Как возвести число в вещественную степень?
Все знают обычное возведение в степень ещё со школы.
«Икс в квадрате» = x * x
«Икс в кубе» = x * x * x
Казалось бы, что здесь может быть сложного?
Вот и функцию «x в степени y» все воспринимают как данность.
На самом деле, как вы собрались вычислить x в степени 1,2345?
В очередной раз возводя какое-нибудь число в вещественную степень ленивым вызовом типа Math.power(x, y), задумывались ли вы, какой колоссальный пласт науки за этим стоит?
Допустим, для дробных чисел это возможно: та степень, что наверху — это просто число, умноженное на себя столько раз, а та степень, что внизу — это просто корень этой степени из получившегося числа.
Корень — это операция уже сама по себе нетривиальная.
Если умножать число само на себя — это одноклеточная операция (все знают таблицу умножения с детского сада), то брать корень из числа — это вам уже не так просто…
Поэтому раньше (в тёмные века) составляли толстенные книженции — так называемые «таблицы» — посвященные, скажем, взятию корней некоторых степеней из множества всевозможных чисел.
По определению «натурального логарифма»:
Если теперь продифференцировать это уравнение, то можно найти, что производная ln(x) равняется 1/x.
И теперь уже можно найти натуральный логарифм любого вещественного числа, вычислив простейший интеграл (взяв площадь под кривой 1/x):
Эта задача называется «численным интегрированием», и способов численно вычислить интеграл придуман уже целый вагон, так что задача нахождения значения натурального логарифма решена.
Делить, умножать, складывать и вычитать наш вычислительный процессор уже умеет, поэтому задача решена, и вот только теперь, по прошествии множества веков, мы, наконец, можем найти любую вещественную степень любого вещественного числа.
Ощущаете в себе гордость за человечество?
* для вычисления «экспоненты» (e в степени x) на компьютере применяется очень остроумный трюк с разложением x в двоичной системе исчисления, после которого всё сводится к перемножению уже заранее известных табличных значений e ^ (±2 ^ ±k), где k изменяется от 0 до максимального количества двоичных разрядов в числах данного компьютера (для double это 48 для обычного компьютера)
Определение, примеры, формула для расчета
Что такое экспоненциальный рост?
Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает большее увеличение с течением времени, создавая кривую экспоненциальной функции.
Например, предположим, что популяция мышей экспоненциально увеличивается в два раза каждый год, начиная с 2 в первый год, затем 4 во второй год, 8 в третий год, 16 в четвертый год и так далее. В этом случае население увеличивается в 2 раза каждый год. Если вместо этого мыши родят четырех детенышей, у вас будет 4, затем 16, затем 64, затем 256.
Экспоненциальный рост (который является мультипликативным) можно противопоставить линейному росту (который является аддитивным) и геометрическому росту (который возводится в степень).
Основные выводы:
- Экспоненциальный рост — это модель данных, которая показывает более резкий рост с течением времени.
- В финансах начисление сложных процентов создает экспоненциальную доходность.
- Сберегательные счета с начисляемой процентной ставкой могут демонстрировать экспоненциальный рост.
Понимание экспоненциального роста
В финансах сложные доходы вызывают экспоненциальный рост.
Сила сложных процентов — одна из самых мощных сил в финансах. Эта концепция позволяет инвесторам создавать большие суммы с небольшим первоначальным капиталом. Сберегательные счета со сложной процентной ставкой являются типичными примерами экспоненциального роста.
Применение экспоненциального роста
Предположим, вы вносите 1000 долларов на счет с гарантированной процентной ставкой 10%. Если счет имеет простую процентную ставку, вы будете зарабатывать 100 долларов в год. Сумма выплачиваемых процентов не изменится до тех пор, пока не будут внесены дополнительные депозиты.
Однако, если счет имеет сложную процентную ставку, вы будете получать проценты на совокупную сумму счета. Каждый год кредитор будет применять процентную ставку к сумме первоначального депозита вместе с любыми ранее выплаченными процентами. В первый год заработанные проценты по-прежнему составляют 10% или 100 долларов. Однако на второй год к новой сумме в 1100 долларов применяется ставка 10%, что дает 110 долларов.
С каждым последующим годом сумма выплачиваемых процентов растет, создавая быстро ускоряющийся или экспоненциальный рост. Через 30 лет, если не потребуется никаких других депозитов, ваш счет будет стоить 17 449 долларов.Т
В=С×(1+Р)Т
Текущее значение V начальной начальной точки, подверженной экспоненциальному росту, может быть определено путем умножения начального значения S на сумму единицы плюс процентная ставка R, возведенная в степень T, или на число прошедших периодов.
Особые указания
В то время как экспоненциальный рост часто используется в финансовом моделировании, реальность часто оказывается более сложной. Применение экспоненциального роста хорошо работает на примере сберегательного счета, потому что процентная ставка гарантирована и не меняется со временем. В большинстве инвестиций это не так. Например, доходность фондового рынка не всегда плавно следует долгосрочным средним значениям.
Другие методы прогнозирования долгосрочной доходности, такие как моделирование методом Монте-Карло, использующее распределения вероятностей для определения вероятности различных потенциальных результатов, становятся все более популярными.
Модели экспоненциального роста более полезны для прогнозирования доходности инвестиций, когда темпы роста стабильны.
Экспоненциальные функции — Уроки Византа
Экспоненциальные функции, хотя и похожи на функции, включающие экспоненты, отличаются тем, что
переменная теперь является степенью, а не основанием.
Ранее мы имели дело с функциями вида
, где переменная x была основанием, а число — степенью. Если вы заметили, эта функция
имеет квадратичную форму. С экспоненциальными функциями они будут
аналогичны форме
где число является основанием, а переменная — показателем степени. Экспоненциальная функция
всегда будет иметь положительное число, отличное от единицы, в качестве основания.
Определение экспоненциальной функции имеет вид
Чем отличаются графики квадратичных и экспонент? Чтобы построить график экспоненциальной функции
, мы просто подставляем значения x и рисуем, как обычно, но нам нужно помнить, что если мы подставляем отрицательные значения для x, нам нужно поместить количество на другой стороне
.Построим график функций f(x) = x 2 и g(x) = 2 x .
Обратите внимание, что слева от оси y график приближается к 0, но никогда не касается
0. Это может выглядеть так, но эти значения y настолько малы, что почти неотличимы
от оси x. Справа от оси x он устремляется в бесконечность. Если вы
когда-либо слышали о термине «экспоненциальный рост», то вот откуда он взялся. если вы
когда-либо слышали о чем-либо, удваивающемся или утраивающемся в течение заданного приращения, это считается
экспоненциальным ростом. Экспоненциальные функции, как правило, очень быстро становятся очень большими, и хотя вначале они меньше, чем полиномиальные функции, в конечном итоге они всегда становятся больше. Обратите внимание, что две функции встречаются при x = 2 и x = 4 ,
, а затем экспоненциальная функция становится больше квадратичной. Это потому, что
при x = 2 обе функции равны 2 2 , а при x = 4 функции
тоже равны ( 4 2 = 2 4 ).
Экспоненциальный рост и спад
Мы видели, что экспоненциальный рост имеет тенденцию начинаться с малого и становиться все больше и больше. Экспоненциальный рост и затухание обычны в природе, например
рост числа микроорганизмов в культуре или затухание звуковых колебаний.
Функции роста будут иметь положительное целое число, возведенное в положительную степень или дробь 9.0021 меньше единицы возведены в отрицательные целые числа. Следующие графики будут выглядеть так же, как
Это потому, что когда дробь возводится в отрицательную степень, знаменатель
становится числителем, а показатель степени становится положительным, так что это то же самое, что и экспоненциальный рост
!
Большинство экспоненциальных функций будут выглядеть одинаково, за исключением случаев, когда у нас есть экспоненциальное затухание.
Функции затухания будут либо положительной дробью меньше 1, возведенной в положительную
степень или положительное целое число, возведенное в отрицательную степень.
Давайте посмотрим на графики роста и распада.
Следует отметить две важные вещи. График распада идет в направлении, противоположном
направлению графика роста. Кроме того, независимо от того, какая экспоненциальная функция, значение
0, всегда равно 1.
Нарисуйте следующую экспоненциальную функцию
С помощью этой функции у нас есть дробь меньше единицы в качестве основания. Это должно означать, что
— это экспоненциальный спад. У нас также есть операторы — мы умножаем на 4 и
добавляем 3. Будьте осторожны с порядком операций, потому что сначала нам нужно иметь дело с показателем
, а затем с операторами.
Мы можем видеть, что график действительно представляет собой экспоненциальное убывание, и что он приближается к
y = 3 , но никогда не касается его.
Решение для x
Мы должны видеть, что каждая экспоненциальная функция имеет горизонтальную асимптоту, которую никогда не пересекает любое значение
Как мы видели в разделе показателей степени в алгебре, мы могли видеть, что когда мы устанавливаем y равным 2,
, показатели степени будут равны, и, следовательно, x будет равен 1.
Мы можем сделать эту замену для нескольких значений y
Существует более простой способ найти x, изолируя его с точки зрения y. Единственная проблема
— как. Когда у нас есть сложение, мы вычитаем, а когда у нас есть умножение, мы делим на
, но что мы делаем, когда у нас есть показатель степени? Ну, мы могли бы увеличить его до
в обратном порядке.
Это нам не поможет, так как мы хотим изолировать x.
Мы узнали, что взятие 9Журнал 0021 — это
Здесь мы можем подставить любое значение y и получить наше значение x. Мы должны быть осторожны, потому что
мы не можем взять журнал любого значения меньше или равного 0. Давайте попробуем более сложный пример
Мы будем действовать так же, как и в любом другом уравнении, рассматривая член с показателем степени как переменную до тех пор, пока нам не придется иметь с ним дело.
Это немного беспорядок, но это делает свое дело! Мы успешно выделили x
и можем найти любую координату уравнения.
В общем
Сложные проценты
В финансах экспоненциальные функции преобладают при расчете процентов.
Формула сложных процентов является очень важным показательным уравнением.
Формула сложных процентов
Где A
, r — процентная ставка (обычно дробная), n — число
начислений в год, а t — общее количество лет.
Мы увидим, что эта формула упрощается до экспоненциальных функций, к которым мы привыкли.
Что касается n , если проценты начисляются один раз в год, это будет считаться
ежегодно, а n будет равно 1. Если два раза в год, это будет считаться полугодовым
, а n будет равно 2 (аналогично, ежеквартально будет 4, ежемесячно будет 12 и т. д.).
Поскольку процентная ставка выражается в годах, время также должно быть выражено в годах
.
Предположим, процентная ставка составляет 4%, начисляемых ежемесячно, и пусть сумма первоначальных инвестиций
составляет 800 долларов. Какова конечная сумма через 10 лет?
Это форма показательной функции с основанием 1,08.
Предположим, вы хотите знать, сколько лет, пока у вас не будет 900 долларов, сколько лет
потребуется?
Это займет около 3 лет.
Изменяя частоту, с которой начисляются проценты, или ставку, проценты
могут быть существенно изменены. Хотя эта формула важна для управления деньгами
и расчета процентов, учитывая процентные ставки банка и во сколько раз она равна 9.0021 начисляется ежегодно, что, если мы начисляем ее постоянно? Другими словами, что, если
мы возьмем время t до бесконечности?
Естественная показательная функция f(x) = e
x Значение e — это математическая константа, которая была обнаружена в задаче о сложных процентах
. Мы обсуждали начисление сложных процентов с разным шагом на
год, но что, если мы продолжим?
по мере того, как мы смешиваем с меньшими приращениями, наш результат дает значение е .
Подобно пи, значение e иррационально. Округленное до двух знаков после запятой,
равно 2.72 . Функция f(x) = e x является уникальной
экспоненциальной функцией, поскольку значение y всегда равно скорости изменения
функции в этой точке.
Никакая другая функция не имеет этой черты. Это изучается дополнительно
в исчислении, когда мы изучаем
скорость изменения.
При y = 7,39 наклон также равен 7,39
Мы видели, что если мы умножим наш процент на бесконечное количество приращений, мы
получим значение e . Это дает новую формулу, которую мы можем использовать для вычисления
процентов, которые непрерывно начисляются.
Непрерывное начисление процентов
Эта формула предназначена для расчета процентов, которые вычисляются и добавляются к балансу
аккаунт каждое мгновение. На самом деле это невозможно, но непрерывное начисление сложных процентов
, тем не менее, четко определено как верхняя граница «обычных» сложных процентов.
Обратите внимание, что у нас те же переменные из нашей формулы сложных процентов, за исключением того, что
значение в скобках заменено на e .