Решения пределов пример: Примеры пределов с решениями

Пределы с иррациональностями. Примеры раскрытия неопределённостей. Первая часть.

Высшая математика » Пределы » Пределы с иррациональностями » Первая часть

Первая часть

Вторая часть

Третья часть

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $\frac{0}{0}$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое «сопряжённое» выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела. 2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end{equation} $$

  Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

  Пример №1

  Найти $\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

  Решение

  Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

  $$ \begin{aligned} & \lim_{x\to 3}(\sqrt{7-x}-2)=\sqrt{7-3}-2=\sqrt{4}-2=0;\\ & \lim_{x\to 3} (x-3)=3-3=0. \end{aligned} $$

  В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $\sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое «сопряжённое выражение». Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $\sqrt{7-x}-2$ на $\sqrt{7-x}+2$:

  $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)$$

  Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=\sqrt{7-x}$, $b=2$:

  $$(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=(\sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x. $$

  Как видите, если умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $\sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $\sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $\sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

  $$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{7-x}-2}{x-3}= \left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}$$

  Теперь вспомним, что $(\sqrt{7-x}-2)(\sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

  $$ \lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{7-x}-2)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{3-x}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}=\\ =\lim_{x\to 3}\frac{-(x-3)}{(x-3)\cdot(\sqrt{7-x}+2)}= \lim_{x\to 3}\frac{-1}{\sqrt{7-x}+2} $$

  Неопределенность $\frac{0}{0}$ исчезла. 2-3x+6}-\sqrt{5x-9}}=-6$.

  В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

  Первая часть

  Вторая часть

  Третья часть

  Вернуться к списку тем

  Задать вопрос на форуме

  Записаться на занятия

  Онлайн-занятия по высшей математике

  Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей

  Автор: Юлдашева Саодат Бекпулатовна

  Рубрика: Математика

  Опубликовано в Молодой учёный №52 (342) декабрь 2020 г.

  Дата публикации: 22.12.2020 2020-12-22

  Статья просмотрена: 267 раз

  Скачать электронную версию

  Скачать Часть 1 (pdf)

  Библиографическое описание:

  Юлдашева, С. Б. Анализ простейших правил раскрытия неопределенностей / С. Б. Юлдашева. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2020. — № 52 (342). — С. 4-9. — URL: https://moluch.ru/archive/342/76887/ (дата обращения: 07.10.2022).

  

  Значительное место в школьном курсе математики занимают элементы математического анализа, в том числе и пределы функций с раскрытием неопределенностей. Целью изучения в школьной программе этой темы является формирование интеллектуального развития учащихся, формирование качеств мышления, необходимых человеку для свободной ориентации в современном мире; овладение математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования. Но как показывает опыт преподавания учителей в школе, вычисление пределов вызывает большие затруднения у школьников по сравнению с другими темами.Вразделе «Предел функции и непрерывность» заметен высокий уровень научности и строгости понятий предела и непрерывности функции. Раскрытие неопределенностей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые теряют смысл в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента, то есть переходят в выражения .

  Вопрос решения пределов является достаточно обширным и является объектом интереса современных направлений математики. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить данный предел. Объектом нашего исследования правила раскрытия неопределенностей и правила Лопиталя. Можно привести огромный список литературы, в которой изучаются пределы, способы их вычислений. Вместе с тем, при изучении нами различных публикаций по данной тематике выявлена относительная недостаточность данных в курсе школьной математики.

  В основном материалы представлены для изучения в высших учебных заведениях. В курсе же 10 класса отводится всего лишь 10 часов на раздел. Поэтому предлагаю методические рекомендации по методике раскрытия неопределенностей при вычислении пределов функции.

  1. Предел функции

  Вспомним определения:

  1) Число L называется пределом функции f(x) при x a , если для любого сколь угодно малого числа найдется число N такое, что при . Символически записывают так:

  2) Число L называется пределом функции f(x) при x , если для любого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для любого x>N выполняется неравенство Пишут:

  Отыскание предела функции по определению — это довольно трудоемкий процесс. Поэтому на практике удобнее пользоваться следующими теоремами о пределах.

  Теорема. Если функции имеют пределы при

  , то существует

  1) предел суммы этих функций, причем

  2) предел произведения этих функций, причем

  3) предел их отношения

  4) постоянный множитель можно выносить за знак предела:

  Некоторые методы и приемы вычисления пределов.

  Пример 1.Найти предел:

  Пример 2.Найти предел:

  Пример 3.Найти предел:

  Пример 4.Найти предел:

  2. Раскрытие неопределенностей

  Нужно иметь в виду, что знак — это только символ для обозначения бесконечно большой величины. Он не обладает свойствами числа и в арифметических действиях не участвует. В следствие этого возникают различного рода неопределённости. Основные виды неопределенностей:

  Вычисление пределов в этих случаях называют «раскрытием неопределенности». Вышеуказанные теоремы для бесконечных пределов неверны. Для вычисления предела — «раскрытие неопределенностей», предварительно преобразовывают выражения.

  Пример 1.Найти предел:

  Решение. Теорему о пределе частного применять нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. Имеем неопределенность вида . Для избавления от неопределенности вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби переменную в старшей степени:

  Пример 2.Найти предел:

  Решение. Числитель и знаменатель дроби при х 0 стремятся к нулю, следовательно, имеем неопределенность вида . Для того, чтобы вычислить предел, перенесем иррациональность в знаменатель, умножив для этого числитель и знаменатель дроби на . Тогда

  Пример 3.Найти предел:

  Решение.Неопределенность здесь можно раскрыть, сделав замену переменной , тогда

  Пример 4.Найти предел:

  Решение. При вычислении данного предела применять теорему о пределе частного нельзя, так и числитель, и знаменатель равны 0. Воспользуемся разложением многочленов числителя и знаменателя на множители по формуле где — корни квадратного трехчлена

  . Тогда

  3. Замечательные пределы

  Пределы функций, в которых участвуют тригонометрические выражения, обычно сводятся к первому замечательному пределу

  Также используют несколько его следствий:

  , , , ,

  Пример 5.Найти предел:

  Решение. Для избавления неопределенности воспользуемся первым замечательным пределом

  Пример 6.Найти предел:

  Решение. Произведя следующие преобразования, имеем

  Пример 7. Найти предел:

  Решение. Так как , то

  Пример 8.Найти предел:

  Решение. В этом примере получаем неопределенность вида . Приведем выражение под знаком предела к общему знаменателю.

  Пример 9. Найти предел:

  Решение. Неопределенность вида сведем к неопределенности , тогда

  Сделаем замену переменных , тогда и

  Заключение

  Таким образом, в процессе раскрытия неопределенностей можно выделить следующие основные этапы:

  1) подготовка выражения под знаком предела к устранению неопределенности путем применения преобразований;

  2) переход (в случае необходимости) к неопределенности или — переход от одной функции к другой.

  Литература:

  1. Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса ЕМН, Алматы: Мектеп, 2019;
  2. Темиргалиев Н., Введение в математический анализ, Астана, 2015;
  3. Круглов Е. В., Мамаева Н. А., Таланова Е. А., Некоторые приемы вычисления пределов Нижний Новгород, 2018;
  4. Матвеева Т. А., Рыжкова Н. Г., Математический анализ, Екатеринбург, 2017;
  5. Самочернова Л. И., Высшая математика, Томск, 2005;
  6. Альпин Т. Ю., Егоров А. И., Кашаргин П. Е., Сушков С. В., Практические занятия по математическому анализу, Казань, 2013.

  Основные термины (генерируются автоматически)

  : предел, знаменатель дроби, неопределенность вида, предел функции, раскрытие неопределенностей, решение, вычисление пределов, замечательный предел, малое число, предел функций.

  Похожие статьи

  Предел функции и непрерывность. Постоянные и переменные…

  Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при .

  Данная формула похожа на 2 замечательный предел, вынесем за знак предела, а скобку возведем в степень, обратную дроби , перейдя во 2 замечательному пределу, и домножим. ..

  О методике применения теоремы о

  пределе последовательности

  . Так как предел возрастающей последовательности с положительными членами не может быть отрицательным числом, то.

  Выше мы рассматривали примеры на применение теоремы о пределе монотонной и ограниченной последовательности, отправляясь от функции .

  Методические особенности изложения темы «Интегрирование…»

  По виду подынтегральной функции становится очевидно, что применение метода неопределенных коэффициентов нерационально. Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби : — для вычисления полученного интеграла можно применить метод…

  История в загадках. Петр I. Царь-реформатор | Статья в журнале.

  ..

  Подводя итог вышеописанного вида работы, можно сделать вывод, что он сочетает в себе исследовательскую деятельность с творческим подходом в подаче материала для определенной возрастной категории слушателей, что определяет высокую степень его уникальности среди…

  Девиантное поведение подростков | Статья в журнале…

  Автор: Юсупова Кристина Алексеевна. Рубрика: Психология. Опубликовано в Молодой учёный №21 (416) май 2022 г. Статья просмотрена:

  Классификации

  пределов правового регулирования

  В статье рассматривается понятие и различные классификации пределов правового регулирования, получившие распространение в отечественной правовой литературе. Делается вывод об обоснованности множественных классификаций рассматриваемой правовой категории.

  Научный журнал «Молодой ученый» №21 (416) май 2022 г.

  

  Проблемы, требующие решения в сфере разработки и внедрения информационно-технологического бизнес-проекта в организации.

  Некоторые проблемы оснований для изменения вида исправительного учреждения в уголовно-исполнительной системе.

  Признаки делимости натуральных

  чисел | Статья в журнале…

  Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.

  Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

  Похожие статьи

  Предел функции и непрерывность. Постоянные и переменные…

  Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности при .

  Данная формула похожа на 2 замечательный предел, вынесем за знак предела, а скобку возведем в степень, обратную дроби , перейдя во 2 замечательному пределу, и домножим…

  О методике применения теоремы о

  пределе последовательности

  . Так как предел возрастающей последовательности с положительными членами не может быть отрицательным числом, то.

  Выше мы рассматривали примеры на применение теоремы о пределе монотонной и ограниченной последовательности, отправляясь от функции .

  Методические особенности изложения темы «Интегрирование…»

  По виду подынтегральной функции становится очевидно, что применение метода неопределенных коэффициентов нерационально. Решение: Умножим числитель и знаменатель дроби : — для вычисления полученного интеграла можно применить метод…

  История в загадках. Петр I. Царь-реформатор | Статья в журнале…

  Подводя итог вышеописанного вида работы, можно сделать вывод, что он сочетает в себе исследовательскую деятельность с творческим подходом в подаче материала для определенной возрастной категории слушателей, что определяет высокую степень его уникальности среди…

  Девиантное поведение подростков | Статья в журнале…

  Автор: Юсупова Кристина Алексеевна. Рубрика: Психология. Опубликовано в Молодой учёный №21 (416) май 2022 г. Статья просмотрена:

  Классификации

  пределов правового регулирования

  В статье рассматривается понятие и различные классификации пределов правового регулирования, получившие распространение в отечественной правовой литературе. Делается вывод об обоснованности множественных классификаций рассматриваемой правовой категории.

  Научный журнал «Молодой ученый» №21 (416) май 2022 г.

  Проблемы, требующие решения в сфере разработки и внедрения информационно-технологического бизнес-проекта в организации.

  Некоторые проблемы оснований для изменения вида исправительного учреждения в уголовно-исполнительной системе.

  Признаки делимости натуральных

  чисел | Статья в журнале…

  Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.

  Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

  Замечательные пределы. Примеры решений

  Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.

  А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы:Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на страницеМатематические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.

  Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.

  Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел,Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.

  Начнем.

  Первый замечательный предел

  Рассмотрим следующий предел:   (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

  Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида  , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

   

  Данный математический факт носит название Первого замечательного предела.

  Нередко в практических  заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

   – тот же самый первый замечательный предел.

  ! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

  На практике в качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

  Примеры: ,  ,  , 

  Здесь  ,  ,  ,  , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

  А вот следующая запись – ересь:

  Почему? Потому-что многочлен   не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

  Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел  ? Ответ можно найти в конце урока.

  На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел   и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде    лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

  Переходим к рассмотрению практических примеров:

  Пример 1

  Найти предел 

  Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

  Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

  Итак, у нас есть неопределенность вида  , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится  , а в знаменателе  .

  В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас  , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить  ».  А делается это очень просто:

  То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

  Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Готово. Окончательный ответ: 

  Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:

  “ Используем первый замечательный предел  “

  Пример 2

  Найти предел 

  Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

  Действительно, у нас неопределенность   и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность  , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

  Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас  , значит, в числителе тоже нужно получить  :

  Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

  Собственно, ответ готов:

  В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

  Пример 3

  Найти предел 

  Подставляем ноль в выражение под знаком передела:

  Получена неопределенность  , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле   (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материалГорячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы).

   В данном случае:

  Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

  Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

  Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел:

  Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

  В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

  Пример 4

  Найти предел 

  Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

  Получена неопределенность   (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

  Используем тригонометрическую формулу  . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

  Постоянные множители вынесем за значок предела:

   

  Организуем первый замечательный предел:

  Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

  Избавимся от трехэтажности:

  Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

  Пример 5

  Найти предел 

  Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

   

  Второй замечательный предел

  В теории математического анализа доказано, что:

  Данный факт носит название второго замечательного предела.

  Справка:  – это иррациональное число.

  В качестве параметра   может выступать не только переменная  , но и сложная функция.Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности.

  Пример 6

  Найти предел 

  Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

  Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение   , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений.

  Нетрудно заметить, что при   основание степени  , а показатель –  , то есть имеется, неопределенность вида  :

  Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр  , значит, в показателе нам тоже нужно организовать   . Для этого возводим основание в степень  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень  :

  Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

  Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву  :

  При этом сам значок предела перемещаем в показатель.

  Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен.

  Пример 7

  Найти предел 

  Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

  Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

  В результате получена неопределенность  . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида  . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас  , значит, в числителе тоже нужно организовать  :

  Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

  Вроде бы основание стало напоминать  , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной:

  Таким образом, основание приняло вид  , и, более того, появилась нужная нам неопределенность  . Организуем второй замечательный предел  . Легко заметить, что в данном примере  . Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени в  , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в обратную дробь  :

  Наконец-то долгожданное   устроено, с чистой совестью превращаем его в букву  :

  Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида  , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на  :

  Готово.

  А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом:  . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так:

  Пример 8

  Найти предел 

  Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела:

  В результате получена знакомая неопределенность  . Очевидно, что в данном примере  . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию  :

  Выражение   со спокойной душой превращаем в букву  :

  Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида  . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?):

  Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении:

  А что такое   и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»!

  Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов.

  В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все выкладки, приёмы решения для первого замечательного предела справедливы и для остальных замечательных пределов. Нужно решать их по аналогии.

  Да, так чему же равен предел  ?

  Если у Вас получился ответ  , значит в понимании высшей математики не всё так безнадежно = ).

  Желаю успехов!

  Автор: Емелин Александр

  Высшая математика для заочников и не только >>>

  43

  Непрерывность функции в точке.

   

    Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е.

   

  Тот же факт можно записать иначе: 

   

  44

  Пределы принятия решений / справочные данные

  Критерии различения здоровых и больных

  Лабораторные результаты оцениваются на основе справочных данных. Общий термин «справочные данные» включает в себя контрольные интервалы, пределы принятия решений и пределы действия. По определению референсные диапазоны включают 95% результатов здоровых людей. Пределы принятия решений позволяют эффективно разделять здоровых и больных. Пределы действия – это эмпирически определенные пределы, превышение которых связано с инструкцией по действию (пример: ПСА > 4 мкг/л – биопсия предстательной железы). Статистические методы имеют большое значение для определения этих интервалов и пределов и для оценки их достоверности.

  Проф. д-р Райнер Геккель, дипл. Мат. Вернер Восниок и д-р Фархад Арзиде из Статистического института Бременского университета много лет сотрудничали по этим вопросам. В 2007 году ранее случайное сотрудничество было передано Рабочей группе DGKL по эталонным значениям, которая с начала 2020 года перешла в секцию. и публикует статьи об алгоритмах и полученных данных».

   

  Задачи раздела

  Отдел занимается вопросами, связанными с оценкой результатов лабораторных исследований

  Сюда входят:

  • Методы определения референтных интервалов, пределов принятия решений и действий
  • Методы оценки обоснованности этих пределов и диапазоны
  • Методы оценки результатов лабораторных исследований
  • Методы оценки сравнений методов

  Цель состоит в том, чтобы разработать решения, которые могут быть перенесены на лечение пациентов. Результаты будут опубликованы и представлены на небольших конференциях и семинарах во время ежегодных конгрессов.

   

  Оценщик референтного предела (RLE) Допустимая неопределенность измерения

  В клинико-химической лаборатории ежедневно измеряется, оценивается и документируется большое количество параметров. Создается база данных, в которой хранятся результаты измерений и другая соответствующая информация, такая как дата отбора проб, возраст и пол.

  Как правило, для каждого измеряемого параметра доля патологических значений мала по сравнению с общим количеством всех значений. В этом случае можно использовать определенные модельные допущения и статистические методы для разделения распределения данных с патологическими значениями и распределения данных с непатологическими значениями. Исходя из распределения непатологических значений, референтные пределы могут быть рассчитаны как 2,5-е и 9-е значения.7,5-й процентиль. Если данные сначала отфильтровать по возрасту или полу, можно определить контрольные пределы, связанные с возрастом и полом.

  Преимущество по сравнению с традиционным методом, при котором исследуется ранее выбранная референтная группа, существенное: данные уже доступны в базах данных лабораторий, и больше нет необходимости в утомительном отборе и обследовании субъектов референтной группы. Кроме того, из-за организационных, финансовых и временных причин практически невозможно найти достаточное количество испытуемых для дальнейшей стратификации, кроме как по полу (например, по возрасту). Кроме того, репрезентативность выбранной группы часто вызывает сомнения. Если метод измерения плохо стандартизирован, референтные пределы, определенные в одной лаборатории с помощью добровольцев, не могут быть приняты другими лабораториями. Если, с другой стороны, используются данные измерений из собственной базы данных лаборатории, определяются лабораторные референтные пределы. Универсальные референтные пределы могут быть получены с помощью этих методов только в том случае, если в определении участвует несколько лабораторий, а процедура измерения имеет высокую степень стандартизации.

  Пользователь работает с программой через интерфейс Excel. Мы рекомендуем использовать Microsoft Excel версии 2010 или более поздней (32- или 64-разрядной). Для пользователей очень старых версий Excel (2007 и старше) включена специальная 32-битная версия, которая, однако, не будет развиваться в будущем. Поскольку статистические расчеты очень обширны и местами сложны, статистический анализ проводится с помощью программы R и с использованием некоторых дополнительных модулей (пакетов). Затем статистические результаты и графические представления передаются обратно в пользовательский интерфейс Excel.
  Примечание. В настоящее время поддерживаются только 32-разрядные версии Microsoft Excel!

  Загрузки

  Справочный предел оценки (программа как zip-file, версия RLE49 20180517)
  Оценка оценочных пределов (PDF-Handbuch, версия 20180426)

  Раздел DGKL. получение приемлемой неопределенности измерения (приемлемая неточность и допустимая погрешность) из эталонного интервала. Эта концепция и лежащие в ее основе алгоритмы были описаны в Clin Chem Lab Med 2015 (Приемлемые пределы неопределенности в лабораторной медицине). Программа Excel автоматически рассчитывает допустимый коэффициент вариации (pCVA) и допустимые пределы отклонения отдельного значения по RiliBÄK 2008 (∆max). Таблица содержит почти все измеряемые переменные RiliBÄK 2008.

  Excel-Datei Zulässige Messunsicherheit

   

  Применение Стокгольмской иерархии для определения качества контрольных интервалов и пределов клинического решения

  1. Kallner A. Спецификации качества на основе неопределенности измерения. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 513–6. [PubMed] [Google Scholar]

  2. Fraser CG. Общие стратегии для установления спецификаций качества для эксплуатационных характеристик надежности. Scand J Clin Lab Invest. 1999;59:487–90. [PubMed] [Google Scholar]

  3. Petersen PH. Спецификации качества, основанные на анализе влияния производительности на принятие клинических решений. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 517–21. [PubMed] [Google Scholar]

  4. Клее Г.Г., Шрайвер П.Г., Кисабет Р.М. Спецификации аналитической погрешности, основанные на анализе влияния медицинских руководств на эффективность. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 509–12. [PubMed] [Google Scholar]

  5. Thienpont LM. Спецификации качества для эталонных методов. Scand J Clin Lab Invest. 1999;59:535-8. [PubMed] [Google Scholar]

  6. Sandberg S, Thue G. Характеристики качества, полученные на основе объективного анализа, основанного на клинических потребностях. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 531–4. [PubMed] [Google Scholar]

  7. Ricós C, Alvarez V, Cava F, García-Lario JV, Hernández A, Jiménez CV, et al. Текущие базы данных по биологической изменчивости: плюсы, минусы и прогресс. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 491–500. [PubMed] [Google Scholar]

  8. Эрмейер С.С., Лессиг Р.Х. Влияние законодательства (CLIA’88) на установление спецификаций качества для лабораторий США. Scand J Clin Lab Invest. 1999;59:563–7. [PubMed] [Google Scholar]

  9. Westgard JO. Необходимость системы стандартов качества для современного менеджмента качества. Scand J Clin Lab Invest. 1999; 59: 483–6. [PubMed] [Google Scholar]

  10. Кенни Д. , Фрейзер К.Г., Хилтофт Петерсен П., Каллнер А. Стратегии установления глобальных спецификаций аналитического качества в лабораторной медицине – консенсусное соглашение. Scand J Clin Lab Invest. 1999;59:585. [Google Scholar]

  11. Каплан Л.А. Определение и применение желаемых целей аналитической производительности: подход ISO/TC 212. Scand J Clin Lab Invest. 1999;59:479–82. [PubMed] [Google Scholar]

  12. Клее Г.Г. Пределы допуска для краткосрочной аналитической погрешности и аналитической неточности, определяемые специфичностью клинического анализа. Клин Хим. 1993; 39: 1514–8. [PubMed] [Google Scholar]

  13. Petersen PH, de Verdier CH, Groth T, Fraser CG, Blaabjerg O, Hørder M. Влияние аналитической систематической ошибки на диагностические ошибочные классификации. Клин Чим Акта. 1997; 260:189–206. [PubMed] [Google Scholar]

  14. Hosogaya S, Ozaki Y. [Допустимые пределы аналитической ошибки, которые могут гарантировать надежность референтных интервалов для интерпретации клинических лабораторных данных. (японский)] Ринсё Бёри. 2008; 56: 617–21. [PubMed] [Академия Google]

  15. Исследовательская группа по изучению диабета и осложнений Влияние интенсивного лечения диабета на развитие и прогрессирование отдаленных осложнений при инсулинозависимом сахарном диабете. N Engl J Med. 1993; 329: 977–86. [PubMed] [Google Scholar]

  16. Mbanya JC, Henry RR, Smith U. Заявление президентов о рекомендации ВОЗ по HbA1c для диагностики диабета. Diabetes Res Clin Pract. 2011;93:310–1. [PubMed] [Google Scholar]

  17. Selvin E, Steffes MW, Zhu H, Matsushita K, Wagenknecht L, Pankow J, et al. Гликированный гемоглобин, диабет и риск сердечно-сосудистых заболеваний у взрослых без диабета. N Engl J Med. 2010;362:800–11. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

  18. Ричи Р.Ф., Паломаки Г. Выбор клинически значимых популяций для контрольных интервалов. Clin Chem Lab Med. 2004;42:702–9. [PubMed] [Google Scholar]

  19. Институт клинических и лабораторных стандартов (CLSI) Определение, установление и проверка контрольных интервалов в клинической лаборатории; Утвержденное руководство — третье издание. Документ CLSI C28-A3. Уэйн, Пенсильвания, США: CLSI; 2008. [Google Scholar]

  20. Rustad P, Felding P, Franzson L, Kairisto V, Lahti A, Mårtensson A, et al. Nordic Reference Interval Project 2000: рекомендуемые эталонные интервалы для 25 общих биохимических свойств. Scand J Clin Lab Invest. 2004; 64: 271–84. [PubMed] [Академия Google]

  21. Ичихара К., Ито Ю., Лам Ч.В., Пун П.М., Ким Дж.Х., Кионо Х. и др. Источники вариаций обычно измеряемых аналитов сыворотки в 6 азиатских городах и рассмотрение общих референтных интервалов. Клин Хим. 2008; 54: 356–65. [PubMed] [Google Scholar]

  22. Colantonio DA, Kyriakopoulou L, Chan MK, Daly CH, Brinc D, Venner AA, et al. Устранение пробелов в педиатрических лабораторных референтных интервалах: база данных CALIPER, содержащая 40 биохимических маркеров в здоровой и многонациональной популяции детей. Клин Хим. 2012; 58: 854–68. [PubMed] [Академия Google]

  23. Kohse KP, Thamm M. KiGGS – немецкое исследование здоровья детей как база данных для эталонных интервалов. Клин Биохим. 2011;44:479. [PubMed] [Google Scholar]

  24. Лахти А. Действительно ли общие референтные интервалы распространены? Тематические исследования по стратификации справочных биохимических данных по странам с использованием двух методов разделения. Scand J Clin Lab Invest. 2004; 64: 407–30. [PubMed] [Google Scholar]

  25. Рустад П., Хилтофт Петерсен П. Влияние аналитического качества на установление общих эталонных интервалов и их использование. Scand J Clin Lab Invest. 2004;64:399–406. [PubMed] [Google Scholar]

  26. Ilcol YO, Aslan D. Использование общих данных пациентов для косвенной оценки референтных интервалов для 40 клинических химических аналитов в Турции. Clin Chem Lab Med. 2006; 44: 867–76. [PubMed] [Google Scholar]

  27. Шайн Б. Использование обычных клинических лабораторных данных для определения контрольных интервалов. Энн Клин Биохим. 2008; 45: 467–75. [PubMed] [Google Scholar]

  28. Kairisto V, Koskinen P, Mattila K, Puikkonen J, Virtanen A, Kantola I, et al. Референтные интервалы для 24-часового мочеиспускания норметанефрина, метанефрина и 3-метокси-4-гидроксиминдальной кислоты у пациентов с артериальной гипертензией. Клин Хим. 1992;38:416–20. [PubMed] [Google Scholar]

  29. Мацубара А., Ичихара К., Фукутани С. Определение контрольных интервалов для 26 обычно измеряемых биохимических аналитов с учетом долгосрочных индивидуальных вариаций. Clin Chem Lab Med. 2008; 46: 691–8. [PubMed] [Google Scholar]

  30. Arzideh F, Wosniok W, Haeckel R. Референтные пределы концентраций креатинина в плазме и сыворотке из внутрилабораторных баз данных нескольких немецких и итальянских медицинских центров: Сравнение прямых и непрямых процедур. Клин Чим Акта. 2010;411:215–21. [PubMed] [Академия Google]

  31. Baloch Z, Carayon P, Conte-Devolx B, Demers LM, Feldt-Rasmussen U, Henry JF, et al. Руководство по лабораторной медицине. Лабораторная поддержка диагностики и мониторинга заболеваний щитовидной железы. Щитовидная железа. 2003; 13:3–126. [PubMed] [Google Scholar]

  32. Waise A, Price HC. Верхний предел референтного диапазона для тиреотропного гормона не следует путать с пороговым значением для определения субклинического гипотиреоза. Энн Клин Биохим. 2009;46:93–98. [PubMed] [Академия Google]

  33. Хендельсмен Д.Дж. Фармакоэпидемиология назначения тестостерона в Австралии, 1992–2010 гг. Мед J Aust. 2012;196:642–5. [PubMed] [Google Scholar]

  34. Nowson CA, McGrath JJ, Ebeling PR, Haikerwal A, Daly RM, Sanders KM, et al. Витамин D и здоровье взрослых в Австралии и Новой Зеландии: заявление с изложением позиции. Мед J Aust. 2012; 196: 686–7. [PubMed] [Google Scholar]

  35. Мэтью Т.Х., Австралазийская рабочая группа по консенсусу по креатинину. Мед J Aust. 2005; 183:138–41. [PubMed] [Академия Google]

  36. Мэтью Т.Х., Джонсон Д.В., Джонс Г.Р., Австралазийская рабочая группа по консенсусу по креатинину. Хроническая болезнь почек и автоматический отчет о расчетной скорости клубочковой фильтрации: пересмотренные рекомендации. Мед J Aust. 2007; 187: 459–63. [PubMed] [Google Scholar]

  37. Johnson DW, Jones GR, Mathew TH, Ludlow MJ, Doogue MP, Jose MD, et al. Хроническая болезнь почек и автоматический отчет о расчетной скорости клубочковой фильтрации: новые разработки и пересмотренные рекомендации. Мед J Aust. 2012;197: 224–5. [PubMed] [Google Scholar]

  38. Johnson DW, Jones GR, Mathew TH, Ludlow MJ, Chadban SJ, Usherwood T, et al. Хроническая болезнь почек и измерение альбуминурии или протеинурии: заявление о позиции. Мед J Aust. 2012;197:224–5. [PubMed] [Google Scholar]

  39. Австралийская группа по изучению липидов патологии. Appleton CA, Caldwell G, McNeil A, Meerkin M, Sikaris K, et al. Рекомендации по тестированию липидов и отчеты австралийских лабораторий патологии. Clin Biochem Rev. 2007; 28:32–45. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

  40. Джонс Г., Баркер А. Стандартизация эталонных интервалов: австралийский взгляд. Clin Biochem Rev. 2007; 28:169–73. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

  41. Рид М. Новозеландский подход к гармонизированным эталонным интервалам. Clin Biochem Rev. 2012;33:115–8. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

  42. Taylor N, Meerkin M, Sikaris KA, McNeil A, Garcia Webb P, Guerin M. Референтные интервалы LFT определены данными пациентов. Clin Biochem Rev. 2001; 22:89. [Академия Google]

  43. Сикарис К.А., Кановски Д., Колдуэлл Г., Сак С., Флэтман Р. Консенсусные опорные интервалы сети. Clin Biochem Rev. 2006;27(Suppl.):S34. [Google Scholar]

  44. Sikaris KA, Lu Z, Kanowski D, Price L, Flatman R, Caldwell G, et al. Определение эталонных интервалов сети Sonic для детей. Clin Biochem Rev. 2009;30:S20. [Google Scholar]

  45. Sikaris KA, Lu Z, Kanowski D, Price L, Flatman R, Caldwell G, et al. Определение эталонных интервалов сети Sonic для беременности. Клин Биохим Ред. 2009 г.;30:С20. [Google Scholar]

  46. Compton PJ, Stuart MC, Lazarus L. Ошибка в лабораторных контрольных пределах, показанная в совместной программе обеспечения качества. Клин Хим. 1986; 32: 845–9. [PubMed] [Google Scholar]

  47. Zardo L, Secchiero S, Sciacovelli L, Bonvicini P, Plebani M. Контрольные интервалы: уместны ли межлабораторные различия? Clin Chem Lab Med. 1999; 37:1131–3. [PubMed] [Google Scholar]

  48. Friedberg RC, Souers R, Wagar EA, Stankovic AK, Valenstein PN, Колледж американских патологоанатомов. Происхождение эталонных интервалов. Arch Pathol Lab Med. 2007; 131:348–57. [PubMed] [Академия Google]

  49. Берг Дж. Подход к патологии гармонии в Великобритании. Clin Biochem Rev. 2012; 33:89–93. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar]

  50. Berg J, Lane V. Pathology Harmony; прагматичный и научный подход к необоснованным вариациям в клинической лаборатории. Энн Клин Биохим. 2011;48:195–7. [PubMed] [Google Scholar]

  51. Sciacovelli L, Zardo L, Secchiero S, Zaninotto M, Plebani M. Интерпретирующие комментарии и эталонные диапазоны в программах EQA как инструмент для улучшения лабораторной пригодности и эффективности. Клин Чим Акта. 2003;333:209–19. [PubMed] [Google Scholar]

  52. Partin AW, Criley SR, Subong EN, Zincke H, Walsh PC, Oesterling JE. Стандартные и возрастные референтные диапазоны специфического антигена простаты у мужчин с клинически локализованным раком простаты: патологический анализ. Дж Урол. 1996; 155:1336–9. [PubMed] [Google Scholar]

  53. Apple FS, Morrow D, Zaugg C, Hickey D, Zaharik M, Blackwood JJ и др. Проблемы и проблемы, с которыми сталкиваются компании в связи с процессом 510(k) Управления по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США в отношении сердечных биомаркеров. Клин Хим. 2012; 58:31–38. [PubMed] [Академия Google]

  54. Soldin SJ, Wong EC, Brugnara C, Soldin OP, редакторы. Педиатрические референтные интервалы. 7-е издание. Вашингтон, округ Колумбия, США: AACC Press; 2011. [Google Scholar]

  55. Гроновски А.М., изд. Справочник по клиническим лабораторным исследованиям во время беременности. Тотова, штат Нью-Джерси, США: Humana Press; 2004. [Google Scholar]

  56. Haeckel R, Wosniok W. Новая концепция получения допустимых пределов аналитической неточности и погрешности с учетом диагностических требований и технического состояния. Clin Chem Lab Med. 2011;49: 623–35. [PubMed] [Google Scholar]

  57. Petersen PH, Sandberg S, Fraser CG. Имеют ли новые концепции получения допустимых пределов аналитической неточности и предвзятости какие-либо преимущества по сравнению с существующим консенсусом? Clin Chem Lab Med. 2011;49:637–40. [PubMed] [Google Scholar]

  58. Петерсен П.Х., Дженсен Э.А., Брандслунд И. Аналитическая производительность, эталонные значения и пределы принятия решений. Необходимость различать референтные интервалы и пределы принятия решений и определять характеристики аналитического качества. Clin Chem Lab Med. 2011;50:819–31. [PubMed] [Google Scholar]

  Расчет пределов анализа средств (создано 06 марта 2007 г.)

  Статистика: Расчет пределов анализа средств (создано 06 марта 2007 г.)

  СтАТС: Расчет лимитов анализа средств (создана 06. 03.2007) .

  На этой странице показаны некоторые детали расчета диаграммы анализа средних (ANOM).

  Пример удельного сопротивления . Этот набор данных получен от Национального института стандартов. и технологии

  • http://www.itl.nist.gov/div898/strd/anova/SiRstv.html

  Первые три цифры значений данных являются постоянными, поэтому нужно быть внимательным при расчет средних значений и стандартных отклонений. Не округляйте этот набор данных. Удельное сопротивление измерения были записаны пять раз на пяти отдельных приборах. есть некоторая озабоченность что приборы могут иметь небольшие, но важные различия в удельном сопротивлении.

  Инструмент
1        2 3        4        5
196.3052 196.3042 196.1303 196.2795 196.2119
196.1240 196.3825 196.2005 196.1748 196.1051
196.1890 196. 1669 196.2889 196.1494 196.1850
196,2569 196,3257 196,0343 196,1485 196,0052
196.3403 196.0422 196.1811 195.9885 196.2090

  Сравните эти пять инструментов, используя график ANOM.

    означает     переменная стандартное отклонение
1 196,2431 0,007651577 0,08747329
2 196,2443 0,01

  95 0,13797498
3 196,1670 0,008784212 0,09372413
4 196,1481 0,010863213 0,10422674
5 196,1432 0,007823043 0,08844797

  Среднее значение пяти средних равно 196,1892, а среднее значение пяти отклонений равно 0,01083183. Квадратный корень из этого значения, 0,1040761, представляет собой объединенное стандартное отклонение.

  Формулы для пределов решений в диаграмме ANOM:

  где

  В этом примере I равно 5, а N-I равно 20. Значение h из Таблица критических значений для сбалансированного ANOM составляет 2,80. Пределы решений ANOM:

  , а график ANOM выглядит так:

  Все пять средств находятся в пределах допустимых значений, поэтому можно сделать вывод, что ни один среднее значение отличается от общего среднего.

  Вы также можете использовать диаграмму ANOM для стандартных отклонений. формулы показывать не буду или расчеты для этого графика, а вот как это выглядит:

  Все стандартные отклонения находятся в пределах допустимых значений, поэтому можно сделать вывод, что нет индивидуальное стандартное отклонение отличается от объединенного стандартного отклонения.

  Игрушечная рогатка . Я попросил группу из трех добровольцев собрать некоторые данные об их точность попадания в цель игрушечной рогаткой. Они сделали три выстрела своим доминирующим рукой и измерял расстояние каждого выстрела от цели. Затем они сделали три выстрела из своей недоминантной рукой и сделал три выстрела в цель. Их результаты зафиксированы ниже

  Название Снимок 1 Снимок 2 Снимок 3
J-D    62    20    14
J-N    21     9    37
А-Д    20    24    37
А-Н    43    40    26
М-Д    17    75    29
М-Н    27    21    59

  Я намеревался рассматривать эти шесть строк так, как если бы они представляли шесть отдельных лиц. (Мне не хватило добровольцев!). Возможно, это некоторое упрощение, и некоторые раз в будущем я хочу проанализировать данные как двухфакторное исследование. Для этой записи в блоге тем не менее, я хочу построить эти результаты, используя диаграмму анализа средних значений с фактором, имеющим шесть уровней.

  Сводная статистика легко вычисляется.

  Имя   Среднее     Var   Stdev
J-D  32,00  684,00   26,15
J-N 22,33 197,33 14,05
A-D  27.00   79.00    8. 89
А-Н  36,33   82,33    9,07
М-Д  40,33  937,33   30,62
М-Н 35,67 417,33 20,43

  Среднее значение шести средних равно 32,28. Средняя дисперсия 399.6, и квадратный корень этого значения, 19,99, представляет собой объединенное стандартное отклонение.

  В этом примере I равно 6, а N равно 18. Критическое значение h равно 3,07. Верхнее решение предел 64,62, как показано ниже

  , а нижний предел решения равен -0,06, как показано ниже

  .

  Округляем нижнюю границу решения до нуля, так как отрицательный результат невозможен в этот эксперимент. Вот график, показывающий отдельные средние значения и пределы ANOM.

  Несмотря на некоторое расхождение в средних значениях, эти расхождения находятся в пределах пределы ошибки выборки.

  Хотя диаграмма ANOM для стандартных отклонений теоретически возможна, вам следует не рассчитывайте такую ​​диаграмму, если у вас нет большего количества наблюдений, касающихся каждого отдельного стандартное отклонение.

  Гипотетическое изменение размера выборки . Для процесса с такой случайностью, как этот, может иметь смысл попросить каждого человека выстрелить в цель пять или десять раз. Что бы пределы решений выглядят так, как если бы эти индивидуальные средние значения и стандартные отклонения были основаны на десять пробежек, а не три?

  В этом случае значение I останется прежним (6), но значение N увеличится до 60. Критическое значение для h будет 2,71. Верхний предел решения — 47,9.2

  и нижний предел решения

  Усовершенствование эксперимента с игрушечной рогаткой . Затем группа работала над процессом и сделал некоторые улучшения. Вот данные после улучшения процесса

  J-D 52 12 18
J-N 5  2 34
А–Д  9 22 17
А-Н 22 19  8
М-Д 25 29 10
М-Н 27  3 15

  Суммарная статистика для каждой группы:

  Имя   Среднее     Var   Stdev
Д-Д  27,33  465,33   21,57
J-N 13,67 312,33 17,67
A-D  16. 00   43.00    6.56
А-Н  16,33   54,33    7,37
М-Д  21,33  100,33   10,02
Пн-Пн 15.00 144.00 12.00
Среднее 18,28 186,56

  Квадратный корень из средней дисперсии, 13,65, представляет собой объединенное стандартное отклонение. Пределы решений

  и

  округляем до нуля. График ANOM

  Опять же, все точки данных находятся в пределах допустимых значений.

  Анализ пропорций . Анализ несколько упрощается, если ваши данные представляют собой набор пропорции, а не набор средств. Вам больше не нужно вычислять объединенный стандарт отклонение, но вместо этого используйте формулу для вариации, которая является простой функцией среднего пропорция. Вам также не нужно вычислять степени свободы, и вы можете рассматривать их как бесконечное число степеней свободы. Фактически это то же самое, что заменить t-распределение с нормальным распределением. Вот формула.

  Работника просят сравнить четыре различных теста слуха, чтобы убедиться, что они сопоставимая сложность.

  Тест-1 86%
Тест-2 56%
Тест-3 90%
Тест-4 86%

  Результаты представляют собой процент правильно идентифицированных слов из пятидесяти. Среднее значение этих четырех пропорций составляет 0,795. Пределы решений вычисляются как

  , а график ANOM выглядит как

  .

  Второе испытание оказалось сложнее среднего.

  Самостоятельно.

  1. Другую группу добровольцев попросили запустить игрушечную ракету по мишени (данные приведены ниже). Шесть разных людей зафиксировали свою точность при двух последовательных выстрелах. Рассчитать Диаграмма ANOM для этих данных.

  А 14 39
В 60 20
С 26  9
Д 9 12
Е 36 21
Ф 53 18

  2.

  No related posts.