Метод решения системы диофантовых уравнений / Хабр
Добрый день!
Как и обещал в первой своей статье, я хочу ознакомить Вас с одним из методов решения системы диофантовых уравнений. Цель статьи ознакомить остальных читателей с этой методикой и донести её в более или менее понятном виде.
Рассмотрим систему из двух диофантовых уравнений
и
Найдем все возможные решения первого уравнения. Как, спросите Вы? Наверняка есть разные методики, но я поделюсь в одной из следующих статей, как бы я решал подобную задачу. А сейчас просто примем что общее решение имеет вид
Как проверить что я не лгу?
Достаточно вспомнить матричное исчисление и умножить вектор значений нашего первого диофантового уравнения(без свободного члена) на матрицу всех коэффициентов.
получили в результате значение свободного члена, а следовательно вычисления правильные
Следующим этапом мы подставим наше общее решение
во второе уравнение
Процедура такая же: умножаем вектор из коэффициентов второго уравнения на общее решение первого
получаем вот такой результат
то есть мы получили уравнение вида
С правой стороны второго диофантового уравнения как был свободный член равный -335, так и остался, то есть наше окончательное решение на этом этапе имеет вид
Или перенеся свободные члены в правую сторону получим
Итак, мы получили очередное диофантовое уравнение.
Давайте найдем его общее решение и проверим его на истинность.
то есть общее решение имеет вид
А теперь делаем обратное преобразование(пусть так называется). То есть в систему
Мы вместо неизвестных x подставляем то, что получилось на последнем этапе
В матричном исчислении это решается умножением одной матрицы на другую.
Но с первой матрицей надо сделать определенную процедуру: убрать (временно) последний столбец с свободными членами, так как этот параметр не участвует в умножении, и будет пользоваться позднее.
Результат умножения двух матриц порождает
матрицу
Последний столбец это свободные члены этой системы.
Учтем тот столбец который временно удаляли, перед умножением и сложим их
наш окончательный ответ в виде матрицы
Проверим?
Векторное произведение коэффициентов первого уравнения и матрицы
а векторное произведение коэффициентов второго уравнения и матрицы
Как видим, результат совпадает с свободным членом каждого из уравнений.
Таким образом общее решение имеет вид
где m,p,q — могут принимать любые целые значения
Таким незамысловатым способом можно решать и более сложные линейные диофантовые уравнения. По следам этого алгоритма создан калькулятор правда, этот калькулятор очень не любит когда вместо значений в коэффициентах первого уравнения начальной системы встречаются нули. Но это проблема конкретной моей реализации этого алгоритма.
В следующей теме я расскажу как создавать диофантовые уравнения по матрице общего решения. Задача в общем то банальна и делается в одно действие, но вдруг кто то не знает.
Буду благодарен за замечания, отзывы и предложения.
Калькулятор симметричной матрицы — MathCracker.com
Решатели Алгебра
Инструкции:
Используйте этот калькулятор, чтобы определить, является ли данная матрица симметричной или нет, показывая все шаги.
При необходимости измените размер матриц, указав количество строк и количество столбцов. Когда у вас есть правильные размеры, которые вы хотите, вы вводите матрицы (вводя числа и перемещаясь по матрице с помощью «TAB»)
Количество строк = Количество столбцов =The number of rows and columns provided needs to be integers that are greater than 1. The maximum number of rows is 8, and the maximum number of columns is 8
\(A\) = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}
Симметричные матрицы — это специальные матрицы, обладающие очень аккуратными свойствами. Во-первых, симметричная матрица — это тип квадратной матрицы со свойством, что ее строки точно такие же, как и ее столбцы.
T = A\).
Как узнать, симметрична ли матрица?
Проверка того, является ли матрица симметричной, является относительно простой операцией, по крайней мере, по сравнению с другими более сложными и сложными матричными процедурами, такими как матричные умножения , или же найти обратную матрицу .
Вы должны выполнить простые шаги, показанные ниже, чтобы определить, является ли матрица симметричной.
T = A\). Значит симметрично.
калькулятор симметричных матриц калькулятор матрицы транспонирования симметрия матриц
Матричные калькуляторы | Математические калькуляторы
Эти матричные калькуляторы являются частью набора бесплатных математических онлайн-калькуляторов, разработанных и поддерживаемых iCalculator. Пожалуйста, выберите один из матричных калькуляторов из списка ниже. Если вы ищете специальный матричный калькулятор для определенного матричного расчета, который не представлен в нашем наборе матричных калькуляторов, свяжитесь с нами, и мы создадим матричный калькулятор и добавим его в наш набор для вас и других наших сообществ бесплатного использования в Интернете.
.
- 1×1 Matrix Division Calculator
- 1×1 Matrix Multiplication Calculator
- 2×2 Eigenvalues and Eigenvectors Calculator
- 2×2 Matrix Division Calculator
- 2×2 Matrix Inverse Calculator
- 2×2 Multiplication Matrix Calculator
- 3×3 Matrix Division Calculator
- 3×3 Matrix Inverse Calculator
- Обратный матричный калькулятор 4×4
- Сопутствующий матричный калькулятор
Все, что вам нужно знать о матричных калькуляторах
В матрице есть определенное количество строк и столбцов. Мы также можем сказать, что прямоугольный массив определяет матрицу. Количество строк и столбцов в матрице может быть одинаковым или разным, но в обоих случаях связанные с ними вычисления довольно сложны. Вот почему использование матричного калькулятора становится необходимым, особенно для людей, которым приходится выполнять эти вычисления ежедневно. Калькуляторы матриц также полезны для студентов, которые могут захотеть проверить свою домашнюю работу, чтобы убедиться, что способ, которым они выполняют расчеты матриц, правильный.
В матричный калькулятор включено множество терминов. Мы знаем о простых калькуляторах, которые помогают нам выполнять основные вычисления, такие как сложение, деление, умножение и т. д. С быстрым развитием технологий iCalculator выпустила усовершенствованные математические калькуляторы, включая научные калькуляторы, графические калькуляторы и т. д. Эти математические калькуляторы поддерживают потребность в онлайн-калькуляторах, которые помогают людям решать математические задачи более высокого уровня, такие как поиск обратной матрицы, ранг матрицы, умножение двух матриц и т. д. Чтобы помочь людям, которые ищут эти калькуляторы в Интернете, мы сделали эти матрицы калькуляторы, которые могут решать математические задачи более высокого уровня, связанные с матрицами, в мгновение ока.
Начнем с некоторых общих терминов, связанных с матрицей.
Что такое матрица?
Матрица может быть определена как прямоугольный массив чисел, упорядоченных по строкам и столбцам (как в электронной таблице).
В статистике мы используем матричную алгебру для выражения коллекций необработанных данных или информации.
Общие термины, относящиеся к матрице
Вот некоторые из общих и общих терминов, с которыми вы столкнетесь при работе с матрицами-
Элементы
Элементы — это числа, которые появляются внутри матрицы, называемые элементами матрицы.
Размеры
Размеры также можно назвать «порядком» матрицы. Измерения говорят нам, сколько столбцов и строк имеет матрица. Например, матрица 3 x 4 означает 3 строки и 4 столбца (сначала перечислены строки, а затем столбцы).
Скаляр
Скаляр – это любое действительное число
Единичная матрица
Единичная матрица – это матрица с нулями в качестве элементов и единицами в качестве диагоналей, называемая единичной матрицей.
Here is an example of an identity matrix
★ ★ ★ ★ ★ [ 2 Votes ]
The determinant of a matrix
When we want to find out the solutions систем линейных уравнений или нахождения обратной матрицы, в игру вступает определитель матрицы, который представляет собой не что иное, как набор специальных чисел.
Вот некоторые из свойств определителя:
- Определитель матрицы является действительным числом и может содержать и отрицательные числа.
- Матрица, обратная матрице, существует только в том случае, если определитель этой матрицы является ненулевым числом.
- Определители существуют только для квадратных матриц.
Формула для вычисления определителя матрицы может различаться, поскольку она зависит от порядка матрицы.
Символ определителя матрицы A задается как |A|.
Сложение и вычитание матриц
Размерность матрицы не что иное, как порядок этой матрицы. Если мы хотим вычесть или сложить две матрицы, размеры обеих матриц должны быть одинаковыми, т. Е. Матрица, имеющая 3 строки и 4 столбца, может быть добавлена или вычтена из другой матрицы, имеющей 3 строки и 4 столбца. Мы не можем складывать или вычитать матрицу размера 4 x 3 с другой матрицей размера 5 x 2.
Что такое квадратная матрица?
Квадратная матрица может быть определена как матрица, имеющая равное количество строк и столбцов.
Мы также можем сказать, что матрица порядка m x n является квадратной матрицей, если m=n. Матрицы, не являющиеся квадратными, называются прямоугольными.
Сингулярная матрица — это квадратная матрица, но все квадратные матрицы не являются сингулярными.
Что такое сингулярная матрица?
Глядя на любую матрицу, можно определить, является ли она единственной или нет. Если элементы одной строки или столбца матрицы равны нулям или две строки или столбца матрицы одинаковы, то говорят, что матрица является сингулярной. В этом случае определитель сингулярной матрицы равен 0,
Ниже приведены некоторые свойства сингулярной матрицы:
- Сингулярная матрица всегда является квадратной матрицей.
- Определитель сингулярной матрицы всегда равен 0.
- Мы не можем найти обратную сингулярную матрицу, потому что определитель сингулярной матрицы равен 0.
Вы можете проверить, можете ли вы найти обратную конкретную матрицу или не просто проверив, является ли оно сингулярным или нет, найдя его определитель.