Калькулятор матриц методом крамера: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Решающие системы с правилом Крамера

Результаты обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Оценивать определители 2 × 2.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений с двумя переменными.
• Оценить 3 × 3 определителя.
• Используйте правило Крамера, чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными.
• Знать свойства определителей.

Мы научились решать системы уравнений с двумя переменными и тремя переменными, а также несколькими методами: подстановкой, сложением, методом исключения Гаусса, использованием обратной матрицы и построением графика. Некоторые из этих методов легче применять, чем другие, и они более подходят в определенных ситуациях. В этом разделе мы изучим еще две стратегии решения систем уравнений.

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Вычисление определителя матрицы 2×2

Определитель — это действительное число, которое может быть очень полезным в математике, поскольку оно имеет множество применений, например, вычисления площадь, объем и другие величины. Здесь мы будем использовать определители, чтобы выяснить, является ли матрица обратимой, используя элементы квадратной матрицы , чтобы определить, существует ли решение системы уравнений. Однако, возможно, одним из наиболее интересных приложений является их использование в криптографии. Защищенные сигналы или сообщения иногда отправляются закодированными в матрице. Данные могут быть расшифрованы только с помощью обратимая матрица и определитель. Для наших целей мы сосредоточимся на определителе как признаке обратимости матрицы. Вычисление определителя матрицы включает в себя следование определенным шаблонам, описанным в этом разделе.

Общее примечание: найдите определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы [латекс]2\text{ }\times \text{ }2[/латекс], заданной

[латекс] A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\right][/latex]

определяется как

Рисунок 1

Обратите внимание на изменение обозначений. Есть несколько способов указать определитель, в том числе [латекс]\mathrm{det}\left(A\right)[/latex] и замена скобок в матрице прямыми линиями, [латекс]|А|[/латекс] .

Пример 1. Нахождение определителя матрицы 2 × 2

Найдите определитель заданной матрицы.

[латекс]A=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ -6& 3\end{array}\right][/latex]

Показать решение

Попробуйте

Использование правила Крамера для решения системы двух уравнений с двумя переменными

Теперь мы представим последний метод решения систем уравнений, использующий определители. Этот метод, известный как правило

Крамера , восходит к середине 18 века и назван в честь его новатора, швейцарского математика Габриэля Крамера (1704–1752), который представил его в 1750 году во Введении к анализу линий Курба. алгебры. Правило Крамера — жизнеспособный и эффективный метод поиска решений систем с произвольным числом неизвестных при условии, что у нас есть такое же количество уравнений, как и неизвестных.

Правило Крамера даст нам единственное решение системы уравнений, если она существует. Однако, если система не имеет решения или имеет бесконечное число решений, на это будет указывать нулевой определитель. Чтобы выяснить, является ли система противоречивой или зависимой, придется использовать другой метод, такой как исключение.

Чтобы понять правило Крамера, давайте внимательно посмотрим, как мы решаем системы линейных уравнений, используя основные операции со строками. Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{align}{a}_{1}x+{b}_{1}y&={c}_{1}&&R_{1}\\ {a}_{2}x+{b }_{2}y&={c}_{2}&&R_2\end{align}[/latex]

Мы исключаем одну переменную, используя операции со строками, и находим другую. Предположим, что мы хотим найти [латекс]x[/латекс]. Если уравнение (2) умножить на коэффициент, противоположный [латекс]у[/латекс] в уравнении (1), уравнение (1) умножить на коэффициент при [латекс]у[/латекс] в уравнении (2 ), и мы добавим два уравнения, переменная [latex]y[/latex] будет исключена.

[латекс]\begin{align}b_{2}a_{1}x+b_{2}b_{1}y&=b_{2}c_{1} \\ −b_{1}a_{2}x −b_{1}b_{2}y&=−b_{1}c_{2} \\ \hline b_{2}a_{1}x−b_{1}a_{2}x&=−b_{2}c_ {1}−b_{1}c_{2}\end{align}[/latex] [latex]\begin{align}&\text{Multiply }R_{1}\text{ на }b_{2} \\ &\text{Умножить }R_{2}\text{ на }−b_{2} \\ \text{ } \end{align}[/latex]

Теперь найдите [latex]x[/latex].

[латекс]\begin{собранный}{b}_{2}{a}_{1}x-{b}_{1}{a}_{2}x={b}_{2}{ c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\\ \hfill \\ x\left({b}_{2}{a}_{1}-{b}_ {1}{a}_{2}\right)={b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}\\ \hfill \\ x =\frac{{b}_{2}{c}_{1}-{b}_{1}{c}_{2}}{{b}_{2}{a}_{1}- {b}_{1}{a}_{2}}=\frac{\left\rvert\begin{array}{cc}{c}_{1}& {b}_{1}\\ {c }_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right\rvert}{\left\rvert\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1 }\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right\rvert}\hfill \end{собранный}[/latex]

Аналогично, чтобы найти [латекс]у[/латекс], мы исключим [латекс]х[/латекс].

[латекс]\begin{align}a_{2}a_{1}x+a_{2}b_{1}y&=a_{2}c_{1} \\−a_{1}a_{2}x −a_{1}b_{2}y&=-a_{1}c_{2} \\ \hline a_{2}b_{1}y−a_{1}b_{2}y&=a_{2}c_{ 1}−a_{1}c_{2}\end{align}[/latex] [latex]\begin{align}&\text{Умножить }R_{1}\text{ на }a_{2} \\& \text{Умножить }R_{2}\text{ на }−a_{1} \\ \text{ } \end{align}[/latex]

Решение для [latex]y[/latex] дает

[ латекс]\begin{собранный}{a}_{2}{b}_{1}y-{a}_{1}{b}_{2}y={a}_{2}{c}_ {1}-{a}_{1}{c}_{2} \\ y\left({a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_ {2}\right)={a}_{2}{c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2} \\ y=\frac{{a}_{2} {c}_{1}-{a}_{1}{c}_{2}}{{a}_{2}{b}_{1}-{a}_{1}{b}_ {2}}=\frac{{a}_{1}{c}_{2}-{a}_{2}{c}_{1}}{{a}_{1}{b}_ {2}-{a}_{2}{b}_{1}}=\frac{\left\rvert\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1} \\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}\right\rvert}{\left\rvert\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b }_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\end{массив}\right\rvert} \end{собранный}[/latex]

Обратите внимание, что знаменатель для [латекс]x[/латекс] и [латекс]у[/латекс] является определителем матрицы коэффициентов.

Мы можем использовать эти формулы для нахождения [латекс]x[/латекс] и [латекс]у[/латекс], но правило Крамера также вводит новые обозначения:

• [латекс]D:[/латекс] определитель матрица коэффициентов
• [латекс]{D}_{x}:[/латекс] определитель числителя в решении [латекс]х[/латекс]

  [латекс]x=\frac{{D}_{x}}{D}[/латекс]

• [латекс]{D}_{y}:[/латекс] определитель числителя в решении [латекс]у[/латекс]

  [латекс]y=\frac{{D}_{y}}{D}[/латекс]

Ключом к правилу Крамера является замена интересующего столбца переменных столбцом констант и вычисление определителей. Затем мы можем выразить [латекс]х[/латекс] и [латекс]у[/латекс] как частное двух определителей.

Общее примечание. Правило Крамера для систем 2×2

Правило Крамера — это метод, использующий определители для решения систем уравнений, в которых число уравнений равно числу переменных.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными.

[латекс]\begin{array}{c}{a}_{1}x+{b}_{1}y={c}_{1}\\ {a}_{2}x+{b} _{2}y={c}_{2}\end{array}[/latex]

Решение с использованием правила Крамера задается как

[latex]x=\frac{{D}_{x}} {D} = \ frac{\ left \ rvert \ begin {массив} {cc} {c} _ {1} & {b} _ {1} \\ {c} _ {2} & {b} _ {2 }\end{массив}\right\rvert}{\left\rvert\begin{массив}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& { b}_{2}\end{массив}\right\rvert},D\ne 0;\text{ }\text{ }y=\frac{{D}_{y}}{D}=\frac{ \left\rvert\begin{array}{cc}{a}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2}& {c}_{2}\end{массив}\ вправо\rvert}{\влево\rvert\begin{array}{cc}{a}_{1}& {b}_{1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}\ end{массив}\right\rvert},D\ne 0[/latex].

Если мы вычисляем [latex]x[/latex], столбец [latex]x[/latex] заменяется столбцом констант. Если мы ищем для [latex]y[/latex], столбец [latex]y[/latex] заменяется столбцом констант.

Пример 2. Использование правила Крамера для решения системы 2 × 2

Решите следующую систему [latex]2\text{ }\times \text{ }2[/latex] с помощью правила Крамера.

[латекс]\begin{align}12x+3y&=15\\ 2x — 3y&=13\end{align}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Используйте правило Крамера, чтобы решить систему уравнений 2 × 2.

[латекс]\begin{gathered}x+2y=-11 \\ -2x+y=-13 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Матрица 3×3 сложнее. Один из методов состоит в том, чтобы дополнить матрицу 3×3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3×5. Затем вычисляем сумму произведений записей вниз по по каждой из трех диагоналей (слева вверху справа внизу) и вычесть произведения записей вверх по по каждой из трех диагоналей (слева внизу справа вверху). Это легче понять с визуальным и пример.

Найдите определитель матрицы 3×3.

[латекс]A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{1}\\ {a}_{2} & {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{3}\end{массив}\right][ /латекс]

1. Дополнить [latex]A[/latex] первыми двумя столбцами.

   [латекс]\mathrm{det}\left(A\right)=\left\rvert\begin{array}{ccc}{a}_{1}& {b}_{1}& {c}_{ 1}\\ {a}_{2}& {b}_{2}& {c}_{2}\\ {a}_{3}& {b}_{3}& {c}_{ 3}\end{массив}\right\rvert \left.\begin{массив}{c}{a}_{1}\\ {a}_{2}\\ {a}_{3}\end{ array}\begin{array}{c}{b}_{1}\\ {b}_{2}\\ {b}_{3}\end{array}\right\rvert[/latex]

2. От верхнего левого угла к нижнему правому: умножьте числа по первой диагонали. Прибавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей вниз по третьей диагонали.
3. Из нижнего левого угла в верхний правый: вычтите произведение записей вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение вхождений вверх по третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом:

[латекс]|A|={a}_{1}{b}_{2}{c}_{3}+{b}_{ 1}{c}_{2}{a}_{3}+{c}_{1}{a}_{2}{b}_{3}-{a}_{3}{b}_ {2}{c}_{1}-{b}_{3}{c}_{2}{a}_{1}-{c}_{3}{a}_{2}{b} _{1}[/латекс]

Пример 3. Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 по заданному

[latex]A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 3& — 1& 1\\ 4& 0& 1\end{массив}\right][/latex]

Показать решение

Попробуйте

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс]\mathrm{det}\left(A\right)=\left\rvert\begin{array}{ccc}1& -3& 7\\ 1& 1& 1\\ 1& -2& 3\end{массив} \право\rверт[/латекс]

Показать решение

Попробуйте

Вопросы и ответы

Можно ли использовать тот же метод для нахождения определителя матрицы большего размера?

Да, но для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерную программу.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить три переменные . Правило Крамера является простым и следует шаблону, согласующемуся с правилом Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не указывает, имеет ли система решение или бесконечное число решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить исключение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

[латекс]x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y}}{D},z=\frac{{D }_{z}}{D},D\ne 0[/latex]

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель [latex]{D}_{x}[/latex], мы заменяем столбец [latex]x[/latex] столбцом констант. Если мы записываем определитель [латекс]{D}_{у}[/латекс], мы заменяем столбец [латекс]у[/латекс] столбцом констант. Если мы записываем определитель [латекс]{D}_{z}[/латекс], мы заменяем столбец [латекс]z[/латекс] столбцом констант. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4. Решение системы 3 × 3 с помощью правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3 с помощью правила Крамера.

[латекс]\begin{gathered}x+y-z=6\\ 3x — 2y+z=-5\\ x+3y — 2z=14\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

[латекс]\begin{gathered} x — 3y+7z=13\\ x+y+z=1\\ x — 2y+3z=4\end{gathered}[/latex]

Показать решение

Пример 5. Использование правила Крамера для решения несогласованной системы

Решите систему уравнений с помощью правила Крамера.

[латекс]\начало{собрано}3x — 2y=4 \\ 6x — 4y=0\конец{собрано}[/латекс]

Показать решение

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным числом решений.

[латекс]\begin{gathered} x — 2y+3z=0\\ 3x+y — 2z=0 \\ 2x — 4y+6z=0 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Попробуйте

Понимание свойств определителей

Существует много свойств определителей . Здесь перечислены некоторые свойства, которые могут быть полезны при вычислении определителя матрицы.

A Общее примечание: свойства определителей

1. Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали.
2. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
3. Если две строки или два столбца идентичны, определитель равен нулю. 9{-1}[/latex] — величина, обратная определителю матрицы [latex]A[/latex].
4. Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Пример 7: Иллюстрация свойств определителей

Проиллюстрируйте каждое из свойств определителей.

Показать решение

Пример 8. Использование правила Крамера и свойств определителя для решения системы

Найдите решение данной системы 3 × 3.

[латекс]\begin{gathered}2x+4y+4z=2 \\ 3x+7y+7z=-5 \\ x+2y+2z=4 \end{gathered}[/latex]

Показать решение

Основные понятия

• Определитель для [латекс]\левый[\начало{массив}{cc}a& b\\ c& d\end{массив}\правый][/латекс] равен [латекс]ad-bc[ /латекс].
• Правило Крамера заменяет столбец переменной столбцом константы. Решения: [latex]x=\frac{{D}_{x}}{D},y=\frac{{D}_{y}}{D}[/latex].
• Чтобы найти определитель матрицы 3×3, увеличьте первые два столбца. Сложите три диагональных элемента (слева вверху справа внизу) и вычтите три элемента по диагонали (слева внизу справа вверху).
• Чтобы решить систему из трех уравнений с тремя переменными с помощью правила Крамера, замените столбец переменных столбцом констант для каждого требуемого решения: [latex]x=\frac{{D}_{x}}{D},y= \frac{{D}_{y}}{D},z=\frac{{D}_{z}}{D}[/latex].
• Правило Крамера также полезно для нахождения решения системы уравнений без решения или с бесконечным числом решений.
• Некоторые свойства определителей полезны при решении задач. Например:
  • Если матрица имеет форму верхнего треугольника, определитель равен произведению элементов по главной диагонали. 9{-1}[/latex] — величина, обратная определителю матрицы [latex]A[/latex].
  • Если какая-либо строка или столбец умножается на константу, определитель умножается на тот же коэффициент.

Глоссарий

Правило Крамера

метод решения систем уравнений, имеющих такое же количество уравнений, что и переменных, с использованием определителей

определитель

число, рассчитанное с использованием элементов квадратной матрицы, определяющее такую ​​информацию, как наличие решения системы уравнений 903:30

11.4: Определители и правило Крамера для n x n матриц

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

108730

• Кен Каттлер
• Университет Бригама Янга via Lyryx 9{th}\) столбец \(A\).

  Следовательно, с каждой записью \(A\) связан минор. Рассмотрим следующий пример, демонстрирующий это определение.

  Пример \(\PageIndex{1}\)

  Пусть \[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \ end{массив} \right]\nonumber \] Найти \(второстепенный\левый(A\правый) _{12}\) и \(второстепенный\левый(A\правый) _{23}\).

  Решение

  Сначала найдем \(второстепенный\левый( A\правый) _{12}\). По определению \(\PageIndex{1}\) это определитель матрицы \(2\times 2\), которая получается при удалении первой строки и второго столбца. Этот минор задается \[минор \left(A\right)_{12} = \det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right]= -2\номер\] 9{2+3}\det \left[ \begin{array}{rr} 1 и 2 \\ 3 & 2 \end{массив} \right] = (-1)(-4)=4.\nonumber \]

  Вы можете найти остальные кофакторы для приведенной выше матрицы. Помните, что для каждой записи в матрице есть кофактор.

  Теперь мы установили инструменты, необходимые для нахождения определителя матрицы \(3 \times3\).

  Определение \(\PageIndex{3}\) Определитель матрицы три на три

  Пусть \(A\) — матрица \(3\x 3\). Затем \(\det \left(A\right)\) вычисляется путем выбора строки (или столбца) и произведения каждой записи в этой строке (столбце) с ее кофактором и сложения этих продуктов вместе. 9{th}\) строка (столбец) и определяется как \[\det \left(A\right) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{ i3}\nonumber \]

  При вычислении определителя вы можете расширить любую строку или любой столбец. Независимо от вашего выбора, вы всегда получите одно и то же число, которое является определителем матрицы \(A.\). Этот метод вычисления определителя путем расширения по строке или столбцу называется Расширение кофактора .

  Рассмотрим следующий пример.

  Пример \(\PageIndex{3}\) 9{3+1}\влево| \begin{массив}{rr} 2 и 3 \\ 3 и 2 \end{массив} \right| }}\nonumber \] Вычисляя каждое из них, получаем \[\det \left(A\right) = 1 \left(1\right)\left(-1\right) + 4 \left(-1\right) )\left(-4\right) + 3 \left(1\right)\left(-5\right) = -1 + 16 + -15 = 0\nonnumber \] Следовательно, \(\det\left(A \справа) = 0\).

  {2+3}\left| \begin{массив}{rr} 1 и 2 \\ 3 и 2 \end{массив} \right| }}\номер\]

  Вычисляя каждое из этих произведений, получаем \[\det \left(A\right) = 4\left(-1\right)\left(-4\right) + 3\left(1\right)\left (-8\right) + 2 \left(-1\right)\left(-4\right) = 0\nonnumber \]

  Как видите, для обоих методов мы получили \(\det \left(A \справа) = 0\).

  Как упоминалось выше, мы всегда будем получать одно и то же значение для \(\det \left(A\right)\) независимо от строки или столбца, которые мы выбираем для расширения. Вы должны попытаться вычислить указанный выше определитель, развернув его по другим строкам и столбцам. Это хороший способ проверить свою работу, потому что каждый раз вы должны придумывать одно и то же число.

  Мы формально изложим эту идею в следующей теореме, которую сформулируем без доказательства.

  Теорема \(\PageIndex{1}\) Определитель правильно определен

  Разложение матрицы \(n\times n\) по любой строке или столбцу всегда дает один и тот же ответ, который является определителем. {t} & 0 & 0 \\ 0 & \cos t & \sin t \\ 0 & -\sin t & \cos t \end{array} \right].\nonumber \] 9{й}\) столбец. Точно так же, как и с определителем \(3 \times 3\), мы можем вычислить определитель матрицы \(4 \times 4\) с помощью расширения кофактора по любой строке или столбцу

  Рассмотрим следующий пример.

  Пример \(\PageIndex{5}\)

  Найдите \(\det \left( A\right)\), где \[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 3 & 2 \end{массив} \right]\nonumber \]

  Решение

  9{4+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{array} \right\vert\nonumber \]

  Теперь вы можете вычислить каждый \(3 \times 3\) детерминант, используя Cofactor Expansion, как мы сделали выше. Вы должны выполнить их в качестве упражнения и убедиться, что \(\det \left( A \right)= -12\).

  Ниже приводится формальное определение определителя матрицы \(n \times n\). Вы можете воспользоваться моментом и рассмотреть приведенные выше определения для детерминантов \(2 \times 2\) и \(3 \times 3\) в контексте этого определения. 9{й}\) столбец.

  Определитель треугольной матрицы

  Существует определенный тип матрицы, для которого нахождение определителя является очень простой процедурой. Рассмотрим следующее определение.

  Определение \(\PageIndex{5}\) Треугольные матрицы

  Матрица \(n\times n\) \(A\) является верхнетреугольной, если \(a_{ij}=0\) всякий раз, когда \(i> Дж\). Таким образом, элементы такой матрицы ниже главной диагонали равны \(0\), как показано. Здесь \(\ast\) относится к любому числу . \[ \left[ \begin{array}{cccc} \ast & \ast & \cdots & \ast \\ 0 & \ast & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ast \ \ 0 & \cdots & 0 & \ast \end{array} \right]\nonumber \] Аналогично определяется нижняя треугольная матрица как матрица, у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю.

  Следующая теорема дает полезный способ вычисления определителя треугольной матрицы.

  Теорема \(\PageIndex{2}\) Определитель треугольной матрицы

  Пусть \(A\) — верхняя или нижняя треугольная матрица. {4+1}\влево| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \end{массив} \right|\end{aligned}\] 9{3+1}\влево| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 3 & 33.7 \end{array} \right|\nonumber \]

  \[=(1)(2)\left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber \] Затем найдите определитель этой матрицы \(2 \times 2\), который равен \( (3)(-1)\). Объединив все эти шаги, мы получим \[\det \left(A\right) = (1)(2)(3)(-1) =-6\nonumber \], что является просто произведением записей вниз по главной диагонали исходной матрицы.

  Как видите, хотя оба метода дают один и тот же ответ, теорема \(\PageIndex{2}\) дает гораздо более быстрый результат.

  Правило Крамера для матрицы \(n\times n\)

  Правило Крамера для матрицы \(n\times n\) похоже на то, что мы делали в Разделе 11.3 для матриц \(2\times 2\); здесь мы сформулируем обобщенную теорему.

  Теорема \(\PageIndex{3}\): правило Крамера для матрицы \(n\times n\)

  Рассмотрим следующую систему уравнений:

  \[\begin{array}{ccccc} a_{11 }x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{массив} \номер\] 9{th}\) столбец \(A\) заменен на b .

  Тогда \[x_{i}= \frac{\det \left(A_{i}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \]

  Пример \(\PageIndex{7 }\)

  Используйте правило Крамера для решения:

  \[\begin{aligned}x_1+2x_2+x_3&=1 \\ 3x_1+2x_2+x_3&=2 \\ 2x_1-3x_2+2x_3&=3\end{align} \nonumber\]

  У нас есть \(A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right ]\) и б \(= \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right].\nonumber\)

  Решение

  Чтобы найти \(x_1\), вычисляем \[x_1 = \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)}\nonumber \], где \(A_1\) — матрица, полученная заменой первый столбец \(A\) с b .

  Следовательно, \(A_1\) задается как \[A_1 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{ array} \right]\nonumber \]

  Следовательно, \[x_1= \frac{\det \left(A_{1}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left | \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & -3 & 2 \end{array} \right| }{\слева| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{1}{2}\номер \]

  Аналогично, чтобы найти \(x_2\), мы строим \(A_2\), заменяя второй столбец \(A\) на b . Следовательно, \(A_2\) задается как \[A_2 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \ right]\nonumber \]

  Следовательно, \[x_2=\frac{\det \left(A_{2}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right| }{\слева| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=-\frac{1}{7}\номер\]

  Аналогично, \(A_3\) создается путем замены третьего столбца \(A\) на b . Тогда \(A_3\) задается как \[A_3 = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

  Следовательно, \(x_3\) вычисляется следующим образом.

  \[x_3= \frac{\det \left(A_{3}\right)}{\det \left(A\right)} = \frac{\left| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & 3 \end{array} \right| }{\слева| \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & -3 & 2 \end{array} \right| }=\frac{11}{14}\номер\] 9{-t}\sin t\номер\]

  ---

  Эта страница под названием 11.

  No related posts.