Калькулятор с кубами и квадратами: Калькулятор дробей онлайн

Калькулятор расчета суммы квадратов/кубов последовательных чисел

Последовательные числа — это члены натурального ряда, идущие друг за другом. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. 1, 2, 3, 4 — последовательные элементы натурального ряда.

Числовые последовательности

Последовательность — упорядоченный набор чисел, который образуется по определенному закону. Существует множество самых разных числовых наборов, самым простым и понятным из которых считается натуральный ряд. Первые числа, которые дети учат в начальных классах, это члены натуральной последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n

Буквой n обозначается общий член последовательность, а для натурального ряда n считается и законом образования ряда. Закон последовательности — это форма записи принципа, по которому образуются члены ряда. Простой закон n означает, что номер элемента числового набора соответствует его значению. Первый элемент равен 1, второй — 2, десятый — 10. Для последовательности четных чисел, которая задается законом 2n, первый элемент набора будет равен 2, второй — 4, а десятый — 20. Набор нечетных чисел задается формулой 2n – 1, и в этом случай первый член ряда будет равен 1, второй — 3, десятый — 19.

Работа с числовыми наборами и законами их образования позволила математикам вывести формулы для определения сумм последовательных чисел натурального ряда.

Сложение последовательных чисел

Сумма первых n последовательных элементов натурального набора выражается следующей формулой:

∑ = 0,5 n × (n + 1)

Данная формула позволяет вычислить сумму натурального ряда от 1 до n. При сложении последовательных чисел не с первого элемента существует несколько хитростей, среди которых:

• для суммирования четырех последовательных чисел достаточно умножить наибольшее число на 4 и из результата отнять 6;
• для сложения любых пяти последовательных чисел достаточно умножить третий элемент набора на 5;
• для вычисления суммы шести последовательных чисел следует умножить наибольшее число на 6 и из результата вычесть 15.

Рассмотрим пару примеров:

• Сумма ряда от 1 до 10 вычисляется по формуле и равна 0,5 × 10 × 11 = 55.
• Сумма ряда 5 + 6 + 7 + 8 + 9 определяется как 7 × 5 = 35.
• Сумма ряда 57 + 58 + 59 + 60 вычисляется как 60 × 4 — 6 = 234.
• Сумма ряда 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 определяется как 26 × 6 — 15 = 141.

Правильность расчетов при помощи хитростей вы можете проверить на калькуляторе.

Сложение квадратов последовательных чисел

Более сложная задача состоит в суммирования последовательных чисел, возведенных в квадрат. Начало набора квадратов последовательных чисел выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100…

Такой набор чисел задается простой формулой n². Для определения суммы первых n членов квадратного ряда используется формула:

∑ = (n × (n + 1) × (2n + 1)) / 6

Для подсчета суммы первых пяти членов квадратной ряда 1 + 4 + 9 + 16 + 25, то есть n = 5, расчеты будут выглядеть как:

∑ = (5 × 6 × (2 × 5 + 1)) / 6 = 55

Используя данную формулу легко подсчитать общую сумму квадратов первых n квадратов.

Сложение кубов последовательных чисел

Ряд последовательных чисел можно модифицировать и представить его в виде последовательности кубов. Это означает, что каждый член числового набора 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n возводится в куб, и в результате мы получаем последовательность кубов:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000 … n³

Для нахождения суммы первых n членов кубического ряда используется выражение:

∑ = (0,5 × n × (n+1))²

Например, для нахождения значения ряда при n = 5, то есть выражения 1 + 8 + 27 + 64 + 125, расчеты будут выглядеть следующим образом:

∑ = (0,5 × 5 × 6)² = 15² = 225

При помощи этой простой формулы легко вычислить сумму кубов для сколь угодно большого n.

Наш калькулятор использует выше приведенные формулы для вычисления сумм квадратов или кубов натурального ряда для его первых n членов. Для расчетов вам необходимо выбрать тип калькулятора «Квадраты» или «Кубы», после чего ввести в ячейку количество элементов ряда. В теоретической части мы рассматривали сумму ряда из 5 членов, а при помощи онлайн-калькулятора легко рассчитать большие суммы.

Примеры использования

Рассчитаем сумму квадратов для 250 членов натурального ряда, то есть решим выражение 1 + 4 + 9 + … + 62 500. Для этого введем в форму калькулятора число 250 и получим мгновенный результат, равный 5 239 625.

Теперь вычислим сумму кубов для 250 членов натурального ряда, что будет равнозначно решению выражения 1 + 8 + 27 + … + 15 625 000. Изменим тип калькулятора и выберем «Куб», после чего введем в ячейку программу число 250. Наш результат не заставит себя ждать, и мы увидим 984 390 625.

Заключение

Для подсчета конечных сумм последовательных рядов используются простые формулы, которые, однако, не всегда удобно применять при повседневных расчетах. Используйте нашу программу для мгновенного подсчета значения квадратных и кубических рядов.

Почему сумма трёх кубов – это такая сложная математическая задача / Хабр

Тяжело искать ответы в бесконечном пространстве.

Математика уровня старших классов может помочь вам сузить область поисков.

Учитывая, что люди изучают свойства чисел тысячи лет, можно было бы решить, что нам известно всё о числе 3. Однако недавно математики обнаружили нечто новое касательно числа 3: третий способ выразить это число в виде суммы трёх кубов. Задача записи числа через сумму трёх кубов целых чисел оказывается неожиданно интересной. Легко показать, что большую часть чисел нельзя записать в виде одного куба или суммы из двух кубов, но существует гипотеза, что большую часть чисел можно записать в виде суммы из трёх кубов. Однако найти эти кубы оказывается иногда чрезвычайно сложно.

К примеру, нам было известно, что число 3 можно записать в виде 1³ + 1³ + 1³, а также в виде 4³ + 4³ + (-5)³, однако более 60 лет математиков интересовал вопрос, нет ли ещё одного способа сделать это. И в этом сентябре Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, наконец, нашли и третий способ:

3 = 569 936 821 221 962 380 720

3 + (−569 936 821 113 563 493 509)³ + (−472 715 493 453 327 032)³

Если вам захочется проверить этот результат, не пытайтесь использовать калькулятор. Большинство из них не справится с таким количеством цифр. Но с этим справится WolframAlpha.

В поисках новых вариантов решений для числа 3, математики используют техники, придуманные в этом году Буккером, первым нашедшим сумму трёх кубов для числа 33. Но почему на подобные прорывы требуется столько времени? В поисках правильных кубов приходится покрывать очень большую территорию, а нужное направление нам может указать лишь небольшое число подсказок. Поэтому фокус состоит в том, чтобы найти более хитрые методы поиска. Чтобы представить себе саму задачу и её решение, начнём с более простого вопроса: как мы можем записать 33 в виде суммы трёх целых чисел?

Мы можем записать 33 = 19 + 6 + 8, или 33 = 11 + 11 + 11, или 33 = 31 + 1 + 1. Мы можем использовать и отрицательные числа: 33 = 35 + (−1) + (−1). Существует бесконечное множество способов сделать это, поскольку всегда можно увеличить одно или два числа и уменьшить третье для компенсации этого – например, 33 = 36 + (−1) + (−2), 33 = 100 + 41 + (−108), и так далее.

Что насчёт записи 33 в виде суммы трёх квадратов? Нам нужно будет найти числа, являющиеся квадратами целых чисел, типа 1 = 1², 9 = 3², и 64 = 8² — их сумма даёт 33. Немного поигравшись, можно обнаружить, что 33 = 4² + 4² + 1² и 33 = 5² + 2² + 2². Есть ли ещё варианты? В принципе, нет. Можно заменить 4 на -4, и получить 33 = (-4)² + 4² + 1², что даст нам ещё несколько способов записи наши решений, но как их ни считай, найдётся не очень много способов записать 33 в виде суммы трёх квадратов.

При суммировании квадратов у нас нет той же гибкости, что при суммировании любых целых чисел. У нас меньше выбор, и, что ещё важнее, сложение лишь увеличивает нашу сумму. Ведь квадраты целых чисел не бывают отрицательными – возведение в квадрат и положительного и отрицательного числа всегда даёт положительное.

У квадратов больше ограничений, но это даёт нам и нечто полезное: наше пространство поисков «ограничено». Пытаясь найти три квадрата, дающих в сумме 33, мы не можем использовать числа, чьи квадраты больше, чем 33, поскольку как только наша сумма выйдет за пределы 33, уменьшить её уже не получится. А это значит, нам нужно рассмотреть лишь комбинации из 0², 1², 2², 3², 4² и 5² (их отрицательные двойники ничего нового нам не дают, и мы их проигнорируем).

Имея шесть вариантов для каждого их трёх квадратов, мы получаем не более 6 × 6 × 6 = 216 способов записать 33 как их сумму. Достаточно небольшой список для того, чтобы проверить все возможности и убедиться, что мы ничего не пропустили.

Теперь вернёмся к задаче о сумме трёх кубов. Несложно видеть, что она комбинирует ограниченный выбор из задачи о сумме квадратов с бесконечным пространством поиска из задачи о сумме целых чисел. Как и с квадратами, не любое целое число является кубом другого числа. Мы можем использовать числа типа 1 = 1³, 8=2³, 125=5³, но не можем использовать 2, 3, 4, 10, 108, и большую часть остальных чисел. Но, в отличие от квадратов, кубы бывают отрицательными – к примеру, (-2)³ = -8, (-4)³ = -64 – а значит, мы можем по необходимости и уменьшать нашу сумму. Доступ к отрицательным числам даёт нам неограниченное количество вариантов, то есть, наше пространство поиска, как и в случае с суммой целых чисел, неограниченно.

Неограниченность пространства поиска означает, что мы можем искать ответы очень долго. И люди искали их десятилетиями. Понадобился суперкомпьютер и хитрая математика, чтобы найти, наконец, правильную комбинацию кубов. Давайте посмотрим, как это удалось сделать.

Допустим, вам нужно найти решение уравнения:

33 = x³ + y³ + z³

Простой подход – разметить некий регион чисел и подставлять каждый из них, пока что-нибудь не подойдёт. Если вы ничего не найдёте, можно определить новое пространство поиска и начать сначала. Это похоже на поиск новых планет при помощи методичного изучения неба в телескоп.

Представьте, что ваше начальное пространство поиска ограничивает все x, y и z рамками от -100 до 100.

Сначала вы пробуете:

(−100)³ + (−100)³ + (−100)³

Не вышло. Тогда вы пробуете:

(−99)³ + (−100)³ + (−100)³

Тоже не работает. Вы продолжаете, пока не дойдёте до (100, −100, −100), потом переключаетесь на (−100, −99, −100), и вновь продолжаете свою охоту. В итоге вы проверите порядка 200 × 200 × 200 = 8 000 000 вариантов, не найдя ничего подходящего. Придётся обозначить новое пространство поиска и начать заново.

Более интересный подход – переписать уравнение в следующем виде:

33 – (x³ + y³) = z³

Теперь, вместо того, чтобы перебирать все тройки (x, y, z), мы будем перебирать двойки (x, y). Для каждой пары мы будем вычислять результат, а потом проверять список кубов, смотря, нет ли там нашего результата z³. Если он есть, решение найдено. Если нет, мы продолжим искать. Это значительно уменьшает пространство поиска. Вместо 8 000 000 троек мы теперь ищем среди 200 × 200 = 40 000 пар.

Серьёзная экономия, однако всё равно недостаточно для того, чтобы сделать задачу вычислительно доступной.

Ещё более удобный подход — переписать уравнение в следующем виде:

33 – z³ = x³ + y³

Теперь мы перебираем z, а для каждого вычисленного z мы используем хитрый фокус из курса математики. Выражение x³ + y³ всегда можно разложить так:

x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)

Это формула для суммы кубов. Чтобы проверить её, просто перемножим правую часть, пользуясь правилом дистрибутивности:

(x + y)(x² – xy + y²) = x³ – x²y + xy² + yx² – xy² + y³ = x³ + y³

Как это помогает нам в поисках? Подсчитав 33 – z³, мы раскладываем её на произведение простых чисел, с чем хорошо справляются компьютеры, по крайней мере, в интересующем нас числовом диапазоне.

Разложив 33 – z³ на множители, мы проверяем, можно ли составить эти множители в виде (x + y)(x² – xy + y²). Если да, мы нашли решение.

Допустим, к примеру, что мы пытаемся записать 34 как сумму трёх кубов, и наши поиски привели нас к z = -6. Мы подсчитываем 34 – z³ = 34 – (-6)³ = 34 – (-216) = 34 + 216 = 250, и теперь разложим 250.

Изучив вопрос, мы понимаем, что можем записать 250 = 10 × 25 = (5+5)(5² – 5 × 5 + 5^²). А это именно (x + y)(x² – xy + y²) для x = 5 и y = 5, так что тройка (x, y, z) = (5, 5, -6) должна сработать для 34. И, конечно же, 34 = 5³ + 5³ + (-6) ³, и мы успешно обнаружили три куба, сумма которых даёт 34.

Такой метод позволяет вместо 200³ = 8 000 000 троек или даже 200² = 40 000 пар исследовать 200 возможных вариантов z. Дополнительную работу составляют разложение на множители и проверка, но в целом поисковая эффективность серьёзно растёт.

И всё равно пространство поисков, изученное в поисках суммы кубов, дающих такое число, как 33, настолько огромно, что даже такие улучшения не могут помочь суперкомпьютерам близко подступиться к этой задаче.

Тут на сцену и вышел Эндрю Букер. Он разработал некоторые дополнительные техники, используя алгебру и теорию чисел, для ещё более сильного улучшения поисковой эффективности. Напустив суперкомпьютер своего университета на эту задачу, через три недели он получил впервые найденное представление числа 33 как суммы трёх кубов:

33 = 8 866 128 975 287 528³ + (−8 778 405 442 862 239)³ + (−2 736 111 468 807 040)³

Решив эту задачу, перед тем, как перейти к числу 3, Букер и Сазерленд решили такую же задачу для числа 42:

42 = (−80 538 738 812 075 974)

3 + 80 435 758 145 817 515³ + 12 602 123 297 335 631³

Вас может удивить, что спустя тысячи лет, мы ещё можем узнать что-то новое о таких числах, как 3, 33 и 42. Возможно ещё более удивительным будет то, что этому могут помочь такие абстрактные вещи из школьной математики, как формула для суммы кубов. Однако так работает математика, и поэтому мы продолжаем наши изыскания. Так что следите за числом 114 – самым маленьким из чисел на сегодня, для которого пока ещё не найдена сумма из трёх кубов. У меня есть ощущение, что для Эндрю Букера и других математиков поиск уже начался.

Square & Cube Calculator — E Calculator Site

Давайте сначала разберемся, что такое квадраты и кубы и как мы можем вычислить квадраты и кубы действительных чисел?

Квадрат

Квадратное число — это целое число, являющееся квадратом целого числа; Другими словами, Квадрат — это произведение некоторых действительных чисел на себя.

Например, 81 — квадратное число, поскольку оно равно 9

2 и может быть записано как 9×9.

Обычное обозначение квадрата числа n — это не произведение n×n, а эквивалентное возведение в степень n ² , обычно произносится как «n в квадрате».

Номер квадрата имени происходит от названия фигуры. Единица площади определяется как площадь единичного квадрата (1×1). Следовательно, квадрат со стороной n имеет площадь n ² .

Квадратные числа неотрицательны. Неотрицательное целое число является квадратным числом в том, что его квадратный корень снова является целым числом. Например, \(\sqrt{9}=3\), поэтому 9 — квадратное число. Целое натуральное число, не имеющее делителей полных квадратов, кроме 1, называется бесквадратным.

Свойства квадрата

1. Разница между любым совершенным квадратом и его предшественником определяется тождеством n ² −(n−1) ² =2n−1.

2. Если последняя цифра числа 0, его квадрат заканчивается на 0.

3. Если последняя цифра числа 1 или 9, его квадрат заканчивается на 1.

4. Если последняя цифра числа 2 или 8, его квадрат оканчивается на 4.

5. Если последняя цифра числа 3 или 7, его квадрат оканчивается на 9.

6. Если последняя цифра числа 4 или 6, его квадрат оканчивается на 6.

7. Если последняя цифра числа 5, его квадрат оканчивается на 5.

8. Квадрат числа по основанию 10 может заканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

Нечетные и четные квадратные числа

1. Квадраты четных чисел четные (и на самом деле делятся на 4), так как (2n) ² = 4n ² .

2. Квадраты нечетных чисел нечетны, так как (2n+1) ² =4(n ² +n)+1.

3. Квадратные корни из четных квадратных чисел четны, а квадратные корни из нечетных квадратных чисел нечетны. 93\)

Кубы как суммы последовательных нечетных целых чисел

В последовательности нечетных целых чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…

1. Первый является кубом (1= 1 ³ ),

2. Сумма следующих двух есть следующий куб (3+5=2 ³ ),

3. Сумма следующих трех есть следующий куб (7+9+ 11=3 ³ ),

4. Сумма следующих четырех есть следующий куб (13+15+17+19=4 ³ ),

5. Сумма следующих пяти есть следующий куб куб (21+23+25+27+29=5 ³ ) и так далее.

Для расчета квадратов и кубов с помощью вышеуказанного калькулятора квадратов и кубов, вам нужно просто написать число в данном поле ввода и нажать кнопку расчета, вы получите результат.

Калькулятор идеального куба. Найдите идеальные кубы0134

Как пользоваться калькулятором идеального куба?

Какие числа являются идеальными кубами?

Список идеальных кубов

Часто задаваемые вопросы

Вы ищете быстрый инструмент, который поможет вам определить, является ли число идеальным кубом ? Не смотрите дальше! Наш калькулятор идеального куба скажет вам, можем ли мы записать данное число в виде куба целого числа или нет! Читайте дальше, чтобы узнать, что такое идеальный куб, как найти идеальный куб и список некоторых идеальных кубов!

Куб обычно представляет собой любое число, полученное путем возведения заданного числа в степень 3 . Интересное применение этой концепции заключается в нахождении объема куба.

Определение идеального куба

Число в совершенном кубе — это число, которое получается путем возведения целого числа в степень 3.

Другими словами, если мы умножим целое число само на себя трижды , мы получим идеальный куб !

Таким образом, математически формула идеального куба выглядит следующим образом:

Число NNN является совершенным кубом , если мы можем записать его как:

N=a∗a∗aN = a * a * aN=a∗a∗a,

, где aaa — целое число .

Как правило, если мы можем найти кубический корень числа, и если это целое число, то наше число будет идеальным кубом!

Как пользоваться калькулятором идеального куба?

Если вы хотите узнать, является ли число NNN совершенным кубом или нет, просто введите его значение в поле Число калькулятора! 93\! знак равно (-6)\! \раз\! (-6)\! \раз\! (-6)\! знак равно -216(−6)3=(−6)×(−6)×(−6)=−216, поэтому −216\small -216−216 также является совершенным кубом !

В отличие от квадратного корня, мы можем найти кубический корень и для отрицательных чисел !

Некоторые другие примеры определения идеальных кубов:

• Учитывая число 100\small 100100, его кубический корень приблизительно равен 4,64\small 4,644,64, что не является целым числом. Итак, 100\small 100100 — это , а не — идеальный куб.

• Учитывая число -1000\small -1000-1000, его кубический корень равен -10\small -10-10, что является целым числом. Итак, −1000\small -1000−1000 — это число в совершенном кубе , которое вы также можете проверить с помощью нашего калькулятора идеального куба!

• Для числа 125,000\small 125,000125,000 его кубический корень равен 50\small 5050, что является целым числом. Итак, 125 000\small 125 000125 000 — это число в совершенном кубе , которое вы также можете проверить с помощью нашего калькулятора идеального куба!

List of Perfect Cubes

Here’s a list of the first 10 perfect cubes for ready-reference:

Number	Cube of number
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729
10	1000

Подобно идеальным кубам, у нас также есть идеальных квадратов , которые являются числами, квадратных корней которых являются целыми числами . Узнайте больше об этом в нашем калькуляторе идеального квадрата.

Несколько интересных расширений концепции корней в целом также доступны в следующих инструментах:

• Цифровой калькулятор корня
• Калькулятор комплексных корней
• Калькулятор корня

Эй! Мы подумали, что вместо идеальных кубов вы можете искать магические квадраты: зайдите на наш калькулятор магических квадратов и узнайте о них все!

Часто задаваемые вопросы

Может ли кубический корень числа быть отрицательным?

Да! Кубический корень любого отрицательного числа всегда будет отрицательным, а кубический корень любого положительного числа всегда будет положительным.

Является ли число 125 идеальным кубом?

Да! Мы можем записать 125 как 5 × 5 × 5 , что означает, что кубический корень из 125 равен 5.

Поскольку 5 — целое число, 125 — это совершенный куб 🎉!

Является ли число 64 идеальным кубом?

Да! Мы можем записать 64 как 4 × 4 × 4 , что означает, что кубический корень из 64 равен 4.