Дифференцирование функции, заданной параметрически
Примеры решенийРанг матрицы Умножение матриц Метод Гаусса Найти производную Найти интегралРешение СЛАУ методом Крамера Диф уравнения онлайнОпределитель матрицы Точки разрыва функции
В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически. Параметрическое задание функции удобно тем, что оно дает общую запись для прямой и обратной функций.
Предположим, что на некотором промежутке функции x=φ(t) и y=ψ(t) имеют производные, причем φ’(t)≠0. Кроме того, для x=φ(t) существует обратная функция x-1 = t(x) (производная обратной функции равна обратной величине производной прямой функции).
Пример 1. Найти производную функции y по x, заданной параметрически:
Решение.
.
Запишем функцию y’x в параметрической форме:В случае параметрического задания функции первую производную вычисляли по формуле:
(*)
и записывали y’x тоже в параметрической форме:К ней снова применим формулу (*) (при условии, что производные второго порядка существуют):
.
Результат тоже записываем в параметрической форме и берем третью производную и т.д. Так можно получить производную от y по x любого порядка.Пример 2. Найти y’’xx функции
Решение. Найдем y’x по формуле (*): .
Производную y’x
К этой функции снова применим формулу (*):
.
Пример 3. Для функции найти y’’’xxx.
Решение. тогда и
.
ПолучаемЕще раз применяем формулу (*):
.
Если требуется получить зависимость y’’’xxx от x, то выражаем x из соотношения x=e—t и подставляем в y’’’xxx.Для функций, заданных неявно, производные высших порядков можно находить тем же способом, что и первую производную, так как производная любого порядка сама является функцией, заданной неявно, если ее не разрешать относительно производной предыдущего порядка.
Пример 7. Найти производную первого и второго порядка функции, заданной параметрически:
Решение.
;
.
Далее будем искать y’’xx по формуле
.
Отсюда
.
Производную второго порядка также можно было найти по формуле.
Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).
Таблица производных.
Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении.
Навигация по странице: Общие формулы дифференцирования функций Таблица производных основных элементарных функций Производные логарифмов Производные тригонометрических функций Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций
Онлайн калькулятор: Решение производных
Общие формулы дифференцирования функций
В этих формулах u и v — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.
(c · u)′ = c · u ′
(u + v)′ = u ′ + v ′
(u · v)′ = u ′ · v + u · v ′
| ( | u | ) | ′ | = | u ′ · v — u · v ′ |
| v | v2 |
Таблица производных основных элементарных функций
Производная от константы
c ′ = 0, где c = constПроизводная степенной функции
(xn )′ = n · xn — 1Производная показательной функции
(ax )′ = ax · ln aПроизводная экспоненты
(ex )′ = exПроизводные логарифмов
| (loga x)′ = | 1 |
| x · ln a |
| (ln x)′ = | 1 |
| x |
Производные тригонометрических функций
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = -sin x
| (tg x)′ = | 1 |
| cos 2 x |
| (ctg x)′ = — | 1 |
| sin 2 x |
Производные обратных тригонометрических функций
| (arcsin x)′ = | 1 |
| √1 — x2 |
| (arccos x)′ = — | 1 |
| √1 — x2 |
| (arctg x)′ = | 1 |
| 1 + x2 |
| (arcctg x)′ = — | 1 |
| 1 + x2 |
Производные гиперболических функций
(sh x)′ = ch x
(ch x)′ = sh x
| (th x)′ = | 1 |
| ch2 x |
| (cth x)′ = — | 1 |
| sh2 x |
Формулы сокращенного умножения Формулы и свойства степеней Формулы и свойства корней Формулы и свойства логарифмов Формулы и свойства арифметической прогрессии Формулы и свойства геометрической прогрессии Тригонометрические формулы Обратные тригонометрические формулы Таблица производных
Все таблицы и формулы
Попробуйте онлайн калькуляторы из темы пределы и производные функцийОнлайн калькулятор.
Попробуйте онлайн калькуляторы для вычисления интеграловОнлайн калькулятор. Решение интегралов онлайн.Онлайн калькулятор. Решение определенных интегралов онлайн.Показать все онлайн калькуляторы
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
{x}Производное W.R.T ?
abcnxyz
Сколько раз? (дифференциал)
12345
РЕКЛАМА
РЕКЛАМА
Содержание
| 1 | Как сделать частные производные функции? |
| 2 | Частные производные второго порядка: |
| 3 | Частные производные по цепному правилу: |
| 4 | Что такое цепное правило в дифференциальных уравнениях? |
| 5 | Почему тест частной производной второго порядка эффективен? |
Доступно в приложении
Загрузите приложение «Калькулятор частных производных» для своего мобильного телефона, чтобы вы могли рассчитать свои значения в руке.
Онлайн-калькулятор частных производных используется для дифференцирования математических функций, содержащих несколько переменных. Да, этот многомерный калькулятор производной может дифференцировать определенную функцию несколько раз.
Что такое частная производная?
Частная производная определяется как производная функции многих переменных по одной переменной, в то время как все остальные переменные остаются неизменными.
Когда в функции две переменные x и y, которые не зависят друг от друга, то что там делать! Просто,
- Если вам требуется дифференцировать функцию по «x», то вы должны оставить переменную «y» постоянной и дифференцировать.
- С другой стороны, если вам нужно дифференцировать функцию по «у», сделайте переменную «х» постоянной. Символ «∂» обычно используется для обозначения частных производных по цепному правилу
Как вычислить частичную производную функции?
Вы можете выполнить эти расчеты вывода функции вручную, придерживаясь следующих шагов:
Выбрать функцию для вычисления частной производной
Производная константы равна нулю
При применении производной к переменной вычисляется только производная этой конкретной переменной
Решить все функции для получения результатов
Вторые частные производные :
Старшая производная очень важна для проверки вогнутости функции и подтверждения того, является ли конечная точка функции максимальной или минимальной.
Поскольку функция f (x, y) непрерывно дифференцируема в открытой области, можно получить следующий набор частных производных второго порядка:
- F_{xx} = ∂fx / ∂x, где функция f (x) — первая частная производная от x.
- F_{yy} = ∂fy / ∂y, где функция f (y) — производная первого порядка по y.
Как работает калькулятор частных производных?
Наш многопараметрический калькулятор производной дифференцирует заданные функции, выполняя следующие шаги:
Ввод:
- Сначала введите функцию для дифференцирования
- Теперь выберите переменную для производной из раскрывающегося списка
- Затем выберите, сколько раз вам нужно дифференцировать данную функцию
- Нажмите кнопку расчета
Вывод:
- Частная производная функции с пошаговыми вычислениями
Из источника Википедии: Поверхность в евклидовом пространстве, злоупотребление обозначениями, теорема Клеро, оптимизация, термодинамика, квантовая механика и математическая физика.
Из источника Brilliant: мгновенная скорость изменения или наклон, дифференцирование с одной переменной, линейность, правило произведения, цепное правило, векторное исчисление и производные более высокого порядка, смешанная производная.
Из источника Академии Хана: функция многих переменных, трехмерные графики, расчет одной переменной, двумерные входные данные, предварительная оценка.
Калькулятор частных производных — Онлайн калькулятор частных производных
Калькулятор частных производных вычисляет значение частных производных для заданной функции. Процесс получения частных производных функции известен как частное дифференцирование.
Что такое калькулятор частных производных?
Калькулятор частных производных — это онлайн-инструмент, который помогает дифференцировать функцию и получать ее частные производные. В векторном исчислении и дифференциальной геометрии используются частные производные. Чтобы использовать этот калькулятор частных производных , введите функцию в данное поле ввода.
Калькулятор частных производных
Как пользоваться калькулятором частных производных?
Чтобы найти частные производные с помощью онлайн-калькулятора частных производных, выполните следующие действия:
- Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору частных производных Cuemath.
- Шаг 2:
- Шаг 3: Нажмите кнопку » Рассчитать» , чтобы найти значение частных производных.
- Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поле и ввести новые значения.
Как работает калькулятор частных производных?
Когда функция представлена только одной переменной, мы можем использовать простое дифференцирование, чтобы найти ее производные. Напротив, мы используем частичное дифференцирование, когда данная функция выражается двумя или более переменными.
При частичном дифференцировании мы дифференцируем данную функцию по одной переменной, в то время как другие переменные рассматриваются как константы. Предположим, у нас есть функция, которая зависит от двух переменных x и y, заданных как f (x, y). Шаги для нахождения частных производных этой функции приведены ниже:
- Продифференцировать функцию по x. Здесь термы, содержащие переменную y, будут считаться константами. Частная производная функции по x обозначается \(f_{x}\), \(f’_{x}\), \(\partial _{x}f\) или \(\partial f / \частичный х\).
- Теперь продифференцируем функцию по y. Все члены с переменной x будут рассматриваться как константы. Это будет обозначаться как \(f_{y}\), \(f’_{y}\), \(\partial _{y}f\) или \(\partial f / \partial y\).
Формула для нахождения частных производных функции выглядит следующим образом:
Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?
Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы.