Повторный интеграл. Ответы
Повторный интеграл. Ответы
Почему сложность вычисления повторного интеграла зависит не только от сложности подынтегральной функции, но и от формы области интегрирования.
В примере, который мы здесь разбираем, подынтегральная функция устроена совсем легко: это просто алгебраическая функция, интегрирование которой проводится по таблице.
Но это только первый шаг в вычислении повторного интеграла.
Выполняя двойную подстановку вертикальных границ области интегрирования, на втором шаге вычисления повторного интеграла мы сталкиваемся с необходимостью интегрировать тригонометрическое выражение, используя для этого приемы интегрирования по частям, понижения степени и преобразования дифференциала.
Таким образом, форма границ области интегрирования существенно влияет на процедуру интегрирования: чем проще область интегрирования, тем легче вычислять повторные интегралы.
Ну а самая простая область для повторного интеграла — это прямоугольник, так как в этом случае внутренний интеграл в повторном интеграле берется в постоянных пределах.
В случае необходимости, если какие-то из повторных интегралов показались вам слишком сложными, еще раз просмотрите тему «Повторный интеграл», после чего еще раз вернитесь к тем заданиям видео «Повторный интеграл», с которыми вы не справились. Обязательно добейтесь того, чтобы самостоятельное вычисление повторных интегралов не вызывало у вас затруднений.
Тема «Повторный интеграл»
Вопросы по теме «Повторный интеграл»
Ответы на вопросы по теме «Повторный интеграл»
Для того чтобы лучше разобраться с темой «Повторный интеграл», обязательно решите все задания.
Все лекции здесь.
Популярные сообщения из этого блога
Двойной интеграл в полярных координатах.
ВопросыДаны два двойных интеграла. Требуется вычислить их путем перехода к полярным координатам.
Замена переменных в двойном интеграле. Вопросы
Даны два двойных интеграла. Требуется подобрать замены так, чтобы области интегрирования перешли в прямоугольники со сторонами, параллельными осям, и вычислить интегралы в новых координатах.
Репетиторство и консультации по Skype
$ Общее время занятий включает в себя, помимо онлайн-занятия, несколько часов видео для предварительного изучения (которые не оплачиваются). Таким образом, занимаясь фактически 3, 4, 5 и более часов, вы оплачиваете только 2 академических часа. Это выгодно. Ознакомиться с условиями занятий
Математический анализ. Продолжение курса
Математический анализ. Продолжение курса
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГлава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 1. ПОНЯТИЕ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2.  Критерий Коши сходимости ряда.§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сравнения. 3. Признаки Даламбера и Коши. 4. Интегральный признак Коши—Маклорена. 5. Признак Раабе. 6. Отсутствие универсального ряда сравнения. § 3. АБСОЛЮТНО И УСЛОВНО СХОДЯЩИЕСЯ РЯДЫ 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда. § 4. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ РЯДОВ § 5. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ § 6. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов. 3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение. § 7. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Метод Чезаро (метод средних арифметических). 2. Метод суммирования Пуассона—Абеля. § 8. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ДВОЙНЫХ И ПОВТОРНЫХ РЯДОВ Глава 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ § 1. ПОНЯТИЯ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ и РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ НА МНОЖЕСТВЕ 2.  Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве.3. Равномерная сходимость на множестве. 4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда). § 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ § 3. ПОЧЛЕННЫЙ ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ § 4. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ 2. Почленное дифференцирование. 3. Сходимость в среднем. § 5. РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИИ § 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Непрерывность суммы степенного ряда. 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. § 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. 3. Элементарные представления о функциях кемплексной переменной. 4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами. Глава 3.  ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника. 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области. 4. Общее определение двойного интеграла. § 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА § 3. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ ОДНОКРАТНОМУ 2. Случай произвольной области. § 4. ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ § 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ n-МЕРНЫХ ТЕЛ § 7. ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ § 8. КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. 4. Главное значение кратных несобственных интегралов. Глава 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ПОНЯТИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА § 2.  n.3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора. 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор. 5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе. § 2. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля. 3. Некоторые другие формулы векторного анализа. 4. Заключительные замечания. § 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 2. Формула Остроградского—Гаусса. 3. Формула Стокса. § 4. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА НА ПЛОСКОСТИ ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ § 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ 3. Полилинейные формы. 4. Знакопеременные полилинейные формы. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм.  6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 2. Внешний дифференциал. § 3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Свойства отображения. § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 2. Дифференцируемые цепи. 3. Формула Стокса. 4. Примеры. Глава 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ § 1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной. 3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции. § 2. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра. § 3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра. § 4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ § 5.  ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА2. В-функция. 3. Связь между эйлеровыми интегралами. 4. Примеры. § 6. ФОРМУЛА СТИРЛИНГА § 7. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра. Глава 8. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ И ОБЩИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Понятие об общем ряде Фурье. § 2. ЗАМКНУТЫЕ И ПОЛНЫЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ § 3. ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы. 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы. 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье. 3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье. § 5. БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ И УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье.  3. Вспомогательные предложения. 4. Принцип локализации. 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера. 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции. 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических. 8. Заключительные замечания. § 6. КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных. 3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье. Глава 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ § 1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ 2. Основная теорема. Формула обращения. 3. Примеры. § 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ § 3. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.
Вычисление двойных интегралов как повторяющихся интегралов — Криста Кинг Математика
Чтобы вычислить двойной интеграл, превратите его в повторный интеграл.
Двойной интеграл не имеет явно определенных пределов интегрирования. Вместо этого интервал представляет собой некоторую область ???R???, например
???\int\int_Rf(x,y)\ dA???
Повторный интеграл — это интеграл, в котором пределы интегрирования четко определены для каждой переменной, например 92+2\дх\ду???
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Всякий раз, когда нам дают двойной интеграл, мы хотим превратить его в повторный интеграл, потому что с повторными интегралами мы можем легко вычислять один интеграл за раз, как в исчислении с одной переменной.
Когда мы вычисляем повторные интегралы, мы всегда работаем изнутри наружу. В повторном интеграле выше, потому что ???dx??? находится внутри и ???dy??? находится снаружи, значит пределы интегрирования ???[0,2]??? на внутреннем интеграле соответствуют ???x??? а пределы интегрирования ???[0,4]??? на внешнем интеграле соответствуют ???y???.
Работая изнутри наружу, мы сначала проинтегрируем относительно ???x???, обрабатывая ???y??? как константу, а на ???x???-интервале будем вычислять ???[0,2]???. Затем проинтегрируем по ???y??? и оцениваем по ???y???-интервалу ???[0,4]???.
Как решить двойной интеграл путем преобразования его в повторный интеграл
Пройти курс 9ты??? по области ???R=[0,2]\times[1,3]???.
Теперь рассмотрим пример с двойным интегралом, где интервалы для ???x??? и ???й??? еще не включены в интеграл.
Когда Вам дан двойной интеграл, Вы хотите превратить его в повторный интеграл, потому что с повторными интегралами Вы можете легко вычислять один интеграл за раз.
Пример
Вычислите двойной интеграл.
93\cos{x}\dy\dx??? Неважно, поставим ли мы ???dx??? внутри и ???dy??? снаружи или наоборот.
Но нам нужно убедиться, что пределы интегрирования каждого интеграла соответствуют порядку ???dx??? и ???ды???. Поскольку мы ставим ???dy??? внутри пределы интегрирования для ???y??? должны быть привязаны к внутреннему интегралу. И так как ???dx??? находится снаружи, мы ставим пределы интегрирования для ???x??? по внешнему интегралу.
С ???dy??? находится внутри, а мы всегда работаем наизнанку, мы будем интегрировать сначала по отношению к ???y???, обрабатывая ???x??? как константа. 9\ гидроразрыва {\ пи} {2}???
???-\frac12\cos{\left(3\cdot\frac{\pi}{2}\right)}-\frac{15}{4}\sin{\frac{\pi}{2 }}-\left[-\frac12\cos{(3\cdot0)}-\frac{15}{4}\sin{0}\right]???
???-\frac12\cos{\frac{3\pi}{2}}-\frac{15}{4}\sin{\frac{\pi}{2}}+\frac12\cos{ 0}+\frac{15}{4}\sin{0}???
???-\frac12(0)-\frac{15}{4}(1)+\frac12\cos{0}+\frac{15}{4}\sin{0}???
???-0-\frac{15}{4}+\frac12(1)+\frac{15}{4}(0)???
???0-\frac{15}{4}+\frac12+0???
???-\frac{15}{4}+\frac24??? 93\cos{х}??? по области ???R=\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\times\left[-1,2\right]??? составляет ???-13/4???.
Получить доступ к полному курсу Calculus 3
Начать
Изучение математикиКриста Кинг математика, изучение онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, двойные интегралы, повторные интегралы, множественные интегралы, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii
0 лайковДвойные интегралы как повторяющиеся интегралы
Прямоугольная область
Мы хотим вычислить двойной интеграл от $f(x,y)$ по области $\dlr$, где $\dlr$ — прямоугольник с $a \le x \le b$ и $c \le y \ле д$. Используя определение двойника интеграла, мы могли бы оценить интеграл \начать{выравнивать*} \iint_\dlr f(x,y) dA \конец{выравнивание*} с суммами Римана. Разобьем домен $\dlr$ на маленькие прямоугольники.
Если мы выберем один и тот же $y_i$ для каждого прямоугольника в строке $i$ и один и тот же
$x_j$ для каждого прямоугольника в столбце $j$ сумма Римана для интеграла равна
\начать{выравнивать}
\sum_{i,j} f(x_{j}, y_{i}) \Delta x \Delta y.
b f(x,y) dx \right) dy.
\конец{выравнивание*}
9d f(x,y) dy \right) dx.
\конец{выравнивание*}
Итак, теперь у нас есть два способа превратить двойной интеграл \начать{выравнивать*} \iint_\dlr f(x,y) dA \конец{выравнивание*} в интегралы с одной переменной. Таким образом, нам не нужно учиться больше формул интегрирования для вычисления двойных интегралов. Это аналогично тому, как мы можем вычислить частные производные с помощью нашей одной переменной правила дифференциации. Хитрость в вычислении частных производных была считая все остальные переменные постоянными. Как вы увидите в примеры, мы используем аналогичный трюк для вычисления повторных интегралов. 9b f(x,y) dx\, dy. \end{align*}
Вы можете прочитать пример вычисление повторных интегралов по прямоугольным областям.
Мы произвольно решили сначала суммировать по строкам.
Мы могли бы просто сначала суммировать по столбцам,
что дало бы нам повторные интегралы, где мы интегрируем
сначала относительно $y$.
Между этими двумя порядками можно переключаться, что называется
изменение
порядок интегрирования.