вы помните, что арифметическим квадратным корнем

из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а и обозначается он так:

Например,

Знак  называется знаком арифметического квадратного корня.

Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением.

Извлечь квадратный корень из числа а – это значит найти значение выражения .

Выражение  при  не имеет смысла.

Не путайте квадратный корень и арифметический квадратный корень из числа.

Запись  читают «квадратный корень из а». Слово «арифметический» при чтении опускают.

Значок  всегда означает «арифметический квадратный корень из числа».

Из определения квадратного корня следует тождество:

Например,

Напомним, что над выражениями, содержащими квадратные корни можно выполнять ряд преобразований. К таким преобразованиям относят:

преобразования корней из произведения, дроби и степени; умножение и деление корней; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня и избавление от иррациональности в знаменателе.

Теперь стоит повторить свойства арифметического квадратного корня и их применения.

Итак, первое свойство: если  и , то .

Чтобы извлечь квадратный корень из произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить.

Следует помнить, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трёх, четырёх и т.д. неотрицательных множителей.

Например, если , , , то .

Сделаем вывод:

корень из неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Верно и обратное утверждение: произведение корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел.

Задание.

Вычислить значение выражения:

а) ;                                        б) .

Первое выражение: . Воспользуемся свойством корня из произведения. Тогда корень из произведения этих чисел можно записать произведением корней, т.е. произведением . Найдём значения каждого из корней. В результате получим,

Следующее выражение: . Воспользуемся свойством корня из произведения. Тогда произведение этих корней равно корню из произведения . Затем представим подкоренное выражение в виде множителей, каждый из которых является квадратом целого числа. Тогда произведение значений каждого корня равно:

Следующее свойство: если  и , то .

Чтобы извлечь квадратный корень из дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Сделаем вывод: корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя.

Верно и обратное утверждение: частное корней равно корню из частного этих чисел.

Задание.

Вычислить значение выражения:

а);                                                      б) .

Первое выражение: . Найдём его значение. Представим подкоренное выражение в виде неправильной дроби. Получим,

Следующее выражение: . Воспользуемся свойством корня из дроби. Тогда получим,

Перейдём к следующему свойству: при любом значении а верно равенство: .

Равенство  является тождеством. Это тождество применяется при извлечении квадратного корня из степени с чётным показателем.

Чтобы извлечь корень из степени с чётным показателем, достаточно представить подкоренное выражение в виде квадрата некоторого выражения и воспользоваться тождеством: .

Задание.

Найти значение выражения:

а) ;                           б) ;                     в) .

Первое выражение: . Видим, в подкоренном выражении записана чётная степень. Применим свойство корня из степени с чётным показателем. Тогда, получим,

Следующее выражение: . Как и в предыдущем  выражении под корнем имеем чётную степень. Значит, можем воспользоваться свойством корня из чётной степени. Тогда получим,

И последнее выражение: . Перепишем подкоренное выражение, как . Теперь в подкоренном выражении имеем чётную степень. По свойству корня из степени с чётным показателем получим,

А теперь давайте перейдём к таким преобразованиям выражений, содержащих квадратные корни, как вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

Итак, если  и , то .

Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня.

Задание.

Вынесите множитель из-под знака корня:

а) ;                                                            б) .

Первое выражение: . Представим подкоренное выражение в виде произведения 16 и 2. Число 16 – это, в свою очередь, 4

2. Тогда получим,

Следующее выражение: . Аналогично предыдущему примеру, подкоренное выражение представим в виде произведения 4 и 17. Упростим произведение. В итоге получим,

Если  и , то .

Если  и , то .

Такое преобразование называют внесением множителя под знак корня.

Задание.

Внесите множитель под знак корня:

а) ;                                                            б) .

Первое выражение: . Представим число 5 в виде арифметического квадратного корня. Выполним умножение, применяя свойство корня из произведения. Получим,

Следующее выражение: . Число 0,3 представим в виде произведения  и 0,3. Затем число 0,3 представим в виде корня. Воспользуемся свойством корня из произведения. Посчитаем. Получим,

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби.

Если , то .

Такое преобразование называют избавлением от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание.

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

а) ;                         б) ;                     в) .

Первое выражение: . Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нам пригодится основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится. Т.е. чтобы избавиться от корня в знаменателе дроби мы можем числитель и знаменатель дроби умножить на этот корень. Умножим числитель и знаменатель нашей дроби на . Упростим числитель и знаменатель дроби. Получим,

Следующее выражение. Умножим числитель и знаменатель дроби на . Упростим. В итоге получим,

Следующее выражение немного посложнее: . Но не стоит сразу пугаться! Чтобы избавиться от иррациональности в данной дроби, нам следует обратиться к формуле разности квадратов. Для применения этой формулы нам нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение . Сворачивая знаменатель по формуле разности квадратов, получим,

Посмотрите, мы избавились от иррациональности в знаменателе. Выражение  называют сопряжённым выражением по отношению к выражению . Поэтому очень часто вместо того чтобы говорить умножим числитель и знаменатель на сумму или разность тех или иных выражений, говорят просто «умножим на сопряжённое выражение знаменателю (числителю)».

А теперь давайте рассмотрим задания на преобразование выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание.

Упростить выражение:

.

Рассмотрим выражение: . Каждое подкоренное выражение представим в виде произведения, таким образом, чтобы хотя бы один из множителей являлся квадратом натурального числа. Затем воспользуемся свойством корня из произведения. Теперь применим свойство корня из степени с чётным показателем. Упростим получившееся выражение. Обратите внимание, все слагаемые в нашем примере имеют корни с одинаковыми подкоренными выражениями. И отличаются лишь коэффициентами, записанными перед ними. Корни, которые имеют одинаковые подкоренные выражения, являются подобными слагаемыми. Чтобы привести подобные слагаемые достаточно сложить их коэффициенты и умножить на одинаковое выражение, содержащее корень. Приведём подобные слагаемые в нашем примере. Получим,

Задание.

Преобразовать выражение:

.

Воспользуемся формулой квадрата суммы. Упростим это выражение. Воспользуемся следствием из определения квадратного корня. Затем применим свойство корня из произведения. Приведём подобные. В итоге получим,

Задание.

Сократить дроби:

а) ;                                                        б) .

Рассмотрим первую дробь: . Напомним, что для выполнения сокращения дроби необходимо разложить выражения (в числителе или знаменателе) на множители. Для этого используют вынесение общего множителя за скобки или же применяют формулы сокращённого умножения. В нашем случае в числителе дроби число 7 можно представить, как . Тогда вынесем общий множитель  за скобку. Смотрите, дробь можно сократить на выражение . После сокращения получим,

Теперь перейдём ко второй дроби: . Заметим, что в числителе  можно представить, как , а 2, как . Тогда числитель данной дроби можно разложить по формуле разности квадратов двух выражений. Сократим дробь на выражение . В результате получим,

Итоги урока

На этом уроке поговорили о «преобразовании выражений, содержащих знак корня». Вспомнили основные понятия, связанные с квадратными корнями. Поговорили о свойствах арифметического квадратного корня. А затем рассмотрели, какие преобразования можно выполнять в выражениях, содержащих знак корня.

Как упростить Radicals

Master. 7 столбов школьного успеха

Улучшите свои оценки и снижайте стресс

Идеальные квадраты

(квадратные корты)

. = 2

√9 = 3

√16 = 4

√25 = 5

√36 = 6

√49 = 7

√64 = 8

√81 =

√64 = 8

√81 9 93 = 27 и ∛27 = 3

Галочка √ называется подкоренным символом и дает вам три важных элемента информации: степень, подкоренной символ и подкоренное число.

Степень  – это количество раз, которое число (называемое подкоренным числом) было умножено само на себя.

Степень 3 — это кубический корень, а 4 — корень четвертой степени. В большинстве случаев для квадратного корня отсутствует степень, и предполагается, что это квадратный корень.

Метод 1. Найдите наибольший идеальный квадрат, который будет делиться на радикал

Упрощение √32

Шаг 1 Найдите самый большой идеальный квадрат, который будет разделиться равномерно на 32

2 16 * * 2 =32

Шаг 2  Запишите эти числа под радикалом √(16*2)

Шаг 3  Присвойте каждому числу собственный знак радикала √16*√2 Шаг 4 9 09305

60004  «Убрать» или уменьшить полный квадрат 4√2 (полный квадрат 16=4)

Упростить √75  

25*3 =75  Шаг 1. Найдите самый большой правильный квадрат

√

*3)    Шаг 2. Запишите числа под корнем.

√25*√3    Шаг 3. Поставьте перед числами знак радикала.

5√3           Шаг. 4. Выньте любые идеальные квадраты (квадрат 25 = 5)

Метод 2  Упростить радикал » Способ 9 побега из тюрьмы0004 «

Я преподавал этот метод своим студентам в течение многих лет, это помогает многим запомнить шаги упрощения

Упрощение √75

Шаг 1 Когда радикал представляет собой квадратный корень, из-под корня выходит любая пара одинаковых чисел. В этом примере пара пятерок выходит, а 3 остается под радикалом.

 √(5 5 3) пара и тройка остается под корнем

5√3

Упростить √96  

Шаг 1 . Нарисуйте дерево факторов

Шаг 2  Пары одинаковых чисел исчезают В этом примере у вас есть 2 пары 2

Шаг 3  Перемножьте пары вместе 2*2 = 4√(2 3)

Шаг 4  Умножьте числа, оставшиеся под радикалом 2*3 = 6

Шаг 5  следовательно √(96 )=4√6

Стр. 1 Стр. 2

Стр. 1 Стр. 2

Чтобы упростить квадратный корень, нужно убрать все, что является полным квадратом.

Знакомство со следующим списком идеальных квадратов поможет упростить радикалы.

Подкоренное и Значение, из которого вы берете корень.

Радикальный символ. Символ, похожий на галочку. √ На полосе указано, какое значение использовать. Вы можете думать о баре как о скобках. Например,

Полоса больше 30 -3, поэтому вычтите 30 -3 = 27, затем извлеките кубический корень.

Берег превышает только 27, поэтому возьмите корень куба из 27, который равен 3, затем вычтите 2

Perfect Squares

4 = 2×2

9 = 3×3

16 = 4×4

9

25 = 5 x5

36 = 6×6

49 = 7×7

64 = 8×8

81 = 9×9

100 = 10 x 10

Запоминание совершенных кубиков также поможет при упрощении радикалов

8 = 2 x 2 x 2 125 = 5 x 5 x 5 512 8 x 8 x 8

27 = 3 x 3 x3 216 = 6 x 6 x 6 729 = 9 x 9 x 9

64 = 4 x 4 x 4 343 = 7 x 7 x 7

Правило радикалов гласит, что продукт двух

продукта.

Например: 

Как легко упростить квадратный корень « Math :: WonderHowTo

• По Daylightspool
• 15.03.10 23:30
• 23.04.10 16:13

robichaudd научит вас упрощать квадратный корень. Когда вы имеете дело с переменными, даже со степенями, и хотите найти из них квадратный корень, вы следуете процессу. Разделите мощность на корень, который равен двум, потому что это квадратный корень, который дает вам то, что получается. Если у нас есть квадратный корень из х в квадрате, результатом будет х. Таким образом, квадратный корень из x в 6 равен x в кубе. Вы просто делите степень на два, так как мы имеем дело с квадратным корнем. Тогда квадратный корень из 36 умножить на х квадрат равен 6 умножить на х. Для нечетных степеней вы хотите разбить их на множители. Квадратный корень из x в n, где n нечетно, равен квадратному корню из x в n-1 раз x. Квадратный корень из х в 19это квадратный корень из х в 18 раз х. Конечным результатом является x в 9-кратном квадрате x, который больше не может быть упрощен.