Об єм циліндра формула: Объем цилиндра формула и калькулятор онлайн

Шлях до математики: кроки успіху: Об’єми тіл обертання

Об’єми тіл обертання

• Об’єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H. Так як основою циліндра є круг, площа якого S=πR², то маємо ще одну формулу V=πR²H
• Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H. Так як основою конуса є круг, площа якого S=πR², то маємо ще одну формулу V=πR²H
• Об’єм кулі обчислюється за формулою V=πR³
1. На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об’єм.

   А	Б	В	Г	Д
   9π см3	15π см3	30π см3	36π см3	45π см3

   Відповідь

   Д.
   За малюнком радіус основи циліндра 3 см, а висота — 5 см. Об’єм циліндра можна знайти за формулою V=πR

   2H. Тоді V=π⋅3²⋅5=45π см³.

2. Об’єм циліндра дорівнює 72π см³. Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 3 см.

   А	Б	В	Г	Д
   24 см	12 см	9 см	8 см	6 см

   Відповідь

   Г.
   Об’єм циліндра можна знайти за формулою V=πR²H. Тоді 72π=π⋅3²⋅H
   72π=9π⋅H
   H=72π:9π
   H=8.

3. 2019. Укажіть формулу для обчислення висоти H циліндра, площа основи якого дорівнює S, а об’єм — V.

   А	Б	В	Г	Д
   H=	H=	H=VS	H=	H=

   Відповідь

   Б.
   Об’єм циліндра можна знайти за формулою V=SH. Тоді H=.

4. Знайдіть об’єм конуса, якщо його радіус дорівнює 6 см, твірна — 10 см.

   А	Б	В	Г	Д
   48π см3	60π см3	96π см3	120π см3	288π см3

   Відповідь

   В.

   З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора OA²=AB²-OB²=10²-6²=100-36=64. Тоді висота H=OA=8 см. Об’єм конуса можна знайти за формулою V=πR²H:3. Тоді V=π⋅6²⋅8:3=96π см³.

5. Об’єм циліндра дорівнює 48 см³. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

   А	Б	В	Г	Д
   6 см3	8 см3	16 см3	24 см3	36 см3

   Відповідь

   Б.
   З умови маємо R_к=R_ц, H_к=H_ц:2. Об’єм циліндра можна знайти за формулою V=πR²H, а об’єм конуса можна знайти за формулою V=πR²H:3. Тоді V_к=πR_к²H_к:3=πR_ц²H_ц:2:3=V_ц:2:3=V_к:6=48:6=8 см³.

6. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а.

   А	Б	В	Г	Д
   4а3	πа3	2πа 3	4πа3	2+2πa3

   Відповідь

   В.
   При обертанні куба навколо ребра утворюється циліндр, радіус основи якого дорівнює діагоналі основи куба (a), а висота а. Об’єм циліндра можна знайти за формулою V=πR²H. Тоді V=π⋅a=π⋅2a²⋅a=2πа³.

7. 2019. Укажіть формулу для обчислення об’єму V конуса, площа основи якого дорівнює S, а висота — h.

   А	Б	В	Г	Д
   V=Sh	V=	V=4Sh	V=	V=

   Відповідь

   Д.
   Об’єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту.

8. Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює 3 см, а діаметр основи — 2 см. Маса 1 см ³ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить 3 г. Визначте масу 100 таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною і не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

   А	Б	В	Г	Д
   900 г	950 г	1000 г	1050 г	1100 г

   Відповідь

   Б.
   Радіус основи конуса дорівнює R=d:2=2:2=1 см. Об’єм конуса можна знайти за формулою V=πR²H:3. Тоді V=π⋅1²⋅3:3=π≈3,14 см³. Маса однієї цукерки становить m=ρV=3⋅3,14=9,42 г. Маса 100 цукерок дорівнює 100⋅9,42=942 г. Найближча відповідь 950 г.

9. Об’єм кулі дорівнює 36π см³. Знайдіть її діаметр.

   А	Б	В	Г	Д
   3 см	24 см	6 см	18 см	12 см

   Відповідь

   В.
   Об’єм кулі можна знайти за формулою V=4πR³:3. Тоді 36π=4πR³:3. Звідси R³=36π:4π⋅3=27. Тоді R=3 см і d=2R=6 см.

10. Укажіть формулу для обчислення об’єму V півкулі радіуса R (див. рисунок).

    А	Б	В	Г	Д
    V=4πR2	V=πR3	V=πR3	V=2πR2	V=πR3

    Відповідь

    Б.
    Об’єм кулі можна знайти за формулою V=πR³. Так як маємо півкулю, то дане значення ділимо 2 (скорочуємо 4 на 2) і маємо πR³.

11. Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1-4), та формулою (А-Д) для обчислення його об’єму V.

    Тіло обертання

    Об’єм

    1 квадрат зі стороною а обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис. 1) 2 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом a обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис. 2) 3 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом а обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис. 3) 4 круг, радіус якого дорівнює , обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. 4)

    А V=πa3 Б V=πa3 В V=πa3 Г V=πa3 Д V=2πa3

    Відповідь

    1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б.

    
    1) При обертанні квадрата навколо сторони утворюється циліндр, радіус основи і висота якого дорівнює а. Тоді V=πa²⋅a=πа³.
    2) При обертанні прямокутного трикутника навколо катета утворюється конус, радіус основи і висота якого дорівнює а. Тоді V=πa²⋅a:3=πа³.
    3) При такому обертанні утворюється тіло, яке складається з циліндра, радіус основи і висота якого дорівнює а, з якого вирізали конус з тими ж значеннями радіуса та висоти. Маємо V_ц=πa²⋅a=πа³, V_к=πa²⋅a:3=πа³. Тоді об’єм тіла дорівнює V_ц-V_к=πа³
    4) При обертанні круга навколо свого діаметра утворюється куля. Тоді V=πR³==πa³.

12. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) і його об’ємом (А-Д).

    Тіло	Об’єм
    1циліндр, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 1) 2 конус, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 2) 3 куля, діаметр якої дорівнює а (рис. 3) 4 правильна трикутна призма, сторона основи та бічне ребро якої дорівнюють відповідно а і (рис. 4)	А πa3 Б πa3 В πa3 Г πa3 Д πa3

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
    1) Радіус циліндра R=d:2=a:2. Тоді V=π(a:2)²⋅a= πa³.
    2) Радіус конуса R=d:2=a:2. Тоді V=π(a:2)²⋅a:3= πa³.
    3) Радіус кулі R=d:2=a:2. Тоді V=4π(a:2)³:3= πa³.

    4) Так як призма правильна, то в основі лежить правильний трикутник і площа основи дорівнює S=. V=SH=πa

    3.

13. Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює 25π см², а його об’єм — 100π см³. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Тіло	Об’єм
    1Висота циліндра дорівнює 2 Висота конуса дорівнює 3 Радіус основи циліндра дорівнює 4 Твірна конуса дорівнює	А 4 см Б 5 см В 8 см Г 12 см Д 13 см

    Відповідь

    1-А, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
    1) Оскільки для циліндра V=S_оснH, то H=V:S_осн=100π:25π=4 см.
    2) Оскільки для конуса V=S_оснH:3, то H=V:S_осн⋅3=100π:25π⋅3=12 см.
    3) Так як в основі лежить круг, а площа круга S=πR

    2, то πR²=25π, звідки R=5 см.
    4) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника, у якого катети — висота і радіус основи конуса. За теоремою Піфагора х²=12²+5²=144+25=169, звідки твірна дорівнює 13 см.

14. Об’єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює 320π см³. Обчисліть довжину бічної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює 16 см. Відповідь

    17.
    Так як трикутник рівнобедрений, то висота, проведена до основи, є медіаною. Тоді при обертанні трикутника навколо цієї висоти ми отримаємо конус, діаметр якого дорівнює основі трикутника, а висота конуса дорівнює висоті трикутника, проведеної до основи. Так як діаметр основи конуса 16 см, то його радіус R=d:2=16:2=8 см. Основою конуса є круг, площа якого обчислюється за формулою S_осн=πR². Маємо S_осн=π⋅8²=64π. Об’єм конуса можна знайти за формулою V=S_осн⋅H:3. Підставимо відомі значення і отримаємо 320π=64π⋅H:3. Звідси H=320π:64π⋅3=15 см. Тоді висота трикутника, проведена до його основи також дорівнює 15 см. Маємо прямокутний трикутник, катети якого 15 і 8 см (висота та половина основи трикутника), а гіпотенуза — бічна сторона. За теоремою Піфагора квадрат бічної сторони дорівнює 15²+8²=225+64=289, звідки бічна сторона дорівнює 17 см.

15. 2020. Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює 800π см³, а площа основи — 100π см². Відповідь

    26.

    Об’єм конуса можна знайти за формулою V=πR²H:3, або V=S_оснH:3. Тоді 800π=100π⋅Н:3. Звідси Н=800π:100π⋅3=24 см. Так як S_осн=πR², то 100π=πR², звідки R=10 см. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора АВ²=AО²+OB²=24²+10²=576+100=676, звідси АВ=26 см.

16. Укажіть номер фужера, у який можна налити найбільше рідини.
    Відповідь

    3.
    1. Об’єм циліндра дорівнює V=π2²⋅3=12π
    2. Об’єм конуса дорівнює V=π4²⋅3:3=16π
    3. Об’єм півкулі дорівнює V=4π3³:3:2=18π.

Новіша публікація Старіша публікація Головна сторінка

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)

Як розрахувати об’єм ємності, циліндричного резервуару? Формула розрахунку.

Виробництво › Питання — Відповідь › Розрахунок об’єму циліндричної ємності робиться для обчислення корисного об’єму і місткості рідини в циліндричних ємкостях або резервуарах. Обчислення основних параметрів місткості циліндричних ємностей (резервуарів) виконується на основі геометричного методу розрахунку. Розрахунок об’єму ємкості виконується по формулі: V=S*L, де S — площа поперечного перерізу, L — довжина циліндричної частини. Площа поперечного перерізу ємності розраховується за формулою: S=3,14*d2/4 — площа круга з діаметром d. Об’єм ємності можна розрахувати як для горизонтального, так і вертикального їх розташування. Розрахунок корисної місткості циліндричного резервуару можна порахувати точніше, якщо в розрахунку об’єму врахувати товщину стінки s. Також не завжди зручно точно виміряти діаметр ємності, для цього можна зробити вимір завдовжки кола, обхопивши її рулеткою. Виміряти «довжину кола» набагато легше, оскільки вимір діаметру буде дуже скрутний у зв’язку з тим, що на ємкостях або резервуарах можуть знаходитися різного роду устаткування. До того ж можна зробити вимір в трьох різних перерізах і зробити розрахунок середнього значення. Щодо «3 вимірів» і «товщини стінки» — ці виміри параметрів і їх кількість необхідно для мінімізації погрішності розрахунку, оскільки  частенько ємкості або резервуари в процесі своєї експлуатації придбавають деформацію. Виконавши вимір довжини кола ємності Lокр можна зробити розрахунок її діаметру по формулі :  d=Lокр/3,14 Розрахувати об’єм горизонтального резервуару можна аналогічно розрахунку об’єму циліндра (див. формулу вище). Зробивши розрахунок об’єму резервуару можна округлити отримане значення, і вибрати найближче по стандартному ряду величин об’ємів ємності. Як вибрати об’єм ємності, резервуару? Якщо Ви хочете замовити виготовлення тари, то об’єм вибираємо з ряду: 50 літрів, 100л, 200л, 400 літрів, 500 літрів, 1 м куб, 2 м3 —  або вибираємо літраж 2000, 3 куби, 4 куб, на вибір 5м3 -или 5000 л, 8 куб, 10 м3, 1 1 куб м, 15 м3, 20 куб, 25 м3, 30 м3, 40 м3, 50 куб, 75 куб, 100 м3, місткість 1000 м3 — резервуар РВС 1000. Під замовлення можна вибрати об’єм баків по ваших розмірах. < Попередня

Топ продаж Силоси, бункери для зберігання цементу, зерна, піску, щебеня, вугілля, руди, коксу. Баки металеві, нержавіючі Прожекторні щогли освітлювальні. Ціна від виробника Освітлювальні щогли, блискавковідводи, флагштоки Сталеві конструкції опор ЛЕП 35-110 кв, ЛЕП 220-330 кВ на зб стійках СК Металоконструкціі зб опор ЛЕП 0,4-10 кВ

Объем цилиндра в единицах числа Пи

Объем цилиндра в единицах числа Пи — это вместимость цилиндра, которая означает количество любого материала, который он может вместить, или количество любого материала, который может быть погружен в него в единицах Пи. Формула для расчета объема цилиндра имеет вид πr ² h, где r — радиус круглого основания, а h — высота цилиндра. Материалом может быть любое вещество или любое количество жидкости, которое можно равномерно заполнить в цилиндре.

1.	Чему равен объем цилиндра в единицах Пи?
2.	Формула объема цилиндра в единицах числа Пи
3.	Как рассчитать объем цилиндра с точки зрения числа Пи?
4.	Часто задаваемые вопросы об объеме цилиндра в терминах числа Пи

Чему равен объем цилиндра в единицах Пи?

Объем цилиндра в единицах «пи» Вместимость цилиндра, выраженная в единицах «пи». Цилиндр представляет собой трехмерную форму с круглым основанием. Цилиндр можно рассматривать как набор круглых дисков, уложенных друг на друга. Единица объема цилиндра в пи выражается в кубических единицах, где единицей измерения может быть м ³ , см ³ , ³ , или фут ³ и т. д.

Формула объема цилиндра в единицах числа Пи

Цилиндр можно рассматривать как набор нескольких конгруэнтных дисков, уложенных друг на друга. Чтобы вычислить пространство, занимаемое цилиндром, мы находим общее пространство, занимаемое каждым диском, а затем складываем их. Следовательно, объем цилиндра определяется произведением площади основания и высоты. Для любого цилиндра, радиус основания которого равен «r», а высота — «h», объем будет равен основанию, умноженному на его высоту. Следовательно, объем цилиндра с радиусом основания «r» и высотой «h» = (площадь основания) × высота цилиндра. Поскольку основанием является круг, его можно записать как Volume = πr ² × ч

Как рассчитать объем цилиндра?

Объем цилиндра можно рассчитать, просто найдя пространство, занимаемое цилиндром. Объем цилиндра определяется произведением площади основания и высоты. Объем различных типов цилиндров в единицах пи поясняется ниже:

Цилиндр можно разделить на несколько типов в зависимости от его конструкции:

Прямой круговой цилиндр

Если оси двух параллельных линий перпендикулярны центру основания, такой цилиндр называется правильным круговым цилиндром.

Объем цилиндра = Площадь круга × высота
Объем прямого кругового цилиндра в пи = πr ² h кубических единиц, где r — радиус цилиндра, а h — высота цилиндра.

Наклонный цилиндр

Наклонный цилиндр — это цилиндр, стороны которого опираются на основание. В косом цилиндре стороны не перпендикулярны центру основания. Как правило, объем объекта — это его базовая площадь вместе с его высотой. Высоты и площадь основания косого и прямого круговых цилиндров одинаковы. Следовательно, объем косого цилиндра равен объему прямоугольного цилиндра. Объем косого цилиндра в единицах pi = πr ² h кубических единиц, где r — радиус цилиндра, а h — высота цилиндра.

Эллиптический цилиндр

Цилиндр, основание которого имеет форму эллипса, называется эллиптическим цилиндром. Основание эллиптического цилиндра имеет форму эллипса. Итак, есть два радиуса «a», «b» и высота «h».

Объем эллиптического цилиндра в кубических единицах pi = πabh, где h — высота цилиндра, a — большая полуось основания цилиндра, а b — малая полуось основания цилиндра.

Правый круглый полый цилиндр (цилиндрическая оболочка)

Правый круглый полый цилиндр, также называемый «цилиндрической оболочкой», состоит из двух правильных круглых цилиндров, заключенных один внутри другого. Точка оси общая и перпендикулярна центральному основанию. Он отличается от правильного круглого цилиндра тем, что он полый по своей природе, то есть внутри есть некоторое пространство или пустота. Мы знаем, что объем цилиндра = πr ² ч. В цилиндрической оболочке у нас есть два радиуса «R» и «r». Следовательно, объем цилиндрической оболочки = π(R ² –r ² )h кубических единиц, где «R» — внешний радиус основания цилиндра, а «r» — внутренний радиус основания цилиндра.

Часто задаваемые вопросы об объеме цилиндра в терминах числа Пи

Каков объем цилиндра в единицах числа Пи?

Определяется как вместимость цилиндра, выраженная в пи. Объем цилиндра в единицах пи выражается в кубических единицах, где единицами могут быть м ³ , см ³ , in ³ или ft ³ .

Какая формула используется для расчета объема цилиндра в единицах числа Пи?

Формула, используемая для определения объема цилиндра в единицах пи, следующая: V = πr ² h кубических единиц, где «V», «r» и «h» — объем, радиус и высота цилиндра. цилиндр. Эта формула объема цилиндра также показывает его зависимость от радиуса и высоты цилиндра.

Как найти объем цилиндра в единицах числа Пи?

Мы можем найти объем цилиндра в единицах пи, используя следующие шаги:

• Шаг 1: Определите заданные размеры радиуса и высоты цилиндра.
• Шаг 2: Возведите значение радиуса в квадрат.
• Шаг 3: Умножьте полученное значение на π и высоту цилиндра.
• Шаг 4: Полученное значение представляет собой объем цилиндра в единицах пи, который в конце записывается с кубическими единицами.

Как найти радиус цилиндра, если известен объем цилиндра в единицах Пи?

Мы можем найти объем цилиндра в единицах пи, используя следующие шаги:

• Шаг 1: Определить заданные размеры цилиндра, и пусть радиус цилиндра равен «r»
• Шаг 2: Возведите значение радиуса в квадрат.
• Шаг 3: Умножьте полученное значение на π и высоту цилиндра.
• Шаг 4: Теперь найдите «r» из полученного выше уравнения 9.0129
• Шаг 5: Полученное значение является радиусом цилиндра, который записывается с единицами в конце.

Какова формула объема цилиндра в единицах числа Пи, если цилиндр наклонен?

Наклонный цилиндр — цилиндр, стороны которого опираются на основание. В косом цилиндре стороны не перпендикулярны центру основания. Высоты и площадь основания косого и прямого круговых цилиндров одинаковы. Следовательно, объем косого цилиндра равен объему прямоугольного цилиндра. Объем косого цилиндра в единицах pi = πr ² h кубических единиц, где r — радиус цилиндра, а h — высота цилиндра.

Какова формула объема цилиндра в единицах числа Пи, если цилиндр имеет форму эллипса?

Цилиндр, основание которого имеет форму эллипса, называется эллиптическим цилиндром. Основание эллиптического цилиндра имеет форму эллипса. Итак, есть два радиуса «а» и «b» и высота «h». Объем эллиптического цилиндра в кубических единицах pi = πabh, где h — высота цилиндра, a — большая полуось основания цилиндра, а b — малая полуось основания цилиндра. цилиндр.

Какова формула объема цилиндра в единицах числа Пи, если цилиндр является прямым круговым полым цилиндром?

Правильный круглый полый цилиндр, также называемый «цилиндрической оболочкой», состоит из двух правильных круговых цилиндров, заключенных один внутри другого. Точка оси общая и перпендикулярна центральному основанию. Объем цилиндрической оболочки = π(R ² – r ² )h кубических единиц, где R – внешний радиус основания цилиндра, r – внутренний радиус основания цилиндра.

Объяснение урока: Объемы цилиндров

В этом объяснении мы научимся рассчитывать объемы цилиндров и решать задачи, в том числе в реальных жизненных ситуациях.

Чтобы найти объем цилиндра, давайте сначала напомним себе, как найти объем призмы. Помните, призма представляет собой форму с постоянным поперечным сечением, например, прямоугольную призму. Чтобы найти объем призмы, нужно вычислить площадь его поперечного сечения, а затем умножьте это на его длину. Если вы думаете о единичном кубе, он будет иметь площадь поперечного сечения 1 квадратная единица и объем 1 кубическая единица. Если бы мы поставили один куб поверх другого куба, это образует прямоугольную призму длины 2; таким образом, объем будет равен 2. Если бы мы начали с двух стоящих рядом единичных кубов, они будет иметь площадь поперечного сечения 2, и, добавив дополнительный слой, мы получим прямоугольную призму с объемом из 4. Это видно на диаграмме, показанной ниже.

Если бы у нас была призма с площадью поперечного сечения 21 квадратная единица и длиной 12 единиц (другими словами, 12 слоев), это было бы имеют объем 21×12=252 куб. Этот же процесс можно применить для определения объема любой призмы.

Цилиндр представляет собой призму с круглым поперечным сечением. Следовательно, если бы мы захотели вычислить объем цилиндра, сначала мы бы нужно вычислить площадь поперечного сечения и затем умножить на длину (или высоту) цилиндра. Теперь вспомним, что круг радиуса 𝑟 имеет площадь 𝜋𝑟. Итак, если мы начнем с цилиндра с радиусом 𝑟 и высота 1, то площадь поперечного сечения будет 𝜋𝑟 квадратных единиц, а объем цилиндра будет 𝜋𝑟 кубических единиц. Если бы мы захотели вычислить объем цилиндра высотой ℎ (ℎ слоев), мы должны умножить 𝜋𝑟 на ℎ, чтобы получить 𝜋𝑟ℎ. Это можно увидеть на следующем рисунке.

Таким образом, мы получили формулу объема цилиндра.

Формула: Объем цилиндра

Объем 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ определяется выражением формула 𝑉=𝜋𝑟ℎ.

Поскольку 𝜋=3,14159… это просто число, то, пока мы знаем радиус и высоту цилиндра, мы всегда можем применить эту формулу, чтобы найти его объем. Давайте посмотрим на это на примере.

Пример 1. Нахождение объема цилиндра по радиусу и высоте

Найдите объем данного цилиндра, округлив его до десятых.

Ответ

Из схемы видно, что цилиндр имеет радиус 4,2 фута и высотой 6,5 футов. Вспоминая, что объем 𝑉 цилиндр радиуса 𝑟 и высоты ℎ определяется формулой 𝑉=𝜋𝑟ℎ, мы можем подставить 𝑟=4,2 и ℎ=6,5 в правую часть, чтобы получить 𝑉=𝜋×(4,2)×6,5=𝜋×114,66=360,215….

Нас попросили округлить ответ до десятых. Помните, что десятая цифра — это первая цифра после запятой. точка, которая в данном случае равна 2. Цифра, следующая за ней (т. е. сотая цифра), равна 1, поэтому ответ округляется до 360,2 с точностью до десятых.

Так как радиус и высота цилиндра были указаны в футов, объем должен быть в кубический фут. Объем цилиндра, округленный до десятых, составляет 360,2 футов ³ .

Мы также рассмотрим пример, где нам дан диаметр цилиндра, а не радиус. Наш подход здесь очень похож но с одним дополнительным шагом. Всегда внимательно проверяйте, указан ли вам в вопросе радиус или диаметр.

Пример 2. Нахождение объема цилиндра по диаметру и высоте

Найдите с точностью до десятых объем этого цилиндра.

Ответ

Во-первых, напомним, что объем 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ определяется по формуле 𝑉=𝜋𝑟ℎ.

Обратите внимание, что на диаграмме выше показан цилиндр высотой 13 дюймов и диаметром 14 дюймов. Для подстановки в формулу объема необходимо знать радиус 𝑟, который составляет половину диаметра. Поэтому наш первый шаг — вычислить радиус, разделив диаметра на 2, что дает 𝑟=14÷2=7. Затем мы можем подставить это значение в формулу вместе с ℎ=13, чтобы получить 𝑉=𝜋×𝑟×ℎ=𝜋×7×13=𝜋×637=2001,194….

Исходя из вопроса, ответ нужно округлить до десятых. Десятая цифра — это первая цифра после запятой точка, которая здесь равна 1. Цифра, следующая за ней (цифра сотых), равна 9, поэтому наш ответ должен быть округлен до 2‎ ‎001,2 с точностью до десятых.

Диаметр и высота цилиндра указаны в дюймах, поэтому объем в кубических дюймах. Делаем вывод, что объем цилиндр 2‎ ‎001,2 дюйма ³ , округляется до десятых долей кубический дюйм.

Обратите внимание, что формула объема цилиндра содержит только три переменные: 𝑉, 𝑟 и ℎ. Это означает, что мы всегда можем работать в обратном направлении, чтобы вычислить высоту или радиус цилиндра, если нам дано объем и одно из двух других измерений. В следующем примере показано, как изменить формулу для решения этого типа задач. проблема.

Пример 3. Нахождение высоты цилиндра по объему и радиусу

Цилиндр объемом 900 см ³ и диаметром основания 14 см. Найдите высоту цилиндра с точностью до двух знаков после запятой.

Ответ

Напомним, что объем 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ равен определяется формулой 𝑉=𝜋𝑟ℎ.

В вопросе нам дан объем 𝑉=900 и диаметр 14 и нам нужно использовать эту информацию чтобы найти высоту. Прежде чем мы сможем применить формулу, мы должны вычислить радиус цилиндра, разделив диаметр на 2. Итак, имеем 𝑟=14÷2=7. Затем, заменив 𝑉 и 𝑟 в формула, мы имеем 900=𝜋×7×ℎ900=𝜋×49×ℎ.

Деление обеих частей на 𝜋, а затем на 49 дает 5,846…=ℎ, что то же самое, что ℎ=5,846…. Округлив это значение до двух знаков после запятой, получим ℎ=5,85.

Так как диаметр указан в сантиметрах, высота будет такой же единица измерения. Таким образом, высота цилиндра, округленная до двух знаков после запятой, равна 5,85 см.

Обратите внимание, что в приведенном выше примере мы подставили значения для 𝑉 и 𝑟, объем и радиус цилиндра в формулу 𝑉=𝜋𝑟ℎ, а затем переставить, чтобы найти значение высоты, ℎ. Альтернативная стратегия состоит в том, чтобы изменить формулу, чтобы сделать ℎ предметом, а затем заменить для 𝑉 и 𝑟 напрямую. Здесь мы обрисовываем в общих чертах, как получить эту формулу для высоты с точки зрения объем и радиус.

Начиная с исходной формулы 𝑉=𝜋𝑟ℎ и переписывая правую часть, чтобы включить знаки умножения, у нас есть 𝑉=𝜋×𝑟×ℎ.

Разделив обе части на 𝜋, а затем на 𝑟, получим ℎ=𝑉𝜋𝑟.

Если бы мы подставили 𝑉=900 и 𝑟=7 непосредственно в эту формулу, мы получили бы то же самое значение высоты, полученное в предыдущем примере.

Формула: высота цилиндра

Высота ℎ цилиндра объема 𝑉 и радиуса 𝑟 определяется по формуле ℎ=𝑉𝜋𝑟.

После того, как вы будете уверены в расчете объемов цилиндров при заданном радиусе или диаметре или при вычислении в обратном направлении высота или радиус цилиндра, если задан объем и одно из двух других измерений, следующим шагом будет рассмотрение некоторых текстовые задачи. Часто с этими вопросами вам дают контекст из реальной жизни или дополнительный уровень вычислений, который вам нужен. полный. Рассмотрим два примера задач такого типа.

Пример 4. Определение количества воды, необходимого для заполнения бака

Учитывая, что около 7,5 галлонов воды может заполнить один кубический фут, примерно сколько галлонов воды было бы в этом цилиндрическом резервуаре для воды, если бы было полно?

Ответ

Вспомните формулу объема 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ: 𝑉=𝜋𝑟ℎ. 

Сначала воспользуемся формулой для вычисления объема цилиндра, данной в вопросе кубический фут. Тогда, поскольку мы сказал примерное количество галлонов воды, которые заполняют один кубический фут, умножим объем цилиндра на количество галлонов на кубический фут, чтобы получить общее количество галлонов в полном баке.

На схеме показан цилиндрический резервуар для воды диаметром 20 футов и высотой 12 футов. Чтобы применить формулу, нам нужно знать радиус 𝑟, поэтому мы уменьшите диаметр вдвое, чтобы получить 𝑟=20÷2=10. Подставляя 𝑟 и ℎ в формулу, мы получаем 𝑉=𝜋×10×12=1200𝜋.

Обратите внимание, что мы сохранили это значение в его точной форме 1200𝜋, так как оно будет использоваться в наших окончательных расчетах.

Теперь нам нужно определить, сколько галлонов воды поместится в цилиндр. Вопрос говорит нам, что примерно 7,5 галлона поместится в один кубический фут. Поскольку мы только что выяснили, что цилиндр имеет объем 1200𝜋 кубических футов, мы должны умножить эти два числа вместе: 1200𝜋×7,5=28274,33388….

Округлив это значение до ближайшего целого числа, мы нашли, что цилиндрический бак вмещает примерно 28‎ ‎274 галлона воды, если он был полон.

В качестве последнего примера рассмотрим ситуацию, когда нам нужно сравнить объем цилиндра с объемом другого трехмерного объекта. формы, если заданы их соответствующие размеры.

Пример 5: Сравнение объема куба с цилиндром

Какой объем больше, куб с ребрами длиной 4 см или цилиндр радиусом 3 см и высота 8 см?

Ответ

Напомним, что объем 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ задан по формуле 𝑉=𝜋𝑟ℎ. Этот вопрос требует, чтобы мы сравнили объем цилиндра с объемом куб.

Теперь объем куба, 𝑉cube, можно найти, возведя в куб длину его стороны, ℓ. Мы в вопросе сказано, что куб имеет ребра длиной 4 см, поэтому ℓ=4. Таким образом, 𝑉=ℓ=4=4×4×4=64.cube

Поскольку все длины в вопросе даны в сантиметрах, объем куба равен 64 см ³ .

Кроме того, мы знаем, что цилиндр имеет радиус 3 см и высоту 8 см, поэтому подставляя 𝑟=3 и ℎ=8 в формулу 𝑉=𝜋𝑟ℎ, получаем 𝑉=𝜋×3×8=𝜋×72=226,194….

Следовательно, цилиндр имеет объем 226,19 см ³ с точностью до двух знаков после запятой места.

Наконец, нам нужно сравнить два тома. Ясно, что 226,19 > 64, поэтому мы заключаем, что цилиндр имеет больший объем.

Давайте закончим повторением некоторых ключевых понятий из этого объяснения.

Ключевые точки

• Цилиндр — это тип призмы с круглым поперечным сечением. Чтобы вычислить объем призмы, нужно найти площадь сечение и умножить на его длину (или высоту).
• Объем 𝑉 цилиндра радиуса 𝑟 и высоты ℎ определяется выражением формула 𝑉=𝜋𝑟ℎ.
• Всегда проверяйте, дан ли вам радиус или диаметр цилиндра в вопросе.

  No related posts.