Какие стороны четырехугольника называются соседними а какие противолежащими: Какие стороны четырёхугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?

Содержание

Определение диагонали и противоположных сторон четырехугольника. Определение четырехугольника

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру — четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся

Невыпуклым

Выпуклым

Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Дельтоид
Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a — b| ≤ c + d

|a — c| ≤ b + d

|a — d| ≤ b + c

|b — c| ≤ a + d

|b — d| ≤ a + b

|c — d| ≤ a + b

Важно . Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (

В вашем браузере отключен Javascript.

Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

1 . Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его двух противоположных сторон.

2 . Если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника

а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.

3 . Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии.

4 . Стороны параллелограмма равны и . Тогда четырёхугольник, образованный пересечениями биссектрис углов параллелограмма, является прямоугольником, диагонали которого равны .

5 . Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен их полуразности.

6 . На сторонах АВ и AD

параллелограмма ABCD взяты точки М и N так, что прямые МС и NC делят параллелограмм на три равновеликие части.

Найдите MN, если BD=d.

7 . Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключённый внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой.

8 . Через точку пересечения диагоналей трапеции с основаниями и проведена прямая, параллельная основаниям. Отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами трапеции, равен .

9 . Трапеция разделена прямой, параллельной её основаниям, равным и , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок этой прямой, заключённый между боковыми сторонами, равен .

10 . Если выполняется одно из следующих условий, то четыре точки А, В, С

и D лежат на одной окружности.

а) CAD=CBD = 90°.

б) точки А и В лежат по одну сторону от прямой CD и угол CAD равен углу CBD.

в) прямые АС и BD пересекаются в точке О и О А ОС=ОВ OD.

11 . Прямая, соединяющая точку Р пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых АВ и CD, делит сторону AD пополам. Тогда она делит пополам и сторону ВС.

12 . Каждая сторона выпуклого четырёхугольника поделена на три равные части. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены отрезками. Тогда эти отрезки делят друг друга на три равные части.

13 . Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Тогда между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.

14 . Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то отрезок, соединяющий точки, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон четырёхугольника, проходит через точку пересечения диагоналей.

15 . Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

16. Свойства вписанного четырёхугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R. Его диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Р. Тогда

а) медиана треугольника АРВ перпендикулярна стороне CD;

б) ломаная АОС делит четырёхугольник ABCD на две равновеликие фигуры;

в) АВ 2 +CD 2 =4R 2 ;

г) АР 2 +ВР 2 +СР 2 +DP 2 =

4R 2 и АВ 2 +ВС 2 +CD 2 +AD 2 =8R 2 ;

д) расстояние от центра окружности до стороны четырёхугольника вдвое меньше противоположной стороны.

е) если перпендикуляры, опущенные на сторону AD из вершин В и С, пересекают диагонали АС и BD в точках Е и F, то BCFE — ромб;

ж) четырёхугольник, вершины которого — проекции точки Р на стороны четырёхугольника ABCD, — и вписанный, и описанный;

з) четырёхугольник, образованный касательными к описанной окружности четырёхугольника ABCD, проведёнными в его вершинах, можно вписать в окружность.

17 . Если a, b, c, d — последовательные стороны четырёхугольника, S — его площадь, то , причем равенство имеет место только для вписанного четырёхугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны.

18 . Формула Брахмагупты. Если стороны вписанного четырехугольника равны a, b, с и d, то его площадь S может быть вычислена по формуле ,

где — полупериметр четырехугольника.

19 . Если четырёхугольник со сторонами а , b, с, d можно вписать и около него можно описать окружность, то его площадь равна .

20 . Точка Р расположена внутри квадрата ABCD, причем угол PAB равен углу РВА и равен 15°. Тогда треугольник DPC — равносторонний.

21 . Если для вписанного четырёхугольника ABCD выполнено равенство CD=AD+ВС, то биссектрисы его углов А и В пересекаются на стороне CD.

22 . Продолжения противоположных сторон АВ и CD вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке М, а сторон

AD и ВС — в точке N. Тогда

а) биссектрисы углов AMD и DNC взаимно перпендикулярны;

б) прямые МQ и NQ пересекают стороны четырёхугольника в вершинах ромба;

в) точка пересечения Q этих биссектрис лежит на отрезке, соединяющем середины диагоналей четырёхугольника ABCD.

23 . Теорема Птолемея. Сумма произведений двух пар противоположных сторон вписанного четырёхугольника равна произведению его диагоналей.

24 . Теорема Ньютона. Во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

25 . Теорема Монжа. Прямые, проведённые через середины сторон вписанного четырёхугольника перпендикулярно противоположным сторонам, пересекаются в одной точке.

27 . Четыре круга, построенных на сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах, покрывают весь четырёхугольник.

29 . Два противоположных угла выпуклого четырёхугольника — тупые. Тогда диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

30. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, сами образуют квадрат.

С четырьмя углами и четырьмя сторонами. Четырёхугольник образуется замкнутой ломаной линией, состоящей из четырёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

Обозначение четырёхугольника составляют из букв, стоящих при его вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: четырёхугольник ABCD :

В четырёхугольнике ABCD точки A , B , C и D — это вершины четырёхугольника , отрезки AB , BC , CD и DA — стороны .

Вершины, принадлежащие одной стороне, называются соседними , вершины, не являющиеся соседними, называются

противолежащими :

В четырёхугольнике ABCD вершины A и B , B и C , C и D , D и A — соседние, а вершины A и C , B и D — противолежащие. Углы, лежащие при соседних вершинах, также называются соседними, а при противолежащих вершинах — противолежащими.

Стороны четырёхугольника также можно попарно разделить на соседние и противолежащие: стороны, имеющие общую вершину, называются соседними (или смежными ), стороны, не имеющие общих вершин — противолежащими :

Стороны AB и BC , BC и CD , CD и DA , DA и AB — смежные, а стороны AB и DC , AD и BC — противолежащие.

Если противолежащие вершины соединить отрезком, то такой отрезок будет называться диагональю четырёхугольника

. Учитывая, что в четырёхугольнике есть всего две пары противолежащих вершин, то и диагоналей может быть всего две:

Отрезки AC и BD — диагонали.

Рассмотрим основные виды выпуклых четырёхугольников:

Трапеция — четырёхугольник, у которого одна пара противоположных сторон, параллельны друг другу, а другая пара не параллельны.
- Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.
- Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов прямой.
Параллелограмм — четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны друг другу.
- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы равны.
- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Квадрат — параллелограмм, у которого равны и стороны и углы. И прямоугольник и ромб могут быть квадратом.

Свойства углов выпуклых четырёхугольников

У всех выпуклых четырёхугольников углы обладают следующими двумя свойствами:

Любой внутренний угол меньше 180°.
Сумма внутренних углов равна 360°.

В школьной программе на уроках геометрии приходится иметь дело с разнообразными видами четырёхугольников: ромбами, параллелограммами, прямоугольниками, трапециями, квадратами. Самыми первыми фигурами для изучения становятся прямоугольник и квадрат.

Итак, что же такое прямоугольник? Определение для 2 класса общеобразовательной школы будет выглядеть так: это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые. Несложно представить себе, как выглядит прямоугольник: это фигура с 4 прямыми углами и сторонами, попарно параллельными друг другу.

Вконтакте

Как понять, решая очередную геометрическую задачу, с каким именно четырёхугольником мы имеем дело? Существуют три основных признака , по которым можно безошибочно определить, что речь идёт именно о прямоугольнике. Назовём их:

фигура является четырёхугольником, три угла которого равны 90°;
представленный четырёхугольник — это параллелограмм с равными диагоналями;
параллелограмм, который имеет по крайней мере один прямой угол.

Интересно знать: что такое выпуклый , его особенности и признаки.

Поскольку прямоугольник — это параллелограмм (т. е. четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами), то для него будут выполняться все его свойства и признаки.

Формулы для вычисления длины сторон

В прямоугольнике противолежащие стороны равны и взаимно параллельны. Более длинную сторону принято называть длиной (обозначается a), более короткую — шириной (обозначается b). В прямоугольнике на изображении длинами являются стороны AB и CD, а шириной — AC и B. D. Также они перпендикулярны к основаниям (т. е. являются высотами).

Для нахождения сторон можно воспользоваться формулами, указанными ниже. В них приняты условные обозначения: a — длина прямоугольника, b — его ширина, d — диагональ (отрезок, соединяющий вершины двух углов, лежащих друг напротив друга), S — площадь фигуры, P — периметр, α — угол между диагональю и длиной, β — острый угол, который образован обеими диагоналями. Способы нахождения длин сторон:

С использованием диагонали и известной стороны: a = √(d ² — b ²), b = √(d ² — a ²).
По площади фигуры и одной из её сторон: a = S / b, b = S / a.
При помощи периметра и известной стороны: a = (P — 2 b) / 2, b = (P — 2 a) / 2.
Через диагональ и угол между ней и длиной: a = d sinα, b = d cosα.
Через диагональ и угол β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Периметр и площадь

Периметром четырёхугольника называют сумму длин всех его сторон. Чтобы вычислить периметр, могут использоваться следующие формулы:

Через обе стороны: P = 2 (a + b).
Через площадь и одну из сторон: P = (2S + 2a ²) / a, P = (2S + 2b ²) / b.

Площадь — это пространство, ограниченное периметром . Три основных способа для расчёта площади:

Через длины обеих сторон: S = a*b.
При помощи периметра и какой-либо одной известной стороны: S = (Pa — 2 a ²) / 2; S = (Pb — 2 b ²) / 2.
По диагонали и углу β: S = 0,5 d ² sinβ.

В задачах школьного курса математики часто требуется хорошо владеть свойствами диагоналей прямоугольника . Перечислим основные из них:

Диагонали равны друг другу и делятся на два равных отрезка в точке их пересечения.
Диагональ определяется как корень суммы обеих сторон, возведённых в квадрат (следует из теоремы Пифагора).
Диагональ разделяет прямоугольник на два треугольника с прямым углом.
Точка пересечения совпадает с центром описанной окружности, а сами диагонали — с её диаметром.

Применяются следующие формулы для расчёта длины диагонали:

С использованием длины и ширины фигуры: d = √(a ² + b ²).
С использованием радиуса окружности, описанной вокруг четырёхугольника: d = 2 R.

Определение и свойства квадрата

Квадрат — это частный случай ромба, параллелограмма или прямоугольника. Его отличие от этих фигур заключается в том, что все его углы прямые, и все четыре стороны равны. Квадрат — это правильный четырёхугольник.

Четырёхугольник называют квадратом в следующих случаях:

Если это прямоугольник, у которого длина a и ширина b равны.
Если это ромб с равными длинами диагоналей и с четырьмя прямыми углами.

К свойствам квадрата относятся все ранее рассмотренные свойства, относящиеся к прямоугольнику, а также следующие:

Диагонали перпендикулярны относительно друг друга (свойство ромба).
Точка пересечения совпадает с центром вписанной окружности.
Обе диагонали делят четырёхугольник на четыре одинаковых прямоугольных и равнобедренных треугольника.

Приведём часто используемые формулы для вычисления периметра, площади и элементов квадрата:

Диагональ d = a √2.
Периметр P = 4 a.
Площадь S = a ².
Радиус описанной окружности вдвое меньше диагонали: R = 0,5 a √2.
Радиус вписанной окружности определяется как половинная длина стороны: r = a / 2.

Примеры вопросов и задач

Разберём некоторые вопросы, с которыми можно столкнуться при изучении курса математики в школе, и решим несколько простых задач.

Задача 1 . Как изменится площадь прямоугольника, если увеличить длину его сторон в три раза?

Решение: Обозначим площадь исходной фигуры S0, а площадь четырёхугольника с утроенной длиной сторон — S1. По формуле, рассмотренной ранее, получаем: S0 = ab. Теперь увеличим длину и ширину в 3 раза и запишем: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Сравнивая S0 и S1, становится очевидно, что вторая площадь больше первой в 9 раз.

Вопрос 1. Четырёхугольник с прямыми углами — это квадрат?

Решение: Из определения следует, что фигура с прямыми углами является квадратом лишь тогда, когда длины всех его сторон равны. В остальных случаях фигура является прямоугольником.

Задача 2 . Диагонали прямоугольника образуют угол 60 градусов. Ширина прямоугольника — 8. Рассчитать, чему равна диагональ.

Решение: Вспомним, что диагонали точкой пересечения разделяются пополам. Таким образом, имеем дело с равнобедренным треугольником с углом при вершине, равным 60°. Так как треугольник равнобедренный, то находящиеся при основании углы тоже будут одинаковы. Путём несложных вычислений получаем, что каждый из них равен 60°. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Ширина, известная нам, является основанием треугольника, следовательно, половина диагонали тоже равна 8, а длина целой диагонали в два раза больше и равна 16.

Вопрос 2. У прямоугольника все стороны равны или нет?

Решение: Достаточно вспомнить, что все стороны должны быть равны у квадрата, который является частным случаем прямоугольника. Во всех остальных случаях достаточное условие — это наличие минимум 3 прямых углов. Равенство сторон не является обязательным признаком.

Задача 3 . Площадь квадрата известна и равна 289. Найти радиусы вписанной и описанной окружности.

Решение: По формулам для квадрата проведём следующие расчёты:

Определим, чему равны основные элементы квадрата: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
Подсчитаем, чему равен радиус описанной вокруг четырёхугольника окружности: R = 0,5 d = 8,5√2.
Найдём радиус вписанной окружности: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

2 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

3 признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями.

Трапеция называется равнобедренной (равнобочной) , если ее боковые стороны равны. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны.

прямоугольной .

средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прямоугольник

Определение.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Определение.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Определение.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

Четырехугольники все правила

Ключевые слова:
четырехугольник, выпуклый, сумма углов, площадь четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Вершины четырехугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон.
Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположними .
Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Четырехугольник называется выпуклым , если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Виды четырехугольников

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые
- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны
- Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны
Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

противоположными. противоположными.

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Признаки параллелограмма

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

Признаки трапеции

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;

Признаки ромба

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Основные формулы

S =d 1 d 2 sin

Параллелограмм
a и b — смежные стороны; — угол между ними; h a — высота, проведенная к стороне a .

S = ab sin

S =d 1 d 2 sin

Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

Прямоугольник

S =d 1 d 2 sin

S = a 2 sin

S =d 1 d 2

Квадрат
d — диагональ.

www.univer.omsk.su

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.

Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Четырехугольники все правила

Неевклидова геометрия, геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов (1825) явилось значительным событием в истории мысли, ибо послужило первым шагом на пути ктеории относительности.

Второй постулат Евклида утверждает, что любой отрезок прямой можно неограниченно продолжить . Евклид, по-видимому, считал, что этот постулат содержит в себе и утверждение, что прямая имеет бесконечную длину. Однако в «эллиптической» геометрии любая прямая конечна и, подобно окружности, замкнута.

Пятый постулат утверждает, что если прямая пересекает две данные прямые так, что два внутренних угла по одну сторону от нее в сумме меньше двух прямых углов, то эти две прямые, если продолжить их неограниченно, пересекутся с той стороны, где сумма этих углов меньше суммы двух прямых. Но в «гиперболической» геометрии может существовать прямая CB (см. рис.), перпендикулярная в точке С к заданной прямой r и пересекающая другую прямую s под острым углом в точке B, но, тем не менее бесконечные прямые r и s никогда не пересекутся.

Из этих пересмотренных постулатов следовало, что сумма углов треугольника, равная 180° в евклидовой геометрии, больше 180° в эллиптической геометрии и меньше 180° в гиперболической геометрии.

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

Четырёхугольник , геометрическая фигура — многоугольник с четырьмя углами, а также всякий предмет, устройство такой формы.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Параллелогра́мм (от греч. parallelos — параллельный и gramme — линия) т. е. лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Дельтоид — четырёхугольник, обладающий двумя парами сторон одинаковой длины. В отличие от параллелограмма, равными являются не противоположные, а две пары смежных сторон. Дельтоид имеет форму, похожую на воздушного змея.

Углы между сторонами неравной длины равны.
Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.

Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид).
Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т. д.).

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н. э. по I век н. э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

В этой книге впервые была сделана попытка дать систематическое построение планиметрии на базе основных неопределяемых геометрических понятий и аксиом (постулатов).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского, Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

III. На основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия и теоремы.

Происхождение названия Неевклидовой геометрии?
Какаие фигуры называются четырёхугольниками?
Свойства паралелограмма?
Виды четырехугольников?

Список использованных источников

А.Г. Цыпкин. Справочник по математике
«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали

Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме , где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.

Четырехугольник

Четырехугольник – это фигура, состоящая из четырех точек и четырех отрезков, которые последовательно соединяют данные точки. Стоит отметить, что в четырехугольнике три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а отрезки, которые эти точки соединяют, ни в коем случае не могут пересекаться, как и в треугольнике, точки четырехугольника называются вершинами, а отрезки, которые соединяют точки – сторонами. Обозначается четырехугольник его вершинами.

Если вершины четырехугольника являются концами одной из его сторон, то такое вершины называются соседними. Вершины же, что не являются соседними, имеют название противолежащие вершины.

Практически аналогичная ситуация и со сторонами четырехугольника. Если две стороны выходят из одной вершины, то они будут называться соседними. А если стороны не имеют общего конца, то они будут носить название противолежащие.

Четырехугольники могут быть выпуклыми и невыпуклыми. Давайте разберемся, в каком же случае он будет выпуклым, а в каком нет. Выпуклым считается четырехугольник, который расположен в одной полуплоскости относительно заданной прямой, что содержит любую его сторону. Сама прямая, при этом также принадлежит этой же полуплоскости. Если четырехугольник не соответствует данному определению, то логично предположить, что он невыпуклый.

Если мы проводим диагонали в четырехугольнике, и они пересекаются, причем точка пересечения делит данные диагонали пополам, то мы имеем дело с параллелограммом. Также стоит отметить и тот факт, что противолежащие стороны и противолежащие углы параллелограмма абсолютно равны. Знание данных свойств четырехугольника, несомненно, помогает нам в решении геометрических задач и не только.

Параллелограмм

S = ah

= bh

S = absinα

S =

1
2

sinφ

P = 2(a + b)

2
1

+ d

2
2

= 2(a

+ b

)

Прямоугольник

S = ab =

1
2

sinφ

R =

1
2

d =

1
2

√

+ b

P = 2(a + b)

Ромб

S = ah = a

sinα =

1
2

= 2acos

α
2

= 2asin

α
2

2
1

+ d

2
2

= 4a

r =

1
2

h =

1
2

asinα

P = 4a

Квадрат

S = a

1
2

P = 4a

d = a

√

R =

1
2

d =

a
2

√

r =

1
2

Трапеция

S =

a + b
2

h =

1
2

sinφ

Средняя линия MN =

1
2

(a + b)

Произвольный выпуклый четырехугольник

α + β + γ + δ = 360°,

где α, β, γ, δ — внутренние углы четырехугольника.

+ b

+ c

+ d

= d

2
1

+ d

2
2

+ 4m

где m — отрезок, соединяющий середины диагоналей.

S =

1
2

sinφ

Презентация по теме «четырехугольники» презентация, доклад, проект

Слайд 1Текст слайда:

Четырёхугольники

Подготовил
Ученик 8 класса
Ромасюков Валера

Слайд 2Текст слайда:

План проекта.

1. Всё вокруг – геометрия
2. Определение четырёхугольника
3. Стихотворение
4. Генеалогическое древо
5. Виды четырёхугольников
6.Определение параллелограмма
7. Определение ромба
8. Определение прямоугольника
9. Определение квадрата
10.Стихотворение
11. Определение трапеции

Слайд 3Текст слайда:

Всё вокруг — геометрия.

«Я думаю, что никогда, до настоящего времени, мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия». Эти слова великого французского архитектора Ле Корбюзье очень точно характеризуют и наше время. Мир, в котором мы живём, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нём, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет вам эта наука.

Слайд 4Текст слайда:

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнам6нтами, размечая территории на поверхности земли, измеряя расстояния и площади зем6льных участков, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, использовал свои геометричски5 знания, полученные из наблюдений и опытов. Почти все учёные древности и средних веков были выдающимися геометрами.
Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур.

Слайд 5Текст слайда:

Четырёхугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырёх сторон и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.
Вершины четырёхугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
Вершины, не являющихся соседними, называют противолежащими.
Стороны четырёхугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника называют диагоналями.

Слайд 6Текст слайда:

Стихотворение

Четырёхугольник фигурист,
Состоит из точек и вершин,
А его отрезки противолежащие
Стороны же исходящие!!!

Слайд 7Текст слайда:

Генеалогическое древо четырёхугольников

Слайд 8Текст слайда:

Виды четырёхугольников

Выпуклый
Четырёхугольник
Параллелограмм
Трапеция

Равнобедренная Квадрат Прямоугольник Ромб
Прямоугольная

Слайд 9Текст слайда:

Параллелограмм

Четырёх угольник у которого противоположные стороны попарно параллельны, называются параллелограммом.
Свойства параллелограмма:
Противоположные стороны равны;
Противоположные углы параллелограмма равны;
Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника;

Слайд 10Текст слайда:

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Признаки параллелограмма:
Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёх угольник-параллелограмм.
Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник-параллелограмм.
Каждый из признаков параллелограмма может быть взят в качестве определения параллелограмма.

Слайд 11Текст слайда:

Так из первого признака получаем определения следующее параллелограмма.
Четырёх угольник, у которого противоположные стороны попарно равны, называется параллелограммом.
Сумма внутренних углов параллелограмма
равна 360°.
Отрезок перпендикуляра к сторонам параллелограмма, заключённый между ними, называется высотой параллелограмма.

Слайд 12Текст слайда:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
S=ah

Слайд 13Текст слайда:

Ромб

Параллелограмм все стороны которого равны, называется площадь. Помимо всех свойств параллелограмма, ромб обладает следующими специальными свойствами:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
Диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Диагонали ромба делят его внутринии углы пополам.

Слайд 14Текст слайда:

Площадь ромба может быть вычислена по формуле:
S=1/2d1d2

Где d1 и d2 –диагонали ромба.

Слайд 15Текст слайда:

Прямоугольник

Параллелограмм все углы, у которого прямые называется прямоугольник.
Помимо всех свойств параллелограмма, прямоугольник обладает следующими специальными свойствами:
Диагонали прямоугольника равны.
Признаки прямоугольника:
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм-прямоугольник.

Слайд 16Текст слайда:

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
S=ab
Где a и b- смежные стороны.

Слайд 17Текст слайда:

Квадрат

Прямоугольник у которого все стороны равны называется квадратом.
Из определения квадрата и ромба следует, что квадрат это ромб у которого все углы прямые. Так как квадрат является и параллелограммом, и прямоугольником, и ромбом, то все свойства этих фигур присущи и квадрату.
Площадь квадрата вычисляется по формуле:
S=a²

Слайд 18Текст слайда:

Стихотворение

Квадрат поехал в Ленинград
И там узнали про квадрат
Что все сторонки равные
Углы прямые, славные.

Слайд 19Текст слайда:

Трапеция

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.
Паралельные стороны трапеции называют её основаниями, а не паралельные боковыми сторонами (ВС и АД-основания, АВ и СД-боковые стороны)
Отрезок перпендикуляра к основаниям трапеции, заключённый между основаниями называется высотой трапеции (ВН- высота). Трапеция, боковые стороны которой равны называется равнобедренной (или равнобочной).

Слайд 20Текст слайда:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны:
Угол ВАД=АДС , а угол АВС=ВСД
Площадь трапеции вычисляется по формуле :
S=1/2(a+b)*h
a

Скачать презентацию

Презентация по геометрии 8 класс на тему Четырехугольник и его элементы доклад, проект

Главная
Разное
Образование
Спорт
Естествознание
Природоведение
Религиоведение
Французский язык
Черчение
Английский язык
Астрономия
Алгебра
Биология
География
Геометрия
Детские презентации
Информатика
История
Литература
Математика
Музыка
МХК
Немецкий язык
ОБЖ
Обществознание
Окружающий мир
Педагогика
Русский язык
Технология
Физика
Философия
Химия
Шаблоны, фоны, картинки для презентаций
Экология
Экономика

Презентация на тему Презентация по геометрии 8 класс на тему Четырехугольник и его элементы, предмет презентации: Геометрия. Этот материал в формате pptx (PowerPoint) содержит 12 слайдов, для просмотра воспользуйтесь проигрывателем. Презентацию на заданную тему можно скачать внизу страницы, поделившись ссылкой в социальных сетях! Презентации взяты из открытого доступа или загружены их авторами, администрация сайта не отвечает за достоверность информации в них, все права принадлежат авторам презентаций и могут быть удалены по их требованию.

Слайд 1Текст слайда:

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ

Слайд 2Текст слайда:

Рассмотрим фигуру, состоящую из четырех точек A,B,C,D

и четырех отрезков

AB,

BC,

CD,

DA,

таких, что никакие два соседних отрезка не лежат на одной прямой и никакие два несоседних отрезка не имеют общих точек

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОМ называется фигура состоящая из 4 точек и 4 последовательно соединяющих их отрезков

Вершины четырехугольника

Стороны четырехугольника

Слайд 3Текст слайда:

Задание. Среди фигур, изображенных на рисунке, укажите четырехугольники.

Слайд 4Текст слайда:

Стороны четырехугольника, являющиеся соседними отрезками, называются соседними сторонами четырехугольника

Вершины четырехугольника, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами четырехугольника

Стороны четырехугольника, не являющиеся соседними, называют противолежащими сторонами четырехугольника

Несоседние вершины четырехугольника, называют противолежащими вершинами четырехугольника

Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника, называют диагональю четырехугольника

Слайд 5Текст слайда:

Задание. 1.Какие вершины четырехугольника являются соседними, противолежащими? 2.Какие стороны четырехугольника являются соседними, противолежащими?

Слайд 6Текст слайда:

Укажите: 1.вершины четырехугольника;

Задание. Назовите четыре каких-нибудь обозначения четырехугольника.

2.стороны четырехугольника;

3.пары соседних вершин;

4.пары противолежащих вершин;

5.пары соседних сторон;

6.пары противолежащих сторон.

Слайд 7Текст слайда:

Углы ABC,BCD,CDA,DAB называют углами четырехугольника ABCD

Четырехугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой , проходящей через две его соседние вершины

Слайд 8Текст слайда:

Задание. Среди четырехугольников, изображенных на рисунке, назовите выпуклые.

Слайд 9Текст слайда:

Теорема. Сумма углов четырехугольника равна 360º

Дано:

АBCD – четырехугольник

Доказать: ˪А+˪В+˪С+˪D=360º

Доказательство:

Диагональ BD разбивает четырехугольник на два треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме углов треугольников ABD и CBD.

Значит, ˪А+˪В+˪С+˪D=360º

Теорема доказана

Слайд 10Текст слайда:

Задание. Чему равен четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 78º, 89º и 93º?

100º

Задание. Найдите углы четырехугольника, если они равны между собой.

90º

Слайд 11Текст слайда:

Следствие. В четырехугольнике только один из углов может быть больше развернутого

Длина любой стороны четырехугольника меньше суммы длин трех остальных его сторон.

Рассмотрим произвольный четырехугольник ABCD

Проведем диагональ AC.

Применяя неравенство треугольника для сторон AB и AC соответственно треугольников ABC и ADC, получаем неравенства:

Решение..

Слайд 12Текст слайда:

Задача. Может ли у четырехугольника быть:

три прямых угла и один острый;
три прямых угла и один тупой;
четыре прямых угла;
четыре острых угла;
два прямых и два тупых угла;
два прямых угла, один острый и один тупой?

Задача. Могут ли стороны четырехугольника быть равными:

2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм;
2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?

2 урок

Скачать презентацию

Что такое shareslide.ru?

Это сайт презентаций, где можно хранить и обмениваться своими презентациями, докладами, проектами, шаблонами в формате PowerPoint с другими пользователями. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами.

Для правообладателей

Обратная связь

Email: Нажмите что бы посмотреть

Выпуклый четырехугольник признаки. Какой четырёхугольник называется прямоугольником. Список использованных источников

Свойство. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Свойство. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

прямоугольной .

средней линией трапеции . Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.

Прямоугольник

Определение.

Свойство. Диагонали прямоугольника равны.

Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Определение.

Свойство. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Определение.

Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. Поэтому он имеет все их свойства.

Свойства:
1. Все углы квадрата прямые

Четырехугольники все правила

Ключевые слова:
четырехугольник, выпуклый, сумма углов, площадь четырехугольника

Вершины четырехугольника называются соседними , если они являются концами одной из его сторон.
Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположними .
Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями .
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
Четырехугольник называется выпуклым , если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Виды четырехугольников

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны
- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые
- Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны
- Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны
Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны

противоположными. противоположными.

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Признаки параллелограмма

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой ), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции

Признаки трапеции

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба

все свойства параллелограмма;
диагонали перпендикулярны;

Признаки ромба

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Основные формулы

S =d 1 d 2 sin

Параллелограмм
a и b — смежные стороны; — угол между ними; h a — высота, проведенная к стороне a .

S = ab sin

S =d 1 d 2 sin

Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

Прямоугольник

S =d 1 d 2 sin

S = a 2 sin

S =d 1 d 2

Квадрат
d — диагональ.

www.univer.omsk.su

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.

Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Четырехугольники все правила

Четырёхугольник

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и
невыпуклые (A 1 B 1 C 1 D 1).

Виды четырёхугольников

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны параллельны;
Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.

Четырехугольник является параллелограммом, если:

Две его противоположные стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Противоположные углы попарно равны.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
диагонали равны.

Параллелограмм является прямоугольником, если:

Один из его углов прямой.
Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Параллелограмм является ромбом, если:

Две его смежные стороны равны.
Его диагонали перпендикулярны.
Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

все углы квадрата прямые;
диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Углы между сторонами неравной длины равны.
Диагонали дельтоида (или их продолжения) пересекаются под прямым углом.
В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность, кроме этого, если дельтоид не является ромбом, то существует ещё одна окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон. Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух бо́льших сторон и продолжений двух меньших сторон и окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух больших сторон.

Если угол между неравными сторонами дельтоида прямой, то в него можно вписать окружность (описанный дельтоид).
Если пара противоположных сторон дельтоида равны, то такой дельтоид является ромбом.
Если пара противоположных сторон и обе диагонали дельтоида равны, то дельтоид является квадратом. Квадратом является и вписанный дельтоид с равными диагоналями.

Систематическое построение геометрии обычно производится по следующему плану:

I. Перечисляются основные геометрические понятия, которые вводятся без определений.

II. Дается формулировка аксиом геометрии.

Происхождение названия Неевклидовой геометрии?
Какаие фигуры называются четырёхугольниками?
Свойства паралелограмма?
Виды четырехугольников?

Список использованных источников

А.Г. Цыпкин. Справочник по математике
«Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»

Над уроком работали

Что такое четырех угольник

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Виды четырехугольников

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающимся

Невыпуклым

Выпуклым

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

Параллелограмм
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Дельтоид
Контрпараллелограмм

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

|a — b| ≤ c + d

|a — c| ≤ b + d

|a — d| ≤ b + c

|b — c| ≤ a + d

|b — d| ≤ a + b

|c — d| ≤ a + b

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны .

Важно . При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.

Вконтакте

Как видно, определение довольно легко запоминающееся.

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

параллелограмм;
квадрат;
прямоугольник;
трапеция;
ромб.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

На рисунке изображена выпуклая трапеция . Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка . Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым . Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам . Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются . Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.

Итак, известны основные признаки и свойства:

сумма углов четырехугольника равна 360 градусам;
диагонали фигур пересекаются в одной точке.

Прямоугольник . Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.

Квадрат, тот же параллелограмм , но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

Трапеция — очень интересная фигура . Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

Ромб — не менее интересная фигура . Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

Виды выпуклых четырехугольников

Одна из наиболее интересных тем по геометрии из школьного курса — это «Четырехугольники» (8 класс). Какие виды таких фигур существуют, какими особыми свойствами они обладают? В чем уникальность четырехугольников с углами по девяносто градусов? Давайте разберемся во всем этом.

Какая геометрическая фигура называется четырехугольником

Многоугольники, которые состоят из четырех сторон и, соответственно, из четырех вершин (углов), называются в евклидовой геометрии четырехугольниками.

Интересна история названия этого вида фигур. В российском языке существительное «четырехугольник» образовано от словосочетания «четыре угла» (точно так же, как «треугольник» — три угла, «пятиугольник» — пять углов и т. п.).

Однако на латыни (через посредничество которой пришли многие геометрические термины в большинство языков мира) он называется quadrilateral. Это слово образовано из числительного quadri (четыре) и существительного latus (сторона). Так что можно сделать вывод, что у древних этот многоугольник именовался не иначе как «четырехсторонник».

Кстати, такое название (с упором на наличие у фигур этого вида четырех сторон, а не углов) сохранилось в некоторых современных языках. Например, в английском — quadrilateral и в французском — quadrilatère.

При этом в большинстве славянских языков рассматриваемый вид фигур идентифицируют все так же по количеству углов, а не сторон. Например, в словацком (štvoruholník), в болгарском («четириъгълник»), в белорусском («чатырохкутнік»), в украинском («чотирикутник»), в чешском (čtyřúhelník), но в польском четырехугольник именуют по количеству сторон — czworoboczny.

Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе

В современной геометрии выделяются 4 вида многоугольников с четырьмя сторонами.

Однако из-за слишком сложных свойств некоторых из них на уроках геометрии школьников знакомят только с двумя видами.

Параллелограмм (parallelogram). Противолежащие стороны четырехугольника такого попарно параллельны между собой и, соответственно, равны также попарно.
Трапеция (trapezium или trapezoid). Этот четырехугольник состоит из двух противолежащих сторон, параллельных между собой. Однако другая пара сторон не имеет такой особенности.

Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников

Помимо вышеперечисленных, существуют еще два вида четырехугольников, с которыми школьников не знакомят на уроках геометрии, из-за их особой сложности.

Дельтоид (kite) — фигура, в которой каждая из двух пар смежных сторон равна по длине между собою. Свое название такой четырехугольник получил из-за того, что по внешнему виду он довольно сильно напоминает букву греческого алфавита — «дельта».
Антипараллелограмм (antiparallelogram) — эта фигура так же сложна, как и ее название. В ней две противоположные стороны равны, но при этом они не параллельны между собою. Кроме того, длинные противоположные стороны этого четырехугольника пересекаются между собой, как и продолжения двух других, более коротких сторон.

Виды параллелограмма

Разобравшись с основными видами четырехугольников, стоит обратить внимание на его подвиды. Так, все параллелограммы, в свою очередь, тоже делятся на четыре группы.

Классический параллелограмм.
Ромб (rhombus) — четырехугольная фигура с равными сторонами. Ее диагонали пересекаются под прямым углом, деля ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.
Прямоугольник (rectangle). Название это говорит само за себя. Так как это четырехугольник с прямыми углами (каждый из них равен девяноста градусам). Противоположные стороны его не только параллельны между собою, но и равны.
Квадрат (square). Как и прямоугольник, это четырехугольник с прямыми углами, но у него все стороны равны между собой. Этим данная фигура близка к ромбу. Так что можно утверждать, что квадрат — это нечто среднее между ромбом и прямоугольником.

Особые свойства прямоугольника

Рассматривая фигуры, в которых каждый из углов между сторонами, равен девяноста градусам, стоит более внимательно остановиться на прямоугольнике. Итак, какими особенными он обладает признаками, отличающими его от других параллелограммов?

Чтобы утверждать, что рассматриваемый параллелограмм — прямоугольник, его диагонали должны быть равны между собою, а каждый из углов — прямыми. Кроме того, квадрат его диагоналей должен соответствовать сумме квадратов двух смежных сторон этой фигуры. Иными словами, классический прямоугольник состоит из двух прямоугольных треугольников, а в них, как известно, В роли гипотенузы выступает диагональ рассматриваемого четырехугольника.

Последний из перечисленных признаков этой фигуры является также ее особенным свойством. Помимо этого, есть и другие. Например, то, что все стороны изучаемого четырехугольника с прямыми углами — это одновременно и его высоты.

Кроме того, если вокруг любого прямоугольника начертить круг, его диаметр будет равен диагонали вписанной фигуры.

Среди других свойств четырехугольника этого, то, что он является плоским и в неевклидовой геометрии не существует. Это связано с тем, что в такой системе отсутствуют четырехугольные фигуры, сумма углов которых равна трехстах шестидесяти градусам.

Квадрат и его особенности

Разобравшись с признаками и свойствами прямоугольника, стоит обратить внимание на второй известный науке четырехугольник с прямыми углами (это квадрат).

Являясь по факту тем же прямоугольником, но с равными сторонами, эта фигура обладает всеми его свойствами. Но в отличие от него, квадрат присутствует в неевклидовой геометрии.

Кроме этого, у данной фигуры, есть и другие собственные отличительные черты. Например, то, что диагонали квадрата не просто равны между собою, но и пересекаются под прямым углом. Таким образом, как и ромб, квадрат состоит из четырех прямоугольных треугольников, на которые ее делят диагонали.

Помимо этого, данная фигура является самой симметричным среди всех четырехугольников.

Чему равна сумма углов четырехугольника

Рассматривая особенности четырехугольников евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на их углы.

Так, в каждой из вышеперечисленных фигур, независимо от того, есть у нее прямые углы или нет, общая сумма их всегда одинакова — триста шестьдесят градусов. Это уникальная отличительная черта этого вида фигур.

Периметр четырехугольников

Разобравшись с тем, чему равна сумма углов четырехугольника и другими особенными свойствами фигур этого вида, стоит узнать, какими формулами лучше всего пользоваться, чтобы вычислить их периметр и площадь.

Чтобы определить периметр любого четырехугольника, нужно лишь сложить между собою длину всех его сторон.

Например, в фигуре KLMN ее периметр можно вычислить по формуле: Р = KL + LM + MN + KN. Если подставить сюда числа, получится: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (см).

В случае когда рассматриваемая фигура — это ромб или квадрат, для нахождения периметра можно упростить формулу, просто помножив длину одной из его сторон на четыре: Р = KL х 4. Например: 6 х 4=24 (см).

Формулы четырехугольников площади

Разобравшись с тем, как найти периметр любого фигуры с четырьмя углами и сторонами, стоит рассмотреть наиболее популярные и простые способы нахождения ее площади.

Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности

Рассмотрев особенности и свойства четырехугольника как фигуры евклидовой геометрии, стоит обратить внимание на возможность описывать вокруг или вписывать внутри него круги:

Если суммы противолежащих углов фигуры составляют по сто восемьдесят градусов и попарно равны между собою, то вокруг такого четырехугольника можно свободно описать окружность.
Согласно теореме Птолемея, если снаружи многоугольника с четырьмя сторонами описан круг, то произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон данной фигуры. Таким образом, формула будет выглядеть так: КМ х LN = KL х MN + LM х KN.
Если построить четырехугольник, в котором суммы противоположных сторон равны между собою, то в него можно вписать круг.

Разобравшись с тем, что такое четырехугольник, что за виды его существуют, какие из них имеют только прямые углы между сторонами и какими свойствами они обладают, стоит запомнить весь этот материал. В особенности формулы нахождения периметра и площади рассмотренных многоугольников. Ведь фигуры такой формы — одни из самых распространенных, и эти знания могут пригодиться для вычислений в реальной жизни.

Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости — FINDOUT.SU

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности

План:

4. Треугольники, четырехугольники, многоугольники. Формулы площадей треугольника, прямоугольника, параллелограмма, трапеции.

5. Окружность, круг.

Треугольники

Треугольник – одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку – тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником ( или плоским треугольником).

В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Углом треугольника АВС при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противоположную сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющей вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольники называются равными, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны. При этом соответствующие углы должны лежать против соответствующих сторон.

На практике и в теоретических построениях часто пользуются признаками равенства треугольников, обеспечивающих более быстрое решение вопроса об отношениях ме5жду ними. Таких признаков три:

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Равнобедренные треугольники обладают рядом свойств, например:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Отметим несколько свойств треугольников.

1. Сумма углов треугольника равна 180º.

Из этого свойства следует, что в любом треугольнике хотя бы два угла острые.

2. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

3. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

Для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки – его сторонами.

Любой четырехугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называется четырехугольником (или плоским четырехугольником).

Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими. У четырехугольника АВСD вершины А и В – противолежащие, стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD – противолежащие; отрезки АС и ВD – диагонали данного четырехугольника.

В С Р М Т

А D К

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD – выпуклый, а четырехугольник КРМТ – невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Пусть АВСD – параллелограмм. Из вершины В на прямую АD опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок

А Е D

СМ – высота параллелограмм, соответствующая сторонам СD и АВ.

Чтобы упростить распознавание параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.

Ряд свойств параллелограмма, которые не содержатся в его определении, формулируют в виде теорем и доказывают. Среди них:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы равны.

Рассмотрим теперь определение трапеции и ее основное свойство.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции обладает свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Исходя из этого определения, можно доказать, что диагонали прямоугольника равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Из множества прямоугольников выделяют квадраты.

Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.

Так как стороны квадрата равны, то он является также ромбом. Следовательно, квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Многоугольники

Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие многоугольника. Определяется оно через понятие ломаной.

Ломаной А₁А₂А₃…Аn называется фигура, которая состоит из точек А₁, А₂, А₃, …, Аn и соединяющих их отрезков А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn. Точки А₁, А₂, А₃, …, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки А₁А₂, А₂А₃, …, Аn-₁Аn – ее звеньями.

Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой. О ломаных, изображенных на рисунке можно сказать: а) – простая; б) – простая замкнутая; в) – замкнутая ломаная, не являющаяся простой.

а) б) в)

Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев.

Известно, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы.

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Вершины ломаной называют вершинами многоугольника, а ее звенья – его сторонами. Отрезки, соединяющие несоседние вершины, называются диагоналями.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).

Различают выпуклые и невыпуклые многоугольники.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником – квадрат.

Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образуемый его сторонами, сходящимися в этой вершине.

Известно, что сумма углов выпуклого n-угольника равна 180º• (n – 2).

В геометрии, кроме выпуклых и невыпуклых многоугольников, рассматривают еще многоугольные фигуры.

Многоугольной фигурой называется объединение конечного множества многоугольников.

а) б) в)

Многоугольники, из которых состоит многоугольная фигура, могут не иметь общих внутренних точек, могут иметь общие внутренние точки.

Говорят, что многоугольная фигура F состоит из многоугольных фигур, если она является их объединением, а сами фигуры не имеют общих внутренних точек. Например, о многоугольных фигурах, изображенных на рисунке а) и в), можно сказать, что они состоят из двух многоугольных фигур или что они разбиты на две многоугольные фигуры.

Окружность и круг

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние – радиусом круга.

Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.

Напомним некоторые свойства окружности и круга.

Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности – точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Справедливо и обратное утверждение (рис. а).

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис.б).

а) б) в)

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность (рис.в).

Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла. В частности, углы, опирающиеся на диаметр – прямые.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон (рис.а).

а) б)

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Правило нахождения центра такой окружности обосновывается теоремой:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис.б)

Таким образом, серединные перпендикуляры и биссектрисы пересекаются в одной точке соответственно. В геометрии доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот – ортоцентром.

Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре замечательные точки: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр.

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

Gr7 Математика

В этой главе вы узнаете о различных видах 2D-фигур. Вы узнаете имена, данные разные формы. Вы также узнаете о различных свойствах, которые разные типы фигур имеют по отношению к своим сторонам и углам.

Треугольники, четырехугольники, окружности и др.

Решите, что есть что, и нарисуйте несколько фигур

Треугольник представляет собой замкнутую фигуру с тремя прямыми сторонами и тремя углами.

Четырехугольник имеет четыре прямые стороны и четыре угла.

Круг круглый, и край всегда находится на одном и том же расстоянии от центра.

Какие фигуры на противоположной странице круги?
Какие фигуры на противоположной странице треугольники?
Какие фигуры на противоположной странице четырехугольники?
Используйте линейку, чтобы сделать следующее:
Сделать рисунок одного треугольника с тремя острыми углами и другого треугольника с одним тупой угол.
1. Начерти четырехугольник с двумя тупыми углами.
2. Можете ли вы начертить треугольник с двумя тупыми углами?
1. Нарисуйте треугольник с одним прямым углом и треугольник без прямых углов.
2. Можешь нарисовать треугольник с двумя прямыми углами?
3. Можешь нарисовать четырехугольник с четырьмя прямыми углами?
Эти четыре линии образуют четырехугольник АВСD.

Две красные стороны, ВС и AD, называются противоположными сторонами четырехугольника ABCD.
Какие две другие стороны ABCD также являются противоположными сторонами?
Линии DA и AB на рисунке в вопрос 7 называется смежные стороны . Они встречаются в точке, которая является одной из вершины (угловые точки) четырехугольника.
1. Назовите еще двоих смежные стороны в ABCD.
2. AB примыкает к DA в четырехугольнике ABCD. Какая другая сторона ABCD также примыкает к DA?
Уильям говорит:
«Каждая сторона четырехугольника имеет две смежные стороны.
Каждая сторона четырехугольника также имеет две противоположные стороны.»
Прав ли Уильям? Обоснуйте свой ответ.
Уильям также говорит:
«В треугольнике каждая сторона смежна со всеми остальными сторонами.»
Это правда? Обоснуйте свой ответ.
В каждом случае укажите, две стороны являются противоположными сторонами или смежными сторонами четырехугольника PQRS.
1. QP и PS
2. QP и SR
3. PQ и RQ
4. PS и QR
5. SR и QR

Различные виды треугольников

Равнобедренные, равнобедренные, разносторонние и прямоугольные треугольники

Треугольник с двумя равными сторонами называется равнобедренный треугольник .

Треугольник с тремя равными сторонами называется равносторонним треугольником .

Треугольник с прямым углом называется прямоугольным треугольником .

Треугольник с тремя сторонами разной длины и без прямого угла называется разносторонним треугольником .

Измерьте каждый угол в каждом из равнобедренных треугольников , указанных выше. Делать вы заметили что-нибудь особенное? Если вы не уверены, нарисуйте больше равнобедренных треугольников. в вашей тетради.
Измерьте углы и стороны следующие треугольники. Что особенного в этих треугольниках? Другими словами, что чем эти треугольники отличаются от других треугольников?

Эти треугольники называются равносторонними треугольниками .
1. Измерьте каждый угол в каждом из следующих треугольников. Вы заметили что-то особенное в этих углах?
2. Определить самый длинный стороны в каждом из треугольников. Если вы не уверены, какой из них самый длинный сторону, измерьте стороны. Что вы заметили относительно самой длинной стороны в каждом из эти треугольники?

Эти треугольники называются прямоугольными треугольниками .

Сравнение и описание треугольников

Когда две или более сторон фигуры равны по длине, мы показываем это короткими линиями на равных сторонах.

Используйте треугольники, чтобы ответить на следующие вопросы:
1. Какой у треугольника только две равные стороны?
  Как называется этот тип треугольника?
2. В каком треугольнике есть все три стороны равны?
  Как называется этот тип треугольника?
3. Какой треугольник имеет угол равен 90°?
  Как называется этот тип треугольника?
Запишите тип каждого из следующих треугольников в пространстве предоставлено:

Нахождение неизвестных сторон в треугольниках

1. Назовите каждый тип треугольника ниже.
2. Используйте данную информацию для определить длину следующих сторон:
  АВ:
  до н.э.:
  ЭФ:
3. Можете ли вы определить длины GH и HI? Поясните свой ответ.
Площадь в углу ул. \(\triangle\)JKL показывает, что это прямой угол. Назовите причину каждого вашего ответы ниже.
1. Это треугольник разносторонний, равнобедренный или равносторонний?
2. Назовите две стороны треугольника, которые равный.
3. Какова длина JK?
4. Назовите два равных угла в этом треугольнике.
5. Какой размер \(\шляпа{J}\) и \(\шляпа{L}\) ?

Различные типы четырехугольников

Исследование четырехугольников

Два на следующих страницах показаны различные группы четырехугольников.
1. В котором группы обе пары противоположных сторон параллельны?
2. В каких группах только некоторые смежные стороны равны?
3. В каких группах все четыре углы равны?
4. В каких группах находятся все стороны в каждом четырехугольнике равны?
5. В каких группах все четыре стороны равны?
6. В каких группах находится каждая сторона перпендикулярно примыкающим к ней сторонам?
7. В каких группах противоположны стороны равны?
8. В каких группах есть хотя бы один пара смежных сторон равны?
9. В каких группах есть хотя бы один пара противоположных сторон параллельна?
10. В каких группах находятся все углы прямые?
Цифры в группе 1 называются параллелограммов .
1. Что вы наблюдаете о противоположных сторонах параллелограмма?
2. Что вы заметили относительно углов параллелограммы?
Цифры в группе 2 называются воздушных змеев .
1. Что вы наблюдаете о боках воздушных змеев?
2. Что еще вы заметили в воздушных змеях?
Группа 1

Группа 2

Группа 3

Группа 4

Группа 5

Группа 6
Цифры в группа 3 называется ромбами .
1. Что вы наблюдаете о сторонах ромба?
2. Что еще вы заметили в ромбах?
Примечание: Один ромб ; два или более ромбов .
Цифры в группе 4 называются прямоугольников .
1. Что вы наблюдаете о противоположных сторонах прямоугольников?
2. Что вы заметили относительно углов прямоугольники?
3. Что вы наблюдаете на соседних сторонах прямоугольники?
Цифры в группе 5 называются трапеции . Что вы наблюдаете о противоположных сторонах трапеции?
Стрелки показывают, какие стороны параллельны друг другу.
Цифры в группе 6 называются квадратов .
1. Что вы наблюдаете о сторонах квадратов?
2. Что вы заметили относительно углов квадраты?

Сравнение и описание форм

Наименование каждой формы в каждой группе.
Группа А
Группа Б
Каким(и) способом(ами) одинаковы ли цифры в каждой группе?
Группа А:
Группа Б:
Каким образом одна из фигур в каждой группе отличаются от двух других цифр в группе?
Группа А:
Группа Б:

Нахождение неизвестных сторон четырехугольников

w3.org/1999/xhtml»> Используйте свои знания о сторонах и углах четырехугольников, чтобы ответить на следующие вопросы. Обоснуйте свои ответы.

1. Четырехугольник ABCD какого типа?
2. Назовите сторону, равную АВ.
3. Какова длина BC?
1. Какой тип четырехугольника EFGH?
2. Какова длина следующих сторон?
  EF:
  GH:
1. Какой тип четырехугольника JKLM?
2. Какова длина JK?
Фигура PQRS — воздушный змей с PQ = 4 см и QR = 10 см. Завершите следующий чертеж:
1. маркировка вершин воздушного змея
2. с указанием на чертеже, какие стороны равны
3. с указанием длины каждой стороны.

Круги

1. Поставьте точку в середине круга справа. Напишите букву М рядом с точкой. Если ваша точка находится в середине круга, она называется 9.0009 середина или середина .
2. Проведите линии MA, MB и MC от M до красных точек A, B и C.
три красные точки находятся на окружности с серединой М.
Прямая линия, такая как AC, проведенная через окружности и проходящий через ее середину, называется диаметром круг.
Измерение MA, MB и MC.
Если MA, MB и MC равны по длине, вы правильно выбрали среднюю точку. Если они не равны, вы можете улучшить набросок круга и его частей.

Прямая линия от середины окружности до точка на окружности называется радиусом окружности.

Синяя линия, MA, представляет собой радиус . Любая прямая, идущая от центра к окружности, радиус.

Черная линия AB соединяет две точки окружности. Мы называем это аккордом круг.

В На следующих двух диаграммах цветные участки — это сегментов круг. Сегмент – это площадь между хордой и дугой.

В круге справа красная часть называется сектором круга. Как видите, сектор — это область между двумя радиусами и дугой.

Подобные и конгруэнтные фигуры

На этой и следующей странице показаны три группы четырехугольников.

Чем каждая группа отличается от других групп, кроме цвета?

Группа А:
Группа Б:
Группа С:
Группа А
Группа Б

Группа С
Фигуры, имеющие одинаковую форму, например синие фигуры на предыдущей странице, считаются похожими друг на друга. Похожие фигуры могут отличаться по размеру, но всегда будут иметь одинаковую форму.
Пример похожих форм
Пример конгруэнтных форм
Фигуры одинаковой формы и размера, такие как красные фигуры на предыдущей странице, считаются на конгруэнтными на друг другу. Эти фигуры всегда одного размера и формы.
Красные фигуры на предыдущей странице похожи друг на друга?
Посмотрите на группы D, E, F и G на этом страница и след. В каждом случае скажите, подобны ли фигуры и конгруэнтный, подобный, но не конгруэнтный, или ни похожий, ни конгруэнтный.
1. Группа Д:
2. Группа Е:
3. Группа F:
4. Группа G:
Группа D
Группа Е

Группа F

Группа G

четырехугольник его виды, площадь и периметр

Введение

Четырехугольник — плоская замкнутая фигура, образованная соединением четырех отрезков. Это многоугольник с четырьмя сторонами. Четырехугольник имеет четыре стороны, четыре вершины и четыре угла.

Четырехугольник

На приведенном выше рисунке ABCD представляет собой четырехугольник с четырьмя отрезками AB, BC, CD и DA. AB, BC, CD и DA называются стороной четырехугольника ABCD. Также A, B, C и D называются вершинами четырехугольника.

Четырехугольник ABCD имеет четыре угла, а именно. \(\угол DAB\), \(\угол ABC\), \(\угол BCD\) и \(\угол CDA\). Мы можем записать эти углы как \(\угол A\), \(\угол B\), \(\угол C\) и \(\угол D\) соответственно.

Что такое смежные стороны четырехугольника?

Две стороны четырехугольника называются смежными сторонами , если они пересекаются в общей конечной точке. На приведенном выше рисунке стороны AB и BC являются смежными сторонами четырехугольника ABCD, поскольку они имеют общую конечную точку B. Кроме того, стороны BC и CD являются смежными сторонами четырехугольника ABCD, поскольку они имеют общий конец C. CD и DA являются смежными сторонами четырехугольника ABCD, поскольку имеют общий конец D. DA и AB также являются смежными сторонами четырехугольника ABCD, поскольку они имеют общий конец A.

Что такое противоположные стороны четырехугольника?

Стороны четырехугольника называются противоположными сторонами , если они не имеют общего конца. Опять же, ссылаясь на вышеупомянутый четырехугольник ABCD, AB и CD являются противоположными сторонами, потому что они не имеют общей конечной точки. Кроме того, AD и BC также являются противоположными сторонами четырехугольника ABCD, потому что они также не имеют общего конца.

Что такое Диагонали четырехугольника?

Отрезок, соединяющий противоположные вершины четырехугольника, называется его 9.0831 диагональ .

Диагонали четырехугольника

В приведенном выше четырехугольнике ABCD, AC и BD являются двумя диагоналями четырехугольника.

Почему?

Поскольку отрезок AC соединяет две противоположные вершины A и C и, следовательно, AC является диагональю четырехугольника ABCD. Точно так же отрезок BD соединяет две противоположные вершины B и D, что делает BD диагональю четырехугольника ABCD.

Какие есть виды четырехугольников, их периметр и площадь?

Поскольку количество сторон четырехугольника всегда фиксировано, то есть четыре, поэтому типы четырехугольника классифицируются в зависимости от того, как различаются длины четырех сторон и насколько наклонены стороны.

Периметр

Периметр любой плоской фигуры равен длине ее границы. Другими словами, мы можем сказать, что периметр — это длина границы четырехугольника, и он рассчитывается путем сложения длин всех сторон четырехугольника. Периметр измеряется в тех же единицах, что и длина, т. е. в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах и т. д.

Пример

Примером расчета периметра является то, как долго бегун должен бегать по игровой площадке прямоугольной формы, чтобы закончить один раунд. Бегун должен объехать границу прямоугольника и закрыть все стороны. Значит, пройденное им расстояние будет равно сумме всех сторон прямоугольника, который называется периметром.

Зона

Площадь любой плоской фигуры равна площади поверхности, ограниченной ее сторонами. Разберем на примере:

Пример

Пример расчета площади — это площадь, которую нужно закрасить на одной боковой поверхности деревянной доски прямоугольной формы. Если нам нужно покрасить обе стороны прямоугольной доски, то нужно будет покрасить две поверхности, что создаст две области доски для окрашивания.

Давайте посмотрим на очень распространенные типы четырехугольников и как рассчитать их периметр и площадь.

Параллелограмм

Четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны, называется параллелограмм . Кроме того, противоположные стороны параллелограмма равны.

Параллелограмм

На приведенном выше рисунке ABCD является параллелограммом, потому что противоположные стороны AB и CD параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Кроме того, AD и BC параллельны друг другу и имеют одинаковую длину. Или мы можем записать их как:

АВ = CD и АВ || CD. Кроме того, AD = BC и AD || БК

Следовательно, приведенный выше четырехугольник ABCD является параллелограммом .

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, а две диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Параллелограмм

В приведенном выше параллелограмме ABCD две диагонали AC и BD делят друг друга пополам в точке O. Следовательно, OA=OC и OB=OD.

Периметр параллелограмма

Параллелограмм с двумя параллельными сторонами a, b и высотой h

Периметр параллелограмма рассчитывается путем сложения длин всех сторон.

Параллелограмм на рисунке выше имеет две параллельные стороны a, b и высоту h. Мы можем записать это как:

Периметр \(= a + b + a + b\) \(= 2a + 2b\) \(= 2(a + b)\)

Формула

Периметр параллелограмма \(= 2(a + b)\)

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма вычисляется путем умножения его длины основания и высоты h.

Итак, площадь параллелограмма \(= основание \умножить на высоту\) \(= b \умножить на h\)

Формула

Площадь параллелограмма \(= b \×h\)

Прямоугольник

Четырехугольник, в котором обе пары противоположных сторон параллельны, равны по длине и каждый из четырех углов равен \(90\)

Диагонали прямоугольника всегда равны по длине и делят друг друга пополам.

Прямоугольник

На приведенном выше рисунке AC = BD, так как диагонали прямоугольника равны по длине. И OA = OC, и OB = OD, потому что диагонали прямоугольника делят друг друга пополам.

Периметр прямоугольника

Прямоугольник длиной l и шириной b

Периметр прямоугольника вычисляется путем сложения длин всех сторон. Прямоугольник на рисунке выше имеет длину l и ширину b. Следовательно, периметр будет суммой длин его четырех сторон.

Мы можем записать это как:

Периметр \(= l + b + l + b\) \(= 2l + 2b\) \(= 2(l + b)\)

Формула

Периметр прямоугольника \(= 2(l + b)\)

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется путем умножения его длины на ширину. Итак, площадь квадрата \(=длина\ширина\)

\(=l\хb\)

Формула

Площадь квадрата \(= l \times b\)

Квадрат

Четырехугольник, у которого все стороны параллельны, равны и каждый из его углов равен 90\).

Диагонали квадрата равны по длине и делят друг друга пополам под прямым углом.

Диагонали квадрата

На приведенном выше рисунке AC и BD являются диагоналями квадрата ABCD и пересекаются в точке O. Обе диагонали равны по длине. т. е. АС = BD.

Обе диагонали делят друг друга пополам. т. е. OA = OC и OB = OD

Обе диагонали пересекаются друг с другом под прямым углом. т. е. \(\угол AOB\) = \(\угол BOC\) = \(\угол COD\) = \(\угол AOD\) = \(90\)

Периметр квадрата

Квадрат с длиной четырех сторон l

Периметр квадрата рассчитывается путем сложения длин всех сторон.

Четыре стороны квадрата на рисунке выше имеют длину l. Следовательно, периметр будет суммой длин его четырех сторон. Мы можем записать это как:

Периметр \(= l + l + l + l = 4l\)

Периметр квадрата также можно вычислить, умножив 4 на длину l квадрата. Таким образом, периметр также можно рассчитать как: 9{2}\)

Ромб

Четырехугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны и все четыре стороны равны по длине, называется ромбом . Ромб также называют равносторонним четырехугольником .

Ромб

На приведенном выше рисунке ABCD является ромбом, потому что AB || CD, Британская Колумбия || AD и AB = BC = CD = DA. Диагонали ромба делятся пополам под прямым углом.

Диагонали ромба

На приведенном выше рисунке диагонали AC и BD делят друг друга пополам под прямым углом. т. е. OA = OC и OB = OD. \(\угол AOB\) = \(\угол BOC\) = \(\угол COD\) = \(\угол AOD\) = \(90\)

Диагонали биссектрисы ромба

Кроме того, на рисунке выше, диагонали ромба делят пополам углы ромба в вершинах. т. е. \(\угол 1\) = \(\угол 2\), \(\угол 3\) = \(\угол 4\), \(\угол 5\) = \(\угол 6\) и \(\угол 7\) = \(\угол 8\)

Периметр ромба

Прямоугольник длиной l и шириной b

Периметр ромба вычисляется суммированием длин всех его сторон. Ромб на рисунке выше имеет длину всех сторон a, потому что длины всех сторон ромба всегда равны. Следовательно, периметр будет суммой длин его четырех сторон. Мы можем записать это как: 9{2}}\)

Площадь ромба

Площадь ромба вычисляется путем умножения длины его основания на высоту h.

Итак, площадь ромба \(= основание \высота\) \(= a x h)

Площадь ромба также рассчитывается по длине двух диагоналей.

Площадь ромба \(= \frac{1}{2} \times d1 \times d2\)

Формула

Площадь ромба \(= a \×h\)

Площадь ромба \(= \frac{1}{2} \times d1 \times d2\)

Трапеция

Четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна, называется трапецией .

Трапеция

На приведенном выше рисунке ABCD является трапецией, потому что AB || CD, AD и BC непараллельны.

Равнобедренная трапеция

Если две непараллельные стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной трапецией .

Равнобедренная трапеция

В приведенной выше равнобедренной трапеции ABCD, AB || CD и непараллельные стороны BC и AD равны по длине, т. е. BC = AD.

В равнобедренной трапеции углов при основании равны по величине . то есть \(\угол A\) = \(\угол B\) и \(\угол C\) = \(\угол D\)

В равнобедренной трапеции диагоналей равны по длине . т. е. АС = BD.

Периметр трапеции

Трапеция со сторонами a, b, c, d и высотой h

Периметр трапеции вычисляется путем сложения длин всех сторон.

Трапеция на рисунке выше имеет стороны a, b, c, d и высоту h. Мы можем записать это как:

Периметр \(= a + b + c + d\)

Формула

Периметр трапеции \(= a + b + c + d\)

Площадь трапеции

Площадь трапеции \(= \frac{1}{2}(сумма \; параллелей \; сторон) \times h\) \(= \frac{1}{2}(a + b) \time height \)

Формула

Площадь трапеции \(= \frac{1}{2}(a + b) \times h\)

Воздушный змей

Четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны, называется змеем .

Воздушный змей

На приведенном выше рисунке ABCD — воздушный змей, потому что AB = BC, а CD = DA.

Свойства, определение, типы, площадь, примеры, часто задаваемые вопросы

Четырехугольники могут быть определены как типы многоугольников, которые имеют четыре стороны, четыре вершины и четыре угла, а также пару диагоналей. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Существуют различные виды четырехугольников; сами формы четырехугольника объясняют, какой это тип четырехугольника. Как следует из самого названия, это слово представляет собой комбинацию двух латинских слов «9».0831 Quadri ‘означает вариант из четырех, а ‘ latus ’ означает боковой.

Четырехугольник Определение

Четырехугольник определяется как многоугольник, имеющий 4 стороны, 4 угла и 4 вершины. Четырехугольник — это тип многоугольника, в котором стороны определены в правильном порядке. Например, на приведенной ниже диаграмме четырехугольник можно определить как ABCD, ADCB, BCDA, CDAB и т. д. Его нельзя определить как ACBD или BDAC. Здесь стороны четырехугольника AB, BC, CD и DA, а диагонали AC и BD.

Свойства четырехугольника

Четырехугольник имеет несколько свойств, отличающих его от правильного многоугольника. Различные типы четырехугольников имеют особые свойства для четырехугольника. Однако все свойства четырехугольников действительны для различных типов четырехугольников. Свойства четырехугольника:

Четырехугольник имеет 4 стороны.
Четырехугольник имеет 4 вершины.
Четырехугольник имеет 4 угла.
Четырехугольник имеет 2 диагонали.
Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

Четырехугольники бывают разных типов, и все они имеют разную форму. Четырехугольные формы многое объясняют в их свойствах; просто взглянув на четырехугольники, можно увидеть их различия и качества.

Типы четырехугольников

Типы четырехугольников в зависимости от их свойств подразделяются на другие группы, и основное подразделение четырехугольников находится между выпуклые и вогнутые четырехугольники. Эти вогнутые и выпуклые четырехугольники можно дополнительно разделить на их подразделения.

Вогнутые четырехугольники

Четырехугольники, у которых один внутренний угол больше 180° и одна диагональ лежит вне четырехугольника, называются вогнутыми четырехугольниками. Одним из примеров вогнутого четырехугольника является дротик . Это четырехугольник с двусторонней симметрией, как у воздушного змея, но с рефлекторным внутренним углом.

Здесь, на приведенном ниже изображении, один из внутренних углов четырехугольника равен 210°, что больше 180°. Следовательно, четырехугольник является вогнутым четырехугольником.

Выпуклые четырехугольники

Четырехугольники, у которых все четыре внутренних угла меньше 180°, называются вогнутыми четырехугольниками. Существуют различные типы выпуклых четырехугольников:

Трапеция
Воздушный змей
Параллелограмм
Прямоугольник
Ромб
Квадрат

Трапеция

Трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. У правильной трапеции непараллельные стороны равны, а углы при основании равны. Площадь трапеции равна 1/2 × сумма параллельных сторон × расстояние между ними.

Стороны трапеции, параллельные друг другу, называются основаниями трапеции. На изображении выше AB и CD являются основанием трапеции.
Непараллельные стороны трапеции называются катетами. На изображении выше AD и BC — это ноги.

Воздушный змей

Воздушный змей имеет две пары равных смежных сторон и одну пару противоположных углов равных. Диагонали воздушных змеев пересекаются перпендикулярно. Самая длинная диагональ воздушного змея делит меньшую пополам.

Воздушный змей имеет две пары равных смежных сторон. Например, AC = BC и AD = BD.
Тупые внутренние противоположные углы равны; здесь ∠A = ∠B.
Диагонали воздушного змея перпендикулярны друг другу; здесь AB перпендикулярна CD.
Более длинная диагональ воздушного змея делит пополам более короткую диагональ. Здесь CD делит AB пополам.

Параллелограмм

Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны, называется параллелограммом. Противоположные углы параллелограмма равны, а его диагонали делят друг друга пополам.

Противоположные стороны параллелограмма параллельны и равны. В приведенном выше примере AB и CD параллельны и равны, а AC и BD параллельны и равны.
Противоположные углы параллелограмма равны. ∠А = ∠D и ∠В = ∠С.
Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Прямоугольник

Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны, а все внутренние углы равны 90°, определяется как прямоугольник. Диагонали прямоугольников делят друг друга пополам. Обратите внимание, что все прямоугольники являются параллелограммами, но обратное утверждение неверно. Площадь прямоугольника длина × ширина.

Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны. В приведенном выше примере AB и CD параллельны и равны, а AC и BD параллельны и равны.
Все 4 угла прямоугольника равны и равны 90°. ∠А = ∠В = ∠С = ∠D = 90°.
Диагонали прямоугольника делят друг друга пополам и диагонали прямоугольника равны, здесь AD = BC.

Ромб

Четырехугольник, у которого все стороны равны, а противоположные стороны параллельны, называется ромбом. Противоположные углы ромба равны, а диагонали ромба пересекаются перпендикулярно. Обратите внимание, что все ромбы являются параллелограммами, но обратное утверждение неверно.

Все 4 стороны ромба равны. АВ = ВС = CD = AD.
Противоположные стороны ромба параллельны и равны. На изображении выше AB параллельна CD, а AD параллельна BC.
Диагонали ромба Делят друг друга пополам под углом 90°.

Квадрат

Четырехугольник, у которого все стороны равны, а противоположные стороны параллельны, а все внутренние углы равны 90°, называется квадратом. Диагонали квадратов делят друг друга пополам перпендикулярно. Обратите внимание, что все квадраты являются ромбами, но не наоборот.

Все четыре стороны квадрата равны друг другу.
Внутренние углы квадрата равны 90°.
Диагонали квадрата делятся пополам под углом 90°.
В квадрате противоположные стороны параллельны, а соседние стороны перпендикулярны.

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника определяется как площадь, занимаемая четырехугольником в двумерном пространстве. Различные типы четырехугольников имеют разные формулы для соответствующей площади. Ниже приведенная таблица показывает формулу площади каждого типа четырехугольника:

Периметр четырехугольника

Периметр четырехугольника равен сумме всех его сторон. Для разных четырехугольников формула периметра отличается, поскольку они отображают разные характеристики. Ниже приведены формулы для различных четырехугольников.

Четырехугольник	Формула периметра
Параллелограмм	2 (основание + сторона) 1326	Прямоугольник	2 (длина + ширина)
Ромб	4 × Стоя
кв.	4 × Стоя
	4 × СТОРОНА
4 × СТОРОНА
4 × СТОРОНА
4 × СТОРОНА
4 ×
4. соседние пары.

Решенные примеры для четырехугольника

Пример 1. Периметр четырехугольника ABCD равен 46 единицам. AB = x + 7, BC = 2x + 3, CD = 3x – 8, DA = 4x – 6. Найдите длину наименьшей стороны четырехугольника.

Решение :

Периметр = сумма всех сторон
= 46 = 10x – 4 или [x = 5]
Получается, AB = 12 единиц, BC = 13 единиц, CD = 7 единиц DC = 14 единиц
Следовательно, длина самой короткой стороны равна 7 единицам (т. е. CD).

Пример 2: Дана трапеция ABCD (AB || DC) с медианой EF. AB = 3x – 5, CD = 2x -1 и EF = 2x + 1. Найдите значение EF.

Решение :

Мы знаем, что медиана трапеции равна половине суммы ее оснований.
= EF = (AB + CD) / 2
= 4x + 2 = 5x – 6 или [x = 8]
Следовательно, EF = 2x + 1 = 2(8) + 1 => EF = 17 единиц.

Пример 3: В параллелограмме смежные углы относятся как 1:2. Найдите величины всех углов этого параллелограмма.

Решение:

Пусть смежный угол равен x и 2x.
Мы знаем, что в параллелограмме смежные углы смежные.

= x + 2x = 180° или [x = 60°]
Кроме того, в параллелограмме противоположные углы равны.
Следовательно, размеры каждого угла равны 60°, 120°, 60°, 120°.

Пример 4: Периметр ромба 52 единицы, а длина одной его диагонали 24 единицы. Найдите длину другой диагонали.

Решение:

Дано: периметр = 52 единицы.
Длина диагонали (скажем, AC) = 24 единицы.
Мы знаем, что у ромба все четыре стороны равны.
= АВ + ВС + CD + DA = 52.
= 4(АВ) = 52 = АВ = 13 единиц.
Также диагонали ромба делят друг друга пополам перпендикулярно. Следовательно, на данном рисунке AE = EC и BE = ED и ∠AEB = 90°.
Применение теоремы Пифагора в ∆AEB,(∠AEB = 90°)
= (AB) ² = (AE) ² + (EB) ²
= (13) 2914 12) ² + (ЭБ) ²
= (EB) ² = 169 – 144 = 25
= EB = 5 единиц.
Так как AC = 2 × EB = 10 единиц.
Следовательно, необходимая длина другой диагонали ромба равна 10 единицам .

Часто задаваемые вопросы о четырехугольнике

Вопрос 1: Что такое четырехугольник?

Ответ:

Четырехугольник можно определить как тип многоугольника, который имеет четыре стороны, четыре вершины и четыре угла вместе с парой диагоналей. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°.

Вопрос 2: Объясните золотой четырехугольник.

Ответ:

Золотой четырехугольник — знаменитый термин, которым обозначают национальную магистраль, соединяющую основные штаты и промышленные, сельскохозяйственные и культурные центры Индии. На карте шоссе имеет форму четырехугольника.

Вопрос 3: Чему равна сумма внутренних углов четырехугольника?

Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360°. Тот же случай применим ко всем четырехугольникам.

Вопрос 4: Как найти площадь четырехугольника?

Ответ:

Площадь четырехугольника определяется как пространство, покрываемое четырехугольником в двумерном пространстве. Различные типы четырехугольников имеют разные формулы площади в зависимости от их свойств. Например, площадь квадрата равна a ², где a — длина стороны, площадь прямоугольника — l × b, где l и b — длина и ширина соответственно и т. д.

Вопрос 5: Что такое вписанный четырехугольник?

Ответ:

Вписанный четырехугольник определяется как четырехугольник, в котором все четыре вершины четырехугольника лежат на окружности окружности.

Общие многоугольники — макеты

Автор: Марк Зегарелли и

Обновлено: 06.07.2021

Из книги: Базовая математика и предварительная алгебра для чайников

Основы математики и предварительная алгебра для начинающих Купить на Amazon

Треугольники

Равносторонний: Равносторонний треугольник имеет три стороны одинаковой длины и три угла по 60 градусов.
Равнобедренные: Равнобедренный треугольник имеет две стороны одинаковой длины и два равных угла.
Scalene: Scalene треугольники имеют три стороны разной длины и три неравных угла.
Право: Прямоугольный треугольник имеет один прямой угол. Он может быть равнобедренным или разносторонним.

Четырехугольники

Квадрат: Квадрат имеет четыре прямых угла и четыре стороны одинаковой длины; кроме того, обе пары противоположных сторон (стороны прямо напротив друг друга) параллельны.
Прямоугольник: Как и квадрат, прямоугольник имеет четыре прямых угла и две пары параллельных противоположных сторон. Однако, в отличие от квадрата, хотя противоположные стороны равны по длине, стороны, имеющие общий угол — смежных сторон — могут иметь разную длину.
Ромб: Представьте, что вы начинаете с квадрата и сворачиваете его, как если бы его углы были шарнирами. Эта фигура называется ромб . Все четыре стороны равны по длине, и обе пары противоположных сторон параллельны.
Параллелограмм: Представьте, что вы начинаете с прямоугольника и сворачиваете его, как если бы углы были шарнирами. Эта фигура представляет собой параллелограмм — обе пары противоположных сторон равны по длине, и обе пары противоположных сторон параллельны.
Трапеция: Единственной важной особенностью трапеции является то, что по крайней мере две противоположные стороны параллельны.
Воздушный змей: Воздушный змей — это четырехугольник с двумя парами смежных сторон одинаковой длины.
Равнобедренная трапеция: Трапеция, у которой непараллельные стороны ( катеты ) конгруэнтны

В иерархии четырехугольников, показанной на рисунке выше, четырехугольник, находящийся ниже другого на генеалогическом древе, является частным случаем четырехугольника над ним. Прямоугольник, например, является частным случаем параллелограмма. Таким образом, вы можете сказать, что прямоугольник — это параллелограмм, но не то, что параллелограмм — это прямоугольник (параллелограмм только иногда бывает прямоугольником).

Многоугольники на стероидах — большие многоугольники

Правильный многоугольник имеет равные стороны и равные углы. Наиболее распространены правильные пятиугольники (пять сторон), правильные шестиугольники (шесть сторон) и правильные восьмиугольники (восемь сторон).

Каждый второй многоугольник равен неправильный многоугольник .

Об этой статье

Эта статья из книги:

Базовая математика и предварительная алгебра для чайников,

Об авторе книги:

Марк Зегарелли с обеими степенями английского языка — профессиональный писатель и математика из Университета Рутгерса. Он зарабатывал себе на жизнь в течение многих лет написанием огромного количества логических головоломок, большим количеством документации по программному обеспечению и редкими рецензиями на книги или фильмы. Попутно он также оплатил несколько счетов за уборку дома, декоративную роспись и (в течение десяти часов) розничные продажи. Хотя больше всего ему нравится писать.

Эту статью можно найти в категории:

Базовая математика,

Четырехугольник, Математика образовательных приложений для мобильных телефонов

Четырехугольник

1. Классификация четырехугольников
Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя сторонами.
На рисунке 2 мы видим, что его противоположные стороны параллельны. Сторона АВ параллельна стороне DC. DA и CB также параллельны. Этот четырехугольник называется параллелограммом.
У фигуры 3 две параллельные стороны: AB с CD. Но две другие стороны не параллельны. Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.
Фигура 1 не имеет параллельных сторон и называется трапецией.

Ответьте на эти вопросы:

Фигура А представляет собой…
Фигура B представляет собой…
Фигура С представляет собой…

2. Классификация параллелограммов

Параллелограммы – это четырехугольники, у которых противоположные стороны параллельны. Мы можем выделить четыре класса:
1. Ромбоид: у него нет прямых углов и прилежащие стороны неравны.
2. Прямоугольник: у него четыре прямых угла и прилежащие стороны не равны.
3. Ромб: у него нет прямых углов и стороны равны.
4. Квадрат: у него четыре прямых угла и их стороны равны. Это правильный четырехугольник.

Посмотрите на эти картинки и ответьте на следующие вопросы: ons:

А это …
C это …
D это . ..
Б это …
Е это…

Комната 1 …
Ла cocina es…
Эль комедор эс. ..
Эль pasillo эс…
Эль асэо эс…
г.
Комната 4 …
Эль recibidor es…
Комната 2 …
Ла Тезарра Эс. ..

4. Сумма углов четырехугольника

В четырехугольнике ABCD проводим диагональ BD и получаем два треугольника: BCD и ABD. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180. У нас есть два треугольника и их углы будут 180 х 2 = 360, то есть А + В + С + D = 360.
Сумма углов четырехугольника равна 360 или четырем прямым углам.

Регистрационная информация

Образовательные приложения

Математика

На испанском | Распечатать

Артуро Рамо Гарка.-Запись об интеллектуальной собственности Теруэля (Испания) № 141, от 29-IX-1999 Plaza Playa de Aro, 3, 1 DO 44002-ТЕРУЭЛЬ

Свойства полигонов | SkillsYouNeed

На этой странице исследуются свойства двумерных или «плоских» полигонов. Многоугольник — это любая фигура, состоящая из прямых линий, которую можно нарисовать на плоской поверхности, например на листе бумаги. К таким формам относятся квадраты, прямоугольники, треугольники и пятиугольники, но не круги или любые другие формы, включающие кривую.

Понимание форм очень важно в математике. Вам, безусловно, потребуется узнать о формах в школе, но понимание свойств фигур также имеет много практических применений в профессиональных и реальных ситуациях.

Многие специалисты должны понимать свойства форм, в том числе инженеры, архитекторы, художники, агенты по недвижимости, фермеры и строители.

Возможно, вам понадобится понимать формы, когда вы занимаетесь ремонтом дома и своими руками, занимаетесь садоводством и даже планируете вечеринку.

При работе с многоугольниками важны следующие основные свойства:

количество сторон формы.
углы между сторонами фигуры.
длина сторон формы.

Количество сторон

Многоугольники обычно определяются количеством сторон, которые у них есть.

Трехсторонние многоугольники: Треугольники

Трехсторонний многоугольник — это треугольник. Существует несколько различных типов треугольников (см. схему), в том числе:

Равносторонний – все стороны имеют одинаковую длину, а все внутренние углы равны 60°.
Равнобедренный – имеет две равные стороны, причем третья имеет разную длину. Два внутренних угла равны.
Scalene – все три стороны и все три внутренних угла разные.

Треугольники также можно описать с точки зрения их внутренних углов (см. нашу страницу Углы для получения дополнительной информации об именах углов). Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180°.

Треугольник только с острыми внутренними углами называется остроугольным (или остроугольным). Один с одним тупой угол и два острых угла называется тупым (тупоугольным), а один угол с прямым называется прямоугольным.

Каждый из них будет и либо равносторонним, либо равнобедренным , либо разносторонним .

Четырехсторонние многоугольники — четырехугольники

Четырехсторонние многоугольники обычно называют четырехугольниками, четырехугольниками или иногда четырехугольниками. В геометрии обычно используется термин четырехугольник .

Термин четырехугольник часто используется для описания прямоугольного закрытого открытого пространства, например, «первокурсники, собравшиеся в четырехугольнике колледжа». Термин тетрагон согласуется с многоугольником, пятиугольником и т. д. Вы можете иногда сталкиваться с ним, но на практике он обычно не используется.

Семейство четырехугольников включает квадрат, прямоугольник, ромб и другие параллелограммы, трапецию/трапецию и воздушный змей.

Внутренние углы всех четырехугольников в сумме составляют 360°.

Квадрат : Четыре стороны одинаковой длины, четыре внутренних прямых угла.
Прямоугольник : Четыре внутренних прямых угла, противоположные стороны равной длины.
Параллелограмм : Противоположные стороны параллельны, противоположные стороны равны по длине, противоположные углы равны.
Ромб : Особый тип параллелограмма, в котором все четыре стороны имеют одинаковую длину, как у квадрата, сплющенного по бокам.
Трапеция (или трапеция) : Две стороны параллельны, а две другие нет. Длины сторон и углы не равны.
Равнобедренная трапеция (или трапеция) : Две стороны параллельны и углы при основании равны, что означает, что непараллельные стороны также равны по длине.
Воздушный змей : Две пары смежных сторон имеют одинаковую длину; форма имеет ось симметрии.
Неправильный четырехугольник : четырехугольник, у которого нет равных сторон и внутренних углов. Все внутренние углы по-прежнему составляют в сумме 360 °, как и у всех других правильных четырехугольников.

Более четырех сторон

Пятиугольник называется пятиугольником.

Шестиугольник — это шестиугольник, семиугольник — семиугольник, а восьмиугольник — восемь сторон…

Названия многоугольников

Названия многоугольников произошли от префиксов древнегреческих чисел. Греческий числовой префикс встречается во многих названиях повседневных предметов и понятий. Иногда это может быть полезно, чтобы помочь вам вспомнить, сколько сторон у многоугольника. Например:

У осьминога восемь ног, у восьмиугольника восемь сторон.
Декада – это десять лет, десятиугольник имеет десять сторон.
В современном пятиборье пять видов – у пятиугольника пять сторон.
В олимпийском семиборье семь видов – у семиугольника семь сторон.

Префикс «поли-» просто означает «множественный», поэтому многоугольник — это форма с несколькими сторонами, точно так же, как «полигамия» означает несколько супругов.

Многоугольники имеют разные названия, и обычно количество сторон важнее названия формы.

Многоугольники бывают двух основных типов — правильные и неправильные.

Правильный многоугольник имеет стороны одинаковой длины с равными углами между сторонами. Любой другой многоугольник является неправильным многоугольником , который по определению имеет стороны неравной длины и неравные углы между сторонами.

Окружности и фигуры, содержащие кривые, не являются многоугольниками — многоугольник по определению состоит из прямых линий. См. наши страницы о кругах и изогнутых формах для получения дополнительной информации.

Углы между сторонами

Углы между сторонами фигур важны при определении многоугольников и работе с ними. См. нашу страницу об углах для получения дополнительной информации о том, как измерять углы.

Существует полезная формула для нахождения суммы (или суммы) внутренних углов любого многоугольника, а именно:

(количество сторон — 2) × 180°

Пример:

Для пятиугольника (пятиугольная фигура) расчет будет:

5 — 2 = 3

3 × 180 = 540°.

Сумма внутренних углов любого (не сложного) пятиугольника равна 540°.

Кроме того, если фигура представляет собой правильный многоугольник (все углы и длины сторон равны), то вы можете просто разделить сумму внутренних углов на количество сторон, чтобы найти каждый внутренний угол.

540 ÷ 5 = 108°.

Таким образом, правильный пятиугольник имеет пять углов, каждый из которых равен 108°.

Длина сторон

Наряду с количеством сторон и углами между сторонами важна также длина каждой стороны фигур.

Длина сторон плоской фигуры позволяет рассчитать периметр фигуры (расстояние вокруг внешней стороны фигуры) и площадь (пространство внутри фигуры).

Если ваша фигура представляет собой правильный многоугольник (например, квадрат в приведенном выше примере), то необходимо измерить только одну сторону, так как по определению другие стороны правильного многоугольника имеют одинаковую длину. Обычно используются деления, чтобы показать, что все стороны имеют одинаковую длину.

В примере с прямоугольником нам нужно было измерить две стороны — две неизмеренные стороны равны двум измеренным сторонам.

Некоторые размеры часто не отображаются для более сложных форм. В таких случаях можно рассчитать недостающие размеры.

В приведенном выше примере отсутствуют две длины.

Можно рассчитать недостающую горизонтальную длину. Возьмите более короткую известную горизонтальную длину из более длинной известной горизонтальной длины.

9 м — 5,5 м = 3,5 м.

По тому же принципу можно вычислить недостающую длину по вертикали. То есть:

3м — 1м = 2м.

Объединение всей информации: вычисление площади многоугольников

Самый простой и основной многоугольник для целей вычисления площади — четырехугольник. Чтобы получить площадь, вы просто умножаете длину на высоту по вертикали.

Для параллелограммов обратите внимание, что вертикальная высота равна НЕ длине наклонной стороны, а вертикальному расстоянию между двумя горизонтальными линиями.

Это потому, что параллелограмм по существу представляет собой прямоугольник с треугольником, отрезанным от одного конца и приклеенным к другому: становится параллелограммом.

Площадь равна длине (верхней горизонтальной линии), умноженной на высоту, расстояние по вертикали между двумя горизонтальными линиями.

Чтобы вычислить площадь треугольника , вы умножаете длину на высоту по вертикали (то есть высоту по вертикали от нижней линии до верхней точки) и делите ее пополам.

Определение диагонали и противоположных сторон четырехугольника. Определение четырехугольника

Что такое четырех угольник

Виды четырехугольников

Четырехугольник может быть:

Особые виды четырехугольников

Четырехугольник и окружность

Свойства длин сторон четырехугольника

Свойства углов выпуклых четырёхугольников

Формулы для вычисления длины сторон

Периметр и площадь

Определение и свойства квадрата

Примеры вопросов и задач

Прямоугольник

Четырехугольники все правила

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.

Виды четырехугольников:

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Четырехугольники все правила

Четырёхугольник

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Прямоугольник

Список использованных источников

Популярное:

Четырехугольник

Презентация по теме «четырехугольники» презентация, доклад, проект

Презентация по геометрии 8 класс на тему Четырехугольник и его элементы доклад, проект

Что такое shareslide.ru?

Обратная связь

Выпуклый четырехугольник признаки. Какой четырёхугольник называется прямоугольником. Список использованных источников

Прямоугольник

Четырехугольники все правила

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.

Виды четырехугольников:

Свойства произвольных четырехугольников:

Свойства параллелограмма:

Свойства ромба:

Свойства прямоугольника:

Свойства квадрата:

Свойства трапеции:

Четырехугольники все правила

Четырёхугольник

Виды четырёхугольников

Параллелограмм

Прямоугольник

Список использованных источников

Популярное:

Что такое четырех угольник

Виды четырехугольников

Четырехугольник может быть:

Особые виды четырехугольников

Четырехугольник и окружность

Свойства длин сторон четырехугольника

Основные свойства и виды

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Какая геометрическая фигура называется четырехугольником

Какие виды четырехугольников изучаются в школьной программе

Не изучаемые в школьном курсе геометрии виды четырехугольников

Виды параллелограмма

Особые свойства прямоугольника

Квадрат и его особенности

Чему равна сумма углов четырехугольника

Периметр четырехугольников

Формулы четырехугольников площади

Другие свойства четырехугольников: вписанные и описанные окружности

Лекция 54. Свойства геометрических фигур на плоскости — FINDOUT.SU

Gr7 Математика

Треугольники, четырехугольники, окружности и др.

Решите, что есть что, и нарисуйте несколько фигур

Различные виды треугольников

Равнобедренные, равнобедренные, разносторонние и прямоугольные треугольники

Сравнение и описание треугольников

Нахождение неизвестных сторон в треугольниках