Как узнать направление вектора: Направление вектора и направляющие косинусы

Содержание

41. Как определить направление момента силы?

Для описания динамики вращательного движения твердого тела необходимо ввести понятие момента силы. Момент силы относительно некоторой точки — это векторное произведение силы на кратчайшее расстояние от этой точки до линии действия силы. Момент силы — аксиальный вектор. Он направлен вдоль оси вращения. Направление вектора момента силы определяется правилом буравчика, а величина его равна M. При этом надо различать понятия момента силы относительно точки и относительно оси. Если сила f приложена к материальной точке А, то моментом силы М относительно произвольной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О к точке А, и вектора силы: М = [ r f ] . Модуль векторного произведения = r f sin a, а направление вектора М определяется правилом правого буравчика: направление первого вектора r по кратчайшему пути вращается к направлению второго вектора f, а движение оси буравчика при этом вращении показывает направление вектора М.

Моментом силы относительно произвольной оси z называется векторное произведение радиуса-вектора r и составляющей f силы f , приложенной в точке А: М = [ r f ] где составляющая f представляет собой проекцию силы f на плоскость, перпендикулярную оси z и проходящую через точку А , а r — радиус- вектор точки А, лежащий в этой плоскости. M=Fd, т. е. момент силы равен произведению силы F на длину перпендикуляра d, опущенного из оси на направление силы. Длину перпендикуляра, опущенного из оси на направление силы, называют плечом силы. Значит, момент силы равен произведению величины силы на плечо силы. Ясно, что перенесение точки приложения силы вдоль ее направления не меняет ее момента (рис. 120). Если направление силы проходит через ось вращения, то плечо силы равно нулю; следовательно, равен нулю и момент силы этом случае сила не вызывает вращения тела: сила, момент которой относительно данной оси равен нулю, не вызывает вращения вокруг этой оси. Пользуясь понятием момента силы, мы можем по-новому сформулировать условия равновесия тела, закрепленного на оси и находящегося под действием двух сил.

Как мы видели, для равновесия необходимо, чтобы силы стремились вращать тело в противоположных направлениях и чтобы произведения сил на их расстояния до оси были равны. Значит, при равновесии моменты обеих сил должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Таким образом, для равновесия тела, закрепленного на оси, алгебраическая сумма моментов действующих на него сил должна быть равна нулю. Так как момент силы определяется произведением величины силы на плечо, то единицу момента мы получим, взяв силу, равную единице, плечо которой также равно единице. Значит, в системе СИ единицей момента силы является момент силы в 1 н, действующей на плече в 1 м, т. е. 1 н*м, в системе СГС —1 дин*см, в системе МКСС— 1 кГ*м. Пользуясь данными § 45, найдем соотношения между этими единицами:1 дин*см = 10^-7 н*м; 1 кГ*м = 9,8 н*м.

Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону. Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС) — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]).Определим угловую скорость как вектор, величина которого численно равна угловой скорости, b направленный вдоль оси вращения, причем, если смотреть с конца этого вектора, то вращение направлено против часовой стрелки

. Исторически сложилось, что положительным направлением вращения считается вращение «против часовой стрелки», хотя, конечно, выбор этого направления абсолютно условен. Для определения направления вектора угловой скорости можно также воспользоваться «правилом буравчика» (которое также называется «правилом правого винта») — если направление движения ручки буравчика (или штопора) совместить с направлением вращения, то направление движения всего буравчика совпадет с направлением вектора угловой скорости.

43. Как определить направление углового ускарения? Угловое ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

Угловое ускорение равно первой производной от угловой скорости по времени.Формула угловой скорости:

Единица углового ускорения — радиан в секунду в квадрате.

Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно^[1]:

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени^[2], то есть

и направлен по касательной к годографу вектора в соответствующей его точке.

44. При каком условии мы имеем право считать в лабораторной работе №4 «Изучение основного закона динамики вращательного движения» линейное ускорение точек на ободе щкива равным ускорению поступательного движения груза?

Момент сил создается грузом m, привязанным к нити Н, которая навита на один из шкивов. Если момент сил трения M_тр, приложенный к оси маятника, мал по сравнению с моментом силы натяжения нити, то проверка уравнения не представляет труда. Действительно, измеряя время t, в течение которого груз из состояния покоя опустится на расстояние h, можно легко найти ускорение груза а, в проекции на координатную ось, совпадающую с направлением движения:

, которое связано с угловым ускорением  (при отсутствии проскальзывания нити относительно обода шкива) очевидным соотношением

, где r — радиус шкива.

Векторная алгебра — Документация Godot Engine (stable) на русском языке

Введение

Этот урок — короткое и практичное введение в линейную алгебру, применяемую в разработке игр.

Линейная алгебра изучает векторы и их использование. Векторы могут применяться в 2D и 3D разработке и Godot использует их интенсивно. Разработчику игр требуется хорошее понимание векторной алгебры чтобы стать сильным в этой области.

Примечание

Этот урок — не учебник по линейной алгебре. Мы рассмотрим только то, что применяется в разработке игр. Для более широкого взгляда на математику, смотрите https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

Системы координат (2D)

В 2D пространстве, координаты определены использованием горизонтальной оси (x) и вертикальной оси (y). Определённая позиция в 2D пространстве записывается как пара значений, таких как (4, 3).

Примечание

Если вы новичок в компьютерной графике, вам может показаться странным, что положительная ось

y указывает вниз, а не вверх, как вас учили в школе. Тем не менее, в приложениях компьютерной графики это встречается повсеместно.

Любая точка на 2D плоскости может быть таким образом определена парой чисел. Вы также можете рассматривать (4, 3) как смещение от точки (0, 0), или точки начала координат. Нарисуем стрелку от начала координат до заданной точки:

Это вектор. Вектор предоставляет множество полезной информации. Помимо сообщения нам, что точка расположена в (4, 3), мы можем также представить это в виде угла θ и длины (величины, модуля) m. В данном примере стрелка — это вектор позиции — он обозначает позицию в пространстве относительно начала координат.

При рассмотрении векторов крайне важно иметь в виду, что они представляют только

относительные направление и величину (модуль). Вектору нельзя приписать определённой позиции. Два следующих вектора идентичны:

Оба вектора представляют точку 4 единицами правее и 3 единицами ниже стартовой точки. Неважно, где на плоскости вы нарисуете вектор, он всегда представляет относительное направление и величину.

Операции над векторами

Вы можете применять любой из методов (задание координат x и y или угла с длиной) для определения вектора, но обычно программисты используют координаты. Для примера, в Godot начало координат — это верхний-левый угол экрана, так что для перемещения 2D узла с именем Node2D на 400 пикселей вправо и 300 вниз используйте следующий код:

$Node2D.position = Vector2(400, 300)

Godot поддерживает типы Vector2 и Vector3 для 2D и 3D соответственно. Математические правила, рассказанные в этой статье, применяются к обоим типам.

Доступ к полям

К отдельным компонентам вектора можно обращаться непосредственно по имени.

# create a vector with coordinates (2, 5)
var a = Vector2(2, 5)
# create a vector and assign x and y manually
var b = Vector2()
b.x = 3
b.y = 1

Сложение векторов

Когда два вектора складываются или вычитаются, складываются соответствующие компоненты:

var c = a + b  # (2, 5) + (3, 1) = (5, 6)

Мы также можем посмотреть визуально на добавление второго вектора к концу первого:

Отметьте что сложение a + b даёт такой же результат что и b + a.

Скалярное перемножение

Примечание

Векторы представляют направление и длину (магнитуду). Значение, представленное только длиной, называется скаляром.

Вектор может быть умножен на скаляр:

var c = a * 2  # (2, 5) * 2 = (4, 10)
var d = b / 3  # (3, 6) / 3 = (1, 2)

Примечание

Умножение вектора на скаляр не меняет направление, только длину. Это как бы увеличение вектора.

Практические применения

Давайте посмотрим на два обычных приёма использования для векторного сложения и вычитания.

Движение

Вектор может представлять любую длину и направление. Обычные примеры это: позиция, скорость, ускорение, и сила. На этом изображении, космический корабль на шаге 1 имеет вектор позиции (1,3) а вектор скорости (2,1). Вектор скорости представляет как далеко пойдёт корабль на каждом шаге. Вы можете найти его позицию на шаге 2 добавляя скорость к текущей позиции.

Совет

Скорость вычисляет изменение позиции за единицу времени. Новая позиция находится добавлением скорости к предыдущей позиции.

Направление в сторону цели

В этом примере вы, управляя танком, хотите направить дуло на робота. Вычитание позиции танка из позиции робота даёт вектор, направленный от танка к роботу.

Совет

Для нахождения вектора направления от A до B используйте B - A.

Единичные векторы

Вектор с длиной, равной 1, называется единичным вектором. Они также иногда называются векторами направления или нормалями. Единичные векторы полезны, когда вам нужно сохранить направление без учёта длины.

Нормализация

Нормализация вектора означает приведение его длины к 1 с сохранением его направления. Это делается путём деления каждого из его компонентов на длину. Поскольку это довольно распространённая операция, Vector2 и Vector3 предоставляют метод нормализации:

a = a.normalized()

Предупреждение

Поскольку нормализация подразумевает деление на длину вектора, вы не можете нормализовать вектор с длиной равной 0. Попытка сделать это закончится ошибкой.

Отражение

Обычный пример использования единичных векторов — определение нормалей. Векторы нормалей — это единичные векторы, перпендикулярные к поверхности, определяющей их направление. Обычно они используются в обработке света, столкновений и других операциях с поверхностями.

Например, представьте что вы движете шар, который вы хотите отражать от стен или других объектов:

Нормаль поверхности имеет значение (0, -1), потому что это горизонтальная поверхность. Когда шар сталкивается, мы берём его оставшееся движение (количество, оставшееся, когда он касается поверхности) и отражаем его, используя нормаль. В Godot класс Vector2 имеет метод bounce() для обработки этого. Вот пример GDScript приведённой выше диаграммы с использованием KinematicBody2D:

# object "collision" contains information about the collision
var collision = move_and_collide(velocity * delta)
if collision:
    var reflect = collision.remainder.bounce(collision.normal)
    velocity = velocity.bounce(collision.normal)
    move_and_collide(reflect)

Скалярное произведение

Результат скалярного произведения очень важный аспект в векторной алгебре, но его также часто плохо понимают. Скалярное произведение это операция над двумя векторами которая возвращает скаляр. В отличии от вектора, который содержит длину и направление, скаляр содержит только длину.

Формула скалярного произведения имеет две распространённых формы:

Также, в большинстве случаев лучше использовать встроенный метод. Обратите внимание, что порядок двух векторов не имеет значения:

var c = a. dot(b)
var d = b.dot(a) # These are equivalent.

Скалярное произведение очень полезно в использовании с единичными векторами, сокращая первую формулу до cosθ. Это означает что мы можем использовать скалярное произведение чтобы получить угол между двумя векторами:

Когда используются единичные вектора, результат будет всегда между -1 (180°) и«1« (0°).

Направление взгляда

Мы можем использовать этот факт для обнаружения, что объект смотрит в направлении другого объекта. На диаграмме ниже, игрок P пытается избежать взгляда зомби A и B. Могут ли зомби его увидеть если их угол обзора равен 180° ?

Зелёные стрелки fA и fB это единичные векторы представляющие направление взгляда зомби, а синий полукруг представляет их поле обзора. Для зомби A, мы находим направление вектора AP указывающего на игрока с помошью P - A и нормализуем его, однако, Godot имеет вспомогательный метод для этого, называемый direction_to. Если угол между этим вектором и вектором взгляда меньше 90°, то зомби может увидеть игрока.

В коде это бы выглядело как:

var AP = A.direction_to(P)
if AP.dot(fA) > 0:
    print("A sees P!")

Векторное произведение

Также как и скалярное произведение, векторное произведение это операция над двумя векторами. Но в результате векторного произведения вы получаете вектор с направлением перпендикулярным обоим исходным векторам. Его длина зависит от их относительного угла. Если два вектора параллельны, в результате вы получите нулевой вектор.

Векторное произведение вычисляется так:

var c = Vector3()
c.x = (a.y * b.z) - (a.z * b.y)
c.y = (a.z * b.x) - (a.x * b.z)
c.z = (a.x * b.y) - (a.y * b.x)

В Godot, вы можете использовать встроенный метод:

var c = a.cross(b)

Примечание

В векторном произведении, порядок аргументов важен. a.cross(b) не даёт такого же результата что и b.cross(a). Получаемые векторы имеют противоположные направления.

Расчитывание нормалей

Одно из применений для векторного произведения — это нахождение нормалей плоскости или поверхности в 3D пространстве. Если мы имеем треугольник ABC мы можем использовать векторное вычитание для нахождения граней AB и AC. Используя векторное произведение, AB x AC возвращает вектор перпендикулярный обоим векторам: нормаль поверхности.

Здесь показана функция для вычисления нормали треугольника:

func get_triangle_normal(a, b, c):
    # find the surface normal given 3 vertices
    var side1 = b - a
    var side2 = c - a
    var normal = side1.cross(side2)
    return normal

Направление на цель

В скалярном произведении выше, мы видели как оно может использоваться для нахождения угла между двумя векторами. Однако для 3D этого недостаточно. Мы также должны знать вокруг какой оси нужно осуществлять вращение. (jфи) = 3,766*(Cos(фи) + j*Sin(фи)), где 180°<= фи<= 360°

Гость6

Всего 1 ответ.

С чего начать изучать физику? (Книги и прочее).

Pa Lan9

Источник: 16207s011.edusite.ru

Начинать нужно в любом случае с школьного курса физики. Забудьте про научпоп и читайте академические учебники. Например, в научпопе по физике до сих пор из книги в книгу гуляет неверная формула E = mc² и до сих пор пишут, что масса тела зависит от скорости.
Ладно, вернемся к учебникам. Лучшим школьным учебником физики на сегодня я считаю 5-томник под ред. Мякишева Г.Я.:
– Механика, 10 класс;
– Молекулярная физика и термодинамика, 10 класс;
– Электродинамика, 10-11 классы;
– Колебания и волны, 11 класс;
– Оптика. Квантовая физика, 11 класс.
Это тот минимум, без которого нельзя приступать к университетскому курсу. Так же, параллельно с физикой необходимо учить математику – в физике без математики делать нечего.
Очень хорош, свободно распространяемый в инете, учебник физики Яковлева И.В. Так же у этого автора есть много хороших методичек по математике и различным темам физики.
Еще обязательны методички ЗФТШ при МФТИ по математике и физике за 8-11 классы. Придется постараться, чтобы их найти, но найти их стоит. Чуть ли не половина студентов МФТИ учились в ЗФТШ при МФТИ .
Из учебников по математике советую:
– Погорелов А.В., Геометрия, 7-9 классы;
– Гордин Р.К., Планиметрия. Задачник, 7-9 классы;
– Калинин А.Ю., Терешин Д.А., Геометрия, 10-11 классы;
– Колмогоров А.Н. и др., Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл.;
– А так же материалы по математике Яковлева и методички ЗФТШ при МФТИ, о которых я писал выше.
Совет напоследок. В физике, как и в математике, главное – это решение задач. Умение решения задач – это главный критерий усвоения материала. После каждого параграфа в учебнике нужно самостоятельно прорешивать все задачи.

Иван Мельников7

Всего 4 ответа.

Решить вопрос из физики?

Начальная фаза свободного гармонического колебания материальной точки равна нулю. Через какую долю периода скорость колеблющейся точки будет равна половине её максимальной скорости? Колебания совершаются по закону синуса.

Ответ должен получиться 1/6

bagera7

Уравнение колебания точки имеет следующий вид х = Asin(wt+фи(0)). Здесь А – амплитуда колебаний, w – частота колебаний и фи(0) – начальная фаза колебаний. К сожалению в БВ нельзя использовать греческие буквы, поэтому вместо омега я написал w и вместо греческой буквы фи так и написал по-русски фи. Начальная фаза колебаний равна нулю, то есть фи(0) = 0. Тогда уравнение наших колебаний будет таким

х = Asin(wt) (1)

В начальный момент времени при t = 0 имеем Asin(wt)= 0, тогда х(0) = 0. Я уже забыл, в каком классе проходят производные. Для того чтобы найти уравнение для скорости колебаний v, надо взять производную по времени из уравнения (1). Получим

v = wAcos(wt) (2)

В начальный момент времени (t = 0), cos(wt) = 1. Скорость колебаний будет максимальной и равной v(макс) = wA. Один период колебаний = 2пи, где пи = 3,14 – это греческая буква пи.

Период колебаний обычно обозначается буквой Т. Имеем wТ = 2пи. Или период Т = 2пи/w. В задаче сказано, когда скорость точки станет равной половине максимальной скорости. То есть v = v(макс)/2 = wA/2 = 0,5wA. Из уравнения 2 надо найти это время t. Имеем

0,5wA = wAcos(wt). Отсюда находим cos(wt) = 0,5. Косинус равен 0,5 (или 1/2), когда wt = пи/3. Это уже из тригонометрии. Находим t = пи/3w. Но w = 2пи/Т. Тогда имеем

t = пи/3w = пиТ/(3*2пи) = Т/6, где * – знак умножения. Ответ: скорость колеблющейся точки будет равна половине её максимальной скорости при Т/6, то есть 1/6 от периода колебаний.

А это график гармонических колебаний

А здесь представлен график изменения скорости со временем. Здесь по вертикали надо отложить скорость v, а не х. И амплитуда равна wA, а не А.

PavelR2

Всего 1 ответ.

Физика,

вал молотилки вращается с угловой скоростью 18 рад/с начинает тормозить с угловой скоростью 6 рад/с. через какое время вал остановиться, и сколько оборотов он сделает до полной остановки?Ородж Уружев1

это арифметикаval5

Всего 1 ответ.

Физика

Александр Иващин1

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения момента импульса, т.к. сумма моментов сил тяжести и реакций на опору равны 0 в системе диск-человек:

J1 * w1 = J2 * w2 => w2/w1 = J1/J2, где

J1, J2 — моменты инерции;

w1, w2 — угловые скорости.

Т.к. масса человека в три раза меньше массы платформы, получим следующее:

• масса платформы — m;

• масса человека — m/3;

• R — радиус диска.

J1 = (m*R2)/2 + (m*R2)/3 = 5/6 * m*R2;

J2 = (m*R2)/2 + (m/3) * (R/2)2 = 7/12 * m*R2;

=> w2/w1 = ((5/6) * m * R2) / (7/12) * m*R2 = 10/7 = 1,43

Ответ: угловая скорость вращения платформы увеличиться в 1,43 раза.

Александр IV9

J1 * w1 = J2 * w2 => w2/w1 = J1/J2, гдеJ1, J2 — моменты инерции;w1, w2 — угловые скорости.Т.к. масса человека в три раза меньше массы платформы, получим следующее:• масса платформы — m;• масса человека — m/3;• R — радиус диска.J1 = (m*R2)/2 + (m*R2)/3 = 5/6 * m*R2;J2 = (m*R2)/2 + (m/3) * (R/2)2 = 7/12 * m*R2;=> w2/w1 = ((5/6) * m * R2) / (7/12) * m*R2 = 10/7 = 1,43Верный ответ : в 1,43 раза.Мария О.6

Всего 2 ответа.

Как найти направление вектора: формула, примеры и советы ).insertBefore(«#quiz_container»),$(‘

‘). insertBefore(«#newsletter_block_main»),ha(!0),b=document.getElementsByClassName(«scrolltomarker»),a=0;a

Скачать статью

Изучите эту статью

Скачать статью

Найти направление вектора в 2-мерной плоскости очень просто! Вам просто нужно немного тригонометрии. Компоненты x и y вектора образуют прямоугольный треугольник. Вы можете использовать функцию касательной, чтобы найти угол между осью X и вектором. Это руководство wikiHow покажет вам, как найти направление вектора, и рассмотрит четыре примера.

Вещи, которые вы должны знать

Для этого метода хвост вектора будет расположен в начале координатной плоскости xy, а кончик будет в координате (X, Y).
Используйте tan(𝛉) = Y/X, чтобы найти угол направления 𝛉 вектора. Примените арктангенс к обеим сторонам, чтобы найти 𝛉.
Если ваш вектор находится во втором, третьем или четвертом квадранте, вам необходимо применить корректировку. Добавьте 180 градусов к вашему ответу для квадрантов II и III. Добавьте 360 для квадранта IV.

Шаги

1
Есть несколько терминов координатной плоскости, которые вам необходимо знать. Декартова двумерная координатная плоскость задает точки на плоскости путем назначения расстояний от начала координат.
- A 2-мерная плоскость представляет собой плоскую поверхность, состоящую из двух направлений, x и y. Он простирается бесконечно в направлениях x и y.
- Ось x — это горизонтальная линия, которая измеряет расстояние в пространстве в направлении x. Положительные значения указывают вправо от начала координат (положительная ось X), отрицательные — влево (отрицательная ось X).
- Ось Y — это вертикальная линия, которая измеряет расстояние в пространстве в направлении x. Он перпендикулярен оси x. Положительные значения указывают вверх от начала координат (положительная ось Y), отрицательные указывают вниз (отрицательная ось Y).
- Начало находится там, где пересекаются оси x и y. Он имеет координаты (0, 0).
- Координаты — это местонахождение точки. Они записываются как (x, y), где x — это расстояние, которое вам нужно пройти в горизонтальном направлении, а y — это расстояние, которое вам нужно переместить в вертикальном направлении, чтобы добраться до точки из начала координат.
2
Вам также необходимо знать четыре квадранта. Квадранты — это четыре пространства на координатной плоскости, определяемые осями x и y.
- Пространство над осью x и справа от оси y является первым квадрантом . Все в этом квадранте является положительной величиной. Это верхнее правое пространство самолета.
- Затем квадранты упорядочиваются против часовой стрелки, начиная с первого квадранта.
- Итак, второй квадрант находится выше оси x и левее оси y.
- Третий квадрант находится ниже оси x и левее оси y.
- Четвертый квадрант находится ниже оси x и правее оси y.
Реклама
3
Векторы определяются двумя параметрами: величиной и направлением. Величина представлена длиной вектора. Направление — это направление, в котором вектор направлен в данной координатной плоскости. ^{[1]
Икс
Источник исследования}
- Векторы часто изображаются в виде стрелок на координатной плоскости. Хвост вектора находится в начале плоскости.
- Например, двумерный вектор может иметь длину 3 и указывать на 45 градусов против часовой стрелки от положительной оси X.
- Примечание: в этом руководстве wikiHow обсуждаются векторы в 2-мерном пространстве, но эти принципы применимы и к 3-мерному пространству.
- Вы также можете ознакомиться с нашим руководством по нахождению величины вектора.
4
Существует два распространенных способа представления компонентов вектора. Можно использовать координаты или представление единичного вектора.
- Обозначение координат говорит вам, где находится кончик векторной стрелки. Его часто записывают в виде двух вертикально стоящих чисел в квадратных скобках. Координата x находится сверху, а y — снизу.
- Если вы их не знаете, вы можете разложить вектор на компоненты.
5
Представление единичного вектора представляет вектор как уравнение. Это также иногда называют инженерной записью. Уравнение
- и = Xî + Yĵ
- , где u — это вектор (это может быть любая буква и обычно имеет стрелку, указывающую прямо над буквой), X — это координата x, а Y — координата y.
- Например, u = 3î + 4ĵ будет вектором с вершиной, указывающей на координату (3, 4).

1
Найдите угол 𝛉, который вы пытаетесь найти. Направление вектора можно определить как угол между положительной осью x и вектором. ^{[2]
Икс
Источник исследования}
- Найдите угол, начав с положительной оси x (0 градусов), а затем двигаясь против часовой стрелки, пока не дойдете до вектора.
- Вектор может указывать в плоскости в любом направлении от 0 до 360 градусов.
- Этот угол будет обозначаться как 𝛉 (греческий символ тета).
2
Определите треугольник, созданный вектором. Вектор определяется своими компонентами X и Y. Вы можете использовать эти два числа, чтобы сделать прямоугольный треугольник.
- Одна сторона треугольника будет на одной линии с осью x. Длина этой стороны X является компонентой X вектора. Мы будем называть это соседней стороной.
- Вторая сторона перпендикулярна оси x. Длина этой стороны Y является компонентой Y вектора. Мы будем называть это противоположной стороной.
- Третьей стороной треугольника является гипотенуза, а также сам вектор.
3
Используйте определение тригонометрической функции, тангенса. Тангенс (tan) определяется как ^{[3]
Икс
Источник исследования}
- tan(𝛉) = напротив/смежно
- где
- «противоположный» — это длина стороны, наиболее удаленной от угла 𝛉
- , а «прилегающая» — это длина стороны, ближайшей к углу 𝛉 (это не гипотенуза) 9-1 на калькуляторах. Это приведет к
  - 𝛉 = арктангенс (Y/X)
  - Чтобы решить это с помощью калькулятора, сначала разделите Y на X, затем нажмите кнопку арктангенса. Возможно, вам придется нажать клавишу Shift или 2-ю клавишу на вашем калькуляторе, чтобы получить доступ к функции арктангенса.
  - Примечание: Убедитесь, что ваш калькулятор находится в режиме градусов (обычно помечен как «Deg»). Если вы находитесь в режиме радианов («Рад»), ответ будет в радианах, а не в градусах.
- 6
  Примените корректировку угла, чтобы получить правильное измерение. Калькуляторы выводят только углы в первом и четвертом квадрантах (от отрицательных 90 градусов до положительных 90 градусов). Это потому, что калькулятор не оценивает, где находятся минусы при вычислении 𝛉. Чтобы получить правильный 𝛉 для каждого квадранта, вам нужно определить, в каком квадранте находится ваш вектор, а затем применить корректировку:
  - Первый квадрант не нуждается в корректировке.
  - Для векторов во втором квадранте функция арктангенса даст отрицательный угол, указывающий вниз и вправо (в четвертом квадранте). Этот угол направлен прямо против вектора, поэтому вам нужно добавить 180 градусов к углу, чтобы получить 𝛉.
  - Для векторов в третьем квадранте функция арктангенса даст положительный угол, указывающий вверх и вправо (в первом квадранте). Этот угол направлен прямо против вектора, поэтому вам нужно добавить 180 градусов к углу, чтобы получить 𝛉. ^{[4]
    Икс
    Источник исследования}
  - Для векторов в четвертом квадранте функция арктангенса даст отрицательный угол, указывающий вниз и вправо (в четвертом квадранте). Этот угол указывает в правильном направлении, но угол отрицательный (отсчитывается по часовой стрелке от положительной оси x), а не положительный (отсчитывается против часовой стрелки от положительной оси x). Вам нужно добавить 360 градусов к углу, чтобы получить 𝛉.

Есть несколько случаев, когда вам не нужно использовать тригонометрию, чтобы найти угол вектора. Это случаи, когда угол вектора очевиден, если посмотреть на него на графике.
- Если один из компонентов вектора x или y равен 0 , то вектор указывает прямо на оси.
- Например, если у вас есть вектор u = 0î + 5ĵ, вектор указывает прямо вверх вдоль положительной оси y. Это означает, что угол равен 9.0 градусов, так как ось Y перпендикулярна оси X.
- Если компоненты вектора x и y имеют одно и то же число , вектор указывает с шагом 45 градусов.
- Например, если у вас есть вектор u = -3î + 3ĵ, вектор указывает вверх и влево на 45 градусов против часовой стрелки от положительной оси y. Поскольку оси перпендикулярны, мы можем добавить 90 градусов (положительная ось x к положительной оси y) плюс 45 градусов, чтобы получить 135 градусов.

Вот пошаговый пример вектора в первом квадранте.
- Вам дан вектор u = 2х + 5х
- Вставить компоненты в уравнение касательной tan(𝛉) = Y/X
- загар(𝛉) = 5/2
- 𝛉 = арктангенс (5/2)
- 𝛉 = арктангенс (2,5)
- 𝛉 = 68,20 градусов

Вот пошаговый пример вектора во втором квадранте.
- Вам дан вектор u = -3х + 6х
- Вставить компоненты в уравнение касательной tan(𝛉) = Y/X
- загар(𝛉) = 6/-3
- 𝛉 = арктангенс (6/-3)
- 𝛉 = арктангел (-2)
- 𝛉 = -63,43 градуса
- Этот угол указывает в четвертом квадранте. Примените корректировку, чтобы получить угол вектора.
- 𝛉 = -63,43 + 180
- 𝛉 = 116,57

Вот пошаговый пример вектора в третьем квадранте.
- Вам дан вектор u = -1х + -7х
- Вставить компоненты в уравнение касательной tan(𝛉) = Y/X
- загар(𝛉) = -7/-1
- 𝛉 = арктангенс (-7/-1)
- 𝛉 = арктангенс (7)
- 𝛉 = 81,87 градуса
- Этот угол указывает в первом квадранте. Примените корректировку, чтобы получить угол вектора.
- 𝛉 = 81,87 + 180
- 𝛉 = 261,87

Вот пошаговый пример вектора в четвертом квадранте.
- Вам дан вектор u = 12х + -4х
- Вставить компоненты в уравнение касательной tan(𝛉) = Y/X
- загар(𝛉) = -4/12
- 𝛉 = арктангенс (-4/12)
- 𝛉 = арктангенс (-0,33)
- 𝛉 = -18,43 градуса
- Этот угол указывает в четвертом квадранте, но является отрицательным. Примените корректировку, чтобы получить положительный угол вектора.
- 𝛉 = -18,43 + 360
- 𝛉 = 341,57

Поиск

Добавить новый вопрос

Задать вопрос

Осталось 200 символов

Укажите свой адрес электронной почты, чтобы получить сообщение, когда на этот вопрос будет дан ответ.

Отправить

Спасибо, что отправили совет на рассмотрение!

использованная литература

↑ https://www.youtube.com/watch?v=fNk_zzaMoSs
↑ https://www.youtube.com/watch?v=A3OuFLHum6w
↑ https://mathworld.wolfram.com/SOHCAHTOA.html#:~:text=%22SOHCAHTOA%22%20is%20a%20helpful%20mnemonic,(1)
↑ https://www.youtube.com/watch?v=EX0Ha42WQ24

Об этом изделии

Печать
Отправить фанатскую почту авторам

Спасибо всем авторам за создание страницы, которую прочитали 5 раз.

7. Векторы в трехмерном пространстве

На этой странице…

Величина трехмерного вектора
Добавление трехмерных векторов
Скалярное произведение трехмерных векторов
Косинусы направления
Угол между векторами
Заявка

Ранее мы видели, как представлять двумерные векторы на плоскости x — y .

Теперь мы расширим идею представления трехмерных векторов с помощью осей x — y — z . (См. 3-мерную систему координат для получения дополнительной информации об этом).

Пример

Вектор OP имеет начальную точку в начале координат O (0, 0, 0) и конечную точку в P (2, 3, 5). Мы можем нарисовать вектор 92) = 6,16\ «единиц» `

Добавление трехмерных векторов

Ранее мы видели, как добавлять двумерные векторы. Теперь мы расширим эту идею для трехмерных векторов.

Мы просто добавляем компоненты и , затем компоненты j и, наконец, компоненты k .

Пример 1

Два якоря удерживают корабль на месте, и их силы, действующие на корабль, представлены векторами A и B следующим образом:

A = 2 i + 5 j − 4 k и B = −2 i − 3 j − 5 k

Если бы мы заменили 2 привязки на 1 привязку, какой вектор представляет этот единственный вектор?

Ответить

Задача просто требует, чтобы мы сложили векторы, чтобы получить единственный результирующий вектор.

А + В
= (2 + −2) i + (5 − 3) j + (−4 − 5) k
= 0 i + 2 j − 9 k
= 2 j − 9 k

Скалярное произведение трехмерных векторов

Чтобы найти скалярное произведение (или скалярное произведение) трехмерных векторов, мы просто расширим идеи скалярного произведения в двух измерениях, с которыми мы познакомились ранее.

Пример 2. Скалярное произведение с использованием величины и угла

Найдите скалярное произведение векторов P и Q , если угол между двумя векторами равен 35° и

.
| Р | = 25 единиц с и | Q | = 4 шт.
Ответить
Используя нашу формулу для скалярного произведения:
P • Q = |P| |В| потому что θ
у нас есть:
П • Q
= |П| |В| потому что θ
= 25 × 4 × cos 35°
= 81,92
Пример 3. Скалярное произведение, если векторы кратны единичным векторам
Найдите скалярное произведение векторов A и B (они взяты из нашего примера с якорем выше):
A = 2 i + 5 j − 4 k и B = −2 i − 3 j − 5 k
Ответить
А • В
= (2 i + 5 j − 4 k ) • (−2 i − 3 j − 5 k )
= (2 × −2) + (5 × −3) + (−4 × −5)
= -4 + -15 + 20
= 1
Направление косинусов
Предположим, у нас есть вектор OA с начальной точкой в начале координат и конечной точкой в A.
Предположим также, что у нас есть единичный вектор в том же направлении, что и OA . (Идите сюда для напоминания об единичных векторах).
Пусть наш единичный вектор будет:
u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ k
На графике u — это единичный вектор (черный), указывающий в том же направлении, что и вектор OA , а i , j и k (единичные векторы в x-, y- и z- направления соответственно) отмечены зеленым цветом.
Теперь мы увеличим вектор u и немного изменим ориентацию следующим образом:
Теперь, если на схеме выше
α — угол между u и осью x (темно-красный),
β — угол между u и осью y (зеленый) и
γ — угол между u и ось z (розовые),
, то мы можем использовать скалярное произведение и написать:
у ₁
= и • i
= 1 × 1 × cos α
= cos α
и ₂
= и • й
= 1 × 1 × cos β
= cos β
у ₃
= и • к
= 1 × 1 × cos γ
= cosγ
Таким образом, мы можем записать наш единичный вектор u как:
u = cos α i + cos β j + cos γ k
Эти 3 косинуса называются косинусами направления .
Угол между трехмерными векторами
Ранее мы видели, как найти угол между двумерными векторами. Мы используем ту же формулу для трехмерных векторов:
`theta=arccos((P * Q)/(|P||Q|))`
Пример 4
Найдите угол между векторами P = 4 i + 0 j + 7 k и Q = -2 i + j + 3 k .
Ответить
Векторы P и Q выглядят следующим образом. Вектор P находится на плоскости x — z (обратите внимание, что значение y для вектора P равно `0`), а Q находится «позади» y — z самолет .
По формуле
`тета=arccos((P*Q)/(|P||Q|))`
у нас есть:
92) `
`= квадрат (65) квадрат (14)`
`=30. 166\ «единиц»`
Так
θ = arccos(13 ÷ 30,166)
Следовательно, угол между векторами P и Q равен
θ = 64,47°
Упражнение
Найдите угол между векторами P = 3 i + 4 j − 7 k и Q = -2 i + j + 3 к .
Ответить
Используя формулу
`тета=arccos((P*Q)/(|P||Q|))`
сначала находим скалярное произведение:
П • Q
П • Q
= (3 i + 4 j − 7 j ) • (−2 i + j + 3 k)
= (3 × −2) + (4 × 1) + (−7 × 3)
= −23
А теперь знаменатель:
|П| |В|
= √(3 ² + 4 ² + (−7) ² ) × √((−2) ² + 1 ² + 3 0 3 ⁴⁾
= 32,187
Так
θ = arccos(−23 ÷ 32,187)
Следовательно, угол между векторами P и Q это
θ = 135,6°
Применение
У нас есть куб ABCO PQRS, у которого есть строка вдоль диагонали куба от B до S, а другая — вдоль другой диагонали от C до P
Какой угол между двумя струнами?
Ответить
Для удобства предположим, что у нас есть куб единиц (каждая сторона имеет длину 1 единицу) и мы размещаем его так, что один угол куба находится в начале координат.
единичных векторов i , j и k действуют в направлениях x -, y — и z соответственно. Итак, на нашей диаграмме, поскольку у нас есть единичный куб,
ОА = i
OC = j
OS = k
Из диаграммы видно, что для перемещения из B в S нам нужно пройти -1 единицу в направлении x , -1 единицу в направлении y и вверх на 1 единицу в з -направление. Так как у нас есть единичный куб, мы можем написать:
БС = −i − j + k
и аналогично:
CP = i − j + k
Скалярное произведение для векторов BS и CP :
БС • СР = |БС| |КП| потому что θ
, где θ — угол между BS и CP 9. 2)`
`= (кв.3)(кв.3)`
= 3
Так
`θ = arccos (1/3)`
θ = 70,5°
Таким образом, угол между струнами равен «70,5°». (В этой ситуации мы предполагаем, что «угол» относится к острому углу между струнами.)
Нужна помощь в решении другой графической задачи? Попробуйте решение проблем.
Отказ от ответственности: IntMath.com не гарантирует точность результатов. Решатель задач предоставлен Mathway.
Урок 1 — Сложение векторов: Числовое
Урок 1 — Сложение векторов: Числовое
Сложение векторов: числовое вычисляет величину и направление результирующей по величинам и направлениям произвольное количество добавляемых векторов.
Предпосылки
Учащиеся должны понимать векторные свойства величины и направления и быть знаком с графическим сложением векторов методом Tip-to-Tail. Они также должны иметь знание основ тригонометрии.
Результаты обучения
Учащиеся научатся вычислять величину и направление суммы два вектора (результат) с учетом величин и направлений двух векторов быть добавленным. Они научатся использовать закон косинусов и закон синусов для этой цели. Они также будут научиться вычислять сумму двух векторов с помощью компонентов.
Инструкции
Учащиеся должны понимать функции апплета, описанные в Help и ShowMe. Апплет должен быть открыт. Пошаговые инструкции на этой странице предназначены для сделать в апплете. Возможно, вам придется переключаться между инструкциями и апплет, если место на экране ограничено.
Содержимое
Описание суммы двух векторов
Метод 1. Вычисление равнодействующей по закону косинусов и синусов
Метод 2 — вычисление результирующего с использованием векторных компонентов
Приложение
Закон косинусов
Закон синусов
Компоненты
Представьте, что вы снова входите в атмосферу на космическом корабле. Чтобы благополучно посадить шаттл, пилот должен сделать точный заход на взлетно-посадочную полосу. Для этого пилоту необходимо знать точную скорость шаттла относительно на землю всегда. При входе в атмосферу шаттл движется со скоростью 130 м/с. под углом 140° относительно воздуха при попадании в струйный поток (большая высота, глобальная циркуляция воздуха), который движется со скоростью 100 м/с под углом 60° относительно земля. Какова скорость челнока относительно земли после входа в струйный поток? У вас может возникнуть соблазн сказать, что 100 м/с + 130 м/с = 230 м/с. Однако это было бы неправильно. Скорость является векторной величиной и поэтому две скорости должны быть добавлены как векторы. Апплет будет использоваться для иллюстрации как правильно складываются два вектора.
Апплет будет использоваться для определения скорости челнока относительно земля при повторном входе.
Если окно апплета не пусто, очистите его, нажав «Сброс». ().
Введите первый вектор, ₁ , с величиной 100 под углом 60° в полярной области (положительно) Режим ().
Введите второй вектор, ₂ , с величиной 130 под углом 140° в полярной (положительной) Режим () и перетащите оба вектора в центр экрана.
После ввода двух векторов щелкните переключатель «Показать Resultant», чтобы отобразить результирующую (сумму векторов). Если вы использовать полярный (позитивный) режим () в результате вы должны увидеть экран, аналогичный рисунку 1.
Рисунок 1
Согласно апплету, скорость шаттла относительно земли при повторном входе будет 177,24 м/с при 106,25° в полярно-положительном режиме.
Обведите правильный ответ ниже. Графическое построение результирующего на Рисунке 1 показан
Метод сложения векторов «кончик к хвосту»
Параллелограммный метод сложения векторов
Результат упражнения 1 может отображаться в трех режимах. Щелкните режим кнопка управления () для равнодействующей, , три раза и цикла в «декартовский» режим (). В этом режиме результирующие компоненты x- и y- ( r _x , r _y ) отображаются, как показано на рис. 2.
Кнопка Режим Пример
Величина и полярное положительное направление (r,θ)
Величина и навигационное направление (r,θ E из N )
Декартовы компоненты ( r _x , r _y )
Используя кнопку управления режимами, опишите скорость челнока относительно землю, используя все три режима.
Величина и полярное (положительное) направление равнодействующей () составляет (________ , ________ град)
Величина и навигационное направление равнодействующей () это (________ , ________ E из N )
Декартовы компоненты результирующей () равны (________ , ________)
Как вычисляется результат? Его можно найти с помощью двух разных методы.
Метод 1 использует закон косинусов для нахождения результирующей величины и Закон синусов для результирующего направления.
Метод 2 использует компоненты вектора для получения как результирующей магнитуды, так и направление. Каждый метод представлен ниже.
Для расчета величины и направления равнодействующей как показано на рисунке 1, нам нужна диаграмма, показывающая все соответствующие величины. как на рисунке 2 ниже.
Рисунок 2
Мы хотим вычислить величину r результирующего и угол α. Угол направления θ равнодействующей в тогда полярная (положительная) спецификация равна θ = α + 60°.
Закон косинусов используется для вычисления величины ( r ) и Закон синусов используется для вычисления угла (α). Описание этих законов см. в приложении.
Согласно рисунку 2 закон косинусов можно использовать для расчета величина ( r ) результирующего вектора:
(Примечание: угол, противоположный вектору равен 60° + 40° = 100°.)
Закон синусов можно использовать для расчета направления (θ) результирующего вектора.
Чтобы применить закон синусов, соедините угол (α) с противоположной стороной величины ( v ₂ ) и угол 100 ° с противоположной стороной величины ( r ).
Следовательно, результирующий вектор имеет величину 177,24 под углом 106,25° в полярном (положительном) направлении:
Используя закон косинуса и синусов, вычислите результирующую (сумму) следующих два вектора. Добавьте векторы в апплет, чтобы увидеть правильное отношение кончика к хвосту. векторную диаграмму и проверить полученную.
₁ = 150, полярная ориентация 50° (положительная)
₂ = 200, полярная ориентация 150° (положительная)
Векторная диаграмма от кончика до хвоста:
Результирующая звездная величина (r):
(Использовать Закон косинуса.)
Результирующее направление (θ): (Используйте закон синусов и полярная (положительная) спецификация.)
Используя закон косинуса и синусов, вычислите результирующую (сумму) следующих два вектора. Добавьте векторы в апплет, чтобы увидеть правильное отношение кончика к хвосту. векторную диаграмму и проверить полученную.
₁ = 100, полярная 150° (положительная)
₂ = 75, полярная 250° (положительная)
Векторная диаграмма от начала до конца:
Результирующая звездная величина (r):
(Использовать Закон косинуса. )
Результирующее направление (θ): (Используйте закон синусов и полярная (положительная) спецификация.)
Теперь посчитаем сумму тех же двух векторы ₁ и ₂ как и в предыдущем разделе, но на этот раз с использованием компонентов.
Для следующих расчетов вам необходимо знать (скалярные) компоненты вектора. Обзор векторных компонентов см. см. приложение.
Особенно легко, если векторы уже заданы в терминах их ( x , y ) компоненты, ( v _x , v _y ) ₁ и ( v _x , v _y ) ₂. Однако, мы будем предполагать, что векторы заданы с точки зрения величины и направления [( v ₁ , θ ₁ ) и ( v ₂ , θ ₂ )].
Углы измеряются в полярной (положительной) спецификации (или навигационной N из Е). См. рис. 3.
Рисунок 3
Величина и направление ₁ и ₂ являются:
v ₁ = 100, θ ₁ = 60°
v ₂ = 130, θ ₂ = 140°

Компоненты каждого вектора рассчитываются с использованием соответствующих тригонометрические функции:
Векторная диаграмма x -компонент у -компонент
Сложить два вектора означает сложить соответствующие компоненты. Если компоненты равнодействующей обозначены ( r _x , r _y ), получаем:
r _x = v _1x + v _2x r _x = (+50,00) + (-99,59)
г _х = -49,59
г _г = v _{1 г} + v _{2 г}
г _г = (+86,60) + (+83,56)
г _у = +170,16
Вы можете указать результат с точки зрения компонентов и остановить расчет на данный момент. Однако, если величина и угол направления необходимы результирующие, их можно рассчитать из компонентов следующим образом.
Опять же, очень полезно сделать схему для иллюстрации углы и другие соответствующие величины. См. рис. 4 ниже.
Рисунок 4
Треугольник, образованный вектором и два компонента представляют собой прямоугольный треугольник с вектором в качестве гипотенуза. Следовательно, по теореме Пифагора можно вычислить результирующая величина:
Из рисунка 4 видно, что направление может быть рассчитывается по определению тангенса угла.
Это означает, что для направления угла значения 180 — 73,75 = 106,24°
Следовательно, результирующий вектор равен 177,24 при 106,25° в полярной (положительное) направление. Вы можете проверить эти значения в апплете, выбрав величина и полярное положительное направление равнодействующей:
Таким образом, если два вектора ₁ и ₂ даны в терминах величины и направления, результирующая может быть вычислена выполнив следующие действия:
Использование векторной диаграммы и тригонометрических функций для преобразования векторов в компоненты форма.
Сложите компоненты (x _всего = x ₁ + x ₂ ) и (y _всего = у ₁ + у ₂ ). Не забудьте включить положительные или негативные направления.
Нарисуй результирующий вектор с помощью компонент x _всего и компонент y _всего. Запомнить включать положительные или отрицательные направления.
Рассчитайте результирующую величину по теореме Пифагора (c ² = а ² + б ² ).
Вычислите направление, используя соответствующую тригонометрическую функцию (тангенс функция).
Это может быть немного больше работы, чем вычисление результата с использованием закона Косинусы и закон синусов, как это было сделано в предыдущем разделе. Однако, если два вектора ₁ и ₂ уже даны в компонентной форме, и если кто-то хочет получить результирующий компонент Кроме того, как это часто бывает, расчет проще.
Используя метод компонентов, рассчитайте результирующую (сумму) следующих два вектора. Покажите все необходимые расчеты и диаграммы ниже и определите направление с использованием полярной (положительной) спецификации. Добавьте векторы на апплет для проверки результирующей величины и направления.
₁ = 175, 70° полярная (положительная)
₂ = 200, 200° полярная (положительная)
а. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₁ .
б. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₂ .
в. Сложение компонентов и рисование результирующего вектора.
д. Вычисление результирующей величины по теореме Пифагора.
эл. Вычисление результирующего направления с помощью функции касательной. Выражать направление с точки зрения полярной (положительной) спецификации.

Используя метод компонентов, рассчитайте результирующую (сумму) следующих два вектора. Показать все необходимые расчеты и диаграммы и указать направление используя полярную (положительную) спецификацию. Добавьте векторы в апплет по порядку чтобы проверить результирующую величину и направление.
₁ = 185, полярная 45° (положительная)
₂ = 95, полярная 320° (положительная)
а. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₁ . б. Векторная диаграмма и расчет компонентов для ₂ .
в. Сложение компонентов и рисование результирующего вектора.
д. Вычисление результирующей величины по теореме Пифагора.
эл. Вычисление результирующего направления с помощью функции касательной. Выражать направление с точки зрения полярной (положительной) спецификации.
Используя метод компонентов, рассчитайте результирующую (сумму) следующих два вектора. Покажите все необходимые расчеты и диаграммы ниже и определите направление с использованием полярной (положительной) спецификации. Добавьте векторы на апплет для проверки результирующей величины и направления.
₁ = (+135, -120) — компоненты
₂ = (-200, -45) — компоненты
а. Сложение компонентов и отрисовка результирующего вектора:

б. Расчет результирующей величины по теореме Пифагора:

в. Вычисление результирующего направления с использованием функции касательной: (выражение направление с точки зрения Полярной (позитивной) спецификации)
Приложение
Закон косинусов — это общее уравнение, связывающее три стороны и один угол в треугольнике. На треугольники ограничений нет. форма. Три элемента определяют треугольник. Если любые три из четырех элементов в уравнении косинусов приведены, уравнение позволяет вычислить четвертый.
На рисунке A1 показан обычный треугольник. Три стороны обозначены a , b , c , а три угла обозначены α, в, у.
Рисунок A1

Есть три уравнения закона косинусов, в зависимости от того, какой угол включен:
в ² = а ² + б ² — 2 аб cos γ (A1)
а ² = б ² + в ² — 2 до н.э. соз α (A2)
б ² = в ² + а ² — 2 ca cos β (A3)
Обратите внимание, что теорема Пифагора является частным случаем этих уравнений, если углов равен 90°. Например, если γ = 90°, то cos γ = 0 и уравнение (A1) сводится к теореме Пифагора:
в ² = а ² + б ² (А4)
Также обратите внимание на знак минус перед косинусом в этих уравнениях. Этот имеет следующий эффект. Рассмотрим уравнение (1). Если γ < 90° , косинус положительный. Со знаком минус перед косинусом уравнение (A1) дает значение для c, которое меньше, чем значение, данное формулой Пифагора. теорема (4). Если γ > 90°, косинус отрицателен. В сочетании с знак минус перед членом косинуса, член теперь вносит положительный вклад к правой части уравнения (1), что дает значение c, которое больше чем тот, который дает теорема Пифагора.
Закон синусов — это набор уравнений, верных для любого треугольника. В нем говорится, что отношение «синуса угла к длине противоположная сторона» одинакова для любой пары угла и противоположной стороны.
На рисунке A2 показан обычный треугольник. Три стороны обозначены a , b , c , а три угла обозначены α, в, у.
Рисунок A2
Уравнения закона синусов:
(А5)
Треугольник определяется тремя его элементами. Даны две стороны и угол, противоположный одной из сторон, закон синусов позволяет определить угол, противоположный Обратная сторона.
Векторы можно описать с помощью их скалярных компонент. Вектор в двух измерениях имеет два скалярных компонента, один вдоль оси x и один вдоль оси y . Для вектора , эти компоненты обозначены a _x и a _y , соответственно. Рисунок A3 иллюстрирует компоненты вектора то есть в первом квадранте.
Рисунок A3
скалярных компонентов вектора являются проекциями вектора на оси x и y . На рисунке A3 они показаны зеленым цветом. и желтый соответственно. Они называются скалярными компонентами, потому что они являются числами. Скалярные компоненты равны x и y . координаты вершины вектора, если хвостовая часть вектора в начале системы координат, как здесь.
Вектор на рисунке A3 имеет модуль 8 и угол θ с положительный x — ось равна 30°. Его скалярные компоненты имеют значения:
a _x = 6,93, a _y = 4,00 (A6)
Для векторов в первом квадранте обе компоненты положительны, но для векторов в одном из трех других квадрантов один или оба компонента отрицательны. За например, с вектором во втором квадранте x — компонент отрицательный в то время как y -компонента остается положительной.
Из определения синуса и косинуса следует, что:
a _x = a cos θ, a _y = a sin θ (A7)
Подстановка на = 8,00 и θ = 30,0° в эти уравнения дает значения, перечисленные в уравнениях (A6) и показанные на рисунке A3.
No related posts.