§4. Метод Жордана-Гаусса (метод полного исключения) решения слау.
Методом Жордана-Гаусса (методом полного исключения) называется алгоритм, в результате работы которого через конечное число «шагов»- равносильных преобразований либо обнаруживается несовместность системы (Х=), либо в явном виде находится множество ее решений, при этом РМ системы РМ=|Amxn|Bnx1| приводится к одному из трех видов: , а на месте матрицыВ –вектор-столбец – единственное решение СЛАУ.
[II] РМ: m<n и в левой части РМ получается единичная матрица Im размерности m<n и дополнительная матрица A1mx(n—m), элементы которой – коэффициенты при переменных
В этом случае “m”
неизвестных (x1,x2,…,xm)
выражаются через остальные “n-m”
неизвестных, которые могут принимать любые
значения – xi>mC.Следовательно,
такая СЛАУ имеет бесконечное
множество решений.[III] Если в расширенной матрице появляется строка вида [0 0…0|0], соответствующее уравнение системы и следовательно система решений не имеет : Х=(несовместная СЛАУ).
—————————————————————-
Экз. вопрос. Какие из вариантов множества решений СЛАУ возможны и какие не возможны ,если: (а) m>n ? (б) m=n ? (в) m<n ?
——————————————————————
Замечания.
Если в процессе работы алгоритма в РМ появляется «нулевая строка» , она удаляется из РМ (количество строк уменьшается на единицу).
«Стратегия» метода Ж.-Г. заключается в последовательном преобразовании первого, второго,… столбцов левой части РМ к виду:
«Тактика» этой стратегии – «пошаговое» k=1,2,… обнуление всех недиагональных элементов (ik: aik0) сначала первого, затем второго и т.д. … столбцов левой части РМ с помощью равносильных преобразований Pij,M
!! На “k”-ом «шаге» (к=1,2,…):(a) диагональный элемент akk преобразуется в единицу (Mk(1/akk) akk 1)и затем недиагональные элементы “k” столбца обнуляются с помощью “k”строки(ik Sik(-aik): aik0).
В результате этих преобразований «к»-столбец преобразуется к виду
Проиллюстрируем алгоритм метода на трех примерах.
Пример 1. m=n=3.
Пример 2. m=2<n=3.
Пример 3. m=3>n=2. Проделайте подробно:
Задание.
Часть 1. 1. Определить размерность матрицы Х в уравнении А1Х=С1 и записать ее явный («буквенный») вид.
2. Методом Ж-Г решить матричное уравнение XA1=C, используя тождества
3. Методом Ж-Г найти матрицу B2-1, обратную к В2, решив уравнение В2Z=I <=> Z=B2-1.
Часть 2. 1. Вычислить detB2.
2. Используя решение Х уравнения XA1=C1, найти матрицу D=C2
— A2X.
3. Методом обратной матрицы решить уравнение B2Y=D.
4. Показать, что матрицы Х и У являются решением системы матричных уравнений
Условие ТР содержит матрицы А13х4, С13х4, А24х3, В24х4, С24х3 и номер варианта:
A13х4
C13х4
A24х3
B24х4
C24х3
Вар.
Пример.
4.2)
Вариант Тр.
§5. Матричные уравнения. Обратная матрица.
Пусть заданы числовые матрицы Amxn, Bmxk .
Определение. Числовая
матрица X соответствующей
размерности называется решением матричного
уравнения AX=B (ХА=В), если
она обращает уравнение
Например,
Рассмотрим уравнение AY=B
В общем случае,
матричное уравнение A mxnX =Bmxk равносильно совокупности “k” СЛАУ с
одинаковой матрицей A.
Решать эти системы методом Жордана-Гаусса
следует одновременно,
записав «обобщенную» расширенную
матрицу с “k” правыми частями РМ =[A |B1;B2;..; Bk].
Замечания.
1.Если в процессе работы по алгоритму Ж-Г:
в РМ появляется “нулевая строка” [0,0,…,0|0,0,..0], она удаляется из РМ.
в РМ появляется строка [0,0,…,0|0, bi#0,..0], равносильные преобразования заканчиваются: матричное уравнение решений не имеет;
РМ приводится к виду [In|b1;b2;…bk],система имеет единственное решение: Y=B=[ b1;b2;…bk];
2. Матричное уравнение ХА=B «не приспособлено» к методу Ж-Г; Алгоритм его решения такой: (а) сначала уравнение транспонируется , (б)затем методом Ж-Г решается уравнение и (в) полученный результат транспонируется:
Примеры.
Пусть задана квадратная матрица Am.
Определение.
Следствия.
1. Матрица имеет обратную, если существует решение матричного уравнения
2. Находится обратная матрица методом Ж-Г : [ A | I ] <==> [ I | A-1 ].
Можно показать,
что квадратная матрица А одновременно имеет (или не имеет) «левую» А-1лев (А-1левA=I)
и «правую» А-1пр (A
А-1пр=I)
обратные матрицы и они равны А-1лев=
А-1пр; поэтому в
дальнейшем будем обозначать A-1.
3. Если известна обратная матрица A-1, решения матричных уравнений AX=B и XA=B находятся методом обратной матрицы: обе части уравнения умножаются на A-1 «слева» или «справа», соответственно.
Например, Для — проверьте, чтоA-1A=I !!
Тогда,
Калькулятор RREF — MathCracker.com
Инструкции: Используйте этот пошаговый калькулятор, чтобы преобразовать предоставленную вами матрицу в сокращенную форму эшелона строк (RREF).
При необходимости измените размер матрицы, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицу (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью «TAB»)
Сокращенная форма эшелона строк — один из самых полезных процессов в линейной алгебре, и он может служить нескольким целям.
RREF обычно достигается с помощью процесса исключения Гаусса. С точки зрения приложений, форма уменьшенного эшелона строк может использоваться для решать системы линейных уравнений , к вычислить обратную матрицу , или найти полезные матричные разложения
Что такое rref матрицы?
Идея эшелонированной формы строк состоит в систематическом построении эквивалентной матрицы с использованием обратимых элементарных матриц, чтобы получить эшелонированную форму строк, которая является обобщенной формой треугольной формы.
Используя метод сокращения строк, мы можем получить матрицу в форме эшелона строк, используя ненулевые повороты .
Преимущества RREF
- Этот калькулятор RREF преобразует матрицу в форму, полезную для многих целей.
- Например, если конечной формой RREF данной матрицы является личность , матрица обратимая
- Увеличение исходной матрицы, нахождение формы RREF позволяет построить обратную, используя элементарные матрицы
-
Он обеспечивает систематический способ
решать системы линейных уравнений
.
Как рассчитать сокращенную форму эшелона строк?
Существуют различные подходы, которые возможны и которые вы можете использовать. Но основная идея состоит в том, чтобы использовать ненулевые опорные точки для исключения всех значений в столбце, которые находятся ниже ненулевой опорной точки, что является основой процедуры, называемой устранением Гаусса.
Одним из важнейших элементов этого сокращения является знание того, находится ли матрица в rref, поэтому мы останавливаем процесс, когда это происходит.
Необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1
: проверьте, находится ли матрица уже в форме сокращенного эшелона строк.
Если это так, то остановитесь, мы закончили.
Шаг 2 : Посмотрите на первую колонку. Если значение в первой строке не равно нулю, используйте его как точку опоры. Если нет, проверьте столбец на наличие ненулевого элемента и, если необходимо, переставьте строки так, чтобы стержень находился в первой строке столбца. Если первый столбец равен нулю, переходите к следующему столбцу справа, пока не найдете ненулевой столбец.
Шаг 3 : Используйте опорную точку, чтобы исключить все ненулевые значения ниже опорной.
Шаг 4
: нормализовать значение пивота до 1.
Шаг 5 : Используйте опорную точку, чтобы исключить все ненулевые значения над опорной точкой.
Шаг 6 : После этого, если матрица все еще не имеет форму строки-эшелона, переместите один столбец вправо и одну строку вниз, чтобы найти следующую опорную точку.
Шаг 7
: Повторите процесс, как описано выше. Ищите опору. Если ни один элемент не отличается от нуля в новой опорной позиции или ниже, найдите справа столбец с ненулевым элементом в опорной позиции или ниже и при необходимости переставьте строки.
Затем удалите значения ниже опорной точки.
Шаг 7 : Продолжайте процесс поворота до тех пор, пока матрица не примет уменьшенную форму строки-эшелона.
Как рассчитать уменьшенный эшелон ряда на калькуляторе?
Не все калькуляторы будут проводить исключение Гаусса-Жордана, но некоторые делают это. Как правило, все, что вам нужно сделать, это ввести соответствующую матрицу, для которой вы хотите привести форму RREF.
Обратите внимание, что для того, чтобы иметь форму эшелона с уменьшенной строкой, вам также необходимо иметь нули НАД опорной точкой.
Если вам это не нужно, вы можете использовать это
Калькулятор формы эшелона строки
, который не уменьшает значения выше точки разворота
Этот калькулятор позволит вам определить матрицу (с любым выражением, например, с дробями и корнями, а не только с числами), а затем будут показаны все шаги процесса, как прийти к окончательной форме сокращенного эшелона строк.
Большинство калькуляторов будут использовать элементарные операции со строками для выполнения вычислений, но наш калькулятор покажет вам точно и подробно, какие элементарные матрицы используются на каждом шаге.
Как вы решаете для решения RREF
Это немного зависит от контекста, но один из способов — начать с системы линейных уравнений, представить ее в матричной форме, и в этом случае решение RREF при увеличении правыми значениями.
Другой вариант — начать с матрицы и дополнить ее единичной матрицей, и в этом случае решение RREF приведет к обратной исходной матрице.
Пример формы уменьшенного эшелона строк
Вопрос: Предположим, что у вас есть следующая матрица:
\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]
Найдите его редуцированную эшелонированную форму, указав все шаги и соответствующие им элементарные матрицы.
Отвечать: Предоставленная матрица представляет собой матрицу \(3 \times 3\).
Нам нужно найти редуцированную ступенчатую форму строк этой матрицы.
Шаг 1
: Операции, используемые для уменьшения столбца \(1\):
\((1) — R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) — R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)
\( \begin{bmatrix}
\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.
6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1
\end{bmatrix}
\rightarrow \begin{bmatrix}
\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\)
Шаг 2
: Операция, используемая для уменьшения столбца \(1\):
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)
\( \begin{bmatrix}
\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.
6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\rightarrow \begin{bmatrix}
\displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\)
Для столбца \(2\) все элементы ниже точки поворота уже равны нулю, поэтому нам не нужно исключать их.
Шаг 3
: Операции, используемые для уменьшения столбца \(2\) над сводной точкой:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)
\( \begin{bmatrix}
\displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.
6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\rightarrow \begin{bmatrix}
\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\)
Шаг 4 : Для столбца \(3\) мы не находим опорную точку, потому что столбец равен нулю, поэтому мы переходим к следующему столбцу.
Отсюда делаем вывод, что матрица в форме RREF:
\[ \begin{bmatrix}
\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.
6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0
\end{bmatrix}
\]
скачать бесплатно. Интернет-магазин документов на 5y1.org
Калькулятор рядов Gauss jordan: скачать бесплатно. Интернет-магазин документов на сайте 5y1.org[Файл DOCX] Общественный колледж Нассау
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_4af02b.html
Требования к калькулятору: TI-83 или графический калькулятор TI-84, который будет широко использоваться на протяжении всего курса. (Приемлемы также TI-83 Plus и TI-84 Silver Edition.) Однако, если учащийся еще не владеет одним из перечисленных калькуляторов…
Тег:шаги метода Гаусса Джордана
[Файл DOC]I
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_002ab6.html
Система решается любым стандартом методом Гаусса-Жордана, Гаусса-Зейделя, даже методом Крамера.
в. Точность подгонки. Мы хотели бы иметь некоторую статистическую меру того, насколько хорошо соответствие между {fi} и f(x). Это будет зависеть от отношения между E и {}. Рассмотрим …Тег:калькулятор метода Гаусса
[Файл DOC]338 ЗАДАНИЕ 2:
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_4ee325.html
можно сделать с помощью матричного умножения элементарных матриц. 2. Успех в выполнении упражнения Maple на элементарных матрицах и исключении Гаусса-Жордана. 3. Качество выполнения групповых ролей и понимание того, что ожидается от учебного упражнения. РЕСУРСЫ: 1.
Тег:гаусс джордан калькулятор система уравнений
[Файл DOCX] 8 класс
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_8a4630.html
16 января 2012 г., матричные элементы, расширенные ступенчатая форма, операции со строками, исключение Гаусса, исключение Гаусса-Жордана, редуцированная ступенчатая форма Запись по математике/обсуждение Опишите, что понимается под расширенной матрицей системы линейных уравнений.
Тег:Гаусс Джордан обратный калькулятор
[DOC File]MTH 132 (sec 104) Syllabus Fall 2004
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_46ad3b.html
Gauss Jordan Reduction метод нахождения обратной матрицы , если таковой имеется. Использование обратной матрицы для решения системы с обратимой матрицей коэффициентов. 3.4 Вычисление определителя матрицы вручную с использованием миноров и кофакторов. Свойства определителей, относящиеся к произведениям, транспонированиям и операциям со строками над матрицами
Тег:гаусс-йордан, устранение матрицы
[Файл DOC]www.geneva304.org
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_d4a40f.html 6-OB J900:
900: 1.2 Решить системы линейных уравнений с помощью матриц и метода исключения Гаусса-Жордана. NAT: 2 STA: 8.D.5 TOP: Многомерные линейные системы и операции с рядами. НЕ: Пример 5: Используйте исключение Гаусса-Жордана 16. ОТВЕТ: D. Обратная связь A Проверьте шаги исключения Гаусса-Жордана. B Проверьте шаги исключения Гаусса-Жордана.Тег:гаусс Джордан исключение полуопределенное
[Файл DOC]Страница 1
https://5y1.org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_1cfbee.html Gauss-Jordan-row-calculator_1_1cfbee.html Gauss-Jordan Method
8 90s Примечание. Для обеих частей убедитесь, что вы указали операцию со строками, которую вы использовали для каждого шага. Нет калькулятора. Рассмотрим две матрицы и (указывает на каждую) Вычислите, если возможно. Если нет, то аргументируйте почему. Нет калькулятора. Рассчитать, если …
Тег:метод Гаусса Джордана
[Файл DOC] Расширенные матрицы и метод Гаусса-Джордана использовать операции со строками (переставлять две строки местами, умножать строку на ненулевую константу, добавлять две строки или добавлять кратное одной строки к другой строке), чтобы изменить расширенную матрицу на сокращенную ступенчатую форму строки (rref), которая выглядит следующим образом матрица:
Тег:обратный метод Гаусса Джордана
[Файл DOC] Исключение Гаусса Джордана с помощью функций калькулятора
https://5y1.
org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_3ab82b.html строка i и строка раз j. Название: Gauss Jordan Elimination Using Calculator Functions Автор: Sandra Nite Последнее изменение: Sandra Nite Дата создания: 07.09.2006 3:15:00 Другие названия: Gauss Jordan Elimination Using Calculator Functions …Tag:gauss jordan шаги метода
[Файл DOC]Apache2 Ubuntu Страница по умолчанию: работает эшелонная форма когда . Запись в строке 1 столбца 1 равна 1, а под ней отображается 0. Первая ненулевая запись в каждой строке после первой строки — это 1, нули появляются под ней, и она появляется справа от первой ненулевой записи в любой строке выше.
Тег:калькулятор метода Гаусса
в. Точность подгонки. Мы хотели бы иметь некоторую статистическую меру того, насколько хорошо соответствие между {fi} и f(x). Это будет зависеть от отношения между E и {}. Рассмотрим …
ОТВЕТ: D. Обратная связь A Проверьте шаги исключения Гаусса-Жордана. B Проверьте шаги исключения Гаусса-Жордана.
org/info/gauss-jordan-row-calculator_1_3ab82b.html строка i и строка раз j. Название: Gauss Jordan Elimination Using Calculator Functions Автор: Sandra Nite Последнее изменение: Sandra Nite Дата создания: 07.09.2006 3:15:00 Другие названия: Gauss Jordan Elimination Using Calculator Functions …Бережьем и связанные записи:
- Gauss Jordan Elimance Calculator
- Использование Gauss Jordan Row Row Calculator
- Gauss Jordan Calculator
- GAUSS Jordan Row Calculator GAUSSAN JORDAN JORDAN JORDAN JORDAN.
- Гаусс Джордан Калькулятор Система уравнений
- Гаусс Джордан Матрица
Чтобы удовлетворить потребность в быстром поиске документов.
Это интеллектуальное решение для поиска файлов для дома и бизнеса.
Механизм поиска файлов
Реклама
Горячий поиск
[PDF] Альтернативный метод исключения Гаусса-Жордана: минимизация арифметики дробей title={Альтернативный метод исключения Гаусса-Жордана: минимизация арифметики дробей}, автор = {Люк Смит и Дж. Пауэлл}, journal={Преподаватель математики}, год = {2011}, объем = {20}, страницы = {44-50} }
- Люк Смит, Дж. Пауэлл
- Опубликовано в 2011 г.
- Образование
- Преподаватель математики
утомительные операции с дробями (которые я буду называть традиционным методом). В этом эссе я представляю альтернативный метод сокращения строк матриц, который не вводит дополнительные дроби до самых последних шагов.
Студенты на моих занятиях, похоже, оценили эффективность и точность альтернативного метода…
Сравнение производительности исключения Гаусса и исключения Гаусса-Джордана
- Яданар Мон, Л. Кий
Информатика
- 2014 Исключения по Гауссу и вычисления Джордана 9014 Исключение Рассмотрены методы решения системы линейных уравнений и выявлено, что эти методы могут быть применены к различным системам линейных уравнений, возникающим в таких областях науки, как физика, бизнес, экономика, химия и т. д.
- R. A. Funny
Образование
- 2017
- Рабиа Хан, Наргис Мунир, С. Гариб, Сайеда Рошана Али
Математика
- 2015
- Мостафа А. Рушди, А. Рушди
Бизнес
- 2020
- Фика Хастарита Рахман, Р. Сарно, К. Фатичах
Компьютер Science
2016 3-я Международная конференция по информационным технологиям, компьютерам и электротехнике (ICITACEE)
- 2016
- Дэвид Пул
Образование
- 2002
- Shaughan Lavine
Mathematics, Philosophy
Synthese
- 2005
- Шери А. Хэнсон, Т. Хоган
Психология
- 2000
- Raymond A. Barnett, M. Ziegler, Karl Byleen
Математика
- 3
- 3 1991
- К. Ларсон, Мелиса Н. Хороши
Образование
- 1985
- П. Э. Лонг, Джей Грейнинг
Математика
- 1992
- С. Дж. Фарлоу
Математика
- 1993
Использование MATLAB, чтобы помочь студентам понимать методы Гаусса-Джордана
Эта статья изучает программу MATLAB, которая может помочь студентам понять методы устранения Гусса эта программа должна быть калькулятором, к которому можно получить доступ, не открывая Matlab.
Система линейных уравнений, исключение Гаусса
Гариб, Сайеда Рошана АлиЦель этого исследования состояла в том, чтобы проанализировать различные методы исключения линейных уравнений и измерить эффективность метода исключения Гаусса и метода Гуасса Жордана, чтобы определить их относительную важность и преимущество в области вычислений. символьные и числовые вычисления.
Моделирование скорости распространения вируса с помощью современных методов размерного анализа
Продолжающаяся пандемия COVID-19 вызвана патогеном под названием SARS-CoV-2 или новым коронавирусом. Пресловутое пугающее явление распространения этого вируса включает в себя множество физических переменных и…
CBE: Основанный на корпусе эмоций для обнаружения эмоций в текстовом документе
Вкладом этого исследования является формирование автоматического эмоционального корпуса путем слияния двух вычислительных моделей, называемых корпусными эмоциями (CBE), которые были разработаны на основе ANEW и WNA с мерой сходства терминов и расстоянием до узла.
ПОКАЗАНЫ 1-10 ИЗ 17 ССЫЛОК
СОРТИРОВАТЬ ПОРелевантности Наиболее влиятельные документыНедавность
Линейная алгебра: современное введение
Подход Дэвида Пула помогает учащимся преуспеть в этом курсе, сначала изучая векторы и векторную геометрию, чтобы визуализировать и понять значение вычислений, с которыми им придется столкнуться, и развить математическую зрелость для абстрактного мышления.
Finite mathematics
Finite mathematics is not committed to any form of infinity, actual or potential, either within its theories or in the metalanguage employed to указать их, и подробно показано, что его приверженность бесконечности не сильнее, чем у примитивно-рекурсивной арифметики.
Конечная математика: прикладной подход. 1.1. Линии. 1.2. Пары линий. 1.3. Приложения к бизнесу и экономике. 1.4. Диаграммы рассеяния Подгонка линейной кривой. Обзор главы. Проект главы. Глава 2:…
Навыки вычислительной оценки студентов колледжей
Мы исследовали навыки вычислительной оценки 77 студентов колледжа, которые оценивали ответы на задачи, представленные через короткие промежутки времени. Мы классифицировали 23 стратегии оценки «думай вслух», используемые 45…
Прикладная математика для бизнеса, экономики, наук о жизни и социальных наук
(ПРИМЕЧАНИЕ. Каждая глава включает список важных терминов и символов, а также упражнения для повторения.) I. БИБЛИОТЕКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. 1. Начальная библиотека элементарных функций. Функции.
Элементарно…
Результаты основных дисциплин начального образования на контрольной по базовой математике.
Будущие учителя скорее обладали знаниями терминов и символов и вычислительными навыками, чем способностью координировать и применять эти знания при решении многоэтапных задач.
Конечная математика: прикладной подход
1. Приложения линейных функций. 2. Системы линейных уравнений. 3. Матричная алгебра. 4. Линейное программирование. 5. Логика, множества и методы счета. 6. Основные понятия вероятности. 7. Дополнительные…
Конечная математика и ее приложения
Предварительный материал – вероятностная математика, системы линейного подсчета матриц и системы уравнений конечного программирования и финансы.